《基本不等式》第1課時(shí)提高練習(xí)

一、選擇題

1.已知x,y為正實(shí)數(shù)，則浸+§的最小值為()

A.|B.yC.|D.3

2.若a,8都是正數(shù)，則(1+，1+與)的最小值為()

A.7B.8C.9D.10

二、填空題

3.若兩個(gè)正實(shí)數(shù)x,y滿足：+￡=1,且不等式％+：<巾2-3巾有解，則實(shí)數(shù)小的取值范

xyq

圍是.

4.已知久>0,y>0,且x+16y=xy,貝!J%+y的最小值為.

5.若正實(shí)數(shù)x,y滿足x+y=l,則9+：的最小值是.

三、解答題

6.已知x,y都是正數(shù).

(1)若3%+2y=12,求燈的最大值；

(2)若％+2y=3,求:+；的最小值.

1?

7.已知a>0,b>0,且a-+b：=2.

(1)求a6的最小值；

(2)求a+2b的最小值，并求出a、6相應(yīng)的取值.

8.如圖，在RtZkABC中，Z.ACB=90°,/.BAC=60",AC=4,B

點(diǎn)"在線段四上.

.V

⑴若CM=y/13,求4"的長(zhǎng)；

(2)若點(diǎn)N在線段，姐上，且NMCN=30°,求^MCN的面積最小值并求△MCN的最小面

積時(shí)4V的長(zhǎng).

43

已知％>且-+

9.0,y>0,工y-=1.

(I)求燈的最小值，并求出取得最小值時(shí)X,y的值；

(11)求為+曠的最小值，并求出取得最小值時(shí)x,y的取值.

10.(1)若x>l,求x+三的最小值.

(2)設(shè)0<x<l,a>0,b>0,a,6為常數(shù)，求《+2的最小值.

X1-X

答案和解析

【答案】

1.D2.C

3.(—8,—1)U(4,4-oo)

4.25

5.8

6.解：(1),:3x+2y=12,xy=，?3x?2yW，x(--x^2-)2=6,當(dāng)且僅當(dāng)3%=2y=6時(shí),

等號(hào)成立.

???當(dāng)且僅當(dāng)％=2,y=3時(shí)，燈取得最大值.

(2)v%+2y=3,

>1+21+爭(zhēng)當(dāng)且僅當(dāng)成=條即

XyC+WV蕓T+升點(diǎn)+言

x=3&-3,y=3-薩時(shí)取等號(hào),

二最小值為1+平.

7.解：(1)由a>0,b>0,且—F—=2,

可得2

即abN2,當(dāng)且僅當(dāng)b=2a=2時(shí)取得等號(hào),

則ab的最小值為

2；

(2)。+26=的+26)弓+6="5+弓+與)對(duì)(5+2］于令=|;

等號(hào)成立的充要條件是a=b=|,

a+2b的最小值為*此時(shí)a=b=|.

8.解：⑴在Rt/MBC中，乙4cB=90。，L.BAC=60°,AC=4,

點(diǎn)M在線段四上.

vCM=V13，

CM2=AC2+AM2-2AC-AMcosA,

即13=16+4M2-4TM,

解得力M=1或4M=3.

(2)設(shè)乙4cM=a,a€［0。,60。］在A/ICN中，由正弦定理得：蕓=

AC_AC_AC

sinz-CNAsin(900+a)cosa

???CN=—

cosa

CMACAC

在△中，由正弦定理得:

ACMsin4sinz.AMCsin(60°+a)

2百

???CM

sin(600+a)

i3I?

ASAMCN=?CNsin乙MCN=-----------------=-----------尸，

2sm(600+a)cosa2sin(2a4-60°)+V3

??,0°<a<60°

A60°<2a+60°<180°,

:.0<sin(2a+600)<1

.?.當(dāng)a=15。時(shí)，△MCN的面積最小為：24-12次，

此時(shí)揚(yáng)V最小值為：2.工?cos75。=粵空@=873-12.

cosl5°x/6+V2

9.解：(I)1=±+?N2I---=得孫>48,

Xyy]xyy/xy'

44

當(dāng)且僅當(dāng)3%=4y時(shí)，時(shí)等號(hào)成立,將3x=4y代入；+;;=1,解得％=8,y=6.

xy

?,.的最小值為48,取得最小值時(shí)％=8,y=6.

