備戰(zhàn)2020年高考數(shù)學大題精做之解答題題型全覆蓋高端精品第三篇立體幾何專題06立體幾何中折疊問題類型對應典例折疊問題中的點線面位置關(guān)系典例1折疊問題中的體積典例2折疊問題中的線面角典例3折疊問題中的二面角典例4【典例1】【新疆維吾爾自治區(qū)烏魯木齊市第四中學2020屆月考】如圖，在直角梯形中，，，，，，點在上，且，將沿折起，使得平面平面（如圖）.為中點.（1）求證:平面；（2）求四棱錐的體積；（3）在線段上是否存在點，使得平面？若存在，求的值；若不存在，請說明理由.【典例2】【福建省羅源市第一中學2020屆月考】如圖1,在正方形中，是的中點，點在線段上,且.若將分別沿折起，使兩點重合于點,如圖2.圖1圖2(1)求證:平面；(2)求直線與平面所成角的正弦值.【典例3】【河南南陽一中2020屆月考】如圖1，已知菱形的對角線交于點，點為線段的中點，，，將三角形沿線段折起到的位置，，如圖2所示．（Ⅰ）證明：平面平面；（Ⅱ）求三棱錐的體積．【典例4】【河北省唐山市2019屆高三下學期第一次模擬考試】如圖，中，，，分別為，邊的中點，以為折痕把折起，使點到達點的位置，且．（1）證明：平面；（2）求平面與平面所成銳二面角的余弦值．【針對訓練】1.【湖南省湖南師范大學附屬中學、岳陽市第一中等六校2019屆高三下學期聯(lián)考】在中，，．已知，分別是，的中點．將沿折起，使到的位置且二面角的大小是．連接，，如圖：（Ⅰ）求證：平面平面；（Ⅱ）求平面與平面所成二面角的大?。?．【廣東省化州市2019屆高三上學期第一次模擬考試】已知長方形中，，，現(xiàn)將長方形沿對角線折起，使，得到一個四面體，如圖所示.（1）試問：在折疊的過程中，異面直線與能否垂直？若能垂直，求出相應的的值；若不垂直，請說明理由；（2）當四面體體積最大時，求二面角的余弦值.3．【新疆石河子二中2020屆月考】如圖，在平行四邊形中，，，以為折痕將△折起，使點到達點的位置，且．（1）證明：平面平面；（2）為線段上一點，為線段上一點，且，求三棱錐的體積．4．【廣東中山市2020屆高三期末考試】如圖1，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2，E是CD的中點，將△ADE沿AE折起，得到如圖2所示的四棱錐D1—ABCE，其中平面D1AE⊥平面ABCE.(1)證明：BE⊥平面D1AE；(2)設F為CD1的中點，在線段AB上是否存在一點M，使得MF∥平面D1AE，若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．5．【2020屆重慶八中高三月考】如圖，在邊長為的菱形中，，點，分別是邊，的中點，．沿將△翻折到△，連接，得到如圖的五棱錐，且．（1）求證：平面；（2）求四棱錐的體積．6．【湖南省長沙市2019屆上學期高三統(tǒng)一檢測】已知三棱錐（如圖一）的平面展開圖（如圖二）中，四邊形為邊長等于的正方形，和均為正三角形，在三棱錐中：（I）證明：平面平面；（Ⅱ）若點在棱上運動，當直線與平面所成的角最大時，求二面角的余弦值.圖一圖二備戰(zhàn)2020年高考數(shù)學大題精做之解答題題型全覆蓋高端精品第三篇立體幾何專題06立體幾何中折疊問題類型對應典例折疊問題中的點線面位置關(guān)系典例1折疊問題中的體積典例2折疊問題中的線面角典例3折疊問題中的二面角典例4【典例1】【新疆維吾爾自治區(qū)烏魯木齊市第四中學2020屆月考】如圖，在直角梯形中，，，，，，點在上，且，將沿折起，使得平面平面（如圖）.為中點.（1）求證:平面；（2）求四棱錐的體積；（3）在線段上是否存在點，使得平面？若存在，求的值；若不存在，請說明理由.【思路引導】（1）證明，再根據(jù)面面垂直的性質(zhì)得出平面；（2）分別計算和梯形的面積，即可得出棱錐的體積；（3）過點C作交于點，過點作交于點，連接，可證平面平面，故平面，根據(jù)計算的值.【詳解】（1）證明：因為為中點，，所以.因為平面平面，平面平面，平面，所以平面．（2）在直角三角形中，易求,則．所以四棱錐的體積為．（3）過點C作交于點，則．過點作交于點，連接,則．又因為，平面平面,所以平面．同理平面．又因為，所以平面平面．因為平面，所以平面．所以在上存在點，使得平面，且.【典例2】【福建省羅源市第一中學2020屆月考】如圖1,在正方形中，是的中點，點在線段上,且.若將分別沿折起，使兩點重合于點,如圖2.圖1圖2(1)求證:平面；(2)求直線與平面所成角的正弦值.【思路引導】（1）設正方形的邊長為，由，可得，結(jié)合，利用線面垂直的判定定理，即可得到平面.（2）建立空間直角坐標系，過點作，垂足為，求出向量和平面的一個法向量，利用向量的夾角公式，即可求解.【詳解】（1）證明：設正方形的邊長為4，由圖1知,,,,,,即由題意知，在圖2中，,,平面,平面,且,平面,平面,.又平面,平面,且,平面（2）由（1）知平面，則建立如圖所示空間直角坐標系，過點作，垂足為，在中，,,從而,,,,,.設平面的一個法向量為，則，令，則，，.設直線與平面所成角為,則,.直線與平面所成角的正弦值為.