第2課時函數(shù)的最大(小)值

課程標(biāo)準(zhǔn)

(1)理解函數(shù)的最大值和最小值的概念及其幾何意義.(2)能借助函數(shù)的圖象和單調(diào)性,

求一些簡單函數(shù)的最值.(3)能利用函數(shù)的最值解決有關(guān)的實際應(yīng)用問題.

新知初探?課前預(yù)習(xí)一一突出基礎(chǔ)性

教材要點

要點函數(shù)的最大值與最小值

最大值最小值0

一般地，設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域為7,如果存在實數(shù)〃滿足：Vx^I,都

有

條件

f(禽___Mf(x)____M

m照￡/,使得________

結(jié)論稱〃是函數(shù)y=f{x)的最大值稱〃是函數(shù)y=f(x)的最小值

幾何意義f(x)圖象上最高點的—f(x)圖象上最低點的—

助學(xué)批注

批注?函數(shù)的最值與值域的關(guān)系：

(1)函數(shù)的值域一定存在，函數(shù)的最值不一定存在.

(2)若函數(shù)的最值存在，則最值一定是值域中的元素.

(3)若函數(shù)的值域是開區(qū)間，則函數(shù)無最值；若函數(shù)的值域是閉區(qū)間，則閉區(qū)間的端點

值就是函數(shù)的最值.

基礎(chǔ)自測

1.思考辨析(正確的畫“V”，錯誤的畫“X”)

(1)任何函數(shù)都有最大(小)值.()

(2)如果一個函數(shù)有最大值，那么最大值是唯一的.()

⑶函數(shù)f(x)取最大值時，對應(yīng)的x可能有無限多個.()

(4)如果f(x)的最大值、最小值分別為弘通,則/'(x)的值域為［m，M\.(

2.函數(shù)/'(x)=3在［1,+8)上()

X

A.有最大值無最小值

B.有最小值無最大值

C.有最大值也有最小值

D.無最大值也無最小值

3.函數(shù)f(x)=-2x+l(xe［—2,2］)的最小、最大值分別為()

A.3,5B.—3,5

C.1,5D.15,3

4.函數(shù)f(x)在［—2,2］上的圖象如圖所示，則此函數(shù)的最小值、最大值分別是

題型探究?課堂解透一一強化創(chuàng)新性

題型1利用函數(shù)的圖象求函數(shù)的最值

x?_x,Qvxv2

例1已知函數(shù)f(x)2求函數(shù)F(X)的最大值、最小值.

—,x>2,

>x-l

方法歸納

圖象法求最值的一般步驟

鞏固訓(xùn)練1若xGR,f(x)是y=2—y=x這兩個函數(shù)中的較小者，則f(x)的最大

值為()

A.2B.1

C.-1D.無最大值

題型2利用函數(shù)的單調(diào)性求最值

例2已知函數(shù)f(x)=吧.

X+1

(1)判斷函數(shù)在區(qū)間(-1,+8)上的單調(diào)性，并用定義證明你的結(jié)論;

(2)求該函數(shù)在區(qū)間［2,4］上的最大值和最小值.

方法歸納

函數(shù)的最大(小)值與單調(diào)性的關(guān)系

(1)若函數(shù)f(x)在區(qū)間［a,6］上是增(減)函數(shù)，則f(x)在區(qū)間［a,6］上的最小(大)值是

最大(小)值是H6).

(2)若函數(shù)F(x)在區(qū)間［a,6］上是增(減)函數(shù)，在區(qū)間［6,c］上是減(增)函數(shù)，則『(x)

在區(qū)間［a,c］上的最大(小)值是/'(6),最小(大)值是/'(a)與/<c)中較小(大)的一個.

鞏固訓(xùn)練2求函數(shù)了=六在區(qū)間［2,6］上的最大值和最小值.

題型3求二次函數(shù)的最值

例3(1)已知函數(shù)『(x)=x?—2x—3,若xe［O,2］,求函數(shù)『(x)的最值.

(2)求函數(shù)f(x)=x-2x+2在區(qū)間［力，2+1］上的最小值gif).

(3)已知函數(shù)f(x)=/—ax+1,求f(x)在［0,1］上的最大值.

方法歸納

求二次函數(shù)最值問題的解題策略

一般都是討論函數(shù)的定義域與對稱軸的位置關(guān)系，往往分三種情況：(1)定義域在對稱

軸左側(cè)；(2)對稱軸在定義域內(nèi)；(3)定義域在對稱軸右側(cè).在討論時可結(jié)合函數(shù)圖象，便于

分析、理解.

