章末復(fù)習(xí)提升網(wǎng)絡(luò)構(gòu)建

要點(diǎn)聚焦內(nèi)容索引網(wǎng)絡(luò)構(gòu)建形成體系1要點(diǎn)聚焦

類型突破2要點(diǎn)一導(dǎo)數(shù)的幾何意義及應(yīng)用導(dǎo)數(shù)幾何意義的應(yīng)用，主要體現(xiàn)在與切線方程有關(guān)的問題上.利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線方程的關(guān)鍵是弄清楚所給的點(diǎn)是不是切點(diǎn)，常見類型有兩種：一種是求“在某點(diǎn)處的切線方程”，此點(diǎn)一定為切點(diǎn)，先求導(dǎo)，再求斜率，進(jìn)而求出切線方程；另一種是求“過某點(diǎn)的切線方程”，這種類型中的點(diǎn)不一定是切點(diǎn)，可先設(shè)切點(diǎn)為Q(x1，y1)，則切線方程為y－y1＝f′(x1)(x－x1)，再由切線過點(diǎn)P(x0，y0)得y0－y1＝f′(x1)(x0－x1).①又已知y1＝f(x1)②由①②求出x1，y1的值，即求出了過點(diǎn)P(x0，y0)的切線方程.切線問題是高考的熱點(diǎn)內(nèi)容之一，在高考試題中既有選擇題、填空題，也有綜合性大題，難度一般為中等.【例1】

(1)已知a∈R，設(shè)函數(shù)f(x)＝ax－lnx的圖象在點(diǎn)(1，f(1))處的切線為l，則l在y軸上的截距為________.1令x＝0，得y＝1，即直線l在y軸上的截距為1.解析由y′＝ex，知曲線y＝ex在點(diǎn)(0，1)處的切線斜率k1＝e0＝1.(1，1)依題意k1k2＝－1，所以m＝1，從而n＝1.則點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1，1).2x＋y＋1＝02x＋y＋1＝0要點(diǎn)二導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性(1)在利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時(shí)，首先要確定函數(shù)的定義域，解題過程中，只能在定義域內(nèi)討論導(dǎo)數(shù)的符號(hào)，進(jìn)而判斷函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.特別要注意寫單調(diào)區(qū)間時(shí)，區(qū)間之間用“和”或“，”隔開，絕對(duì)不能用“∪”連接.(2)函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)函數(shù)值的關(guān)系函數(shù)f(x)在(a，b)內(nèi)可導(dǎo)，若f′(x)>0，則函數(shù)f(x)在(a，b)內(nèi)單調(diào)遞增；若f′(x)<0，則函數(shù)f(x)在(a，b)內(nèi)單調(diào)遞減.反之，若函數(shù)f(x)在(a，b)內(nèi)單調(diào)遞增，則f′(x)≥0；若函數(shù)f(x)在(a，b)內(nèi)單調(diào)遞減，則f′(x)≤0.即f′(x)>0(f′(x)<0)是f(x)為增(減)函數(shù)的充分不必要條件.令f′(x)>0，則0<x<1或x>2，令f′(x)<0，則1<x<2，所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0，1)和(2，＋∞)，單調(diào)遞減區(qū)間為(1，2).即4x3＋3x2－6x＋6a≥0，則h′(x)＝2x2＋x－1＝(2x－1)(x＋1)，設(shè)g(x)＝x2－ax＋2，二次方程g(x)＝0的判別式Δ＝a2－8.當(dāng)x變化時(shí)，f′(x)、f(x)的變化情況如下表：x(0，x1)x1(x1，x2)x2(x2，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)↗極大值↘極小值↗要點(diǎn)三導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的極值、最值(1)導(dǎo)數(shù)與函數(shù)極值的關(guān)系對(duì)于可導(dǎo)函數(shù)f(x)，f′(x0)＝0是函數(shù)f(x)在x＝x0處有極值的必要不充分條件.(2)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)極值、最值應(yīng)注意三點(diǎn)①求單調(diào)區(qū)間時(shí)，應(yīng)先求函數(shù)的定義域，遵循定義域優(yōu)先的原則；②f′(x0)＝0時(shí)，x0不一定是極值點(diǎn)；③求最值時(shí)，應(yīng)注意極值點(diǎn)和所給區(qū)間的關(guān)系，關(guān)系不確定時(shí)應(yīng)分類討論.【例3】

