摘要：抽象是數(shù)學(xué)的基本特征，數(shù)學(xué)抽象能力是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的主要表現(xiàn)之一，具有內(nèi)隱性、概括性、敏感性、發(fā)展性等特點(diǎn)。當(dāng)前數(shù)學(xué)抽象能力的培育存在感知對(duì)象不充分、探究過(guò)程不完整、數(shù)學(xué)思考不深入等問(wèn)題，需要提供豐富的感知材料、經(jīng)歷完整的探究歷程、啟迪深層的數(shù)學(xué)思考，引領(lǐng)學(xué)生不斷夯實(shí)抽象基礎(chǔ)、經(jīng)歷抽象過(guò)程、把握抽象本質(zhì)，促進(jìn)抽象能力的逐漸生長(zhǎng)。關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)抽象能力；數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)；小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)抽象是數(shù)學(xué)的基本特征，是用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界的基本方式，是三大數(shù)學(xué)基本思想之一。《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》把抽象能力放在數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)主要表現(xiàn)的首位，可見(jiàn)抽象能力的重要性。然而，在當(dāng)前的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，淺表化、機(jī)械化的學(xué)習(xí)還大量存在，抽象能力的培養(yǎng)未能真正落到實(shí)處，帶領(lǐng)學(xué)生走向深層化、意義化的學(xué)習(xí)，是數(shù)學(xué)抽象能力提升的必要之道。一、數(shù)學(xué)抽象能力的內(nèi)涵解讀（一）數(shù)學(xué)抽象抽象，是數(shù)學(xué)迭代發(fā)展過(guò)程中所依賴的最重要的基本思想。所謂數(shù)學(xué)抽象，國(guó)內(nèi)外許多專家學(xué)者都進(jìn)行了相應(yīng)的研究，如迪內(nèi)斯把數(shù)學(xué)抽象定義為：從不同的情境中抽象出共性的過(guò)程，并且這一共性可以作為檢驗(yàn)?zāi)骋灰蛩厥欠穹线@一屬性的標(biāo)準(zhǔn)。弗賴登塔爾強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)絕不是教師單方面的活動(dòng)，學(xué)習(xí)者會(huì)對(duì)接收到的抽象知識(shí)進(jìn)行再加工處理，把現(xiàn)實(shí)問(wèn)題抽象成數(shù)學(xué)問(wèn)題[1]。李昌官認(rèn)為：數(shù)學(xué)通過(guò)舍棄現(xiàn)實(shí)事物的非數(shù)學(xué)屬性，從中分離出事物數(shù)與形兩方面的屬性，進(jìn)而對(duì)這些屬性進(jìn)行最大限度的一般化、理想化處理，得到具有廣泛普適性和應(yīng)用性的數(shù)學(xué)概念[2]。可以看出，不同研究者的研究雖側(cè)重不同，但基本理念有相通之處。具體理解為，數(shù)學(xué)抽象是以具體事物為載體，通過(guò)觀察、分析，舍棄事物表象的、外部的東西，抽出事物本質(zhì)的、內(nèi)在的因素，從空間形式和數(shù)量關(guān)系來(lái)解釋客觀事物的一種數(shù)學(xué)研究方法。數(shù)學(xué)抽象是對(duì)數(shù)學(xué)事物基本特征的高度概括。（二）數(shù)學(xué)抽象能力《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》對(duì)數(shù)學(xué)抽象能力這樣表述：主要是指通過(guò)對(duì)現(xiàn)實(shí)世界中數(shù)量關(guān)系與空間形式的抽象，得到數(shù)學(xué)的研究對(duì)象，形成數(shù)學(xué)概念、性質(zhì)、法則和方法的能力[3]。筆者認(rèn)為，數(shù)學(xué)抽象能力具有以下特征。1.