...wd......wd......wd...幾何探究試題1.我們知道，三角形的三條中線一定會(huì)交于一點(diǎn)，這一點(diǎn)就叫做三角形的重心．重心有很多美妙的性質(zhì)，如關(guān)于線段比．面積比就有一些“漂亮〞結(jié)論，利用這些性質(zhì)可以解決三角形中的假設(shè)干問(wèn)題．請(qǐng)你利用重心的概念完成如下問(wèn)題：〔1〕假設(shè)O是△ABC的重心〔如圖1〕，連結(jié)AO并延長(zhǎng)交BC于D，證明：；〔2〕假設(shè)AD是△ABC的一條中線〔如圖2〕，O是AD上一點(diǎn)，且滿(mǎn)足，試判斷O是△ABC的重心嗎如果是，請(qǐng)證明；如果不是，請(qǐng)說(shuō)明理由；解答： 〔1〕證明：如答圖1所示，連接CO并延長(zhǎng)，交AB于點(diǎn)E．∵點(diǎn)O是△ABC的重心，∴CE是中線，點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)．∴DE是中位線，∴DE∥AC，且DE=AC．∵DE∥AC，∴△AOC∽△DOE，∴=2，∵AD=AO+OD，∴．〔2〕答：點(diǎn)O是△ABC的重心．證明：如答圖2，作△ABC的中線CE，與AD交于點(diǎn)Q，則點(diǎn)Q為△ABC的重心．由〔1〕可知，=，而，∴點(diǎn)Q與點(diǎn)O重合〔是同一個(gè)點(diǎn)〕，∴點(diǎn)O是△ABC的重心．2.〔自貢市〕將兩塊全等的三角板如圖①擺放，其中°，°．〔1〕將圖①中的順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°得圖②，點(diǎn)是與的交點(diǎn)，點(diǎn)Q是與BC的交點(diǎn)，求證：；〔2〕在圖②中，假設(shè)，則等于多少〔3〕如圖③，在上取一點(diǎn)E，連接、，設(shè)，當(dāng)時(shí)，求面積的最大值．〔1〕證明：°，°°(1′)又，〔ASA〕 (2′)(3′)〔2〕作于，°，(4′)°°(5′)(6′)又，(7′)〔3〕解：°，°°(8′)由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知∽(9′)設(shè)(10′)在中，°(11′)時(shí)(12′)3.〔2013?衢州〕【提出問(wèn)題】〔1〕如圖1，在等邊△ABC中，點(diǎn)M是BC上的任意一點(diǎn)〔不含端點(diǎn)B、C〕，連結(jié)AM，以AM為邊作等邊△AMN，連結(jié)CN．求證：∠ABC=∠ACN．【類(lèi)比探究】〔2〕如圖2，在等邊△ABC中，點(diǎn)M是BC延長(zhǎng)線上的任意一點(diǎn)〔不含端點(diǎn)C〕，其它條件不變，〔1〕中結(jié)論∠ABC=∠ACN還成立嗎請(qǐng)說(shuō)明理由．【拓展延伸】〔3〕如圖3，在等腰△ABC中，BA=BC，點(diǎn)M是BC上的任意一點(diǎn)〔不含端點(diǎn)B、C〕，連結(jié)AM，以AM為邊作等腰△AMN，使頂角∠AMN=∠ABC．連結(jié)CN．試探究∠ABC與∠ACN的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．〔1〕證明：∵△ABC、△AMN是等邊三角形，∴AB=AC，AM=AN，∠BAC=∠MAN=60°，∴∠BAM=∠CAN，∵在△BAM和△CAN中，∴△BAM≌△CAN〔SAS〕，∴∠ABC=∠ACN．〔2〕解：結(jié)論∠ABC=∠ACN仍成立．理由如下：∵△ABC、△AMN是等邊三角形，∴AB=AC，AM=AN，∠BAC=∠MAN=60°，∴∠BAM=∠CAN，∵在△BAM和△CAN中，∴△BAM≌△CAN〔SAS〕，∴∠ABC=∠ACN．〔3〕解：∠ABC=∠ACN．