(II)解法一：由:+；=1,得%=言，???x>0,???y>3,

則x+y=y+券=(y-3)+各+727+4次，

當(dāng)且僅當(dāng)y-3=B，即尤=4+2%,y=3+2通，時(shí)等號(hào)成立.

x+y的最小值為7+473.取得最小值時(shí)x=4+2?y=3+2g.

解法二：由于：+：=1,

則x+y=G+?(x+y)=7+?+藁27+2m=7+4百，

當(dāng)且僅當(dāng)％=4+2痘,y=3+2遍時(shí)等號(hào)成立.

???x+y的最小值為7+4百，取得最小值時(shí)x=4+2g,y=3+26.

10.解：(1)???%>1,?.?％—1>0,

???%+三7=%-1+三7+123(當(dāng)且僅當(dāng)％-1=2敬=2時(shí)取“=”),

???xH——的最小值為3；

X—1

(2)v0<%<1,a>0,b>0,

222z2

A—+—=(―4-—)(%4-1—x)=a4-+—4-&>a4-27db24-h=(a+

X1-xX1-xax-”"1-x

(當(dāng)且僅當(dāng)魚產(chǎn)=若即％=提時(shí)取等號(hào)).

.?.9+總的最小值是(。+6)2.

【解析】

1.解：?:X,y為正實(shí)數(shù)，

...上+型

x+3yx

=病+(1+的-1

電(1+9-1=4-1=3,

當(dāng)且僅當(dāng)(1+?)2=4即X=3y時(shí)"=”成立，

故選：D.

關(guān)鍵基本不等式的性質(zhì)求出代數(shù)式的最小值即可.

本題考查了基本不等式的性質(zhì)，注意應(yīng)用性質(zhì)的條件，本題是一道基礎(chǔ)題.

2.解：6都是正數(shù)，則(1+今(1+9=5+3+即25+2^^=9,當(dāng)且僅當(dāng)8=

2a>0時(shí)取等號(hào).

故選：C.

利用基本不等式的性質(zhì)即可得出.

本題考查了基本不等式的性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

3.【分析】

本題考查不等式成立的條件，注意運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想，求最值，同時(shí)考查乘1法和基本不等式的

運(yùn)用，注意滿足的條件：一正二定三等，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題和一小題.

【解答】

解：正實(shí)數(shù)x,y滿足：+2=1，

xy

則x+U=d+3(x+3=2+把+上？2+2彳=4,

4vxy八4Zy4x\ly4x

當(dāng)且僅當(dāng)y=4%=8,%+：取得最小值4.

由x+三V根2-37n有解，可得7n2-3m>4,

解得m>4或zn<—1.

故答案為(—8,-1)u(4,+8).

4.解：已知％>0,y>0,且x+16y=xy.

即：竺+工=1.

xy

利用基本不等式：則x+y=(x+y)(T+j)=16+l+W+：217+2j^1=25,當(dāng)

且僅當(dāng)x=4y時(shí)成立.

則x+y的最小值為25.

故答案為25.

由x+16y=盯可得當(dāng)+;=1.根據(jù)基本不等式即可得到答案

xy

此題主要考查基本不等式的應(yīng)用問題，題中湊基本不等式是解題的關(guān)鍵，有一定的技巧性，

但覆蓋的知識(shí)點(diǎn)較少，屬于基礎(chǔ)題目.

5.解：根據(jù)題意，x,y滿足x+y=l,

則2+±=匕+￡=工+￡—l=(x+y)(i+-)-1=(1+4+-+—)-1=(-+—)+4>

xyxyxy八％yxy7xy

2吃+4=8,

即q+:的最小值是8；

故答案為：8.

根據(jù)題意，將N+；變形可得則］+；=?+：=1+；-i=(x+y)C+；)-i=Q+4+

?+多—1=?+￡)+4,由基本不等式分析可得答案.

本題考查基本不等式的應(yīng)用，關(guān)鍵是將?+:變形為?+y)+4.

6.(1)由于3x+2y=12,再根據(jù)xy=；,3x?2y,利用基本不等式求得孫的最大值.

O

(2)由x+2y=3,得到1=5+?，故3+T=G+36+W)，利用基本不等式求得最小值.