內(nèi)隱性認(rèn)知心理學(xué)認(rèn)為，在不知不覺(jué)中獲得某種知識(shí)，學(xué)習(xí)了某種規(guī)則，叫作內(nèi)隱學(xué)習(xí)。數(shù)學(xué)抽象能力是學(xué)習(xí)者個(gè)體內(nèi)在的一種能力，相對(duì)于顯性的數(shù)學(xué)知識(shí)而言，它是一種緘默性知識(shí)，具有內(nèi)隱性，不易表達(dá)，不易外顯，很難用語(yǔ)言文字或符號(hào)形式進(jìn)行直接傳遞。2.概括性抽象與概括是密不可分的，高度的抽象必然有高度的概括，概括性是數(shù)學(xué)抽象能力的顯著特征。學(xué)習(xí)者在面對(duì)復(fù)雜的現(xiàn)實(shí)情境時(shí)，需要從中提取關(guān)鍵的特征和規(guī)律，將其概括為更簡(jiǎn)單、更易于理解的形式。因此，概括伴隨數(shù)學(xué)抽象的過(guò)程，概括水平越高，抽象能力也越強(qiáng)。3.敏感性敏感性是體現(xiàn)抽象能力強(qiáng)弱的一個(gè)重要標(biāo)準(zhǔn)。如果說(shuō)一個(gè)人的知識(shí)技能水平，決定著他成就的最低線，那決定他發(fā)展上限的則是抽象能力。抽象能力強(qiáng)的人對(duì)抽象概念非常敏感，往往能從零散的、簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)信息中抽象出本質(zhì)的、結(jié)構(gòu)性的數(shù)學(xué)原理，體現(xiàn)出較好的思維敏捷性、發(fā)散性和創(chuàng)造性。4.發(fā)展性能力的提升是循序漸進(jìn)、螺旋上升的，數(shù)學(xué)抽象能力同樣具有發(fā)展性。如低年級(jí)學(xué)生，處在形象思維階段，對(duì)數(shù)學(xué)抽象只有朦朦朧朧的印象，自主抽象能力較弱，隨著年齡的增長(zhǎng)、學(xué)習(xí)的深入，對(duì)經(jīng)歷抽象的體驗(yàn)逐漸增多，積累的數(shù)學(xué)抽象經(jīng)驗(yàn)逐漸豐富，自主抽象的意識(shí)將慢慢形成，數(shù)學(xué)抽象能力也將逐漸生長(zhǎng)。二、數(shù)學(xué)抽象能力培育的問(wèn)題分析數(shù)學(xué)抽象能力對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)起著至關(guān)重要的作用，甚至影響一個(gè)人終身的發(fā)展。但實(shí)際的教學(xué)中，數(shù)學(xué)抽象能力卻未能得到高度的重視，許多課堂教學(xué)形式單一，教學(xué)過(guò)程單薄，數(shù)學(xué)思考淺層，深度學(xué)習(xí)未能真正形成，數(shù)學(xué)抽象能力的培養(yǎng)未能真正落地。具體體現(xiàn)在以下幾個(gè)方面。（一）感知對(duì)象不充分，缺乏數(shù)學(xué)抽象的認(rèn)知基礎(chǔ)數(shù)學(xué)知識(shí)本身是高度抽象的，是對(duì)一類研究對(duì)象本質(zhì)屬性高度概括的結(jié)果，研究對(duì)象是實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)抽象的載體，充分感知是實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)抽象的前提。然而，在實(shí)際的教學(xué)中，很多教師備課不充分，提供給學(xué)生感知的數(shù)學(xué)素材單一化，不具體、不全面，學(xué)生在實(shí)際的學(xué)習(xí)中，感性認(rèn)識(shí)不到位，無(wú)法正確進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象，甚至出現(xiàn)認(rèn)識(shí)的偏差。（二）探究過(guò)程不完整，缺乏數(shù)學(xué)抽象的過(guò)程經(jīng)歷數(shù)學(xué)抽象能力是一種高階能力，需要在反復(fù)的探索、體驗(yàn)和感悟中慢慢生長(zhǎng)。每一次概念的形成、結(jié)論或規(guī)律的獲得，都是學(xué)生經(jīng)歷一次數(shù)學(xué)抽象的過(guò)程。但是，當(dāng)前的課堂學(xué)習(xí)中，受功利性的驅(qū)使，教師寧愿減少甚至舍棄知識(shí)的形成過(guò)程，讓學(xué)生大量地、反復(fù)地做題，學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)抽象的過(guò)程不完整、體驗(yàn)不豐富，往往形式大于實(shí)質(zhì)，抽象能力培養(yǎng)淪為空談。