第十章計(jì)數(shù)原理、概率、隨機(jī)變量及其分布第1講兩個計(jì)數(shù)原理課標(biāo)要求命題點(diǎn)五年考情命題分析預(yù)測了解分類加法計(jì)數(shù)原理、分步乘法計(jì)數(shù)原理及其意義.分類加法計(jì)數(shù)原理2023新高考卷ⅠT13兩個計(jì)數(shù)原理是解決排列、組合問題的基本方法，也是與實(shí)際聯(lián)系密切的部分，既能單獨(dú)命題，也常與排列組合問題、概率計(jì)算問題綜合命題，題型以小題為主，難度不大.在2025年高考的復(fù)習(xí)備考中要注意兩個計(jì)數(shù)原理的區(qū)別并能靈活應(yīng)用.分步乘法計(jì)數(shù)原理2023全國卷乙T7；2022新高考卷ⅡT5；2021全國卷乙T6；2020新高考卷ⅠT3；2020全國卷ⅡT14兩個計(jì)數(shù)原理的綜合應(yīng)用學(xué)生用書P2241.分類加法計(jì)數(shù)原理完成一件事有兩類不同方案，在第1類方案中有m種不同的方法，在第2類方案中有n種不同的方法，那么完成這件事共有N＝①m＋n種不同的方法.2.分步乘法計(jì)數(shù)原理完成一件事需要兩個步驟，做第1步有m種不同的方法，做第2步有n種不同的方法，那么完成這件事共有N＝②m×n種不同的方法.辨析比較兩個計(jì)數(shù)原理的聯(lián)系與區(qū)別原理分類加法計(jì)數(shù)原理分步乘法計(jì)數(shù)原理聯(lián)系都是對完成一件事的方法種數(shù)而言.區(qū)別一每類方案中的每一種方法都能獨(dú)立完成這件事.各個步驟都完成才算完成這件事（每步中的每一種方法都不能獨(dú)立完成這件事）.區(qū)別二各類方法之間是相互獨(dú)立的，既不能重復(fù)也不能遺漏.各步之間是相互依存的，缺一不可.1.[多選]下列說法正確的是（BD）A.在分類加法計(jì)數(shù)原理中，兩類不同方案中的方法可以相同B.在分類加法計(jì)數(shù)原理中，每類方案中的方法都能直接完成這件事C.在分步乘法計(jì)數(shù)原理中，事情是分兩步完成的，其中任何一個單獨(dú)的步驟都能完成這件事D.從甲地經(jīng)丙地到乙地是分步問題2.[教材改編]已知某公園有4個門，從一個門進(jìn)，另一個門出，則不同的進(jìn)出公園的方式有12種.解析將4個門分別編號為1，2，3，4，從1號門進(jìn)入后，有3種出門的方式，同理，從2，3，4號門進(jìn)入，也各有3種出門的方式，故不同的進(jìn)出公園的方式共有3×4＝12（種）.3.[易錯題]某人有3個電子郵箱，他要發(fā)5封不同的電子郵件，則不同的發(fā)送方法有243種.解析因?yàn)槊糠怆娮余]件有3種不同的發(fā)送方法，所以要發(fā)5封電子郵件，不同的發(fā)送方法有3×3×3×3×3＝243（種）.4.[教材改編]書架的第1層放有4本不同的計(jì)算機(jī)書，第2層放有3本不同的文藝書，第3層放有2本不同的體育書.從書架中任取1本書，則不同的取法種數(shù)為9.解析分三類：第一類，從第1層取一本書，有4種取法；第二類，從第2層取一本書，有3種取法；第三類，從第3層取一本書，有2種取法.共有取法4＋3＋2＝9（種）.學(xué)生用書P224命題點(diǎn)1分類加法計(jì)數(shù)原理例1（1）我們把各位數(shù)字之和為6的四位數(shù)稱為“六合數(shù)”（如2022是“六合數(shù)”），則首位為2的“六合數(shù)”共有（B）A.18個 B.15個 C.12個 D.9個解析依題意，這個四位數(shù)的百位數(shù)、十位數(shù)、個位數(shù)之和為4.由4，0，0組成3個數(shù)分別為400，040，004；由3，1，0組成6個數(shù)分別為310，301，130，103，013，031；由2，2，0組成3個數(shù)分別為220，202，022；由2，1，1組成3個數(shù)分別為211，121，112.共計(jì)3＋6＋3＋3＝15（個）.（2）滿足a，b∈{－1，0，1，2}，且關(guān)于x的方程ax2＋2x＋b＝0有實(shí)數(shù)解的有序數(shù)對（a，b）的個數(shù)為13.