已知函數(shù)f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，過曲線y＝f(x)上的點(diǎn)P(1，f(1))的切線方程為y＝3x＋1，y＝f(x)在x＝－2時(shí)有極值. (1)求f(x)的解析式；解f′(x)＝3x2＋2ax＋b，f′(1)＝3＋2a＋b，過曲線上P點(diǎn)的切線方程為y－f(1)＝(3＋2a＋b)(x－1)，即y－(a＋b＋c＋1)＝(3＋2a＋b)(x－1)，整理得，y＝(3＋2a＋b)x－a＋c－2.已知該切線方程為y＝3x＋1，因?yàn)閥＝f(x)在x＝－2時(shí)有極值，所以f′(－2)＝0，所以－4a＋b＝－12，所以f(x)＝x3＋2x2－4x＋5.(2)求y＝f(x)在[－3，1]上的單調(diào)區(qū)間和最大值.解f′(x)＝3x2＋4x－4＝(3x－2)(x＋2).所以f(x)在區(qū)間[－3，1]上的最大值為13.解f′(x)＝－3x2＋2ax＋b，函數(shù)分別取得極小值、極大值，當(dāng)x＝－2時(shí)，f(－2)＝2，即切點(diǎn)為(－2，2).又因?yàn)榍芯€斜率k＝f′(－2)＝－8，所以，所求切線方程為y－2＝－8(x＋2)，即8x＋y＋14＝0.解當(dāng)x變化時(shí)，f′(x)，f(x)的變化情況如下表：(2)求函數(shù)y＝f(x)在[－2，1]上的最大值與最小值.要點(diǎn)四導(dǎo)數(shù)與函數(shù)、不等式的綜合應(yīng)用利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)是高考的必考內(nèi)容，也是高考的重點(diǎn)、熱點(diǎn).考題利用導(dǎo)數(shù)作為工具，考查求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、函數(shù)的極值與最值，參數(shù)的取值范圍等問題，若以選擇題、填空題出現(xiàn)，以中低檔題為主；若以解答題形式出現(xiàn)，則難度以中檔以上為主，有時(shí)也以壓軸題的形式出現(xiàn).考查中常滲透函數(shù)、不等式等有關(guān)知識(shí)，綜合性較強(qiáng).【例4】已知函數(shù)f(x)＝xlnx.(1)求f(x)的最小值；解

f(x)的定義域是(0，＋∞)，f′(x)＝1＋lnx，(2)若對(duì)所有x≥1都有f(x)≥ax－1，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；解

∵f(x)＝xlnx，當(dāng)x≥1時(shí)，f(x)≥ax－1恒成立，等價(jià)于xlnx≥ax－1(x≥1)恒成立，∴g(x)在[1，＋∞)上單調(diào)遞增，∴g(x)min＝g(1)＝1，∴a≤1，即實(shí)數(shù)a的取值范圍為(－∞，1].(3)若關(guān)于x的方程f(x)＝b恰有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)b的取值范圍.解

若關(guān)于x的方程f(x)＝b恰有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，即y＝b的圖象和y＝f(x)的圖象在(0，＋∞)上有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，(2)若函數(shù)f(x)恰有一個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍.解

f′(x)＝3x2－9x＋6＝3(x－2)(x－1)，由f′(x)>0?x>2或x<1，由f′(x)<0?1<x<2，∴f(x)在(－∞，1)和(2，＋∞)上單調(diào)遞增，在(1，2)上單調(diào)遞減，備用工具&資料(2)若對(duì)所有x≥1都有f(x)≥ax－1，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；解

∵f(x)＝xlnx，當(dāng)x≥1時(shí)，f(x)≥ax－1恒成立，等價(jià)于xlnx≥ax－1(x≥1)恒成立，∴g(x)在[1，＋∞)上單調(diào)遞增，∴g(x)min＝g(1)＝1，∴a≤1，即實(shí)數(shù)a的取值范圍為(－∞，1].當(dāng)x變化時(shí)，f′(x)、f(x)的變化情況如下表：x(0，x1)x1(x1，x2)x2(x2，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)↗極大值