2.1.1平面

問題導(dǎo)學(xué)

一、三種語言的轉(zhuǎn)換

活動與探究1

(1)說明語句“/ua,mna=A,A&"表示的點、線、面的位置關(guān)系，并畫出圖形;

(2)用符號語言表示下圖所表示的點、線、面的位置關(guān)系.

遷移與應(yīng)用

1.如圖所示的點、線、面的位置關(guān)系用符號語言表示為

4加

2.用符號語言表示“三個平面a,夕，y相交于一點P,且平面a與平面尸交于以，平

面a與平面y交于PB,平面夕與平面y交于PC”，并畫出圖形.

名師點睛

在立體幾何中，符號“e”和“住”表示點與直線、點與平面的關(guān)系；符號“n”表示

直線與直線或直線與平面相交；符號“U”和表示直線與平面的關(guān)系.雖然借用集合

中的符號表示點、線、面的位置關(guān)系，但在讀時仍用幾何語言.

二、點線共面問題

活動與探究2

過直線/外一點尸引兩條直線以，P8和直線/分別相交于A,8兩點，求證：三條直

線%,PB,/共面.

遷移與應(yīng)用

1.空間兩兩相交的三條直線，可以確定的平面數(shù)是()

A.1B.2C.3D.1或3

2.已知直線a〃江直線/與a,6都相交.求證：直線mb,/共面.

名師點睛

(1)證明多點、多線共面時，可先由部分點線確定一個平面，再由公理1證明其他點線

也在這個平面內(nèi).

(2)兩條相交直線確定一個平面，兩條平行直線也確定一個平面.

三、證明多點共線問題

活動與探究3

如圖，在四面體48co中，E,G分別為BC,AB上的點，H,尸分別為AD,C。上的

點，G”與EF交于點0.求證：B,D,。在同一條直線上.

遷移與應(yīng)用

1.已知平面aC平面尸=/，點Pda,P",則點P與直線/的關(guān)系是.

2.如圖，已知AABC在平面a外，它的三邊所在的直線分別交平面a于點P,Q,R,

求證：P,Q,R三點共線.

名師點睛

證明多點共線的方法是利用公理3,只需說明這些點都是兩個平面的公共點，則必在這

兩個平面的交線上，這是證明多點共線的基本思路與方法.

四、證明多線共點

活動與探究4

已知三個平面a,￡,y兩兩相交于三條直線，即aCQ=c,[iC\y-a,y^a—b,若直線

a和b不平行,

求證：a,b,c三條直線必過同一點.

遷移與應(yīng)用

如圖，已知平面。，￡,且設(shè)梯形ABC。中，AD//BC,且ABua,CDufi,

求證：AB,CD,/共點（相交于一點）.

名師點睛

證明三線共點常用的方法是先說明兩條直線共面且相交于一點：然后說明這個點在以另

一條線為交線的兩個平面內(nèi)，即該點在另一條直線上，所以三線共點.

當(dāng)堂檢測

1.下列說法中正確的個數(shù)為（）

①梯形一定是平面圖形；②若四邊形的兩對角線相交于一點，則該四邊形是平面圖形;

③圓心和圓上兩點可確定一個平面；④三條平行線最多可確定三個平面.

A.1B.2

C.3D.4

2.如果直線au平面a,直線bu平面a,M^a,N^b,NH,則（）

A.luaB.l<ta

C./na=A/D.IQa=N

3.在空間中，下列命題不正確的是（）

A.若兩個平面有一個公共點，則它們有無數(shù)個公共點

B.若已知四個點不共面，則其中任意三點不共線

C.若A既在平面a內(nèi)，又在平面夕內(nèi)，且a與￡交于則A在人上

D.任意三點能確定一個平面

4.已知平面aA￡=/,△ABC的三邊中，ABua,ACup,則頂點4與直線/的位置關(guān)

系是.

5.已知aC8=［，mua,nu8,mCn=P,則點P與直線/的位置關(guān)系用符號表示為

答案：

【問題導(dǎo)學(xué)】

活動與探究1思路分析：利用三種語言的關(guān)系解答.

解：（1）直線/在平面a內(nèi)，直線，"與平面a相交于點A,且點A不在直線/上，圖形如

圖所示.

m

(2)圖示的點、線、面的位置關(guān)系可用符號語言表示為aC0=l,mua,"寸,inn=P,

m//l.

遷移與應(yīng)用1.aC6=l,mna=A,mnp=-B,A^l,B生I

2.解：aC\/i=PA,aC\y=PB,/加尸PC,PAC\PBQPC=P.圖形如圖所示.

c

活動與探究2思路分析：根據(jù)條件P,A,B確定一個平面，再證直線I,PA,PB在

這個平面內(nèi).

:.PGa,ASa,BGa.：.PAaa,PBua.又A?/,B0,：.lua.

：.PA,PB,/共面.

遷移與應(yīng)用I.D

2.證明:,：a//b,

.,.直線a,人確定一個平面，記為a,如圖.

設(shè)aCl/=A,bCU=B,

則AGa,BGb,：.A^a,B?a.

：.lua..?.直線a,b,/共面.

活動與探究3思路分析：本例是一個證明三點共線的問題，根據(jù)題意只需證明點0在

直線6。上.而是平面AB。與平面BCQ的交線，因而只需證明點。在平面A3。內(nèi)，

也在平面BCD內(nèi)即可.

證明：:GHCEF=O,：.ORGH,O&EF.又G，u平面ABQ,EFu平面BCD,：.O

G平面ABO,OE平面BCD..?.點O在平面ABO與平面BCD的交線上.又?平面ABOCI

平面BCD=BD,：.O^BD.

：.B,D,。在同一條直線上.

遷移與應(yīng)用I.PG/

2.證明："：ABna=P,A8u平面ABC,平面ABC,P&a,

在平面48c與平面a的交線上.同理可證，。和R均在這條交線上.；.P,Q,R

三點共線.

活動與探究4思路分析：先由“，6共面且不平行，得“與b相交，設(shè)交于點P,再

證明交點P在c上，即證明PGa,P&p.

證明："."aC\y—b,flC\y—a,

'.ac.y,bc.y.

又由于直線a和匕不平行，

/.a,6必相交.

設(shè)aC%=P,如圖，則Pda,P&b.

Vac/?,bua,:.PGB，PGa.

又aC0=c,

.?.PGc,即交線c經(jīng)過點尸.

b,c三條直線相交于同一點.

遷移與應(yīng)用證明：：四邊形AB