解析當(dāng)a＝0時，b的值可以是－1，0，1，2，（a，b）的個數(shù)為4.當(dāng)a≠0時，要使方程ax2＋2x＋b＝0有實(shí)數(shù)解，需使Δ＝4－4ab≥0，即ab≤1.若a＝－1，則b的值可以是－1，0，1，2，（a，b）的個數(shù)為4；若a＝1，則b的值可以是－1，0，1，（a，b）的個數(shù)為3；若a＝2，則b的值可以是－1，0，（a，b）的個數(shù)為2.由分類加法計(jì)數(shù)原理可知，（a，b）的個數(shù)為4＋4＋3＋2＝13.方法技巧分類加法計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用思路（1）根據(jù)題目中的關(guān)鍵詞、關(guān)鍵元素和關(guān)鍵位置等確定恰當(dāng)?shù)姆诸悩?biāo)準(zhǔn)，分類標(biāo)準(zhǔn)要明確、統(tǒng)一；（2）分類時，注意完成這件事的任何一種方法必須屬于某一類，不能重復(fù).訓(xùn)練1集合P＝{x，1}，Q＝{y，1，2}，其中x，y∈{1，2，3，…，9}，且P?Q.把滿足上述條件的一對有序整數(shù)對（x，y）作為一個點(diǎn)的坐標(biāo)，則這樣的點(diǎn)的個數(shù)是（B）A.9 B.14 C.15 D.21解析當(dāng)x＝2時，x≠y，y可從3，4，5，6，7，8，9中取，有7種方法.當(dāng)x≠2時，由P?Q，得x＝y(tǒng)，x可從3，4，5，6，7，8，9中取，有7種方法.綜上，滿足條件的點(diǎn)共有7＋7＝14（個）.命題點(diǎn)2分步乘法計(jì)數(shù)原理例2（1）[2023全國卷乙]甲、乙兩位同學(xué)從6種課外讀物中各自選讀2種，則這兩人選讀的課外讀物中恰有1種相同的選法共有（C）A.30種 B.60種 C.120種 D.240種解析甲、乙二人先選1種相同的課外讀物，有6種情況，再從剩下的5種課外讀物中各自選1本不同的讀物，有5×4＝20（種）情況，由分步乘法計(jì)數(shù)原理可得，共有6×20＝120（種）選法，故選C.（2）[多選]有4位同學(xué)報(bào)名參加三個不同的社團(tuán)，則下列說法正確的是（AC）A.每位同學(xué)限報(bào)其中一個社團(tuán)，則不同的報(bào)名方法共有34種B.每位同學(xué)限報(bào)其中一個社團(tuán)，則不同的報(bào)名方法共有43種C.每個社團(tuán)限報(bào)一個人，則不同的報(bào)名方法共有24種D.每個社團(tuán)限報(bào)一個人，則不同的報(bào)名方法共有33種解析對于A選項(xiàng)，第1個同學(xué)有3種報(bào)名方法，第2個同學(xué)有3種報(bào)名方法，后面的2個同學(xué)也有3種報(bào)名方法，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理共有34種報(bào)名方法，A正確，B錯誤；對于C選項(xiàng)，每個社團(tuán)限報(bào)一個人，則第1個社團(tuán)有4種選擇，第2個社團(tuán)有3種選擇，第3個社團(tuán)有2種選擇，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，共有4×3×2＝24（種）選擇，C正確，D錯誤.故選AC.方法技巧分步乘法計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用思路根據(jù)事件發(fā)生的過程合理分步，分步必須滿足兩個條件：一是步驟互相獨(dú)立，互不干擾；二是步與步確保連續(xù)，逐步完成.訓(xùn)練2[多選]某校高二年級安排甲、乙、丙三名同學(xué)到A，B，C，D，E五個社區(qū)進(jìn)行暑期社會實(shí)踐活動，每名同學(xué)只能選擇一個社區(qū)進(jìn)行實(shí)踐活動，且多名同學(xué)可以選擇同一個社區(qū)進(jìn)行實(shí)踐活動，則下列說法正確的有（AC）A.如果社區(qū)A必須有同學(xué)選擇，則不同的安排方法有61種B.如果同學(xué)甲必須選擇社區(qū)A，則不同的安排方法有50種C.如果三名同學(xué)選擇的社區(qū)各不相同，則不同的安排方法共有60種D.