理由如下：∵BA=BC，MA=MN，頂角∠ABC=∠AMN，∴底角∠BAC=∠MAN，∴△ABC∽△AMN，∴=，又∵∠BAM=∠BAC﹣∠MAC，∠CAN=∠MAN﹣∠MAC，∴∠BAM=∠CAN，∴△BAM∽△CAN，∴∠ABC=∠ACN．4.〔2013?煙臺(tái)〕，點(diǎn)P是直角三角形ABC斜邊AB上一動(dòng)點(diǎn)〔不與A，B重合〕，分別過(guò)A，B向直線CP作垂線，垂足分別為E，F(xiàn)，Q為斜邊AB的中點(diǎn)．〔1〕如圖1，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)Q重合時(shí)，AE與BF的位置關(guān)系是AE∥BF，QE與QF的數(shù)量關(guān)系式QE=QF；〔2〕如圖2，當(dāng)點(diǎn)P在線段AB上不與點(diǎn)Q重合時(shí)，試判斷QE與QF的數(shù)量關(guān)系，并給予證明；〔3〕如圖3，當(dāng)點(diǎn)P在線段BA〔或AB〕的延長(zhǎng)線上時(shí)，此時(shí)〔2〕中的結(jié)論是否成立請(qǐng)畫(huà)出圖形并給予證明．解：〔1〕AE∥BF，QE=QF，理由是：如圖1，∵Q為AB中點(diǎn)，∴AQ=BQ，∵BF⊥CP，AE⊥CP，∴BF∥AE，∠BFQ=∠AEQ，在△BFQ和△AEQ中∴△BFQ≌△AEQ〔AAS〕，∴QE=QF，故答案為：AE∥BF，QE=QF．〔2〕QE=QF，證明：如圖2，延長(zhǎng)FQ交AE于D，∵AE∥BF，∴∠QAD=∠FBQ，在△FBQ和△DAQ中∴△FBQ≌△DAQ〔ASA〕，∴QF=QD，∵AE⊥CP，∴EQ是直角三角形DEF斜邊上的中線，∴QE=QF=QD，即QE=QF．〔3〕〔2〕中的結(jié)論仍然成立，證明：如圖3，延長(zhǎng)EQ、FB交于D，∵AE∥BF，∴∠1=∠D，在△AQE和△BQD中，∴△AQE≌△BQD〔AAS〕，∴QE=QD，∵BF⊥CP，∴FQ是斜邊DE上的中線，∴QE=QF．點(diǎn)評(píng)： 此題考察了全等三角形的性質(zhì)和判定，直角三角形斜邊上中線性質(zhì)的應(yīng)用，注意：①全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，②全等三角形的性質(zhì)是：全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角相等．5.〔濰坊市〕如圖1所示，將一個(gè)邊長(zhǎng)為2的正方形和一個(gè)長(zhǎng)為2、寬為1的長(zhǎng)方形拼在一起，構(gòu)成一個(gè)大的長(zhǎng)方形.現(xiàn)將小長(zhǎng)方形繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至,旋轉(zhuǎn)角為.〔1〕當(dāng)點(diǎn)恰好落在邊上時(shí)，求旋轉(zhuǎn)角的值；〔2〕如圖2，為的中點(diǎn)，且0°＜＜90°，求證：；〔3〕小長(zhǎng)方形繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一周的過(guò)程中，與能否全等假設(shè)能，直接寫(xiě)出旋轉(zhuǎn)角的值；假設(shè)不能，說(shuō)明理由.答案：(1)∵DC//EF,∴∠DCD′=∠CD′E=∠CD′E=α.∴sinα=,∴α=30°(2)∵G為BC中點(diǎn)，∴GC=CE′=CE=1，∵∠D′CG=∠DCG+∠DCD′=90°+α,∠DCE′=∠D′CE′+∠DCD′=90°+α,∴∠D′CG=∠DCE′又∵CD′=CD,∴△GCD′≌△E′CD,∴GD′=E′D(3)能.