一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知集合，，則中元素的個數(shù)為（）A.3 B.4 C.5 D.6【答案】B【解析】【分析】化簡集合，根據(jù)交集的定義求得，進(jìn)而可求解.【詳解】因為，所以，則中元素的個數(shù)為4個.故選：B.2.給定下列兩種說法：①已知，命題“若，則”的否命題是“若，則”，②“，使”的否定是“，使”，則（）A.①正確②錯誤 B.①錯誤②正確 C.①和②都錯誤 D.①和②都正確【答案】D【解析】【分析】根據(jù)否命題和命題的否定形式，即可判定①②真假.【詳解】①中，同時否定原命題的條件和結(jié)論，所得命題就是它的否命題，故①正確；②中，特稱命題的否定是全稱命題，所以②正確，綜上知，①和②都正確.故選：D【點睛】本題考查四種命題的形式以及命題的否定，注意命題否定量詞之間的轉(zhuǎn)換，屬于基礎(chǔ)題.3.函數(shù)y＝的最小正周期是（）A. B. C.π D.2π【答案】B【解析】【分析】首先將正切化簡為正弦和余弦，再利用二倍角公式進(jìn)一步化簡，求函數(shù)的周期.【詳解】y＝＝＝cos22x－sin22x＝cos4x，所以最小正周期.故選：B4.已知函數(shù)，滿足對任意x1≠x2，都有0成立，則a的取值范圍是（）A.a∈(0,1) B.a∈[,1) C.a∈(0,] D.a∈[,2)【答案】C【解析】【分析】根據(jù)條件知在R上單調(diào)遞減，從而得出，求a的范圍即可．【詳解】∵滿足對任意x1≠x2，都有0成立，∴在R上是減函數(shù)，∴，解得，∴a的取值范圍是．故選：C．5.塑料袋給我們生活帶來了方便，但塑料在自然界可停留長達(dá)200~400年之久，給環(huán)境帶來了很大的危害，國家發(fā)改委、生態(tài)環(huán)境部等9部門聯(lián)合發(fā)布《關(guān)于扎實推進(jìn)污染物治理工作的通知》明確指出，2021年1月1日起，禁用不可降解的塑料袋、塑料餐具及一次性塑料吸管等，某品牌塑料袋經(jīng)自然降解后殘留量與時間年之間的關(guān)系為，其中為初始量，為光解系數(shù).已知該品牌塑料袋2年后殘留量為初始量的.該品牌塑料袋大約需要經(jīng)過（）年，其殘留量為初始量的10%.（參考數(shù)據(jù)：，）A.20 B.16 C.12 D.7【答案】B【解析】【分析】由，解方程即可.【詳解】依題意有時，，則，當(dāng)時，有，，.故選：B6.已知為的導(dǎo)函數(shù)，則的圖象大致是（）A B.C D.【答案】B【解析】【分析】利用誘導(dǎo)公式對函數(shù)解析式進(jìn)行化簡，再利用函數(shù)的奇偶性及函數(shù)在原點右邊的小鄰域內(nèi)單調(diào)遞減，即可選出正確答案.【詳解】因為，所以，所以為奇函數(shù)，排除A，D；因為，，當(dāng)時，，所以在內(nèi)遞減.故選B.【點睛】本題考查導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的應(yīng)用、誘導(dǎo)公式、奇偶性、單調(diào)性的綜合運用，求解時要充分利用圖象提供的信息，尋找隱含條件，考查邏輯推理能力和運算求解能力.7.已知函數(shù)，設(shè)，則，，的大小關(guān)系為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先研究函數(shù)的性質(zhì)，利用奇偶性對函數(shù)值進(jìn)行等價變形，最后利用單調(diào)性進(jìn)行比較大小.【詳解】解：已知的定義域為，且，所以函數(shù)為偶函數(shù)，當(dāng)時，函數(shù)為增函數(shù)，所以，.因為在定義域上為單調(diào)遞增函數(shù)，所以，即，因為在上為增函數(shù)，所以，因為在定義域上為單調(diào)遞增函數(shù)，所以，所以，根據(jù)函數(shù)在上為增函數(shù)，所以，所以.故選：A．8.設(shè)函數(shù)．若為函數(shù)的零點，為函數(shù)的圖象的對稱軸，且在區(qū)間上有且只有一個極大值點，則的最大值為（）A. B. C. D.12【答案】A【解析】【分析】直接利用，，求出和的表達(dá)式，進(jìn)一步利用在區(qū)間上有且只有一個極大值點，通過分類討論求出的值，進(jìn)而可得最大值.