如果甲、乙兩名同學(xué)必須在同一個社區(qū)，則不同的安排方法共有20種解析對于A，如果社區(qū)A必須有同學(xué)選擇，則不同的安排方法有53－43＝61（種），故A正確；對于B，如果同學(xué)甲必須選擇社區(qū)A，則不同的安排方法有52＝25（種），故B錯誤；對于C，如果三名同學(xué)選擇的社區(qū)各不相同，則不同的安排方法共有5×4×3＝60（種），故C正確；對于D，甲、乙兩名同學(xué)必須在同一個社區(qū)，第一步，將甲、乙視作一個整體，第二步，兩個整體挑選社區(qū)，則不同的安排方法共有52＝25（種），故D錯誤.故選AC.命題點(diǎn)3兩個計(jì)數(shù)原理的綜合應(yīng)用例3（1）《周髀算經(jīng)》是中國最古老的天文學(xué)和數(shù)學(xué)著作，其中記載了“勾股圓方圖”（如圖），用以證明勾股定理.現(xiàn)提供4種不同顏色給圖中5個區(qū)域涂色，規(guī)定每個區(qū)域只涂一種顏色，相鄰區(qū)域顏色不同，則不同的涂色方法種數(shù)為（C）A.36 B.48 C.72 D.96解析解法一根據(jù)題意得，涂色分2步進(jìn)行：①對于區(qū)域A，B，E，三個區(qū)域兩兩相鄰，有A43＝24（種）涂色方法；（區(qū)域E位于中心位置，其他4個區(qū)域均與區(qū)域E相鄰，故先考慮兩兩相鄰的區(qū)域A，B，E的涂色方法，再研究余下②對于區(qū)域C，D，若區(qū)域C與區(qū)域A顏色相同，則區(qū)域D有2種涂色方法，若區(qū)域C與區(qū)域A顏色不同，當(dāng)A，B，E涂色確定時，則區(qū)域C和區(qū)域D涂色方法確定，只有1種，由分類加法計(jì)數(shù)原理可知區(qū)域C，D有2＋1＝3（種）涂色方法.由分步乘法計(jì)數(shù)原理得，共有24×3＝72（種）不同的涂色方法.故選C.解法二可分兩種情況：①區(qū)域A，C不同色，先涂區(qū)域A有4種，區(qū)域C有3種，區(qū)域E有2種，區(qū)域B，D各有1種，有4×3×2＝24（種）涂法.②區(qū)域A，C同色，先涂區(qū)域A有4種，區(qū)域E有3種，區(qū)域C有1種，區(qū)域B，D各有2種，有4×3×2×2＝48（種）涂法.故共有24＋48＝72（種）涂色方法.（2）由0，1，2，3，4，5，6這7個數(shù)字可以組成420個無重復(fù)數(shù)字的四位偶數(shù).解析要完成的一件事為“組成無重復(fù)數(shù)字的四位偶數(shù)”，所以千位數(shù)字不能為0，個位數(shù)字必須是偶數(shù)，且組成的四位數(shù)中的四個數(shù)字不重復(fù).因此應(yīng)先分類，再分步.第1類，當(dāng)千位數(shù)字為奇數(shù)，即取1，3，5中的任意一個時，個位數(shù)字可取0，2，4，6中的任意一個，百位數(shù)字不能取與個位、千位數(shù)字重復(fù)的數(shù)字，十位數(shù)字不能取與個位、百位、千位數(shù)字重復(fù)的數(shù)字.根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，不同的取法種數(shù)為3×4×5×4＝240.第2類，當(dāng)千位數(shù)字為偶數(shù)，即取2，4，6中的任意一個時，個位數(shù)字可以取除千位數(shù)字外的任意一個偶數(shù)數(shù)字，百位數(shù)字不能取與個位、千位數(shù)字重復(fù)的數(shù)字，十位數(shù)字不能取與個位、百位、千位數(shù)字重復(fù)的數(shù)字.根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，不同的取法種數(shù)為3×3×5×4＝180.根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理，可以組成無重復(fù)數(shù)字的四位偶數(shù)的個數(shù)為240＋180＝420.方法技巧1.利用兩個計(jì)數(shù)原理解決問題的一般步驟2.涂色問題常用的兩種方法訓(xùn)練3（1）如果一條直線與一個平面垂直，那么稱此直線與平面構(gòu)成一個“正交線面對”.