專題6.5《平面向量》真題+模擬試卷第I卷選擇題部分（共60分）一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知向量，則（

）A．2 B．3 C．4 D．52.(2023·全國(guó)·高考真題（文））設(shè)非零向量，滿足，則（

）A．⊥ B．C．∥ D．3．(2023·全國(guó)·高考真題（文））在中，,BC=1,AC=5，則AB=（

）A． B． C． D．4.(2023·北京·高考真題（理））設(shè)向量均為單位向量，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分又不必要條件5.(2023·山東濰坊·模擬預(yù)測(cè)）在平行四邊形中，分別是的中點(diǎn)，，，則（

）A． B． C． D．6．(2023·遼寧·大連市一0三中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）已知單位向量，滿足，則與的夾角為（

）A．30° B．60° C．120° D．150°7．(2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在△ABC中，已知∠A=90°，AB=2，AC=4，點(diǎn)P在以A為圓心且與邊BC相切的圓上，則的最大值為（

）A． B． C． D．8．(2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知H為的垂心，若，則（

）A． B．C． D．二、多項(xiàng)選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)得5分，部分選對(duì)得3分，有選錯(cuò)的得0分.9．(2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知為非零平面向量，則下列說法正確的有（

）A． B．C．若，則 D．10．(2023·遼寧實(shí)驗(yàn)中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）已知平面向量，且，滿足，若﹐則可能的取值為（

）A．4 B．8 C．12 D．1611．(2023·江蘇·模擬預(yù)測(cè)）已知向量，，，，則（

）A．若，則B．若，則C．的最小值為D．若向量與向量的夾角為銳角，則的取值范圍是12．(2023·福建·福州三中高三階段練習(xí)）中，角的對(duì)邊分別為，且，以下四個(gè)命題中正確的是（

）A．滿足條件的不可能是直角三角形B．面積的最大值為C．是中點(diǎn)，的最大值為3D．當(dāng)時(shí)，的面積為第II卷非選擇題部分（共90分）三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.13．（2023·北京·高考真題）已知向量在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示．若網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1，則________；________.14．（2023·全國(guó)·高考真題（理））已知向量．若，則________．15．（2023·全國(guó)·高考真題（理））記的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，面積為，，，則________．16．（2023·天津·高考真題）在邊長(zhǎng)為1的等邊三角形ABC中，D為線段BC上的動(dòng)點(diǎn)，且交AB于點(diǎn)E．且交AC于點(diǎn)F,則的值為____________；的最小值為____________．四、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知，，．(1)求的值；(2)求與的夾角．18．(2023·浙江·高考真題）在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c．已知．(1)求的值；(2)若，求的面積．19．（2023·全國(guó)·高考真題）在中，角、、所對(duì)的邊長(zhǎng)分別為、、，，.．（1）若，求的面積；（2）是否存在正整數(shù)，使得為鈍角三角形?若存在，求出的值；若不存在，說明理由．20．(2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知向量，其中.(1)若，，求；(2)若，函數(shù)的最小值為，求實(shí)數(shù)的值.21．（2023·全國(guó)·高考真題）記是內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，.已知，點(diǎn)在邊上，.（1）證明：；（2）若，求.22．（2023·浙江·高考真題）在銳角△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且．（I）求角B的大?。唬↖I）求cosA+cosB+cosC的取值范圍．專題6.5《平面向量》真題+模擬試卷第I卷選擇題部分（共60分）一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知向量，則（

）A．2 B．3 C．4 D．5答案：D【解析】分析：先求得，然后求得.【詳解】因?yàn)椋?故選：D2.(2023·全國(guó)·高考真題（文））設(shè)非零向量，滿足，則（

）A．⊥ B．C．∥ D．答案：A【解析】【詳解】由平方得，即，則，故選A.3．(2023·全國(guó)·高考真題（文））在中，,BC=1,AC=5，則AB=（