α=135°或α=315°考點(diǎn)：圖形的旋轉(zhuǎn)、三角函數(shù)、解直角三角形、全等三角形的判定點(diǎn)評(píng)：此題依據(jù)學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，從簡(jiǎn)單特殊的問(wèn)題入手，將問(wèn)題向一般進(jìn)展拓展、變式，通過(guò)操作、觀察、計(jì)算、猜測(cè)等獲得結(jié)論.此類(lèi)問(wèn)題綜合性較強(qiáng)，要完成此題學(xué)生需要有較強(qiáng)的類(lèi)比、遷移、分析、變形應(yīng)用、綜合、推理和探究能力．6.〔黑龍江龍東地區(qū)〕正方形ABCD的頂點(diǎn)A在直線MN上，點(diǎn)O是對(duì)角線AC、BD的交點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)O作OE⊥MN于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)B作BF⊥MN于點(diǎn)F．〔1〕如圖1，當(dāng)O、B兩點(diǎn)均在直線MN上方時(shí)，易證：AF+BF=2OE〔不需證明〕〔2〕當(dāng)正方形ABCD繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至圖2、圖3的位置時(shí)，線段AF、BF、OE之間又有若何的關(guān)系請(qǐng)直接寫(xiě)出你的猜測(cè)，并選擇一種情況給予證明．分析： 〔1〕過(guò)點(diǎn)B作BG⊥OE于G，可得四邊形BGEF是矩形，根據(jù)矩形的對(duì)邊相等可得EF=BG，BF=GE，根據(jù)正方形的對(duì)角線相等且互相垂直平分可得OA=OB，∠AOB=90°，再根據(jù)同角的余角相等求出∠AOE=∠OBG，然后利用“角角邊〞證明△AOE和△OBG全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得OG=AE，OE=BG，再根據(jù)AF﹣EF=AE，整理即可得證；〔2〕選擇圖2，過(guò)點(diǎn)B作BG⊥OE交OE的延長(zhǎng)線于G，可得四邊形BGEF是矩形，根據(jù)矩形的對(duì)邊相等可得EF=BG，BF=GE，根據(jù)正方形的對(duì)角線相等且互相垂直平分可得OA=OB，∠AOB=90°，再根據(jù)同角的余角相等求出∠AOE=∠OBG，然后利用“角角邊〞證明△AOE和△OBG全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得OG=AE，OE=BG，再根據(jù)AF﹣EF=AE，整理即可得證；選擇圖3同理可證．解答： 〔1〕證明：如圖，過(guò)點(diǎn)B作BG⊥OE于G，則四邊形BGEF是矩形，∴EF=BG，BF=GE，在正方形ABCD中，OA=OB，∠AOB=90°，∵BG⊥OE，∴∠OBG+∠BOE=90°，又∵∠AOE+∠BOE=90°，∴∠AOE=∠OBG，∵在△AOE和△OBG中，，∴△AOE≌△OBG〔AAS〕，∴OG=AE，OE=BG，∵AF﹣EF=AE，EF=BG=OE，AE=OG=OE﹣GE=OE﹣BF，∴AF﹣OE=OE﹣BF，∴AF+BF=2OE；〔2〕圖2結(jié)論：AF﹣BF=2OE，圖3結(jié)論：AF﹣BF=2OE．對(duì)圖2證明：過(guò)點(diǎn)B作BG⊥OE交OE的延長(zhǎng)線于G，則四邊形BGEF是矩形，∴EF=BG，BF=GE，在正方形ABCD中，OA=OB，∠AOB=90°，∵BG⊥OE，∴∠OBG+∠BOE=90°，又∵∠AOE+∠BOE=90°，∴∠AOE=∠OBG，∵在△AOE和△OBG中，，∴△AOE≌△OBG〔AAS〕，∴OG=AE，OE=BG，∵AF﹣EF=AE，EF=BG=OE，AE=OG=OE+GE=OE+BF，∴AF﹣OE=OE+BF，∴AF﹣BF=2OE；假設(shè)選圖3，其證明方法同上．