在一個正方體中，由兩個頂點(diǎn)確定的直線與含有四個頂點(diǎn)的平面構(gòu)成的“正交線面對”的個數(shù)是（D）A.48 B.18 C.24 D.36解析第1類，對于每一條棱，都可以與兩個側(cè)面構(gòu)成“正交線面對”，這樣的“正交線面對”有2×12＝24（個）；第2類，對于每一條面對角線，都可以與一個對角面構(gòu)成“正交線面對”，這樣的“正交線面對”有12個.所以正方體中“正交線面對”共有24＋12＝36（個）.（2）甲與其四位同事各有一輛汽車，甲的車牌尾號為9，其四位同事的車牌尾號分別是0，2，1，5.為遵守當(dāng)?shù)啬吃?日至9日5天的限行規(guī)定（奇數(shù)日車牌尾號為奇數(shù)的車通行，偶數(shù)日車牌尾號為偶數(shù)的車通行），五人商議拼車出行，每天任選一輛符合規(guī)定的車，但甲的車最多只能用一天，則不同的用車方案種數(shù)為（B）A.64 B.80 C.96 D.120解析5日至9日，有3個奇數(shù)日，2個偶數(shù)日.第一步，安排偶數(shù)日出行，每天都有2種選擇，不同的用車方案共有2×2＝4（種）.第二步，安排奇數(shù)日出行，分兩類討論：第一類，選1天安排甲的車，不同的用車方案共有3×2×2＝12（種）；第二類，不安排甲的車，每天都有2種選擇，不同的用車方案共有2×2×2＝8（種）.綜上，不同的用車方案種數(shù)為4×（12＋8）＝80，故選B.1.[命題點(diǎn)1]設(shè)集合I＝{1，2，3，4}，A與B是I的子集，若A∩B＝{1，2}，則稱（A，B）為一個“理想配集”.若將（A，B）與（B，A）看成不同的“理想配集”，則符合此條件的“理想配集”有9個.解析對子集A分類討論：當(dāng)A是{1，2}時，B可以為{1，2，3，4}，{1，2，4}，{1，2，3}，{1，2}，共4種情況；當(dāng)A是{1，2，3}時，B可以為{1，2，4}，{1，2}，共2種情況；當(dāng)A是{1，2，4}時，B可以為{1，2，3}，{1，2}，共2種情況；當(dāng)A是{1，2，3，4}時，B為{1，2}，有1種情況.根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理可知，共有4＋2＋2＋1＝9（種）結(jié)果，即符合此條件的“理想配集”有9個.2.[命題點(diǎn)2]已知集合M＝{1，－2，3}，N＝{－4，5，6，－7}，從M，N這兩個集合中各選一個元素分別作為點(diǎn)的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)，則這樣的坐標(biāo)在直角坐標(biāo)系中可表示第一、二象限內(nèi)不同的點(diǎn)的個數(shù)是（C）A.12 B.8 C.6 D.4解析分兩步：第一步先確定橫坐標(biāo)，有3種情況，第二步再確定縱坐標(biāo)，有2種情況，因此可表示第一、二象限內(nèi)不同點(diǎn)的個數(shù)是3×2＝6.3.[命題點(diǎn)3]如果一個三位正整數(shù)“a1a2a3”滿足a1＜a2，且a2＞a3，則稱這樣的三位數(shù)為凸數(shù)（如120，343，275等），那么所有凸數(shù)的個數(shù)為240.解析若a2＝2，則百位數(shù)字只能選1，個位數(shù)字可選1或0，凸數(shù)為120與121，共2個.若a2＝3，則百位數(shù)字有兩種選擇，個位數(shù)字有三種選擇，則凸數(shù)有2×3＝6（個）.若a2＝4，則凸數(shù)有3×4＝12（個），……，若a2＝9，則凸數(shù)有8×9＝72（個）.所以凸數(shù)共有2＋6＋12＋20＋30＋42＋56＋72＝240（個）.4.[命題點(diǎn)3/2023哈爾濱六中檢測]涂色能鍛煉手眼協(xié)調(diào)能力，更能提高審美能力.現(xiàn)有四種不同的顏色：湖藍(lán)色、米白色、橄欖綠、薄荷綠，欲給圖中的小房子中的四個區(qū)域涂色，要求相鄰區(qū)域不涂同一顏色，且橄欖綠與薄荷綠也不涂在相鄰的區(qū)域內(nèi)，則共有66種不同的涂色方法.