第03講直線與平面間的位置關(guān)系考點(diǎn)定位精講講練

考點(diǎn)三判斷線面平行

考點(diǎn)二：證明線面平行

考點(diǎn)三：判斷線面垂直

【例題解析】

考虛理注明線面垂直

直線與平面間的位置關(guān)系考點(diǎn)五:剎巨離

考點(diǎn)六：直線和平面所成角

【易錯(cuò)題分析】對(duì)H線5￥面相交的概念理解不透徹致設(shè)

聚焦考點(diǎn)

一、空間中直線與平面的位置關(guān)系

1.直線與平面的位置關(guān)系

直線與平面的位置關(guān)系有且只有「三____種：

①直線在平面內(nèi)一一有——無數(shù)一個(gè)公共點(diǎn)；

②直線與平面相交一一有且只有一個(gè)公共點(diǎn)；

③一直線與平面平行——一沒有公共點(diǎn).

直線與平面相交或平行的情況統(tǒng)稱為直線在平面外

2.直線與平面的位置關(guān)系的符號(hào)表示和圖形表示

位置關(guān)系圖形表示符號(hào)表示公共點(diǎn)

直線Q在平面

aCa有無數(shù)個(gè)公共點(diǎn)

a內(nèi)2

直線Q與平面有且只有一個(gè)公

aDa=.4

a相交\共點(diǎn)

直線a與平面--a

a//a沒有公共點(diǎn)

。平行//

3.直線和平面位置關(guān)系的分類

(1)按公共點(diǎn)個(gè)數(shù)分類：

'直線和平面相交一有且只有一個(gè)公共點(diǎn)

?直線和平面平行一沒有公共點(diǎn)

直線在平面內(nèi)一有無數(shù)個(gè)公共點(diǎn)

（2）按是否平行分類:

「直線與平面平行

直線與平面相交;

直線與平面不平行

直線在平面內(nèi)

（3）按直線是否在平面內(nèi)分類：

,直線在平面內(nèi)

'直線不在平面內(nèi)（直線在平面外）［彗TH鬟

［直線和平面平仃

二、線面平行

（1）判定定理：如果不在一個(gè)平面內(nèi)的一條直線和平面內(nèi)的一條直線平行，那么這條直線和

這個(gè)平面平行.

（2）性質(zhì)定理：如果一條直線和一個(gè)平面平行，經(jīng)過這條直線的平面和這個(gè)平面相交，那么這

條直線和交線平行.

三、線面垂直

（1）判定定理：如果一條直線和一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，那么這條直線垂直于這

個(gè)平面.

（2）性質(zhì)定理：如果兩條直線同垂直于一個(gè)平面，那么這兩條直線平行.

推論】過一點(diǎn)有且只行一個(gè)平面與給定的1*（線垂位

推論2過一點(diǎn)有且只有一條直線與給定的平面垂直.

四.距離定義：

（1）點(diǎn)M和平面a的距離：過點(diǎn)M作平面a的垂線，垂足為N，我們把點(diǎn)M到垂足

N之間的距離叫做點(diǎn)M和平面a的距離.

（2）直線/和平面a的距離：設(shè)直線/平行于.平面a.在直線/上任取一點(diǎn)M,我們把

點(diǎn)M到平面a的距離叫做直線/和平面a的距離.

（3）設(shè)平面a平行平面尸，在平面a上任取一點(diǎn)M,我們把點(diǎn)M到平面〃的距離叫

做平面a和平面6的距離.

（4）異面直線。和〃的距離：設(shè)直線。和b是異面直線，當(dāng)點(diǎn)M、N分別在。和8上,

且直線MN既垂直于直線a,又垂直于直線〃時(shí)，我們把直線MN叫做異面直線。和力公垂

線，，垂足M、N之間的距離叫做異面直線。和b的距離.

五.平面的斜線

當(dāng)直線/與平面a相交且不垂直時(shí)，叫做直線/與平面a斜交，/叫做平面a的斜線.

斜線/與平面a的交點(diǎn)M叫做斜足，斜線上一點(diǎn)與斜足間的線段叫做這個(gè)點(diǎn)到平面的

斜線段.

六.射影

設(shè)直線/與平面a斜交于點(diǎn)〃，過/上任意點(diǎn)A,作平面a的垂線，垂足為O,我

們把點(diǎn)。叫做點(diǎn)A在平面a上的射影，直線OM叫做直線I在平面a上的射影.

射影長(zhǎng)定理；

從平面外一點(diǎn)向這個(gè)平面所引的垂線段和斜線段中：

（1）射影相等的兩條斜線段相等，射影較長(zhǎng)的斜線段也較長(zhǎng)；

（2）相等的斜線段的射影相等，較長(zhǎng)的斜線段的射影也較長(zhǎng)；

（3）垂線段比任何一條斜線段都短.

五、直線和平面所成角

如圖，/是平面a的一條斜線，點(diǎn)。是斜足，A是/上任意一點(diǎn)，是a的垂線，點(diǎn)8是垂

足，所以直線0B（記作是/在a內(nèi)的射影，NAOB（記作。）是/與a所成的角.

（1）定義：平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的角，叫做這條斜線和平面所成的角.

【規(guī)定】

（1）一條直線垂直于平面，定義這直線與平面所成的角是直角；

（2）一條直線和平面平行，或在平面內(nèi)，定義它和平面所成的角是0。的角.