本題主要考查基本不等式的應(yīng)用，注意基本不等式的使用條件，以及等號(hào)成立的條件，式子

的變形是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.

7.(1)運(yùn)用基本不等式?n+n22s而>0),當(dāng)且僅當(dāng)rn=取得等號(hào)，計(jì)算即可得到

最小值；

(2)運(yùn)用乘1法和基本不等式即可得到最小值，注意等號(hào)成立的條件.

本題考查基本不等式的運(yùn)用：求最值，注意滿足的條件：一正二定三等，同時(shí)注意運(yùn)用乘1

法，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題和易錯(cuò)題.

8.(1)CM=V13,直接利用余弦定理求4"的長(zhǎng)；

(2)設(shè)乙4cM=a,a€［0°,60°］在△力CN中，由正弦定理求出GV；在中，由正弦定理

求出◎/,然后表示出AMCN的面積，利用三角函數(shù)的有界性求出三角形面積的最小值并求

△MCN的最小面積時(shí)助V的長(zhǎng).

本題考查正弦定理與余弦定理的應(yīng)用，三角函數(shù)的以及的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力.

9.(/)利用基本不等式的性質(zhì)即可得出.

(1【)解法一：由:+；=1,得久=言，由x>0,可得y>3,則%+y=y+券=(y—3)+

B19+7,利用基本不等式的性質(zhì)即可得出.

解法二：由于:+；=1,則x+y=G+；)-(x+y)=7+4+￥，利用基本不等式的性質(zhì)

xyxyxy

即可得出.

本題考查了基本不等式的性質(zhì)、不等式的解法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題.

10.(l)x+'=x-l+'+l,運(yùn)用基本不等式可求函數(shù)的最小值；

X—71X—71

(2)-+—=(-+—)(x+1-x)=a2+竺迎+—+b2,運(yùn)用基本不等式可求函數(shù)的

、/％1-xvxIT八'x1-x

最值；

該題考查利用基本不等式求函數(shù)的最值，屬基礎(chǔ)題，對(duì)式子進(jìn)行靈活變形，合理創(chuàng)建使用基

本不等式的條件是解題關(guān)鍵.

《基本不等式》第2課時(shí)提高練習(xí)

一、選擇題

1.若規(guī)定,^|=ad-be,不等式x2-2對(duì)一切xe(0,1］恒成立，則實(shí)數(shù)0

的最大值為()

A.0B.2C.|D.3

2.若x=l滿足不等式a/+2x+l<0,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()

A.(-3,+00)B.(-00,-3)C.(1,4-00)D.(-00,1)

二、填空題

3.⑴已知〃是△力BC的邊4?上的中點(diǎn)，且令前=落瓦？=另則向量而等于.(

用含有⑶6的式子表示)

(2)設(shè)等差數(shù)列｛%｝的公差為d,前〃項(xiàng)和為%.若%=d=1,則呼的最小值為

an

(3)已知直線y=x+1與圓G/+丫2—4ax—2y+3a2=0交于/、8兩點(diǎn)，且AABC

為等腰直角三角形，則圓。的面積為.

(4)長(zhǎng)沙的旅游資源非常豐富，尤其是“山水洲城”的特點(diǎn)對(duì)國內(nèi)外的游客具有很大的

吸引力，某旅游公司用力、6兩種型號(hào)的車輛承擔(dān)“長(zhǎng)沙一日游”的客運(yùn)業(yè)務(wù)，4、8兩

種車輛的載客量分別為36人和60人，營運(yùn)成本分別為1200元/輛和1800元/輛，該公

司擬組建一個(gè)不超過21輛車的客運(yùn)車隊(duì)，并要求6型車不多于A型車7輛.若每天運(yùn)送

游客人數(shù)不少于900.那么合理配備力型車、8型車的數(shù)量，可使日運(yùn)營成本最小，日運(yùn)

營成本的最小值為元.

4.已知函數(shù)f(x)=Tmx?++1的定義域是一切實(shí)數(shù),則卬的取值范圍是.

5.某公司一年購買某種貨物600噸，每次購買x噸，運(yùn)費(fèi)為6萬元/次，一年的總存儲(chǔ)費(fèi)

用為4x萬元.要使一年的總運(yùn)費(fèi)與總存儲(chǔ)費(fèi)用之和最小，則x的值是.