鞏固訓(xùn)練3已知二次函數(shù)F(x)=-f+2ax—a在區(qū)間［0,1］上有最大值2,求實數(shù)a

的值.

第2課時函數(shù)的最大QJ、)值

新知初探?課前預(yù)習(xí)

［教材要點］

要點

W》f(xj=M縱坐標(biāo)縱坐標(biāo)

［基礎(chǔ)自測］

1.答案：⑴x(2)V(3)V(4)X

2.解析：函數(shù)f(x)=工是反比例函數(shù)，當(dāng)xG(0,+8)時，函數(shù)圖象下降，所以在［1,

X

+8)上/'(X)單調(diào)遞減，/U)為/?(￡在［1,+8)上的最大值，函數(shù)在［1,+8)上沒有最小

值.

答案：A

3.解析：因為f(x)=—2x+l(xd［—2,2］)是單調(diào)遞減函數(shù)，所以當(dāng)x=2時，函數(shù)

的最小值為-3.當(dāng)x=-2時，函數(shù)的最大值為5.

答案：B

4.解析：由圖象知點(1,2)是最高點，點(一2,—1)是最低點，

??J^inax2,yiain1?

答案：一1,2

題型探究?課堂解透

例1解析：作出/U)的圖象如圖:

由圖象可知，當(dāng)x=2時，f(x)取最大值2；當(dāng)時，/(x)取最小值一；.

24

所以fix)的最大值為2,最小值為一3

4

鞏固訓(xùn)練1解析：在同一坐標(biāo)系中，作出函數(shù)的圖象(如圖中的實線部分),

則f(x)max=f(l)=1.

答案：B

例2解析：(1)〃工)在(-1,+8)上單調(diào)遞增，證明如下：任取一1〈X《X2,

則—f(xj=2-x詈、,

X1+1X2+l(X1+1)(X2+1)

因為一1Vxi〈X2=Xi+l>0,X2+IX),Xi—劉VO,

所以_f(xj—f(x2)<0=>f(xi)<f(x2),

所以f(x)在(一1,+8)上單調(diào)遞增.

(2)由⑴知Hx)在⑵4］上單調(diào)遞增，

所以f(x)的最小值為f(2)=筌=|，

最大值A(chǔ)4)=有=：

鞏固訓(xùn)練2解析：設(shè)荀，熱是區(qū)間⑵6］上的任意兩個實數(shù)，且荀〈物則

F(xJ-『(X2)=-^----一=(八

Xi-1X2-l(Xi-lJCXz-l)

由于2<xi<6,得上2一矛1〉0,—(T2—1)>0,于是廣(xi)—F(X2)>0,/(JTI)>f(x2)

所以，函數(shù)尸二在區(qū)間［2,6］上單調(diào)遞減.

X-1

x=2時取最大值，最大值是2,在x=6時取最小值，最小值為|.

例3解析：(1)?.?函數(shù)f(x)=V—2x—3開口向上，對稱軸x=l,.?./?(X)在［0,1］上

單調(diào)遞減,在［1,2］上單調(diào)遞增,且f(0)=/(2).

圖1

f(x)max=f(O)=f(2)=—3,f(X)min=f(l)=-4.

⑵當(dāng)t+Kl,即KO時，函數(shù)圖象如圖1所示，

函數(shù)/1(X)在區(qū)間［力，t+1］上為減函數(shù)，所以最小值為g(t)=/■(t+1)=「+1;

當(dāng)t>l時，函數(shù)圖象如圖2所示，

圖2

圖3

函數(shù)f(x)在區(qū)間［得:+1］上為增函數(shù)，

所以最小值為g(t)=f(t)=f-2t+2.當(dāng)Wb+1,即OWtWl時,

函數(shù)圖象如圖3所示，最小值為

g(t)=/,(1)=1,

(t2+1,t<0

綜上所述，g(t)=<1,0<t<1

(t2-2t+2,t>1

⑶因為函數(shù)F(x)=f—ax+1的圖象開口向上，其對稱軸為x=|,

當(dāng)：即aWl時，F(xiàn)(x)的最大值為f(l)=2—a；

當(dāng)今：，即a>l時，f(x)的最大值為AO)=1.

2—a,a<1

綜上f(A)

1,a>1

鞏固訓(xùn)練3解析：f(x)=—(^x—a