【注意】

（1）直線/與平面a所成的角的大小與點(diǎn)A在I上的取法無關(guān)；

（2）直線和平面所成角的范圍是［0,二,7T］;

2

（3）斜線和平面所成角的范圍是（0,乙）.

2

（2）直線與平面所成角求解方法:

第一步：作出斜線在平面上的射影，找到斜線與射影所成的角氏

第二步：解含。的三角形，求出其大小.

三垂線定理平面上的一條I*［線和這個(gè)平而的一條斜

線垂克的充要條件?是它和這條斜線在平面上的射影垂1*1.

名師點(diǎn)睛

【例題解析】

考點(diǎn)一：判斷線面平行

例1.（2020?重慶萬州純陽中學(xué)校高二月考）在以下四個(gè)命題中：①直線與平面沒有公共點(diǎn),

則直線與平面平行；②直線與平面內(nèi)的任意一條直線都不相交，則直線與平面平行；③直線

與平面內(nèi)的無數(shù)條直線不相交，則直線與平面平行；④平面外的一條直線與平面內(nèi)的一條直

線平行，則直線與平面不相交.正確的命題是（）

A.①②B.①②③C.①③④D.①②④

【答案】D

【分析】根據(jù)線面平行的定義及判定定理可判斷.

【詳解】定義：?條直線與一個(gè)平面無公共點(diǎn)（不相交），稱為直線與平面平行.

可知①②正確：

線面平行的判定定理：平面外的一條直線與平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行.

可知④正確；

當(dāng)線在面內(nèi)時(shí)，直線與平面內(nèi)的無數(shù)條直線不相交（平行時(shí)），所以③不正確.

故選：D.

例2.（2020?黑龍江哈爾濱市?哈九中高二期中（理））已知直線”和平面a,那么能得出

a〃a的一個(gè)條件是（）

A.存在一條直線。，“〃8且bua

B.存在一條直線匕，aHb支baa

C.存在一個(gè)平面/，au￡且a〃力

D.存在一個(gè)平面夕，?！ㄔ虑襛〃/

【答案】C

【分析】根據(jù)線面平行的判定定理，可得結(jié)果.

【詳解】在選項(xiàng)A,B,D中，

均有可能。在平面a內(nèi)，錯(cuò)誤；

在C中，兩平面平行，則其中一個(gè)平面內(nèi)的任意一條直線

都平行于另一個(gè)平面，故C正確

故選：C

【點(diǎn)睛】本題考查線面平行的判定，屬基礎(chǔ)題.

例3.（2020?福建三明市?高二期中）如圖，在正方體4?（笫B'CD'中，E,一分別為平

面/切力和平面4B'CD'的中心，則正方體的六個(gè)面中與哥平行的平面有（）

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【答案】D

【詳解】分析：由直線與平面平行的判定定理即可.

詳解：山直線與平面平行的判定定理知."與平面47',平面8C',平面切'，平面4/均平

行.故與所平行的平面有4個(gè).

點(diǎn)睛：考查直線與平面平行的判定，對(duì)定理的熟悉是解題關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.

例4.（2019?江西贛州市?南康中學(xué)高二月考）已知四棱錐尸4比優(yōu)勺底面為平行四邊形，E,

F,所別為雙，PD,勿的中點(diǎn)，則6片平面切矽的位置關(guān)系為.

【答案】平行

【分析】由￡,F是PA,如的中點(diǎn)，根據(jù)三角形中位線定理可得所〃A。，根據(jù)ABCD為平行四

邊形，可得仞〃3C,由平行公理可得瓦'〃8C,利用線面平行的判定定理可知BC與平面價(jià)'G

的位置關(guān)系為平行.

【詳解】因?yàn)榉碏是PA,領(lǐng)中點(diǎn)，所以所〃A￡>,又因?yàn)?及為為平行四邊形，所以AO〃BC,

因此瓦1〃8C,乂因?yàn)镋Fu平面EFG,平面EFG,所以BC〃平面EFG.

【點(diǎn)睛】本題考查了線面平行的判定定理，考查了三角形中位線定理、平行四邊形的性質(zhì)、

平行公理.

例5.（2020?四川省仁壽第一中學(xué)校北校區(qū)高二期中）正方體A3CO—48?。中，E為

的中點(diǎn)，則8R與過A,C,E三點(diǎn)的平面的位置關(guān)系是—

【答案】平行

【分析】連接30交AC于點(diǎn)。，根據(jù)線面平行的判定定理，即可得出結(jié)果.

【詳解】

連接交AC于點(diǎn)。，

在正方體中容易得到點(diǎn)。為8D的中點(diǎn).

又因?yàn)镋為。2的中點(diǎn)，所以0E〃BR.

又因?yàn)镺Eu平面ACE,8。平面ACE,

所以BR〃平面ACE.

故答案為：平行.

【點(diǎn)睛】本題主要考查判定線面位置關(guān)系，熟記線面平行的判定定理即可，屬于基礎(chǔ)題型.

例6.（廣東佛山市?高二月考）下列四個(gè)正方體圖形中，A、B為正方體的兩個(gè)頂點(diǎn)，M、

N、P分別為其所在棱的中點(diǎn)，能得出AB〃平面MNP的圖形序號(hào)是.

【答案】①④

試題分析：如圖1，。是所在棱中點(diǎn)，AEr>OM=Q,則。是AE中點(diǎn)，AB//PQ,因此有

AB//平面MNPO,如圖2,。是底面中心，可知48//ON,而Nw平面MNP,

O任平面MNP,因此AB與平面MNP不平行，如圖3,平面尸AW就是平面尸N8E,顯然AB

與平面MNP不平行，如圖4,AB//EF//PN,則有AB//平面MNPO,故填①④.