三、解答題

6.某段城鐵線路上依次有4B、C三站，AB=5km,BC=3km,在列車運(yùn)行時(shí)刻表上，

規(guī)定列車8時(shí)整從/站發(fā)車，8時(shí)07分到達(dá)6站并停車1分鐘，8時(shí)12分到達(dá)C站，

在實(shí)際運(yùn)行中，假設(shè)列車從4站正點(diǎn)發(fā)車，在6站停留1分鐘，并在行駛時(shí)以同一速度

詼加"勻速行駛,列車從A站到達(dá)某站的時(shí)間與時(shí)刻表上相應(yīng)時(shí)間之差的絕對(duì)值稱為列

車在該站的運(yùn)行誤差.

(/)分別寫出列車在8、。兩站的運(yùn)行誤差

(〃)若要求列車在8,C兩站的運(yùn)行誤差之和不超過2分鐘，求/的取值范圍.

7.計(jì)算：

(1)已知扇形的周長(zhǎng)為10,面積是4,求扇形的圓心角.

(2)已知扇形的周長(zhǎng)為40,當(dāng)它的半徑和圓心角取何值時(shí)，才使扇形的面積最大?

8.如圖，某學(xué)校準(zhǔn)備修建一個(gè)面積為2400平方米的矩形活動(dòng)場(chǎng)地(圖中ABCD)的圍欄，按

照修建要求，中間用圍墻所隔開，使得/叱為矩形，所切為正方形，設(shè)4B=x米，

已知圍墻(包括EF)的修建費(fèi)用均為每米500元,設(shè)圍墻(包括EF)的修建總費(fèi)用為y元.

AFD

REc

(1)求出y關(guān)于x的函數(shù)解析式及x的取值范圍；

(2)當(dāng)x為何值時(shí)，圍墻(包括EF)的修建總費(fèi)用y最小？并求出y的最小值.

9.(1)不等式(m-2)x2+2(m-2)x-4<0對(duì)一切實(shí)數(shù)x都成立，求實(shí)數(shù)勿的取值范圍.

(2)當(dāng)me[-1,1]時(shí)，不等式2/+mx-3<0恒成立，求實(shí)數(shù)x的取值范圍.

10.一艘船的燃料費(fèi)與船速度的平方成正比，如果此船速度是10km",那么每小時(shí)的燃料

費(fèi)是80元，已知船航行時(shí)其他費(fèi)用為320元/時(shí)，在20癡航程中，船速不得超過

為常數(shù)且a>0),船速多少時(shí)船行駛總費(fèi)用最少？

答案和解析

【答案】

1.B2.B

3.(1申-a；

⑶加

(4)27600

4.0<m<4

5.30

6.解:（/）由題意可知：列車在8,C兩站的運(yùn)行誤差（單位:分鐘）分別是|等-7|和|--11|

⑺由于列車在反C兩站的運(yùn)行誤差之和不超過2分鐘，所以—7|+|產(chǎn)一11|32（*）

當(dāng)0<W一時(shí)，（*）式變形為哼—7+軍—11W2

解得39<v<^

、一

300_,480t…/fTT/U?300480

當(dāng)〒〈3三［■時(shí)，(*)式變形為7-丁+-;;--11<2

解得早<v<^

當(dāng)V>答時(shí)，（*）式變形為7—平+11-等W2

此;4旦480//195

綜上所述，r的取值范圍是［39,詈］

7.解：（1）解：設(shè)扇形的弧長(zhǎng)為：1,半徑為八所以2r+/=10,

「S&y形==4,

解得：r=4,I=2

???扇形的圓心角的弧度數(shù)是：

42

（2）設(shè)扇形的半徑和弧長(zhǎng)分別為r和1,

由題意可得2廠+/=40,

，扇形的面積S=?/-2r<太容丁=100.

當(dāng)且僅當(dāng)1=2r=20,BPZ=20,r=10時(shí)取等號(hào)，

此時(shí)圓心角為a=：=2,

???當(dāng)半徑為10圓心角為2時(shí)，扇形的面積最大，最大值為100.

8.解：(1)設(shè)4D=t米，則由題意得xt=2400,

且t>x,故1=等>X，可得0<%<20n，

則y=500(3%+2t)=500(3%+2x等)，

所以y關(guān)于x的函數(shù)解析式為y=1500(%+等)(0<%<20V6).