點(diǎn)評(píng)： 此題考察了正方形的性質(zhì)，矩形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，同角的余角相等的性質(zhì)，作輔助線構(gòu)造出全等三角形與矩形是解題的關(guān)鍵，也是此題的難點(diǎn)．7.〔?綏化〕，在△ABC中，∠BAC=90°，∠ABC=45°，點(diǎn)D為直線BC上一動(dòng)點(diǎn)〔點(diǎn)D不與點(diǎn)B，C重合〕．以AD為邊做正方形ADEF，連接CF〔1〕如圖1，當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上時(shí)．求證CF+CD=BC；〔2〕如圖2，當(dāng)點(diǎn)D在線段BC的延長(zhǎng)線上時(shí)，其他條件不變，請(qǐng)直接寫(xiě)出CF，BC，CD三條線段之間的關(guān)系；〔3〕如圖3，當(dāng)點(diǎn)D在線段BC的反向延長(zhǎng)線上時(shí)，且點(diǎn)A，F(xiàn)分別在直線BC的兩側(cè)，其他條件不變；①請(qǐng)直接寫(xiě)出CF，BC，CD三條線段之間的關(guān)系；②假設(shè)正方形ADEF的邊長(zhǎng)為2，對(duì)角線AE，DF相交于點(diǎn)O，連接OC．求OC的長(zhǎng)度．證明：〔1〕∵∠BAC=90°，∠ABC=45°，∴∠ACB=∠ABC=45°，∴AB=AC，∵四邊形ADEF是正方形，∴AD=AF，∠DAF=90°，∵∠BAD=90°﹣∠DAC，∠CAF=90°﹣∠DAC，∴∠BAD=∠CAF，則在△BAD和△CAF中，，∴△BAD≌△CAF〔SAS〕，∴BD=CF，∵BD+CD=BC，∴CF+CD=BC；〔2〕CF﹣CD=BC；〔3〕①CD﹣CF=BC②∵∠BAC=90°，∠ABC=45°，∴∠ACB=∠ABC=45°，∴AB=AC，∵四邊形ADEF是正方形，∴AD=AF，∠DAF=90°，∵∠BAD=90°﹣∠BAF，∠CAF=90°﹣∠BAF，∴∠BAD=∠CAF，∵在△BAD和△CAF中，∴△BAD≌△CAF〔SAS〕，∴∠ACF=∠ABD，∵∠ABC=45°，∴∠ABD=135°，∴∠ACF=∠ABD=135°，∴∠FCD=90°，∴△FCD是直角三角形．∵正方形ADEF的邊長(zhǎng)為2且對(duì)角線AE、DF相交于點(diǎn)O．∴DF=AD=4，O為DF中點(diǎn)．∴OC=DF=2．點(diǎn)評(píng)： 此題考察了正方形與全等三角形的判定與性質(zhì)的綜合應(yīng)用，證明三角形全等是關(guān)鍵．8.〔2013?本溪〕在△ABC中，∠ACB=90°，∠A＜45°，點(diǎn)O為AB中點(diǎn)，一個(gè)足夠大的三角板的直角頂點(diǎn)與點(diǎn)O重合，一邊OE經(jīng)過(guò)點(diǎn)C，另一邊OD與AC交于點(diǎn)M．〔1〕如圖1，當(dāng)∠A=30°時(shí)，求證：MC2=AM2+BC2；〔2〕如圖2，當(dāng)∠A≠30°時(shí)，〔1〕中的結(jié)論是否成立如果成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；如果不成立，請(qǐng)寫(xiě)出你認(rèn)為正確的結(jié)論，并說(shuō)明理由；〔3〕將三角形ODE繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)，假設(shè)直線OD與直線AC相交于點(diǎn)M，直線OE與直線BC相交于點(diǎn)N，連接MN，則MN2=AM2+BN2成立嗎答：〔填“成立〞或“不成立〞〕分析： 〔1〕過(guò)A作AF⊥AC交CO延長(zhǎng)線于F，連接MF，根據(jù)相似求出AF=BC，CO=OF，求出FM=CM，根據(jù)勾股定理求出即可；〔2〕過(guò)A作AF⊥AC交CO延長(zhǎng)線于F，連接MF，根據(jù)相似求出AF=BC，CO=OF，求出FM=CM，根據(jù)勾股定理求出即可；〔3〕結(jié)論依然成立．