考點(diǎn)：直線與平面平行的判斷.

【名師點(diǎn)睛】直線與平面平行的判定定理：平面外一條直線與這個(gè)平面內(nèi)的一條直線平行,

則該直線與此平面平行（線線平行二線面平行），性質(zhì)定理：一條直線與一個(gè)平面平行，則

過這條直線的任一平面與此平面的交線與該直線平行（簡(jiǎn)記為“線面平行今線線平行”）.直

線與平面平行的判定中易忽視“線在面內(nèi)”這一關(guān)鍵條件.

考點(diǎn)二：證明線面平行

例1.（2020?進(jìn)賢縣第二中學(xué)）已知正方體A3CO-44GA,

（1）證明：0A〃平面QB。；

（2）求異面直線與5。所成的角.

TT

【答案】（1）證明見解析；（2）

3

【分析】（1）證明D\A//C\B,再根據(jù)線面平行的判定定理即可證明結(jié)論;

（2）NGB。即為異面直線烏4與BD所成的角，求出即可.

【詳解】（1）證：在正方體A8CO—44G2中，

AB//C]Dl,且AB=CQ,

...四邊形ABGR為平行四邊形，

D\A/IC\B,

又RAZ平面G8O,。/匚平面。啰。；

AA〃平面G8。；

（2）解：?；XAgB,

NQBD即為異面直線AA與3。所成的角，

設(shè)正方體A8CO—44G2的邊長(zhǎng)為。，

則易得JB=BD=CQ=Ei,

AC,BD為等邊三角形，

71

：.4C、BD=—,

TT

故異面直線。9與5。所成的角為g.

【點(diǎn)睛】本題主要考查線面平行的判定與異面直線所成的角，屬于基礎(chǔ)題.

考點(diǎn)三：判斷線面垂直

例1.（2020?浙江高二期末）若直線A。,平面a,點(diǎn)°、P和直線/在平面a內(nèi)，則命題

“AP_U,則°PL”的真假性及否命題為（）

A.真命題，若APU,則。P與/不垂直

B.假命題，若則OP與/不垂直

C.真命題，若AP與/不垂直，則OP與/不垂直

D.假命題，若AP與/不垂直，則。P與/不垂直

【答案】C

【分析】根據(jù)AP_L/，40，/可證明/，面4。，進(jìn)而可得OP，/,可說明真命題；另外

利用否命題的書寫規(guī)則，將條件和結(jié)論均否定來選擇答案.

【詳解】解：若直線AO_L平面。，點(diǎn)。、尸和直線/在平面a內(nèi)，則命題“AP，/,則OP_L/”

為真命題，因?yàn)楫?dāng)直線AO_L平面a,又直線/u平面a,則AO，/,又APJJ,且

AOC\AP=A,所以/_1_面4?！?，所以O(shè)P，/,故為真命題，

其否命題為：若AP與/不垂直，則。PH/不垂直.

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查線面垂直的判定及性質(zhì)，考查否命題的概念，是基礎(chǔ)題.

例2.（2021?安徽馬鞍山市?馬鞍山二中高二開學(xué)考試（理））在長(zhǎng)方體ABC。—4MGR

中，必，A為線段AB上的兩個(gè)不同的點(diǎn)，P,。為線段CG上的兩個(gè)不同的點(diǎn)，則下列結(jié)論正

確的是（）

A.直線,"與可能平行B.直線他）與人河能相交

C.直線揚(yáng)可能垂直于平面ADRAD.直線小阿能平行于平面A。。A

【答案】I）

【分析】根據(jù)直線AB與直線C￡是異面直線，判斷MR與監(jiān)卜一的位置關(guān)系；用反證法判斷C錯(cuò)

選項(xiàng)；由/V在點(diǎn)8處判斷D選項(xiàng).

【詳解】如圖所示：

因?yàn)橹本€4B與直線CG是異面直線，

所以MP,N,加U點(diǎn)不共面，

所以游與/V。上不可能平行或相交，故AB錯(cuò)誤；

假設(shè)直線M唾直于平面ADRA，因?yàn)镸Pu平面4BP,則平面ABP,平面AOAA，而平

面4B/JL平面AOR4,矛盾，故C錯(cuò)誤；

當(dāng)點(diǎn)八在點(diǎn)現(xiàn)時(shí)，因?yàn)槠矫鍮CC/J/平面AO〃A，而NQu平面平面BCG4，所以總有

直線M用行于平面AORA，故D正確；

故選：D

例3.（2021?江西南昌市?南昌十中高二月考（文））設(shè)a,6是不同的平面，機(jī)，”兩

條直線，下列選項(xiàng)中正確的是（）.

A.mua,nu0,則加、〃是異面直線

B.mJla,nila,則mlIn

C.mVn,mVa,則“〃c

D.mlln,mA.a,a〃/?,則〃_L￡

【答案】D

【分析】根據(jù)空間中的線面關(guān)系逐一判斷即可.