解析可分四類：第一類，當(dāng)選擇兩種顏色時，因?yàn)殚蠙炀G與薄荷綠不涂在相鄰的區(qū)域內(nèi)，所以共有C42－1＝5（種）選法，因此不同的涂色方法有5×2＝10（種）；第二類，當(dāng)選擇三種顏色且橄欖綠與薄荷綠都被選中時，有2種選法，因此不同的涂色方法有2×2×2＝8（種）；第三類，當(dāng)選擇三種顏色且橄欖綠與薄荷綠只有一個被選中時，有2種選法，因此不同的涂色方法有2×3×2×（2＋1）＝36（種）；第四類，當(dāng)選擇四種顏色時，不同的涂色方法有2×2×2＋2×2＝12（種）.所以共有10＋8＋36＋12＝66學(xué)生用書·練習(xí)幫P3821.[2024四川成都模擬]“數(shù)獨(dú)九宮格”的游戲規(guī)則為：將1到9這9個自然數(shù)填到如圖所示的九宮格的9個空格里，每個空格填1個數(shù)，且9個空格的數(shù)字各不相同.若中間空格已填數(shù)字5，且只填第二行和第二列，并要求第二行從左至右及第二列從上至下所填的數(shù)字都是從小到大排列的，則不同的填法種數(shù)為（C）5A.72 B.108 C.144 D.196解析按題意，5的上方和左邊只能從1，2，3，4中選取，5的下方和右邊只能從6，7，8，9中選取.第一步，填上方空格，有4種填法；第二步，填左方空格，有3種填法；第三步，填下方空格，有4種填法；第四步，填右方空格，有3種填法.由分步乘法計(jì)數(shù)原理得，不同的填法種數(shù)為4×3×4×3＝144.故選C.2.[2023全國卷甲]現(xiàn)有5名志愿者報(bào)名參加公益活動，在某一星期的星期六、星期日兩天，每天從這5人中安排2人參加公益活動，則恰有1人在這兩天都參加的不同安排方式共有（B）A.120種 B.60種 C.30種 D.20種解析先從5人中選擇1人兩天均參加公益活動，有5種方式；再從余下的4人中選2人分別安排到星期六、星期日，有4×3＝12（種）安排方式.所以不同的安排方式共有5×12＝60（種）.故選B.3.[2024北京市順義區(qū)聯(lián)考]某班一天上午有4節(jié)課，下午有2節(jié)課.現(xiàn)要安排該班一天中語文、數(shù)學(xué)、政治、英語、體育、藝術(shù)6門課的課程表，要求數(shù)學(xué)課排在上午，體育課排在下午，則不同的排法有（D）A.48種 B.96種 C.144種 D.192種解析由題意，要求數(shù)學(xué)課排在上午，體育課排在下午，先考慮這兩門課程，有4×2＝8（種）排法，再排其余4節(jié)課，有4×3×2×1＝24（種）排法，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，共有8×24＝192（種）排法，故選D.4.現(xiàn)有十二生肖的吉祥物各一個，已知甲同學(xué)喜歡牛、馬和猴的吉祥物，乙同學(xué)喜歡牛、狗和羊的吉祥物，丙同學(xué)對所有的吉祥物都喜歡.讓甲、乙、丙三位同學(xué)依次從中選一個珍藏，若每個人所選取的吉祥物都是自己喜歡的，則不同的選法共有（C）A.50種 B.60種 C.80種 D.90種解析根據(jù)題意，按甲的選擇分兩類討論：第一類，若甲選擇牛的吉祥物，則乙的選法有2種，丙的選法有10種，此時不同的選法有2×10＝20（種）；第二類，若甲選擇馬或猴的吉祥物，則甲的選法有2種，乙的選法有3種，丙的選法有10種，此時不同的選法有2×3×10＝60（種）.所以不同的選法共有20＋60＝80（種）.故選C.5.[2023南京六校聯(lián)考]如圖，用4種不同的顏色把圖中A，B，C，D四塊區(qū)域區(qū)分開，若相鄰區(qū)域不能涂同一種顏色，則不同的涂法共有（C）A.144種 B.73種C.48種 D.32種解析由于A，B，C三塊區(qū)域兩兩相鄰，因此需填涂3種不同的顏色.①當(dāng)D區(qū)域與A區(qū)域顏色相同時，只需從4種不同的顏色中選取3種分別填涂到A，B，C三塊區(qū)域，有4×3×2＝24（種）涂法；②當(dāng)D區(qū)域與A區(qū)域顏色不同時，只需將4種不同的顏色分別填涂到A，B，C，D四塊區(qū)域，有4×3×2×1＝24（種）涂法.所以不同的涂法共有24＋24＝48（種），故選C.6.如圖所示，從正八邊形的八個頂點(diǎn)中任選三個構(gòu)成三角形，則與正八邊形有公共邊的三角形有40個（用數(shù)字作答）.