【詳解】由已知得，，，則，其中，因為，當(dāng)時，當(dāng)時，，因為在區(qū)間上有且只有一個極大值點，所以，解得，即，所以，當(dāng)時，，此時，此時有兩個極大值點，舍去；當(dāng)時，，此時，此時有一個極大值點，成立；所以的最大值為.故選：A.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題的關(guān)鍵是通過條件將和都用整數(shù)表示出來，然后對的值由大到小討論找到符合條件的結(jié)果.9.《九章算術(shù)》是我國古代第一部數(shù)學(xué)專著，其中有如下記載：將底面為矩形，一側(cè)棱垂直于底面的四棱錐稱為陽馬.現(xiàn)有如圖所示的直徑長為2的膠泥球胚，某數(shù)學(xué)興趣小組的同學(xué)需在此膠泥球胚中切割出底面為正方形，且垂直于底面的側(cè)棱與底面正方形邊長相等的陽馬模型的幾何體（實物體），若要使該陽馬體積最大，則應(yīng)削去的膠泥的體積大約為（）（）A.2.8 B.3.2 C.3.5 D.4.8【答案】C【解析】【分析】根據(jù)陽馬的定義，可借助截出陽馬的正方體來求解體積，要使陽馬體積最大，則原正方體的體積應(yīng)該最大，即球的內(nèi)接正方體，此時體對角線的長等于球的直徑.【詳解】如圖正方體中，四棱錐即為陽馬.設(shè)正方體邊長為，體積為，顯然，所以，當(dāng)該正方體體積最大時，該陽馬體積最大.在球的內(nèi)部，任意構(gòu)造一個正方體，顯然球的內(nèi)接正方體體積最大，應(yīng)有正方體的對角線等于球的直徑，即.又，所以，則，則，所以.又球的體積為，所以，應(yīng)削去的膠泥的體積為.故選：C.10.已知函數(shù)是定義域為的偶函數(shù)，是奇函數(shù)，則下列結(jié)論不正確的是（）A. B.C.是以4為周期的函數(shù) D.的圖象關(guān)于對稱【答案】B【解析】【分析】根據(jù)抽象函數(shù)的對稱性結(jié)合周期性判斷各個選項即可.【詳解】因為函數(shù)是定義域為的偶函數(shù)，所以，因為是奇函數(shù)，所以，將換成，則有，A：令，所以，因此本選項正確；B：因為，所以函數(shù)關(guān)于點對稱，由，可得，的值不確定，因此不能確定的值，所以本選項不正確；C：因為，所以，所以，因此是以4為周期的函數(shù)，因此本選項正確；D：因為，所以，因此有，所以函數(shù)的圖象關(guān)于對稱，由上可知是以4為周期的函數(shù)，所以的圖象也關(guān)于對稱，因此本選項正確，故選：B.11.在銳角中，若，且，則能取到的值有（）A.2 B. C. D.4【答案】D【解析】【分析】由得到，再根據(jù)正弦定理將化簡整理可得，由為銳角三角形得到，根據(jù)正弦定理可得，最后結(jié)合兩角差的正弦公式、輔助角公式即可求解.【詳解】由，又，所以，則.因為，根據(jù)正弦定理得，故，即，所以，即，根據(jù)正弦定理得，所以，因為為銳角三角形，且，所以，即，解得，所以，因為，所以，則，所以，即.故選：D.12.已知函數(shù)，設(shè)方程的3個實根分別為，且，則的值可能為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用導(dǎo)數(shù)研究的單調(diào)性、極值及區(qū)間值域，由題設(shè)可知在上必有兩個不等的實根(假設(shè))且，結(jié)合的性質(zhì)有且，，進(jìn)而求目標(biāo)式的值，即可確定答案.【詳解】由題設(shè)，的定義域為，且，∴當(dāng)時，，即遞減；當(dāng)時，，即遞增.∴，又在上逐漸變小時逐漸趨近于0，當(dāng)時且隨趨向于0，趨向無窮大.∴的圖象如下：∵的定義域為，由可得：在上必有兩個不等的實根(假設(shè))且，∴令，要使的3個實根，則、，即，可得.∴由知：，，∴.故選：B.【點睛】首先應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究性質(zhì)，根據(jù)有3個實根，則在上必有兩個不等的實根，結(jié)合的值域求m的范圍且、，即可求目標(biāo)式的范圍.二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．