（三）數(shù)學(xué)思考不深入，缺乏數(shù)學(xué)抽象的理性概括數(shù)學(xué)抽象的過(guò)程是對(duì)研究對(duì)象進(jìn)行理性分析，不斷剝離非本質(zhì)屬性，凸顯本質(zhì)屬性的過(guò)程，其中，高質(zhì)量的思考、理性化的表達(dá)必不可少。然而，很多的課堂數(shù)學(xué)思考不深入，缺少合理的數(shù)學(xué)問(wèn)題情境，缺少深層的問(wèn)題思考時(shí)機(jī)，數(shù)學(xué)抽象的結(jié)果并未由學(xué)生自我感悟而得，學(xué)生通常是被動(dòng)接受結(jié)論，數(shù)學(xué)抽象異化為結(jié)論告知。三、數(shù)學(xué)抽象能力培養(yǎng)的實(shí)踐策略數(shù)學(xué)抽象能力的培養(yǎng)不是一蹴而就的，需要滲透在教學(xué)的每一個(gè)環(huán)節(jié)，在深度的學(xué)習(xí)中體悟，日積月累，潛移默化，方可逐漸形成。（一）提供豐富的感知材料——夯實(shí)抽象基礎(chǔ)感知即意識(shí)對(duì)內(nèi)外界信息的覺(jué)察、感覺(jué)、注意、知覺(jué)的一系列過(guò)程。從數(shù)學(xué)抽象的本質(zhì)內(nèi)涵看，要實(shí)現(xiàn)有意義的數(shù)學(xué)抽象，必須先對(duì)學(xué)習(xí)對(duì)象進(jìn)行豐富的、全面的感知，才有可能剝離事物的非本質(zhì)屬性，抽取本質(zhì)屬性。如，在“角的認(rèn)識(shí)”教學(xué)中，可以設(shè)置如下幾個(gè)維度的感知層次，來(lái)豐富學(xué)生的感性認(rèn)識(shí)。首先，實(shí)物中感知。教師出示一個(gè)五角星和一把三角尺，問(wèn)學(xué)生：為什么叫五角星？為什么叫三角尺？引導(dǎo)學(xué)生說(shuō)出，這里面都藏著角。此時(shí)，學(xué)生對(duì)角的認(rèn)識(shí)是模糊的，是基于生活經(jīng)驗(yàn)而形成的。其次，創(chuàng)造中感知。教師課前提供多種材料，讓學(xué)生創(chuàng)造一個(gè)角。有的學(xué)生利用小棒擺出了角，有的學(xué)生利用吸管折出了角，有的學(xué)生利用工具畫(huà)出了角……此時(shí)，教師及時(shí)提問(wèn)：這里的幾個(gè)角有什么共同點(diǎn)？學(xué)生基本都能說(shuō)出有兩條直直的邊和一個(gè)尖。通過(guò)這一層次的感悟，學(xué)生舍棄了制作角的材料等非本質(zhì)屬性，初步指向角的本質(zhì)特征邊和角。最后，深層辨析中感知。教師在黑板上貼出了一個(gè)自制的活動(dòng)角，先不斷地變換角的開(kāi)口方向，連續(xù)追問(wèn)學(xué)生：這樣是角嗎？再變換角的開(kāi)口大小，追問(wèn)學(xué)生，這樣是角嗎？同時(shí)再不斷拉長(zhǎng)和縮短角的兩條邊，繼續(xù)追問(wèn)學(xué)生：這樣還是角嗎？這里的三次辨析，再次拓寬了角的認(rèn)識(shí)外延，進(jìn)一步剝離與角相關(guān)的位置、大小及邊的長(zhǎng)短等非本質(zhì)屬性，對(duì)角的認(rèn)識(shí)進(jìn)行了準(zhǔn)確的抽象。感知是抽象的基石，選取好感知材料是首要條件。選取感知材料時(shí)：其一，要考慮豐富性，要符合認(rèn)知發(fā)展的規(guī)律；其二，要考慮全面性，對(duì)可能干擾正確抽象的一些非本質(zhì)屬性的素材要盡可能提供；其三，還要考慮典型性，切勿多而濫，干擾學(xué)生認(rèn)知。感知材料越豐富、越全面、越典型，越有利于學(xué)生準(zhǔn)確抽象。（二）經(jīng)歷完整的探究歷程——經(jīng)歷抽象過(guò)程好的數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)從學(xué)習(xí)者的生活經(jīng)驗(yàn)和已有的知識(shí)背景出發(fā)，讓學(xué)生進(jìn)行充分的數(shù)學(xué)實(shí)踐和交流，經(jīng)歷數(shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)生、發(fā)展過(guò)程，從而理解數(shù)學(xué)本質(zhì)，抽象數(shù)學(xué)模型。