(2)y=1500(%+等)>1500x2Jx.等=120000.

當(dāng)且僅當(dāng)“=—,即時(shí)等號(hào)成立.

Xx=40

故當(dāng)x為40米時(shí)，y最小，y的最小值為120000元.

9.解：(1)①當(dāng)m=2時(shí)，不等式為一4<0對(duì)一切實(shí)數(shù)x都成立，

②膜02，

(m<2

(4(m-2/+16(m-2)<0

(m<2

'l(m-2)(m+2)<0

?--2<m<2

所以m6(—2,2]

(2)變換主元，構(gòu)造函數(shù)f(m)=xm+2x2-3

??,mG時(shí)，不等式2/+mx-3<0恒成立

,<o

**1/(1)<o

(2-x—3Vo

12+%-3<0

?**XG(—1,1)

10.解：設(shè)每小時(shí)燃料費(fèi)與航速平方的比例系數(shù)為h則80=kxl02,

解得A=0.8

設(shè)船速為必m/九時(shí)，總費(fèi)用為y元，則：

y=(0.8v2+320)=

即y=16v+(0<v<a)

(1)當(dāng)a<20時(shí)，函數(shù)在(0,a]上單調(diào)遞減，航速akm/九時(shí)船行駛總費(fèi)用最少;

(2)當(dāng)a>20時(shí)，函數(shù)在(0,20］上單調(diào)遞減，［20,+8)上單調(diào)遞增，航速20k7n〃i時(shí)船行駛總

費(fèi)用最少.

【解析】

1.解：由定義可知不等式尤，1|2-2化簡(jiǎn)為。一1)(%+1)一m》2一2,

即/—mx4-1>0對(duì)一切％E(0,1］恒成立，

:.mx<%2+1,

vx6(0,1］,

???m<士匚=%4-2恒成立.

XX

設(shè)/(X)=X+%

則“1LJ-1.

X*X1

則當(dāng)xe(0,l］時(shí)，，II,

???函數(shù)f(x)單調(diào)第減，.??函數(shù)”X)的最小值為f(l)=1+1=2,

m<2,

即實(shí)數(shù)0的最大值為2.

故選：B.

根據(jù)行列式的定義，進(jìn)行化簡(jiǎn)，然后根據(jù)不等式恒成立，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題即可求解

m.

本題主要考查不等式恒成立問題，利用行列式的定義化簡(jiǎn)不等式，然后利用基本不等式的性

質(zhì)進(jìn)行求解即可.

2.解：「xul滿足不等式a/+2x+i<o,

ci+2+1<0,

???a<—3.

故選：B.

由x=l滿足不等式a/+2x+l<0,可得a+2+l<0,即可求出實(shí)數(shù)a的取值范圍.

本題考查不等式的解法，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

3.【分析】

本題考查向量加法的平行四邊形法則及減法運(yùn)算.根據(jù)向量加法的平行四邊形法則及向量的

減法即可用向量a,b表示CD.

【解答】

(1)解：。是△ABC的邊4?上的中點(diǎn)，

通過圖形及已知條件得：

CD(CA+CB)=久84-BC-BC)=-2cI)=扣一a.

故答案為；b—a；

【分析】

本題考查等差數(shù)列的前"項(xiàng)和與第〃項(xiàng)的比值的最小值的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意均

值定理的合理運(yùn)用.由已知條件推導(dǎo)出江膽=上唉陽=巴+勺+匕由此利用均值定理員竺取

a

an1+n-l2n2n

最小值.

【解答】

(2)解：???等差數(shù)列｛an｝的公差為4前〃項(xiàng)和為Sn.al=d=l,

Sn+8n+

14~n—12n2

當(dāng)且僅當(dāng)3=￡即般=4時(shí)，?比取最小值1

2nan2

故答案為:

【分析】

本題考查直線與圓的位置關(guān)系及判定，點(diǎn)到直線的距離.圓a(x-2a)2+(y-1)2=1+a2,

V=l+a2,由題可得%#=在VTT次，進(jìn)而得出圓，的面積.