）A． B． C． D．答案：A【解析】【詳解】分析：先根據(jù)二倍角余弦公式求cosC,再根據(jù)余弦定理求AB.詳解：因?yàn)樗?，選A.4.(2023·北京·高考真題（理））設(shè)向量均為單位向量，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分又不必要條件答案：C【解析】分析：根據(jù)向量數(shù)量積的應(yīng)用，結(jié)合充分條件和必要條件的定義進(jìn)行判斷即可.【詳解】因?yàn)橄蛄烤鶠閱挝幌蛄克运浴啊笔恰啊钡某湟獥l件故選：C5.(2023·山東濰坊·模擬預(yù)測(cè)）在平行四邊形中，分別是的中點(diǎn)，，，則（

）A． B． C． D．答案：B【解析】分析：設(shè)，根據(jù)向量的線性運(yùn)算，得到，結(jié)合，列出方程組，求得的值，即可求解.【詳解】如圖所示，設(shè)，且，則，又因?yàn)椋?，解得，所?故選：B.6．(2023·遼寧·大連市一0三中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）已知單位向量，滿足，則與的夾角為（

）A．30° B．60° C．120° D．150°答案：C【解析】分析：根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律及夾角公式計(jì)算可得；【詳解】解：因?yàn)椋瑸閱挝幌蛄?，所以，又，所以，即，所以，即，所以，所以，因?yàn)?，所以；故選：C7．(2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在△ABC中，已知∠A=90°，AB=2，AC=4，點(diǎn)P在以A為圓心且與邊BC相切的圓上，則的最大值為（

）A． B． C． D．答案：D【解析】分析：由幾何關(guān)系分解向量，根據(jù)數(shù)量積的定義與運(yùn)算法則求解【詳解】設(shè)為斜邊上的高，則圓的半徑，設(shè)為斜邊的中點(diǎn)，，因?yàn)?，，則，所以的最大值為故選：D8．(2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知H為的垂心，若，則（

）A． B．C． D．答案：C【解析】分析：，，利用、得，，解得，再利用平方共線可得答案.【詳解】依題意，，同理．由H為△ABC的垂心，得，即，可知，即．同理有，即，可知，即，解得，，又，所以．故選：C．二、多項(xiàng)選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)得5分，部分選對(duì)得3分，有選錯(cuò)的得0分.9．(2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知為非零平面向量，則下列說法正確的有（

）A． B．C．若，則 D．答案：AB【解析】分析：A．利用平面向量的數(shù)量積運(yùn)算判斷；B.利用平面向量共線定理判斷；C.利用平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律判斷；D.利用平面向量的共線定理判斷.【詳解】A.因?yàn)?，所以，則，故正確；B.若為非零平面向量，且，由共線向量定理知：，故正確；C.若，則，則，故錯(cuò)誤；D.與共線，與共線，故錯(cuò)誤；故選：AB10．(2023·遼寧實(shí)驗(yàn)中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）已知平面向量，且，滿足，若﹐則可能的取值為（

）A．4 B．8 C．12 D．16答案：CD【解析】分析：因?yàn)?，且，所以不妨設(shè)，，然后設(shè)．由，得點(diǎn)位置（軌跡），分類討論求出的范圍，得出正確選項(xiàng)．【詳解】因?yàn)椋?，所以不妨設(shè)，，如圖，設(shè)．因?yàn)?，則點(diǎn)在軸負(fù)半軸或射線上（不含原點(diǎn)），，，顯然當(dāng)在在軸負(fù)半軸的點(diǎn)時(shí)，，不滿足，因此滿足的點(diǎn)在射線上（不含原點(diǎn)），由得，即，所以，，只有CD滿足．故選：CD．11．(2023·江蘇·模擬預(yù)測(cè)）已知向量，，，，則（

）A．若，則B．若，則C．的最小值為D．若向量與向量的夾角為銳角，則的取值范圍是答案：ABC【解析】分析：利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算及向量垂直的坐標(biāo)表示判斷A，利用向量坐標(biāo)的表示可判斷B，利用向量的模長(zhǎng)的坐標(biāo)公式及二次函數(shù)的性質(zhì)可判斷C，利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示及向量共線的坐標(biāo)表示可判斷D.【詳解】對(duì)于A，因?yàn)椋?，，所以，解得，所以A正確.對(duì)于B，由，得，則解得，故，所以B正確.對(duì)于C，因?yàn)?，所以，則當(dāng)時(shí)，取得最小值，為，所以C正確.對(duì)于D，因?yàn)?，，向量與向量的夾角為銳角，所以，解得；當(dāng)向量與向量共線時(shí)，，解得，所以的取值范圍是，所以D不正確.故選：ABC.12．(2023·福建·福州三中高三階段練習(xí)）中，角的對(duì)邊分別為，且，以下四個(gè)命題中正確的是（