解答： 〔1〕證明：如圖1，過(guò)A作AF⊥AC交CO延長(zhǎng)線于F，連接MF，∵∠ACB=90°，∴BC∥AF，∴△BOC∽△AOF，∴==，∵O為AB中點(diǎn)，∴OA=OB，∴AF=BC，CO=OF，∵∠MOC=90°，∴OM是CF的垂直平分線，∴CM=MF，在Rt△AMF中，由勾股定理得：MF2=AM2+AF2=AM2+BC2，即MC2=AM2+BC2；〔2〕解：還成立，理由是：如圖2，過(guò)A作AF⊥AC交CO延長(zhǎng)線于F，連接MF，∵∠ACB=90°，∴BC∥AF，∴△BOC∽△AOF，∴==，∵OA=OB，∴AF=BC，CO=OF，∵∠MOC=90°，∴OM是CF的垂直平分線，∴CM=MF，在Rt△AMF中，由勾股定理得：MF2=AM2+AF2=AM2+BC2，即MC2=AM2+BC2；〔3〕成立．點(diǎn)評(píng)： 此題考察了直角三角形，相似三角形的性質(zhì)和判定，勾股定理的應(yīng)用，主要考察學(xué)生綜合運(yùn)用性質(zhì)和定理進(jìn)展推理的能力，題目對(duì)比好，證明過(guò)程類(lèi)似．〔2013?臨沂〕如圖，矩形ABCD中，∠ACB=30°，將一塊直角三角板的直角頂點(diǎn)P放在兩對(duì)角線AC，BD的交點(diǎn)處，以點(diǎn)P為旋轉(zhuǎn)中心轉(zhuǎn)動(dòng)三角板，并保證三角板的兩直角邊分別于邊AB，BC所在的直線相交，交點(diǎn)分別為E，F(xiàn)．〔1〕當(dāng)PE⊥AB，PF⊥BC時(shí)，如圖1，則的值為；〔2〕現(xiàn)將三角板繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)α〔0°＜α＜60°〕角，如圖2，求的值；〔3〕在〔2〕的根基上繼續(xù)旋轉(zhuǎn)，當(dāng)60°＜α＜90°，且使AP：PC=1：2時(shí)，如圖3，的值是否變化證明你的結(jié)論．分析： 〔1〕證明△APE≌△PCF，得PE=CF；在Rt△PCF中，解直角三角形求得的值；〔2〕如答圖1所示，作輔助線，構(gòu)造直角三角形，證明△PME∽△PNF，并利用〔1〕的結(jié)論，求得的值；〔3〕如答圖2所示，作輔助線，構(gòu)造直角三角形，首先證明△APM∽△PCN，求得的值；然后證明△PME∽△PNF，從而由求得的值．與〔1〕〔2〕問(wèn)相對(duì)比，的值發(fā)生了變化．解：〔1〕∵矩形ABCD，∴AB⊥BC，PA=PC；∵PE⊥AB，BC⊥AB，∴PE∥BC，∴∠APE=∠PCF；∵PF⊥BC，AB⊥BC，∴PF∥AB，∴∠PAE=∠CPF．∵在△APE與△PCF中，∴△APE≌△PCF〔ASA〕，∴PE=CF．在Rt△PCF中，=tan30°=，∴=．〔2〕如答圖1，過(guò)點(diǎn)P作PM⊥AB于點(diǎn)M，PN⊥BC于點(diǎn)N，則PM⊥PN．∵PM⊥PN，PE⊥PF，∴∠EPM=∠FPN，又∵∠PME=∠PNF=90°，∴△PME∽△PNF，∴．由〔1〕知，=，∴=．〔3〕答：變化．證明：如答圖2，過(guò)點(diǎn)P作PM⊥AB于點(diǎn)M，PN⊥BC于點(diǎn)N，則PM⊥PN，PM∥BC，PN∥AB．∵PM∥BC，PN∥AB，∴∠APM=∠PCN，∠PAM=∠CPN，∴△APM∽△PCN，∴，得CN=2PM．在Rt△PCN中，=tan30°=，∴=．∵PM⊥PN，PE⊥PF，∴∠EPM=∠FPN，又∵∠PME=∠PNF=90°，∴△PME∽△PNF，∴=．∴的值發(fā)生變化．9.〔2013?包頭〕如圖，在正方形ABCD中，對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E是BC