【詳解】若用ua,nu/3,則機(jī)、〃可以平行、相交、異面，故A錯(cuò)誤

若m〃a,nila,則〃八〃可以平行、相交、異面，故B錯(cuò)誤

若m_L〃，則〃〃a或〃ua,故C錯(cuò)誤

若mlln,mA-a-all0,則〃_L￡,故D正確

故選：D

例4.（2020?懷仁市第一中學(xué)校云東校區(qū)高二月考（理））已知直線/《平面a,直線mu

平面a,下面四個(gè)結(jié)論：①若/_La,則/_!_，“；②若〃/a,則〃//〃；③若/_!_〃?，貝!!/_La；

④若〃/機(jī)，則〃/a.其中正確的結(jié)論是（）

A.①②④B.③④C.②③D.①④

【答案】D

【分析】根據(jù)空間中的線面位置關(guān)系逐一判斷即可.

【詳解】直線/仁平面。，直線機(jī)u平面a,知：

在①中，若/_La,則由線面垂直的性質(zhì)得/_Lm,故①正確；

在②中，若〃/a,貝廿與評(píng)行或異面，故②錯(cuò)誤；

在③中，若/_L根，則/與a不一定垂直，故③錯(cuò)誤；

在④中，若IHm,則由線面平行的判定定理得〃/a,故④正確.

故選：D

例5.（2020?北京市平谷區(qū)第五中學(xué)高二期中）在長(zhǎng)方體ABC?！狝4GR中，M、N分

別是4田和AC的中點(diǎn)，則（）

A.MN//平面BBCCB.腸V//平面CCQQ

C.MNL平面ABC。D.MN是異面直線A/和AC的公垂線

【答案】A

【分析】根據(jù)線面平行垂直關(guān)系逐一判斷.

【詳解】如圖，M、N分別是4出和AC的中點(diǎn)，因?yàn)殚L(zhǎng)方體ABCO-AgGR,

所以M、N也分別是AB,和BD的中點(diǎn)；

MNHB.C,所以A正確;

耳。與平面CG。。相交，所以MN與平面CCA。相交，所以B錯(cuò)；

8c與平面ABCD所成角為45。，所以MN與平面ABCD所成角為45°,所以C錯(cuò)；

AB//RC,MN不垂直于平面ACQ,則MN不是異面直線48和AC的公垂線，

所以D錯(cuò).

故選A

考點(diǎn)四：證明線面垂直

例1.（2019?浙江高二學(xué)業(yè)考試）已知兩條直線機(jī)，〃，兩個(gè)平面a,4，給出下面四個(gè)命題:

①a///7,機(jī)//a,L/?=>〃？_La；

②a_L￡,/ua,inc/?=>/±m(xù)

③a///?,m//〃，機(jī)_La=〃_L4；

④aJ_/?,/_L///?n/_L〃2.

其中正確命題的序號(hào)是（）

A.①③B.②④C.①④D.②③

【答案】A

【分析】對(duì)于①，根據(jù)線面平行、線面垂直的性質(zhì)，可得①正確：

對(duì)于②，由條件可得/與評(píng)行、相交或異面，即②不正確；

對(duì)于③，由空間線面關(guān)系可得③正確；

對(duì)于④，由條件可得/與m平行、相交或異面，即④不正確，得解.

【詳解】對(duì)于①，過加做平面/與a交于a,

因?yàn)椤▃〃a,所以m//a,乂。//夕,〃_1_夕，

所以“_La,aua,nla,所以〃故①正確；

對(duì)于②，aip,lua,mu0,則/與評(píng)■行、相交或異面，故②不正確；

對(duì)于③，若加//〃,〃?_La,則〃_La,又a/〃？，則〃J_￡,故③正確；

對(duì)于④，若a1/3,1La,ml/，貝以與評(píng)行、相交或異面，故④不正確,

綜上，正確命題的序號(hào)為①③，

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查了空間直線與平面的位置關(guān)系.重點(diǎn)考查了空間想象能力，屬基礎(chǔ)題.

例2.（2019?河北高二學(xué)業(yè)考試）在正方體中，A"與平面所成

角是（）

A.30°B.45°C.60°D.90°

【答案】A

【分析】通過證明AO_L平面BBRD可得NAD0是直線AD,與平面54Ao所成的角，在

直角三角形中計(jì)算可得結(jié)果.

【詳解】

如圖：連AC,3。交于0,連OQ,

因?yàn)锽g,平面48CD，所以8旦，A。，

又AOL8O,BDcBB、=B,

所以AO,平面BBQQ,

則ZADp是直線ADi與平面BBQQ所成的角，

設(shè)AB=a,則AD|=V^a,AO=—a-

'2

0

---n

所以sinZAD.O=至=

AD,72a2

所以NAO。=30°.

故選：A

【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：用定義求線面角的思路如下：

一、利用直線與平面垂直找到線面角；

二、證明線面角；

三、計(jì)算線面角.

例3.（2020?江西九江市?高二期中（文））在空間中，下列命題正確的是（）

①平行于同一條直線的兩條直線平行；

②直線直線a,直線/，直線6,a,6之平面a,所以/，平面a；

③垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行.

A.①③B.①②C.①D.①②③

【答案】A

【分析】根據(jù)平行公理，線面垂直的判定定理和線面垂直的性質(zhì)定理判斷.

【詳解】①該命題就是平行公理的推論，即基本性質(zhì)，因此該命題是正確的；

②少了直線。力相交的條件，故②是錯(cuò)誤的；

③該命題是線面垂直的性質(zhì)定理，因此是正確的.綜上，①③正確，

故選：A.

例4.（2020?吉林高二學(xué)業(yè)考試）如圖，在正方體ABCO-A4GR中，E、F分別為

、CG的中點(diǎn).