V22

【解答】

(3)解：圓C：M+y2-4ax-2y+3a2=0,

即(尤—2a)2+(y—l)2=14-a2,

r2=1+a2,

由題可得空等=立VF*,

V22

可得N=a24-1=I，

圓。的面積為

故答案為［九

【分析】

本題考查了線性規(guī)劃在實(shí)際問題中的應(yīng)用，屬于中檔題?設(shè)應(yīng)配備4型車、8型車各x輛，y

輛，營運(yùn)成本為z元；從而可得％+yW21y—%W736%+60yN900%€Ny€N；z=

1200%+1800y；利用線性規(guī)劃求解.

【解答】

(4)解：設(shè)應(yīng)配備力型車、6型車各x輛，y輛，營運(yùn)成本為z元；

%+y<21

y-x<7

則由題意得,

36%+60y>900'

xEN,yGN

z=1200%+1800y；

故作平面區(qū)域如下，

故聯(lián)立｛:道0.6/

解得，x=5,y-12；

此時(shí)，z=1200%+1800y有最小值1200x5+1800x12=27600元.

故答案為27600.

4.解：?.?函數(shù)/(x)=Tmx2+mx+1的定義域是一切實(shí)數(shù),

???mx2+mx+1>0對(duì)一切xGR恒成立，

當(dāng)m=0時(shí)，上式變?yōu)?>0,恒成立，

當(dāng)mH0時(shí)，必有｛<7>P解之可得0<mW4,

綜上可得0<m<4

故答案為0<m<4

問題等價(jià)于對(duì)一切％恒成立，分？和。兩種情況可得答案.

+mx+1>06Rn=0,m0

本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，涉及函數(shù)的定義域和不等式恒成立問題，屬基礎(chǔ)題.

5.解：由題意可得：一年的總運(yùn)費(fèi)與總存儲(chǔ)費(fèi)用之和=%x6+4尤N4x2x陛二=

240(萬元).

當(dāng)且僅當(dāng)x=30時(shí)取等號(hào).

故答案為：30.

由題意可得：一年的總運(yùn)費(fèi)與總存儲(chǔ)費(fèi)用之和=^x6+4,利用基本不等式的性質(zhì)即可

得出.

本題考查了基本不等式的性質(zhì)及其應(yīng)用，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

6.(/)因?yàn)樾旭倳r(shí)以同一速度以m/h勻速行駛，列車從4站到達(dá)某站的時(shí)間與時(shí)刻表上相應(yīng)

時(shí)間之差的絕對(duì)值稱為列車在該站的運(yùn)行誤差.所以可以得到列車在8.C兩站的運(yùn)行誤差

(〃)要求列出在氏C兩站的運(yùn)行誤差之和不超過2分鐘，即可得到關(guān)于r的不等式，然后

求解即可.

本小題是個(gè)難題，主要考查解不等式等基本知識(shí)，考查應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)分析問題和解決問題的

能力.在解不等式時(shí)，采取了分類討論的方法去絕對(duì)值.

7.(1)根據(jù)題意設(shè)出扇形的弧長(zhǎng)與半徑，通過扇形的周長(zhǎng)與面積，即可求出扇形的弧長(zhǎng)與

半徑，進(jìn)而根據(jù)公式a=」求出扇形圓心角的弧度數(shù).

r

(2)由題意設(shè)扇形的半徑和弧長(zhǎng)分別為r和1,可得2r+1=40,扇形的面積S=?

2r,由基本不等式可得.

本題主要考查扇形的周長(zhǎng)與扇形的面積公式的應(yīng)用，考查了基本不等式的應(yīng)用以及學(xué)生的計(jì)

算能力，屬于基礎(chǔ)題.

8.本題考查函數(shù)模型的構(gòu)建，考查基本不等式的運(yùn)用，確定函數(shù)模型是關(guān)鍵.

(1)根據(jù)面積確定的長(zhǎng)，利用圍墻(包括EF)的修建費(fèi)用均為500元每米，

即可求得函數(shù)的解析式；

(2)根據(jù)函數(shù)的特點(diǎn)，滿足一正二定三取等號(hào)的條件，利用基本不等式，

即可確定函數(shù)的最值.

9.(1)分二次項(xiàng)系數(shù)為0,與不為0,進(jìn)行討論，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求得實(shí)數(shù)卬

的取值范圍.

(2)變換主元，構(gòu)造函數(shù)f(m)=xm+2/-3,從而可建立不等關(guān)系，即可求得實(shí)數(shù)0的取

值范圍.