把答案填在答題紙上.13.計算：______.【答案】5【解析】【分析】根據(jù)指數(shù)以及對數(shù)的運算性質(zhì)即可求解.【詳解】，故答案為：14.已知函數(shù)的定義域是，則函數(shù)的定義域是______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)抽象函數(shù)定義域求法和分式、根式有意義的要求可構(gòu)造方程組求得結(jié)果.【詳解】由題意知：，解得：，的定義域為.故答案為：.15.若為偶函數(shù)，則實數(shù)______________.【答案】1【解析】【分析】根據(jù)奇偶性直接求解即可.【詳解】因為為偶函數(shù)，故.故答案為：116.如圖1，在矩形ABCD中，，E為AB的中點，將沿DE折起，點A折起后的位置記為點，得到四棱錐，M為的中點，如圖2.某同學(xué)在探究翻折過程中線面位置關(guān)系時，得到下列四個結(jié)論：①恒有；②異面直線所成角的正切值為2；③存在某個位置，使得平面平面.④三棱錐的體積的最大值為；其中所有正確結(jié)論序號是___________.【答案】①②④【解析】【分析】根據(jù)翻折前后的位置關(guān)系，即可判斷①；根據(jù)異面直線所成角的定義，即可作圖判斷②；若平面平面，結(jié)合垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化，即可推出矛盾判斷③；利用等體積轉(zhuǎn)化判斷④.【詳解】①由圖1可知，，所以，故①正確；②如圖，取的中點，連結(jié)，則，且,，，所以，所以四邊形是平行四邊形，,所以異面直線所成角為與所成的角，即為所求角，，故②正確；③若平面平面，且平面平面，因為，所以平面，平面，所以，因為，所以,中，，即,所以不成立，故③錯誤；④取的中點，連結(jié)，當(dāng)平面平面時，到平面的距離最大，因為，為的中點，所以，又因為平面平面時，所以平面，，所以四棱錐體積的最大值為，為的中點，三棱錐的體積的最大值為，故④正確.故答案為：①②④三、解答題：共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第17～21題為必考題，每個試題考生都必須作答．第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.17.在中，內(nèi)角所對的邊分別為且．（1）求角的大??；（2）若，且的面積為，求的周長．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)正弦定理與余弦定理化簡即可；（2）由的面積為可得，再根據(jù)余弦定理即可得，進(jìn)而求得周長.【小問1詳解】由正弦定理，即，由余弦定理，且，故.【小問2詳解】由題意，解得.由余弦定理，可得.故的周長為18.設(shè)函數(shù)．（1）設(shè)，若函數(shù)有三個不同零點，求c的取值范圍；（2）求證：是有三個不同零點的必要而不充分條件．【答案】（1）；（2）證明見試題解析．【解析】【分析】（1）分別將代入原式，求得導(dǎo)函數(shù)判斷其單調(diào)性，求得其極值，即可判斷三個零點，可求得c的范圍；（2）導(dǎo)函數(shù)是一個二次函數(shù)，討論其判別式，先證明其必要性，再證明其不充分性，可得結(jié)果.【詳解】（1）當(dāng)時，，所以．令，得，解得或．與在區(qū)間上的情況如下： 所以當(dāng)且時，存在，，，使得．由的單調(diào)性知，當(dāng)且僅當(dāng)時，函數(shù)有三個不同零點．（2）當(dāng)時，，，此時函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以不可能有三個不同零點；當(dāng)時，只有一個零點，記作．當(dāng)時，，在區(qū)間上單調(diào)遞增；當(dāng)時，，在區(qū)間上單調(diào)遞增．所以不可能有三個不同零點．綜上所述，若函數(shù)有三個不同零點，則必有，故是有三個不同零點的必要條件．當(dāng)，時，，只有兩個不同零點，所以不是有三個不同零點的充分條件．因此是有三個不同零點的必要而不充分條件．