目錄

基本不等式......................................................................2

考點(diǎn)1:常規(guī)基本不等式問(wèn)題.........................................2

考點(diǎn)2:基本不等式易錯(cuò)點(diǎn)..........................................3

考點(diǎn)3:基本不等式常見(jiàn)變形.........................................5

課后作業(yè)：....................................................................9

專題04基本不等式

基本不等式

1.均值定理：如果。，beR（R+表示正實(shí)數(shù)），那么巴助力而，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，有

2

等號(hào)成立.

此結(jié)論又稱均值不等式或基本不等式.

2.均值不等式推廣：瘋占名，其中而W需要前提條件“，beR+.

2Y22

管叫做。，b的算術(shù)平均值，而叫做。，b的幾何平均值，叫做平方平均值.

3.可以認(rèn)為基本元素為斷，a+b,a2+b\其中任意一個(gè)為定值，都可以求其它兩個(gè)的最

值.

考點(diǎn)1：常規(guī)基本不等式問(wèn)題

例1.（1）已知%>0,則8%+'■的最小值為（）

2x

A.2B.3C.4D.5

【解答】解：；X>0,/.8x+—..zjsx.—=4

2xv2%

當(dāng)且僅當(dāng)8x=2即x=工時(shí)取等號(hào)，

2x4

故選：C.

3

（2）已知0〈九v《，則x（3—5元）取最大值時(shí)工的值為（)

399

A.—B.—C.—D.

101052

3

【解答】解：0<x<|,

則式3—5x）=」x5M3—5工）?-x（^+3-5-）2=—,

55220

3

當(dāng)且僅當(dāng)5x=3-5x即x=士時(shí)取最大值

10

故選：A.

9

(3)已知函數(shù)y=x—4d-------(x>-1),當(dāng)無(wú)二〃時(shí)，y取得最小值貝！］2。+36等于(

x+1

)

A.9B.7C.5D.3

【解答］解：x>T,，x+l>0,

99

y=x-4H-------=x+1H-----------5

犬+1x+1

..2Alx+1?--------5

Vx+1

=1,

9

當(dāng)且僅當(dāng)x+1=上，即x=2時(shí)取等號(hào)，

x+1

二y取得最小值b=l,此時(shí)x=a=2,

二.2a+3b=7.

故選：B.

考點(diǎn)2:基本不等式易錯(cuò)點(diǎn)

貝“二一+國(guó)的最小值是(

例2.(1)已知x+y=l,y>0,)

2|x|y+i

35

ABC.D.

-I-(44

【解答】解：由％+y=l,y>0得y=l—x〉0,

解得x<1且x。0,

①當(dāng)0<x<l時(shí)，_1_+里」+上,

2\x\y+12xy+\

=-1-1---x=-x-+-2---x-1--x-,

2x2-x4x2-x

12-xx115

=一+(----+----x--+2x—=—,

44x2-x424

當(dāng)且僅當(dāng)人王-即x=2時(shí)取等號(hào)；

4x2—x3

1|x|1X

②當(dāng)x<0時(shí),r

2\x\y+12xy+1

1x2-x+x-x12-x-x、1,3

=-(z——+------x)=-----------+--------=——+(------+-------)...——+1=-

2x2—x-4x2—x4—4x2—x44

當(dāng)且僅當(dāng)七三=二上即x=-2時(shí)取等號(hào).

—4x2,—x

綜上可得，最小值士3

4

故選：C.

