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文檔簡介

2.3

正交變換與對稱變換1、正交變換定義2.6如果歐氏空間V的線性變換

T保持內(nèi)積不變，即對，都有，則稱

T為正交變換。例2.8平面旋轉(zhuǎn)變換（平面圍繞坐標原點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)角）就是歐氏空間的一個正交變換。這是因為，對中任意向量和，有所以

T是正交變換。任意例2.9

設(shè)

A是

n階正交矩陣，的線性變換是正交變換。這是因為，對任意，有定理2.5

設(shè)

T是

n維歐氏空間V的線性變換，則下列命題等價：（1）T是正交變換；（2）T保持元素的長度不變，即對任意，有（3）T把V的標準正交基仍變?yōu)闃藴收换?；?）T在V的任一標準正交基下的矩陣為正交矩陣。證

（1）（2），有（2）（1），有將上式兩邊展開，得由于代入上式得即

T是正交變換。T是正交變換，對任意T保持內(nèi)積不變，則對任意（1）（3）T是正交變換，設(shè)標準正交基，則有于是是標準正交基。（3）（1）如果和都是V的標準正交基，任取，有于是即

T是正交變換。（3）（4）及（4）（3）由定理2.4即得。是V的例2.10

設(shè)T是歐氏空間的線性變換，對任意恒等變換是一個正交變換。事實上，即由定理2.5知

T是一個正交變換。2、對稱變換定義2.7設(shè)

T是歐氏空間V的線性變換，如果對任意都有，則稱

T為對稱變換。定理2.6n維歐氏空間V的線性變換

T是對稱變換充分必要證

設(shè)是V的標準正交基，且其中，則有于是條件是它在

V的任一標準正交基下的矩陣是實對稱矩陣。如果

T是對稱變換，則有于是對任意，有從而

A是實對稱矩陣。反之，若

A是實對稱矩陣，則有且即

T為對稱變換。推論

設(shè)

T

是

n

維歐氏空間V的對稱變換，則存在V的證

取V的標準正交基，且設(shè)其中

A是實對稱矩陣。由于存在正交矩陣

Q，使得其中是對角矩陣，令則由定理2.4知，是V的標準正交基，且

T在該基下的矩陣為標準正交基，使

T在該基下的矩陣為對角矩陣。

例2.10

設(shè)是歐氏空間V中一個單位元素，定義證明：（1）T是線性變換；（2）T是正交變換；（3）T是對稱變換。證

（1）對任意，有故

T是線性變換。對任意（2）對任意，有故

T是正交變換。（3）對任意，有

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