一般來(lái)說(shuō)，數(shù)學(xué)抽象要經(jīng)歷四個(gè)階段：第一階段是感知與識(shí)別，對(duì)提供的數(shù)學(xué)對(duì)象深入感知；第二階段是分離和提取，剝離感知對(duì)象的非本質(zhì)屬性，提取所有的本質(zhì)屬性；第三階段是辨析與固化，在充分思辨的基礎(chǔ)上理解本質(zhì)屬性；第四階段是提煉和簡(jiǎn)化，把本質(zhì)屬性加以高度概括[4]。如，在“乘法分配律”的教學(xué)中，創(chuàng)設(shè)了五個(gè)層次的探究歷程。第一層次，在解決實(shí)際問(wèn)題中初步體會(huì)等式的特點(diǎn)。出示兩種不同情境的兩個(gè)實(shí)際問(wèn)題，讓學(xué)生用兩種方法解答，引出兩個(gè)等式，并引導(dǎo)學(xué)生對(duì)兩個(gè)等式讀一讀，初步找感覺(jué)。第二層次，繼續(xù)解決類似實(shí)際問(wèn)題再悟等式的特點(diǎn)。學(xué)生根據(jù)剛才經(jīng)驗(yàn)，解答并寫(xiě)出類似等式，教師讓學(xué)生將黑板上的三組等式再讀一讀，再次找感覺(jué)，此時(shí)，學(xué)生對(duì)這類等式的感覺(jué)已加深了。第三層次，寫(xiě)出幾組類似等式加深理解等式的特點(diǎn)。此時(shí)，學(xué)生基本能獨(dú)立寫(xiě)出等式，對(duì)等式的特點(diǎn)理解已從朦朧走向清晰。第四層次，在深入討論每個(gè)等式為什么相等中理解知識(shí)本質(zhì)。學(xué)生通過(guò)交流討論，用乘法的意義解釋每組等式相等的理由，揭示了乘法分配律的本質(zhì)。第五層次，在無(wú)窮列舉中找到一般模型。教師適時(shí)提問(wèn)：這樣的等式還有嗎？寫(xiě)得完嗎？能否找到一種方法把它表示出來(lái)。此時(shí)，學(xué)生用符號(hào)表示乘法分配律就水到渠成，數(shù)學(xué)抽象及時(shí)且真實(shí)。數(shù)學(xué)抽象的過(guò)程是一個(gè)慢過(guò)程，教師要留出足夠的時(shí)間，讓學(xué)生慢慢感受；要精心設(shè)計(jì)梯次，讓學(xué)生逐步感悟；要耐心等待學(xué)生，讓學(xué)生自我感悟。只有讓學(xué)生完整經(jīng)歷探究的過(guò)程，數(shù)學(xué)抽象才可能真實(shí)有效。（三）啟迪深層的數(shù)學(xué)思考——把握抽象本質(zhì)思考是一種整體的思維活動(dòng)，是一種指向明確、探究深入、富有挑戰(zhàn)性和創(chuàng)造性的深層智力活動(dòng)。帶領(lǐng)學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)抽象的過(guò)程中，教師要善于創(chuàng)設(shè)有效的問(wèn)題情境，引發(fā)學(xué)生高質(zhì)量的數(shù)學(xué)思考，使其對(duì)抽象的結(jié)果的本質(zhì)、原理理解清晰。如教學(xué)“三角形分類”時(shí)，為了讓學(xué)生真正理解“三角形按角分為什么只有三類”，教師可以設(shè)置“認(rèn)知平衡—認(rèn)知沖突—認(rèn)知平衡”這樣一個(gè)思維歷程，讓學(xué)生在積極的思考過(guò)程中把握抽象本質(zhì)。活動(dòng)伊始，教師創(chuàng)建在釘子板上圍三角形的任務(wù)，讓學(xué)生圍出三個(gè)角是“銳銳銳、直銳銳、鈍銳銳”三種組合后，及時(shí)發(fā)問(wèn)：世界上的三角形有多少個(gè)？難道就只有這三種？估計(jì)應(yīng)該有第四種，或者第五種吧？這樣的發(fā)問(wèn)把學(xué)生的思維一下子調(diào)動(dòng)起來(lái)，學(xué)生積極主動(dòng)地去嘗試第四種圍法……當(dāng)學(xué)生怎么嘗試也圍不出，心里極其困惑時(shí)，教師再適時(shí)設(shè)問(wèn)：你們圍不出第四種，老師也圍不出第四種，難道真沒(méi)第四種？現(xiàn)在我們來(lái)思考，“一個(gè)三角形中有沒(méi)有兩個(gè)直角？為什么？”。此時(shí)的設(shè)問(wèn)把學(xué)生興奮的內(nèi)心引導(dǎo)到冷靜的思考，學(xué)生很快找到了原理，因?yàn)槿切蔚膬?nèi)角和是180°，所以一個(gè)三角形中不可能有兩個(gè)直角，更不可能有兩個(gè)鈍角。這里的連續(xù)設(shè)問(wèn)，讓學(xué)生經(jīng)歷了一次較為深刻的認(rèn)知沖突過(guò)程，并深刻理解了三角形按角分為什么