(2)已知。，be(0,+8),則下列不等式中不成立的是()

A.a+b—7^^..2^/5B.(?+/?)(—I—)..4

y/abab

C.￡^￡..2疝D(zhuǎn).^->4ab

yjaba+b

【解答】解：；〃，be(0,+oo)；

:,Aa+b.?2&,當(dāng)a=〃時(shí)取“=”；

2y[ab+J—..2^/2,當(dāng)ab=’時(shí)取"=

4ab2

a+b+}—^,y[ab+2^/5,當(dāng)a=h=時(shí)取"=

yJabyjab2

?..該不等式成立；

B.a+b..24ab,當(dāng)a=5時(shí)取“=”；

1+1..2；當(dāng)時(shí)取“=”；

aby/ab

(“+?(▲+!)..4,當(dāng)a=6時(shí)取“=”；

ab

該不等式成立；

C.4+/A.2ab,當(dāng)?！〞r(shí)取"=";

.竿=2嵐,當(dāng)a=6時(shí)取"="；

Yaby/ab

???該不等式成立；

D.a+b..24ab,當(dāng)a=Z?時(shí)取“=”；

???---1------1;

a+b2y[ab

：.4^b,當(dāng)。=6時(shí)取“=”；

a+b

該不等式不成立.

故選：D.

考點(diǎn)3：基本不等式常見(jiàn)變形

272

例3.已知8<”0,且而=1,則巴士幺取得最小值時(shí)，。+匕等于()

a-b

A.-710B.-46C.-73D.-72

【解答】解：ab=l

a2+b2{a-bf+2ab(a-b)2+21,、2

---------=-------------------=---------------=(a-b)-\---------

a—ba—ba—ba—b

b<a<0

:.匚或..2應(yīng)(當(dāng)且僅當(dāng)a-b=/—)

a-ba-b

72

即且±2取得最小值時(shí)，滿足<a—b=------

a-b

a-b

ab=l

..(a+b)2=(a—bp+4ab=6

b<a<0

:.a+b=—

故選：B.

例4.(1)已知正數(shù)a,8滿足而=a+Z?+3,則〃。的最小值是()

A.9B.10C.11D.12

【解答】解：正數(shù)a，}滿足質(zhì)=。+"3,

..ab=a+b+3..2y[ab+3，

：.y/ab..3，：.ab..9，

當(dāng)且僅當(dāng)〃=b=3時(shí)取等號(hào)，

二.而的最小值為9.

故選：A.

（2）已知%>0,y>。，且4—+/+2%+y=6,貝!12九+y最大值是

【解答】解：4x2+y2..（2x+y）2,

2

6=4x2+y1+2.x+y...（2苫；））2y,

+x+

令2x+y=f>0,上式化為產(chǎn)+2r—12,0,解得0</,,而一1.

的最大值即2x+y最大值是履-1.

故答案為：^/13—1.

（3）若實(shí)數(shù)X，，滿足―+y2+孫=],則X+y的最大值是（）

A.6B.4C.空D.-

33

【解答】解：，實(shí)數(shù)x,y滿足尤,+9+孫=1,即（尤+y）2=l+孫.

再由。號(hào)R可得+初,1+(號(hào)廣

解得(X+y)2,,g,

>+y―,故x+y的最大值為久1,

333

故選：C.

例5.(1)已知a>0,b>0,4a+b=2,則工+工的最小值是()

ab

9

A.4B.-C.5D.9

2

【解答】解：a>0,b>0,4Q+〃=2,

11111、“7、

-+-=-(-+-)(4a+b)

ab2ab

ab33

故選：B.

(2)若正數(shù)x,y滿足3x+y=5孫，則4x+3y的最小值是()

A.2B.3C.4D.5

【解答】解：一正數(shù)x,y滿足3x+y=5孫，

.3x+y_31_

..----------1----1j

5xy5y5x

31

.14x+3y=(4尤+3y)(—+—)

jy5x

1312x3y13。12x3y<

——+——+——+2——=5

55y5x5'5y5x

當(dāng)且僅當(dāng)出=電即％=」且y=l時(shí)取等號(hào),

5y5x2

4x+3y的最小值是5

故選：D.

例6.(1)設(shè)1>0,y>0，且％2+g_=l,求xJl+3?的最大值.