解析把與正八邊形有公共邊的三角形分為兩類：第一類，有一條公共邊的三角形，此類三角形由正八邊形中兩個相鄰的頂點(diǎn)和一個與所選頂點(diǎn)均不相鄰的頂點(diǎn)構(gòu)成，共有8×4＝32（個）；第二類，有兩條公共邊的三角形，此類三角形由正八邊形中三個相鄰的頂點(diǎn)構(gòu)成，共有8個.由分類加法計(jì)數(shù)原理可知，共有32＋8＝40（個）.7.[2023北京通州區(qū)質(zhì)檢]一個三位數(shù)，如果滿足個位上的數(shù)字和百位上的數(shù)字都大于十位上的數(shù)字，那么我們稱該三位數(shù)為三位數(shù)“凹數(shù)”，則沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)“凹數(shù)”的個數(shù)為240.（用數(shù)字作答）解析依題意，無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)“凹數(shù)”，十位數(shù)字只可能為0，1，2，3，4，5，6，7之一，個位和百位上的數(shù)字從比對應(yīng)十位數(shù)字大的數(shù)字中任取兩個進(jìn)行排列，所以沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)“凹數(shù)”的個數(shù)為9×8＋8×7＋7×6＋6×5＋5×4＋4×3＋3×2＋2×1＝72＋56＋42＋30＋20＋12＋6＋2＝240.8.[2024北京市景山學(xué)校期末]在0，1，2，3，4，5，6這7個數(shù)中任取4個數(shù)，將其組成無重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)，其中能被5整除且比4351大的數(shù)共有（C）A.54個 B.62個 C.74個 D.82個解析根據(jù)被5整除的數(shù)特點(diǎn)，分成兩類.第一類：個位為0，則千位為5或6時，有2×5×4＝40（個）四位數(shù)大于4351；千位為4，百位為5或6時，有2×4＝8（個）四位數(shù)大于4351；千位為4，百位為3時，十位為6，有1個四位數(shù)大于4351.第二類：個位為5，則千位為6時，有5×4＝20（個）四位數(shù)大于4351；千位為4，百位是6時，有4個四位數(shù)大于4351；千位為4，百位為3時，有1個四位數(shù)大于4351.綜上，滿足條件的數(shù)共有40＋8＋1＋20＋4＋1＝74（個）.故選C.9.算盤是中國古代的一項(xiàng)重要發(fā)明.現(xiàn)有一種算盤（如圖1），共兩檔，自右向左分別表示個位和十位，檔中橫以梁，梁上一珠撥下，記作數(shù)字5，梁下五珠，上撥一珠記作數(shù)字1（如圖2中算盤表示整數(shù)51）.若撥動圖1算盤中的三枚算珠，則可以表示不同整數(shù)的個數(shù)為（C）圖1 圖2A.16 B.15 C.12 D.10解析由題意，撥動三枚算珠，有4種撥法：①個位撥動三枚，有2種結(jié)果：3，7；②十位撥動一枚，個位撥動兩枚，有4種結(jié)果：12，16，52，56；③十位撥動兩枚，個位撥動一枚，有4種結(jié)果：21，25，61，65；④十位撥動三枚，有2種結(jié)果：30，70.綜上，撥動題圖1算盤中的三枚算珠，可以表示不同整數(shù)的個數(shù)為2＋4＋4＋2＝12，故選C.10.[2023青島檢測]據(jù)史書記載，古代的算籌由一根根同樣長短和粗細(xì)的小棍制成，如圖所示，據(jù)《孫子算經(jīng)》記載，算籌記數(shù)法則是：凡算之法，先識其位，一縱十橫，百立千僵，千十相望，萬百相當(dāng).即在算籌記數(shù)法中，表示多位數(shù)時，個位用縱式，十位用橫式，百位用縱式，千位用橫式，以此類推.例如表示62，表示26，現(xiàn)有5根算籌，據(jù)此方式表示一個兩位數(shù)（算籌不剩余且個位不為0），則可以表示不同的兩位數(shù)的個數(shù)為12.解析當(dāng)十位為1時，個位可以是4，8，共2種；當(dāng)十位為2時，個位可以是3，7，共2種；當(dāng)十位為3時，個位可以是2，6，共2種；當(dāng)十位