）A．滿足條件的不可能是直角三角形B．面積的最大值為C．是中點(diǎn)，的最大值為3D．當(dāng)時(shí)，的面積為答案：BD【解析】分析：建立平面直角坐標(biāo)系，由條件確定點(diǎn)的軌跡，由此判斷各選項(xiàng)對(duì)錯(cuò).【詳解】以為原點(diǎn)，以所在的直線為軸，建立平面直角坐標(biāo)系，則，設(shè)，由，得，即，，化簡(jiǎn)得：，即點(diǎn)在以為圓心，以為半徑的圓上（除去兩點(diǎn)）.如圖所示：對(duì)于：以為圓心，為半徑作圓，記該圓與圓的交點(diǎn)為，則為直角三角形，錯(cuò)誤；對(duì)于：由圖得面積的最大值為正確；對(duì)于是中點(diǎn)，的值為在上的投影與的積，又點(diǎn)在以為圓心，以為半徑的圓上（除去兩點(diǎn)），故，錯(cuò)誤；對(duì)于D：若，則，，正確.故選：BD第II卷非選擇題部分（共90分）三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.13．（2023·北京·高考真題）已知向量在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示．若網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1，則________；________.答案：

0

3【解析】分析：根據(jù)坐標(biāo)求出，再根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算直接計(jì)算即可.【詳解】以交點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立直角坐標(biāo)系如圖所示：則，，，.故答案為：0；3.14．（2023·全國(guó)·高考真題（理））已知向量．若，則________．答案：.【解析】分析：利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算法則求得向量的坐標(biāo)，利用向量的數(shù)量積為零求得的值【詳解】,，解得,故答案為：.15．（2023·全國(guó)·高考真題（理））記的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，面積為，，，則________．答案：【解析】分析：由三角形面積公式可得，再結(jié)合余弦定理即可得解.【詳解】由題意，，所以，所以，解得（負(fù)值舍去）.故答案為：.16．（2023·天津·高考真題）在邊長(zhǎng)為1的等邊三角形ABC中，D為線段BC上的動(dòng)點(diǎn)，且交AB于點(diǎn)E．且交AC于點(diǎn)F,則的值為____________；的最小值為____________．答案：