（1）求證：AC1BDt.

（2）求證：AE〃平面B正。.

【分析】（1）連結(jié)50,證寓AC，A。，AC±BD,利用線面垂直的判定定理可得AC_L

平面8。，，進(jìn)而可得AC_LB，.

（2）連結(jié)EF,證;IJAE//8F,再利用線面平行的判定定理即可證明.

【詳解】證明：（1）連結(jié)50，由正方體ABC?！?4GA得，

DtD1平面ABCD.又ACu平面ABCD,；.AC1D.D

又四邊形ABCD是正方形，AC_L8D,

又Blu平面BDD-：.AC1BD,.

(2)連結(jié)E/L由E、F分別為A8CQ—A4G。、

ABC?！?5GA的中點(diǎn)得，EFUABREF=AB

；.四邊形A3EE是平行四邊形，；.AE//8尸

又AE.平面8尸匚平面8/;'。，，4七//平面8尸。.

例5.(2020?重慶市朝陽中學(xué)高二期中)正方體4吠4耳G4中.求證:

(1)4G〃平面力位;

(2)初JL平面四C

【分析】(1)根據(jù)線面平行的判定定理，只要證出4G"AC即可；

(2)根據(jù)題意可證得BQ±AC,BDt14C,由線面垂直的判定定理即得證.

【詳解】

(1)如圖所示:

連接AC，由正方體的結(jié)構(gòu)特征可知，AA〃CG，且A4i=CG，所以四邊形A/CG為平

行四邊形，即有AG//AC,而AG。平面4C%人。匚平面4^,故A￡〃平面AC4.

（2）因?yàn)?。_L平面ABC。，ACu平面488,所以RCAC,由四邊形ABC。為正

方形可知，AC1.BD，而BDcDQ=D,所以AC,平面5OR,又BRu平面

AC1BD,.同理可證，B.CA.BD,,而ACcqC=C,故8。，平面A^C.

【點(diǎn)睛】本題主要考查線面平行的判定定理，線面垂直的判定定理的應(yīng)用，以及三垂線定理

的應(yīng)用，意在考查學(xué)生的直觀想象能力和邏輯推理能力，屬于基礎(chǔ)題.

考點(diǎn)五：求距離

例1.（2020?貴溪市實(shí)驗(yàn)中學(xué)高二月考（理））從平面a外一點(diǎn)P引直線與a相交，使P點(diǎn)

與交點(diǎn)的距離等于1,這樣的直線（）

A.僅可作2條B.可作無數(shù)條

C.僅可作1條D.可作1條或無數(shù)條或不存在

【答案】D

【分析】將題目轉(zhuǎn)化為點(diǎn)尸與面a的距離問題，分距離大于1,距離等于1,距離小于1討論，

可得答案.

【詳解】當(dāng)點(diǎn)尸與面a的距離大于1時(shí)，不存在這樣的直線，使尸點(diǎn)與交點(diǎn)的距離等于1；

當(dāng)點(diǎn)尸與面a的距離等于1時(shí)，有且僅有一條這樣的直線，使尸點(diǎn)與交點(diǎn)的距離等于1；

當(dāng)點(diǎn)P與面a的距離小于1時(shí)，有無數(shù)條這樣的直線，使P點(diǎn)與交點(diǎn)的距離等于1；

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查了點(diǎn)到平面的距離、直線與平面相交時(shí)點(diǎn)與交點(diǎn)的距離情況，考查了分類

討論和推理能力，考查了空間想象能力，屬于中檔題.

例2.（2020?重慶市第三十七中學(xué)校高二期中）在正方體中，￡是的

中點(diǎn)，若AB=6,則點(diǎn)/IJ平面力◎的距離等于（）

「3m

A.>/5B.V6L-?-----D.3

2

【答案】B

【分析】由已知求得三角形ACE的面積，再由等積法求點(diǎn)B到平面ACE的距離.

【詳解】如圖，在正方體ABCD-中，A8=6,E是8所的中點(diǎn)，

則8￡=3，AE=CE=后+32=3/，AC=6^-

S.=；x6后&3府-（3夜）2=976.

設(shè)點(diǎn)B到平面ACE的距離為h,

由％-ABC=%_ACE，得;xgx6x6x3=gx9"x〃，

解得〃=布.

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題主要考查空間中點(diǎn)到面的距離，訓(xùn)練了利用等積法求多面體的體積，意在考查

學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平.

例3.（2021?江蘇揚(yáng)州市?高二期末）已知正方體A8CD-A4GR的棱長(zhǎng)為2,則點(diǎn)力到平

面4片。。的距離為（）

A.羋B.V2C.2D.2&

【答案】B

【分析】由垂直關(guān)系可知陰，平面A4CD,根據(jù)邊長(zhǎng)關(guān)系直接求點(diǎn)到平面的距離.

【詳解】連結(jié)AR,與4。交于點(diǎn)M，AtDLAD},且4g_L平面

/.AiB1±ADX,且4。n44=A，

A。J,平面4ACO,

???點(diǎn)A到平面\B,CD的距離為卜;MR|=V2.

故選：B

例4.（2020?全國高二課時(shí)練習(xí)）已知般△￡?石的直角頂點(diǎn)￡在平面。內(nèi)，斜邊人6〃。，且6G

=6cm,EF,砥與平面。分別成30°和45°角，則/到平面。的距離是（）

A.5/5cmB.瓜cm

C.25/3cmD.2遙cm

【答案】B

【分析】過凡冽別作用，。，GBLa,A,6分別為垂足，連接屬EB,設(shè)&冽平面。的距

離為"，分別在Rt△川環(huán)口RI△頌中把邊長(zhǎng)用猿示，建立方程，求出d.