本題以不等式為載體，考查恒成立問題，解題的關(guān)鍵是等價(jià)轉(zhuǎn)化，構(gòu)造新函數(shù).

10.設(shè)每小時(shí)燃料費(fèi)與航速平方的比例系數(shù)為4,由條件求得A,設(shè)航速為必m"時(shí)，總費(fèi)

用為y元，求得y=16u+等(0<vWa),分類討論即可得到最小值.

本題考查函數(shù)的最值的應(yīng)用題，考查運(yùn)用函數(shù)的單調(diào)性求最值，運(yùn)用基本不等式求最值，考

查運(yùn)算能力，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題.

《基本不等式》第3課時(shí)提高練習(xí)

一、選擇題

11.若x>0,y>0,且2x+y=2,則：的最小值是()

xy

A.2B.C.V2D.g+y/2

%4-y<6

12.已知變量x,y滿足約束條件x-3y<一2若目標(biāo)函數(shù)z=ax4-by(a>0,b>0)的最小

x>1

值為2,則;+g的最小值為()

A.2+V3B.5+2V6C.8+V15D.2V3

二、填空題

13.若實(shí)數(shù)x,y滿足x>y>0,且log2%+log2y=1，則,的最小值為____.

x~y

14.函數(shù)了=罌的最小值是____.

Jy/x2+2

15.已知函數(shù)/(吟=2丫+/(x>0),則f(x)的最小值為.

三、解答題

16.已知不等式Q/—3%+2<0的解集為4=｛x|l<x<b].

(1)求a,b的值；

(2)求函數(shù)f(乃=(2a+b)x一君；。￡4)的最小值.

17.已知數(shù)列｛dn｝的前〃項(xiàng)和4n="2(71eN*),bn=(71G/V"),數(shù)列｛4｝的前〃

項(xiàng)和為

(/)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

。/)設(shè)C"=^(nGN*),求數(shù)列｛&｝的前〃項(xiàng)和Cn；

(/〃)證明：2n<B”<2?i+2(neN*).

18.(1)證明柯西不等式：(a2+h2)(c2+d2)>(ac+fad)2；

(2)若a,66/?+且。+%=1,用柯西不等式求V3a+1+73b+1的最大值.

19.已知x,y>0,a,6為正常數(shù)，且￡+；=1.

(1)若a=l,b=9,求x+y的最小值；

(2)若a+b=10,x+y的最小值為18.求a,6的值；

(3)若a=l,b=1,且不等式(2x-y)22m(x+2y)恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

20.已知直線/：kx—y+1+2k=O(kG/?).

(1)證明：直線1過定點(diǎn)；

(2若直線/交x軸負(fù)半軸于點(diǎn)4交y軸正半軸于點(diǎn)8,。為坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)A/lOB的面

積為S,求S的最小值及此時(shí)直線1的方程.

答案和解析

【答案】

1.D2.A

3.4

4.運(yùn)

2

5.3

1+8=；

6.解:(1)由題意知:lxb=2，解得Q=l，b=2.

a

a>0

(2)由(1)知a=l,6=2,A={x\l<x<2],/(%)=4%+(1<%<2),

而%>0時(shí)，4%+->2kx--=2x6=12,當(dāng)且僅當(dāng)4%=2,即％=?時(shí)取等號(hào),

X7XX2

而％=I”,

???/(%)的最小值為12.

2

7.解：(1)當(dāng)n22時(shí)，An=nf4rl—=(n—1)2,

兩式相減：an=An—4n_i=2n-1；

當(dāng)ri=1時(shí)，％=4=1,也適合a九=2n—1,

故數(shù)列{&J的通項(xiàng)公式為an=2n-1.

(H)由題意知：4="=9，

Cn=c1+c2+-+cM.

g=?費(fèi)+亮+…+辭，

兩式相減可得：稱=*+真+盤+…+京一條4,

即今=#6+專+專+…+/）—翁，

C

n_1,ri1、2n-l

三一+（1―布）一行

所以Cn=3—簧.