1

【解析】分析：設(shè)，由可求出；將化為關(guān)于的關(guān)系式即可求出最值.【詳解】設(shè)，，為邊長(zhǎng)為1的等邊三角形，，，，為邊長(zhǎng)為的等邊三角形，，，，，所以當(dāng)時(shí)，的最小值為.故答案為：1；.四、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知，，．(1)求的值；(2)求與的夾角．答案：(1)(2)【解析】分析：（1）根據(jù)向量數(shù)量積運(yùn)算法則得到，進(jìn)而求出模長(zhǎng)；（2）結(jié)合第一問，利用向量夾角坐標(biāo)公式進(jìn)行求解.(1)∵，，，∴，解得:..故；(2)設(shè)與的夾角，則，又∵，∴18．(2023·浙江·高考真題）在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c．已知．(1)求的值；(2)若，求的面積．答案：(1)；(2)．【解析】分析：（1）先由平方關(guān)系求出，再根據(jù)正弦定理即可解出；（2）根據(jù)余弦定理的推論以及可解出，即可由三角形面積公式求出面積．(1)由于，，則．因?yàn)?，由正弦定理知，則．(2)因?yàn)?，由余弦定理，得，即，解得，而，，所以的面積．19．（2023·全國(guó)·高考真題）在中，角、、所對(duì)的邊長(zhǎng)分別為、、，，.．（1）若，求的面積；（2）是否存在正整數(shù)，使得為鈍角三角形?若存在，求出的值；若不存在，說明理由．答案：（1）；（2）存在，且.【解析】分析：（1）由正弦定理可得出，結(jié)合已知條件求出的值，進(jìn)一步可求得、的值，利用余弦定理以及同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求出，再利用三角形的面積公式可求得結(jié)果；（2）分析可知，角為鈍角，由結(jié)合三角形三邊關(guān)系可求得整數(shù)的值.【詳解】（1）因?yàn)?，則，則，故，，，所以，為銳角，則，因此，；（2）顯然，若為鈍角三角形，則為鈍角，由余弦定理可得，解得，則，由三角形三邊關(guān)系可得，可得，，故.20．(2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知向量，其中.(1)若，，求；(2)若，函數(shù)的最小值為，求實(shí)數(shù)的值.答案：(1)(2)【解析】分析：（1）根據(jù)，得到，再利用平方關(guān)系求解；（2）由，，令，則，轉(zhuǎn)化為，，根據(jù)的最小值為，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解.(1)解：因?yàn)?，所以，于是，因式分解得：，結(jié)合，解得，（舍），檢驗(yàn)，，在滿足，故.(2)，，設(shè)，則，因?yàn)楹瘮?shù)的最小值為，所以，，的最小值為.根據(jù)對(duì)稱軸所在范圍討論如下：①當(dāng)對(duì)稱軸在區(qū)間左側(cè)，即時(shí)，在上單調(diào)遞增，故，不滿足的最小值為.②當(dāng)對(duì)稱軸在區(qū)間上，即時(shí)，故，即，解得或（舍）.③當(dāng)對(duì)稱軸在區(qū)間右側(cè)，即時(shí)，在上單調(diào)遞減，故，解得，不滿足，綜上，.21．（2023·全國(guó)·高考真題）記是內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，.已知，點(diǎn)在邊上，.（1）證明：；（2）若，求.答案：（1）證明見解析；（2）.【解析】分析：（1）根據(jù)正弦定理的邊角關(guān)系有，結(jié)合已知即可證結(jié)論.（2）方法一：兩次應(yīng)用余弦定理，求得邊與的關(guān)系，然后利用余弦定理即可求得的值.【詳解】（1）設(shè)的外接圓半徑為R，由正弦定理，得，因?yàn)?，所以，即．又因?yàn)?，所以．?）[方法一]【最優(yōu)解】：兩次應(yīng)用余弦定理因?yàn)?，如圖，在中，，①在中，．②由①②得，整理得．又因?yàn)?，所以，解得或，?dāng)時(shí)，（舍去）．當(dāng)時(shí)，．所以．[方法二]：等面積法和三角形相似如圖，已知，則，即，而，即，故有，從而．由，即，即，即，故，即，又，所以，則．[方法三]：正弦定理、余弦定理相結(jié)合由（1）知，再由得．在中，由正弦定理得．又，所以，化簡(jiǎn)得．在中，由正弦定理知，又由，所以．在中，由余弦定理，得．故．[方法四]：構(gòu)造輔助線利用相似的性質(zhì)如圖，作，交于點(diǎn)E，則．由，得．在中，．在中．因?yàn)?，所以，整理得．又因?yàn)?，所以，即或．下同解?．[方法五]：平面向量基本定理因?yàn)?，所以．以向量為基底，有．所以，即，又因?yàn)?，所以．③由余弦定理得，所以④?lián)立③④，得．所以或．下同解法1．[方法六]：建系求解以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為x軸，過點(diǎn)D垂直于的直線為y軸，長(zhǎng)為單位長(zhǎng)度建立直角坐標(biāo)系，如圖所示，則．由（1）知，，所以點(diǎn)B在以D為圓心，3為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)．設(shè)，則．⑤由知，，即．⑥聯(lián)立⑤⑥解得或（舍去），，代入⑥式得，由余弦定理得．【整體點(diǎn)評(píng)】(2)方法一：兩次應(yīng)用余弦定理是一種典型的方法，充分利用了三角形的性質(zhì)和正余弦定理的性質(zhì)解題；方法二：等面積法是一種常用的方法，很多數(shù)學(xué)問題利用等面積法使得問題轉(zhuǎn)化為更為簡(jiǎn)單的問題，相似是三角形中的常用思路；方法三：正弦定理和余弦定理相結(jié)合是解三角形問題的常用思路；方法四：構(gòu)造輔助線作出相似三角形，結(jié)合余弦定理和相似三角形是一種確定邊長(zhǎng)比例關(guān)系的不錯(cuò)選擇；方法五：平面向量是解決幾何問題的一