【詳解】解析：如圖所示，

過其的別作為J_“，GBLa,A,粉別為垂足，連接力￡EB,在Rt△的鐘，F(xiàn)E=2FA；在

Rt△仍網(wǎng)」，EG=五BG.設(shè)展到平面a的距離為，則4=科=而在Rl△做沖，歐+%=36,

即4（/+2（/=36,才=6,所以d=?cm.

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：

距離的計(jì)算方法有兩類：

（1）幾何法：利用幾何圖形求值；

（2）向量法：把距離用向量表示出來，轉(zhuǎn)化為代數(shù)計(jì)算.

例5（2020?湖北省漢川市第二中學(xué)高二月考）如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體A3CD-45c。中,

E為8C的中點(diǎn)，點(diǎn)尸為線段中點(diǎn)，點(diǎn)P到平面OCC2的距離為_____.

【分析】可得點(diǎn)P到平面DCCQ的距離為E到平面OCCQ的距離的一半.

【詳解】???￡為3C的中點(diǎn)，到平面DCC|A的距離為1,

???點(diǎn)P為線段中點(diǎn)，，點(diǎn)P到平面DCCR的距離為1.

故答案為：!.

2

例6.（2020?河北保定市?高二期末）已知正方體ABCO-450。的棱長(zhǎng)為2,則點(diǎn)B到平

面4旦8的距離為_____.

【答案】叵

【分析】連接3G交旦C于M,通過線面垂直的判定，得到平面4片。＞,根據(jù)正方

體的棱長(zhǎng)，得到點(diǎn)B到平面A,B,CD的距離.

【詳解】連接3G交用C于M,

因?yàn)檎襟wA3CD-4用￡與，所以面B￡CB為正方形，

所以BCJ.8G，

在正方體ABCD-^QD,中，2.平面BgCB,

而BQu平面用GC8，

所以44L8G

B|C，44U平面A/C。，

所以3GJ?平面ABC。，

所以為點(diǎn)8到平面ABCD的距離，

又因?yàn)檎襟wABCD-A/C。的棱長(zhǎng)為2,

所以8到平面ABC。的距離為V2.

故答案為：72.

【點(diǎn)睛】本題考查線面垂直的判定，求點(diǎn)到平面的距離，屬于簡(jiǎn)單題.

例7.（2020?河北省尚義縣第一中學(xué)高二期中）如圖所示，在長(zhǎng)方體A8CD-A1中,

AB=BC=2,M=4,尸為線段4。上一點(diǎn).

（1）求證：ACLBP；

（2）當(dāng)P為線段用，的中點(diǎn)時(shí)，求點(diǎn)A到平面P8C的距離.

【答案】（1）證明見解析；（2）M2.

17

【分析】（1）利用線面垂直推導(dǎo)出線線垂直即可

（2）利用等體積法％-PBC=%-A8C，進(jìn)而求解即可

【詳解】（1）證明：連接60,

因?yàn)?3CO-是長(zhǎng)方體，且AB=3C=2,所以四邊形ABC。是正方形，所以

AC1BD.因?yàn)樵陂L(zhǎng)方體ABC。-A4GA中，平面ABC。，ACu平面ABC。，

所以ACLB5,因?yàn)閍）u平面S4R。，BB]u平面，且B,所以AC_L

平面BBiRD,因?yàn)锽Pu平面84。。，所以AC_L8P.

（2）點(diǎn)P到平面ABC的距離A4?=4,AA5c的面積SAMC=[.A8/C=2,

11Q

所以^p-ABC~S4ABC?AAj=-x2x4=-,

在RtZsBBf中，BB[=4,BF=板,所以BP=3拒，

同理CP=30.又BC=2,所以的面積亞『一F=J萬.

1Q

設(shè)三棱錐A—P3C的高為力，則因?yàn)樨啊癇C=%-A8C，所以3s“Be.力=§，

所以姮力=§,解得〃=鼠咬，即三棱錐A—pg。的高為巴叵.

331717

所以點(diǎn)A到平面A—P8C的距離為殳叵.

17

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：解題的關(guān)鍵在于利用等體積法匕-PBC=/.ABC，進(jìn)而得出

力.ABC=：5小叱.朋=yA-PBc=^PBC-h,進(jìn)而求出三棱錐A—PBC的高〃

例8.（上海市控江中學(xué)高二期中）已知長(zhǎng)方體ABC?！狝4GR.

（1）求證：442平面8片烏。

（2）若AB=4,AZ）=3,求4A和平面B8QQ的距離.

12

【答案】（D證明見解析：（2）y

【分析】（1）在長(zhǎng)方體ABC?！?，44〃84，可證44尸平面842。.

（2）由RAP平面542。，直線AA上任意一點(diǎn)到平面84口。的距離都相等，即可以求點(diǎn)

A到平面BBRD的距離,從而可得答案.