ZTTTXr271—12n+1

(111)%=有+不1

,l2n-l2n+l

顯然器+黑＞2.,j-----------------=2，

yj2n+l2n-l

即27n>2,Bn=瓦+力2+…+%>2n；

r-jr-r271-12?l+122

另一方面，右r+n1一三+1+三=2+---------

2n+l2n-l2n-l2n+l

即瓦=2+[—=24---...?匕九=2+2--舟，Bn=(2+>|)+(2+|_

2227

-)+-+(2+—--)=2n+2--<2n+2,

即：2九<%V2幾+2.

8.解：(1)證明：(Q2+h2)(c2+d2)—(ac+bd)2=(ad—be)2>0

A(a2+&2)(c2+d2)>(ac+bd)2.

(2)由柯西不等式可得(I?+l2)[(V3a+I)2+(V3&+l)2]>(V3a+1+V3h+1)2.

???a+/?=l,/.(V3a+14-V3h+I)2<10,:.，3a+1+73b+1的最大值為

9.解：⑴由題意：§1+三9=1，

則x+y=(x+y)d+2)=1+藝+u+9210+21--^=16,

八%/yx-Jyx

f^=y

且僅當(dāng),即x=4,y=12時(shí)取等號(hào)，

-+-=1

y

?,?x+y的最小值為16；

(2)因?yàn)閍+b=10,且x,y,a,b>0,

則％+丫=。+/(2+2)=。+如+空+6=。+6+生+空=10+生+空210+

八JJ\J八xy，yxyxyx

2(^=10+2?

Myx

bx_ay

j/時(shí)取等號(hào)，則2癡=8，即ab=16,

(#+y-

解得：&或｛j要

(3)解法一：由題意，：+：=1,則芒?=1,則％+2y=町/；

xyxy

因?yàn)椴坏仁健?2y尸>m(x+2y)恒成立，則m<("一?)，

yy(x-2y)2_、2+4y24%y_(%+2y)28y_(%+2燈-8(x+2y)

=(X4-2y)-8;

x+2yx+2yx+2yx+2y

且(x+2y)—8=(%+2y)(—+—)—8=2+—+—+2—8=—+——4>2—4=0>

'J''，八％/yXyXylyX

仔="

當(dāng)且僅當(dāng)上；，即x=4,y=2時(shí)取等號(hào)；

I—I—=1

1%y

???加的取值范圍是m<0；

法二：因?yàn)椴坏仁?x-2y)2>m(x+2y)恒成立，則m<('一?)，

則山4右箸)min；

因?yàn)閤+2y>0,(x-2y)2>0,

當(dāng)x=2y時(shí)，(甯入譏=0，

所以卬的取值范圍是m<0.

10.解：(1)證明：由已知得k(x+2)+(l-y)=0

.?.無論在取何值，直線過定點(diǎn)(一2,1)；

(2)令y=0得A點(diǎn)坐標(biāo)為(-2-p0),

令x=0得6點(diǎn)坐標(biāo)為(0,2k+l)(fc>0)

11

???S〉A(chǔ)OB=51_2_］；l|2k+l|

乙K,

111

=-(2+?)(2/c+l)=(4k+-+4)

乙KK

1

>-(44-4)=4

當(dāng)且僅當(dāng)4/c=%即/c=1時(shí)取等號(hào).

即4408的面積的最小值為4,此時(shí)直線1的方程為1%-y+1+1=0.即x—2y+4=

0.

【解析】

1.解：,?,2%+y=2

2

??q+：Q+9G+3=|+2+岸|+2,看^升近（當(dāng)且僅當(dāng)2/=y2時(shí)，等號(hào)成

立）

故選D

先根據(jù)2》+y=2求得x+白1,進(jìn)而可把求］+加最小值轉(zhuǎn)化為求（x+3C+§的最小值,

然后展開后利用基本不等式求得其最小值.

本題主要考查了基本不等式在最值問題中的應(yīng)用.本題的解題巧妙的利用了“+楙=1,構(gòu)造

出了基本不等式的形式，求得問題的答案.

2.【分析】

本題考查了簡(jiǎn)單線性規(guī)劃問題和基本不等式的應(yīng)用求最值；關(guān)鍵是求出a+b=2,對(duì)所求

變形為基本不等式的形式求最小值.

【解答】

解：約束條件對(duì)應(yīng)的區(qū)域如圖：目標(biāo)函數(shù)z=ax+by（a>0,b>0）經(jīng)過C時(shí)取最小值為2,

所以a+b=2,

則：+；=耙+》（。+。）=34+"9

>2