【點睛】本題主要考查了導(dǎo)函數(shù)的應(yīng)用，熟悉導(dǎo)函數(shù)判別單調(diào)性和極值是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題目.19.已知函數(shù)，再從條件①：的最大值為1；條件②：的一條對稱軸是直線﹔條件③：的相鄰兩條對稱軸之間的距離為﹐這三個條件中選擇能確定函數(shù)解析式的兩個合理條件作為已知，求：（1）函數(shù)的解析式；（2）已知，若在區(qū)間上的最小值為，求m的最大值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用三角恒等變換化簡，再由三角函數(shù)的性質(zhì)分別轉(zhuǎn)化三個條件，即可得解；（2）先求出的解析式，再由正弦函數(shù)的性質(zhì)即可確定m的取值范圍，即可得最大值.【小問1詳解】由題意，函數(shù)，若選①：的最大值為1，則，則，若選②：的一條對稱軸是直線,則由，不符合正弦函數(shù)對稱軸的要求，不合題意；若選③：的相鄰兩條對稱軸之間的距離為，則函數(shù)的最小正周期,可得；所以只能選擇條件①③作為已知，此時；【小問2詳解】由題意，，當(dāng)，則，若在區(qū)間上的最小值為，則，所以，所以m的最大值為.20.如圖，已知三棱柱的側(cè)棱與底面垂直，，，，分別是，的中點，點在直線上．（1）證明：；（2）當(dāng)平面與平面所成的銳二面角為時，求平面與側(cè)面的交線長．【答案】（1）證明見解析（2）1【解析】【分析】(1)建立以分別作為軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系，求出各點的坐標(biāo)，只需證明即可證明；(2)利用空間坐標(biāo)系，求出P點坐標(biāo)，即可得P點位置，作出平面與側(cè)面的交線，再計算即可.【小問1詳解】解：由題意兩兩垂直.所以以分別作為軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，則．∵M(jìn)是的中點，N是的中點，∴，設(shè)，∴，則，則，所以．【小問2詳解】解：設(shè)，則，設(shè)平面的一個法向量為，則，即令，則，又平面的一個法向量為，平面與平面所成的銳二面角為時，∴，即，解得，此時，如圖位置，設(shè)為的中點，連接，交于點，由且∥,所以與全等，則為中點,連接,由分別為中點，則∥,又分別為中點，則∥，所以∥,所以點共面，又,所以共面，即面與面重合.所以平面與側(cè)面的交線為，所以交線長度為.21.已知函數(shù)（，e為自然對數(shù)的底數(shù)）（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若不等式在區(qū)間上恒成立，求實數(shù)k的取值范圍．【答案】（1）單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；（2）【解析】【分析】（1）對函數(shù)求導(dǎo)，利用導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性及零點確定導(dǎo)函數(shù)大于0、小于0的解集，即可得解；（2）轉(zhuǎn)化不等式為在區(qū)間上恒成立，構(gòu)造函數(shù)，利用端點處的函數(shù)值及導(dǎo)數(shù)，分類討論即可得解.【小問1詳解】由題意，，則，由在上均單調(diào)遞減，所以在上單調(diào)遞減，又，所以當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；【小問2詳解】不等式即在區(qū)間上恒成立，令，則，，所以，若，即時，此時存在使得當(dāng)時，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，，不合題意；若時，，令，則，所以單調(diào)遞減，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，所以在上單調(diào)遞減，所以，符合題意；綜上，實數(shù)k的取值范圍為.【點睛】關(guān)鍵點點睛：解決本題的關(guān)鍵是端點效應(yīng)及多次求導(dǎo)的應(yīng)用，在進(jìn)行多次求導(dǎo)時，要清楚每次求導(dǎo)的作用.22.平面直角坐標(biāo)系