【詳解】

（1）在長(zhǎng)方體ABC?！?，44,HBB]

又8耳1平面8BQQ

所以AAP平面BBQQ

（2）由（1）4Ap平面54。。，

則直線AA上一任意一點(diǎn)到平面BBRD的距離都相等，

所以只需求直線AA上任意一點(diǎn)到平面BBRD的距離，

在長(zhǎng)方體A8CO—44G。中，BB]X平面ABCD

且BB]c平面BBQQ,則平面BBQQ±平面ABCD

過點(diǎn)A作47，班＞交BQ于“，

則平面8BQQ,

即AH為直線AA和平面BBRD間的距離

在AABD中，AB=4,A￡>=3,則80=5.

-4rrABxAD4x312

由等面積法得：AH=--------

DB

所以4A和平面BBQQ的距離y.

【點(diǎn)睛】本題考查線面平行的證明和線面距離，將線面距離轉(zhuǎn)化為點(diǎn)面距離，屬于基礎(chǔ)題.

考點(diǎn)六：直線和平面所成角

例1.（2020?全國高二課時(shí)練習(xí)）平面的一條斜線和這個(gè)平面所成的角。的取值范圍是（）

A.（0°,180°）B.[0\900]C.（0\900）D.（0°,901

【答案】C

（分析】由斜線和平面所成的角的定義可得選項(xiàng).

【詳解】由斜線和平面所成的角的定義得：0<^<90，

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查線和平面所成的角的定義，屬于基礎(chǔ)題.

例2.（2019?合肥一六八中學(xué)高二期中（理））已知四棱錐底面四邊形中順次三個(gè)內(nèi)角的大

小之比為2:3:4,此棱錐的側(cè)棱與底面所成的角相等，則底面四邊形的最小角是.

A.幽B.60"C.幽D.無法確定的

1113

【答案】B

【詳解】解：因?yàn)槔忮F的側(cè)棱與底面所成的角相等，所以四棱錐底面四邊形內(nèi)接于一個(gè)圓，

因?yàn)樗睦忮F底面四邊形順次三個(gè)內(nèi)角的大小之比為2:3:4,設(shè)對(duì)應(yīng)角為

7T

2k,3k,4k:.2k+4k=兀：.2k=},因此此則底面四邊形的最小角是60、選B

例3.（2020?全國高二課時(shí)練習(xí)）若直線/與平面a所成的角為直線〃在平面a內(nèi)，且

與直線/異面，則直線/與直線。所成角的取值范圍是（)

c兀717171717t71

A.0,—B.C.D.

L3J62J63[32

【答案】D

【分析】根據(jù)線面角的定義可知/與直線a所成的角的最小值，根據(jù)異面直線所成角的定義知

最大角為直角.

【詳解】山題可知直線/與直線a所成的角的最小值為直線與平面所成的角，所以/與直線。所

成的角的最小值為又/,a為異面直線，則直線/與。所成角的最大值為彳.

7171

故直線/與直線a所成角的取值范圍是,

故選：D

【點(diǎn)睛】本題主要考查了線面角及異面直線所成的角，屬于容易題.

例4.（2019?浙江杭州市?杭州四中高二期中）已知斜線/與平面a所成的角為。，在平面a

內(nèi)任意作/的異面直線則/'與/成的角

A.有最小值。，最大值二JTB.有最大值三7T，無最小值

22

C.有最小值。，無最大值D.既無最小值，又無最大值

【答案】A

【分析】根據(jù)線面角的定義，可求/'與/成的角有最小值，根據(jù)異面直線所成角的范圍，可求

r與/成的角有最大值，即可.

【詳解】因?yàn)樾本€2與平面a所成的角為。是直線/與平面a內(nèi)任意一條直線所成角中的最小

值，則/'與/成的角有最小值仇

又因?yàn)楫惷嬷本€所成角的范圍為（0,2],所以/‘與/成的角有最大值

22

故選：A

【點(diǎn)睛】本題考查線面角的定義以及兩條異面直線所成角的范圍，屬于較易題.

例5.（2019?邢臺(tái)市第二中學(xué)高二月考）若一條直線于一個(gè)平面成72°角，則這條直線與這

個(gè)平面內(nèi)經(jīng)過斜足的直線所成角中最大角等于

A.72°B.90°C.108°D.180°

【答案】B

【詳解】當(dāng)這個(gè)平面內(nèi)經(jīng)過斜足的直線/與這條直線在這個(gè)平面內(nèi)射影垂直時(shí)，直線/與這條

TT

I'L線忖工,所成分為I'Uij,向兩11線所成仙旭:國.所以門：線/叮這條直線所成角最大值

為90°,所以選B.

例6.（2020?云南高二學(xué)業(yè)考試）如圖，在正方體438-4用￡2中，對(duì)角線A/與平面

ABC。所成角的正弦值為

rR

D-T

【答案】D

【分析】連接AC，可得乙4cA為A,與平面ABC。所成角，在MA4,AC中，即可求解.

【詳解】連接AC，則41c4為AC與平面ABC。所成角，

設(shè)正方體的邊長(zhǎng)為。，則=&

在RfAA,AC中，sinZAC4=-^=—

6a3

故選：D

【點(diǎn)睛】本題考查了線面角，解題的關(guān)鍵是作出線面角，屬于基礎(chǔ)題.

例7.（2019?廣西百色市?田東中學(xué)高二期中（理））正方體ABCO-4四中，。為側(cè)

面8CG4的中心，則A。與平面ABC。所成角的正弦值為（）

A.—B.-C.—D.—

3262

【答案】C

【分析】取BC中點(diǎn)E，則所求線面角為NCME,利用勾股定理求得OE,O4,作比可求得

結(jié)果.