2

［解答］解：尤>0,y>0，且爐+匕=1,

2

xJ1+/=+y2

血(A/2X)2+(7TT7)2

，，――*T

22

—夜2%2+/+1

=—?----------

22

V22+13A/2

=—?---=----

224

當(dāng)且僅當(dāng)缶=爐手即》=曰且>=乎時(shí)取等號(hào)，

.?“加產(chǎn)的最大值為手

(2)設(shè)貝。/+1_+_1—的最小值是()

aba(a-Z?)

A.1B.2C.3D.4

【解答】解：+—d------------ab+—+a(a-Z?)H------------..4

aba(a-b)aba(a-b)

，1

ab=—

當(dāng)且僅當(dāng)ab］取等號(hào)

a(a-b)=----------

a(a-b)

a=A/2

2

cr+—+---的最小值為4

aba(a—b)

故選：D.

例7.設(shè)正實(shí)數(shù)x,y,z滿足f_3孫+4V-z=0.則當(dāng)現(xiàn)取得最大值時(shí)，2+工-2的最

zxyz

大值為()

9

A.0B.1C.-D.3

【解答】解：,x2-3xy+4y2-z=0,

z=x2-3xy+4y2,又x,y,z均為正實(shí)數(shù),

xy_xy_11

(當(dāng)且僅當(dāng)x=2y時(shí)取"=)-

z孫+4、1+”―3"2fz

yXNyx

(當(dāng)小=1，此時(shí)，x=2,

z

/.z=x2-3xy+4y2=(2y)2-3x2yxy+4y2=2y2,

7171111

/.-+---=-+--4=-(--l)2+l,,b當(dāng)且僅當(dāng)y=l時(shí)取得“=”，滿足題意.

%Vzyyyy

±2+工1一42的最大值為i.

xyz

故選：B.

f+5

例&(1)函數(shù)/(x)=興工(xeR)的最小值為()

y/x2+4

A.2B.3C.2&D.2.5

【解答】解：令公Jd+4g.2),貝Uy=r+1在［2,+oo)上單調(diào)遞增,

2

:.t=2,即x=0,函數(shù)/(x)=今Y+』5(xeR)的最小值為2.5,

故選：D.

(2)已知%>工，則函數(shù)為=一+"+1的最小值為

22x-l

【解答］解：>-,/.2x-l>0,

x2

,「』+］」(21)2+口―1)+；

17

二—(2x—1)+-------+1.

’2x-l2x—l44(21)

當(dāng)且僅當(dāng)!(2元-1)=--一，即x=匕且時(shí)取得最小值.

44(21)2

故答案為：—+i.

2

(3)函數(shù))=正包的最大值為

2x+5

【解答】解：設(shè)”77適,

貝!]*=產(chǎn)-2,(f>0)

當(dāng)且僅當(dāng)/=交時(shí)取最值.

2

.11—夜

2t2+-2垃4

t

一為丁

即原函數(shù)的最大值為變.

4

故答案為包.

4

課后作業(yè):

1.若a>0,b>0,—+—=2,則a+4〃的最小值為()

ab

97

A.-B.4C.-D.3

22

【解答】解：因?yàn)閍>0,b>0,-+-=2,

ab

11114/7r?19

貝i」a+4b=(a+4b)(—+—)x—=—(——+—+5)..L(4+5)=—,

ab22ab22

當(dāng)且僅當(dāng)竺=@且!+J_=2,即4=3,6=3時(shí)取等號(hào).

abab24

故選：A.

2.已知加，neR,m2+H2=100,則機(jī)九的最大值是()

A.100B.50C.20D.10

【解答】解：由/+/=100,可得：100..2加幾，解得m/i;,50,當(dāng)且僅當(dāng)加=〃=±5^/5時(shí)

取等號(hào).

則mn的最大值是50.

故選：B.

3.實(shí)數(shù)x,y,x>-l9且滿足砂+y=-%+3,則x+y的最小值是（)

A.1B.0