【詳解】取中點(diǎn)E,連接OE,AE

。為側(cè)面BCC]耳的中心,OEJ_平面ABCD

：.A0與平面ABC。所成角即為NOAE

設(shè)正方體棱長(zhǎng)為2。，則AE=J4aN+力=豆々,OA=\j5a2+a2=\[6a

sinZOAE=—==—,即4。與平面ABC。所成角正弦值為逅

OARa66

故選：C

【點(diǎn)睛】

本題考查直線與平面所成角的求解，關(guān)鍵是能夠根據(jù)線面垂直關(guān)系確定所求角，屬于基礎(chǔ)題.

例8.（2020?山西省古縣第一中學(xué)高二期中）正方體45GA中直線與平面

A.30°B.45°C.60°D.90°

【答案】A

【分析】先由線面垂直的判斷和性質(zhì)得出幺。。就是直線A。與平面AB,C,O所成的角，再

由正方體中的線段間的長(zhǎng)度關(guān)系，可得選項(xiàng).

【詳解】設(shè)與AB1交于點(diǎn)0,連接功,則A。，A旦，又面，所以\°工AD，

乂AOnAq=A,所以40上面A4G。，

所以NAQ。就是直線與平面AB￡D所成的角，

設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2,則在R〃4。。中4。=&，AQ=立,所以NAOO=g,

故選：A.

例9.（2020?全國高二課時(shí)練習(xí)）若AB與平面a所成的角是30°,且Awa,則A3與a內(nèi)

過點(diǎn)A的所有直線所成角中的最大角為.

【答案】90

【分析】由線面角的定義和空間中的直線所成的角的定義可得答案.

【詳解】在平面a內(nèi)，過點(diǎn)A且與A5在平面a內(nèi)的射影垂直的直線與AB所成的角最大，

為90。.

故答案為：90'.

【點(diǎn)睛】本題考查空間中的線線角、線面角的定義，屬于基礎(chǔ)題.

例10.（2021?全國高二課時(shí)練習(xí)）設(shè)。是直線與平面所成的角，則角，的取值范圍是____.

7T

【答案】［0,

2

【分析】當(dāng)直線在平面內(nèi)或直線平行于平面時(shí)，。取最小值0,當(dāng)直線與平面垂直時(shí)，8取最

7T

大值不，山此能求出角。的取值范圍.

【詳解】解：。是直線與平面所成的角，

當(dāng)直線在平面內(nèi)或直線平行于平面時(shí)，。取最小值0,

當(dāng)直線與平面垂直時(shí)，。取最大值三，

2

TT

二角。的取值范圍是0,-.

71

故答案為：0,-.

【點(diǎn)睛】本題考查線面角的取值范圍的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等

基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.

例11.（2019?上海市金山中學(xué)高二月考）正方體A8CD-4瓦￡2中，直線與平面

所成的角的大小為________（結(jié)果用反三角函數(shù)值表示）

【答案】arctan

2

【分析】根據(jù)線面角的定義可知所求角為/。聲￡,根據(jù)長(zhǎng)度關(guān)系可求得tan從而

得到結(jié)果.

【詳解】

由正方體特點(diǎn)知：G21平面see4

二直線BDI與平面BCC,B,所成角為ZD.BC,

設(shè)正方體棱長(zhǎng)為“，則3G=夜〃;.tanNDiBCi=a=十

ZD,BC,=arctan*，即直線BR與平面BCC4所成角大小為arctan^

故答案為arctan—乙

2

【點(diǎn)睛】本題考查直線與平面所成角的求解，關(guān)鍵是能夠根據(jù)線面垂直關(guān)系確定線面角的位

置，屬于基礎(chǔ)題.

例12.（2020?福建三明市?高二期中）如圖，長(zhǎng)方體-中，AB=AD=\,

例=2,點(diǎn)2為。。的中點(diǎn).

（1）求證：直線BDt//平面PAC；

（2）求直線8。與平面ABC。所成角的正切值.

【答案】（1）證明見解析；（2）日

【分析】（1）設(shè)AC和5。交于點(diǎn)。，則。為3。的中點(diǎn)，連結(jié)P。，證明P0//8R,然

后證明直線8，//平面PAC.

（2）說明NRBO直線與平面ABC。所成的角，通過求解三角形推出結(jié)果即可.

【詳解】（1）證明：設(shè)AC和8。交于點(diǎn)。，則。為80的中點(diǎn)，

連結(jié)P0,乂因?yàn)槭?。。的中點(diǎn)，故P0HBD、

又因?yàn)镻Ou平面PAC,平面PAC

所以直線平面PAC

（2）在長(zhǎng)方體—中

?；DD、±平面ABCD

NQBD是直線BD,與平面A3CD所成的角

DD、=2,BD=ylAB2+AD2=y[2

,,,tanNRBD="^r~=

直線Bp與平面ABCD所成角的正切值為0

AB

【點(diǎn)睛】本題考查了立體幾何中的線面平行的判定和線面角的求解問題，意在考查學(xué)生的空

間想象能力和邏輯推理能力：解答本題關(guān)鍵在于能利用直線與直線、直線與平面、平面與平

面關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化，通過嚴(yán)密推理，同時(shí)對(duì)于立體幾何中角的計(jì)算問題，往往可以利用空間

向量法，通過求解平面的法向量，利用向量的夾角公式求解.

【易錯(cuò)題分析】

對(duì)直線與平面相交的概念理解不透徹致誤

已知：直線