【典例3】【河南南陽一中2020屆月考】如圖1，已知菱形的對角線交于點，點為線段的中點，，，將三角形沿線段折起到的位置，，如圖2所示．（Ⅰ）證明：平面平面；（Ⅱ）求三棱錐的體積．【思路引導】（Ⅰ）折疊前，AC⊥DE；，從而折疊后，DE⊥PF，DE⊥CF，由此能證明DE⊥平面PCF．再由DC∥AE，DC＝AE能得到DC∥EB，DC＝EB．說明四邊形DEBC為平行四邊形．可得CB∥DE．由此能證明平面PBC⊥平面PCF．（Ⅱ）由題意根據(jù)勾股定理運算得到，又由（Ⅰ）的結(jié)論得到，可得平面，再利用等體積轉(zhuǎn)化有，計算結(jié)果.【詳解】（Ⅰ）折疊前，因為四邊形為菱形，所以；所以折疊后，，,又，平面，所以平面因為四邊形為菱形，所以．又點為線段的中點，所以．所以四邊形為平行四邊形．所以．又平面，所以平面．因為平面，所以平面平面．（Ⅱ）圖1中，由已知得，，所以圖2中，，又所以，所以又平面，所以又，平面，所以平面，所以．所以三棱錐的體積為．【典例4】【河北省唐山市2019屆高三下學期第一次模擬考試】如圖，中，，，分別為，邊的中點，以為折痕把折起，使點到達點的位置，且．（1）證明：平面；（2）求平面與平面所成銳二面角的余弦值．【思路引導】（1）由，分別為，邊的中點，可得，由已知結(jié)合線面垂直的判定可得平面，從而得到平面；（2）取的中點，連接，由已知證明平面，過作交于，分別以，，所在直線為，，軸建立空間直角坐標系，分別求出平面與平面的一個法向量，由兩法向量所成角的余弦值可得平面與平面所成銳二面角的余弦值．【詳解】（1）因為分別為，邊的中點，所以，因為，所以，，又因為，所以平面，所以平面．（2）取的中點，連接，由（1）知平面，平面，所以平面平面，因為，所以，又因為平面，平面平面，所以平面，過作交于，分別以，，所在直線為軸建立空間直角坐標系，則，，．，，設平面的法向量為，則即則，易知為平面的一個法向量，，所以平面與平面所成銳二面角的余弦值．【針對訓練】1.【湖南省湖南師范大學附屬中學、岳陽市第一中等六校2019屆高三下學期聯(lián)考】在中，，．已知，分別是，的中點．將沿折起，使到的位置且二面角的大小是．連接，，如圖：（Ⅰ）求證：平面平面；（Ⅱ）求平面與平面所成二面角的大?。舅悸芬龑А浚á瘢┓ㄒ唬河桑O的中點為，連接．設的中點為，連接，．而即為二面角的平面角．，推導出．由，，從而平面．由，得平面，從而，即．進而平面．推導出四邊形為平行四邊形．從而，平面，由此能證明平面平面．法二：以為原點，在平面中過作的垂線為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能證明平面平面．（Ⅱ）以為原點，在平面中過.作的垂線為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出平面與平面所成二面角大?。驹斀狻浚á瘢┳C法一：是的中點，．設的中點為，連接．設的中點為，連接，．由題意得，，即為二面角的平面角．，為的中點．，為等邊三角形，．，，，平面．，平面，，即．，平面．，分別為，的中點．，四邊形為平行四邊形．，平面，又平面．平面平面．法二：如圖，以為原點，為軸，在平面中過作的垂線為軸，為軸，建立空間直角坐標系，設．則，，，，．設平面的法向量為，，，，令，則，設平面的法向量為，，，，取，得．，平面平面．解：（Ⅱ）如圖，以為原點，為軸，在平面中過作的垂線為軸，為軸，建立空間直角坐標系，設．則，，，，．平面的法向量設平面的法向量為，，，，取，得．設平面與平面所成的二面角的平面角為，由圖形觀察可知，平面與平面所成的二面角的平面角為銳角．平面與平面所成二面角大小為．2．【廣東省化州市2019屆高三上學期第一次模擬考試】已知長方形中，，，現(xiàn)將長方形沿對角線折起，使，得到一個四面體，如圖所示.（1）試問：在折疊的過程中，異面直線與能否垂直？若能垂直，求出相應的的值；若不垂直，請說明理由；（2）當四面體體積最大時，求二面角的余弦值.【思路引導】（1）若AB⊥CD，得AB⊥面ACD，由于AB⊥AC.,所以AB2＋a2＝BC,解得a2=1，成立;（2）四面體A﹣BCD體積最大時面ABD⊥面BCD，以A為原點，在平面ACD中過O作BD的垂線為x軸，OD為y軸，OA為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出二面角A﹣CD﹣B的余弦值．【詳解】(1)若AB⊥CD，因為AB⊥AD，AD∩CD＝D，所以AB⊥面ACD?AB⊥AC.由于AB=1,AD=BC=,AC=,由于AB⊥AC.,所以AB2＋a2＝BC,所以12＋a2＝()2?a＝1,所以在折疊的過程中，異面直線AB與CD可以垂直,此時的值為1(2)要使四面體A－BCD體積最大，因為△BCD面積為定值，所以只需三棱錐A－BCD的高最大即可，此時面ABD⊥面BCD.過A作AO⊥BD于O，則AO⊥面BCD，以O為原點建立空間直角坐標系(如圖)，則易知,顯然，面BCD的法向量為,設面ACD的法向量為＝(x，y，z),因為所以，令y＝，得＝(1，，2)，故二面角A－CD－B的余弦值即為.3．【新疆石河子二中2020屆月考】如圖，在平行四邊形中，，，以為折痕將△折起，使點到達點的位置，且．（1）證明：平面平面；（2）為線段上一點，為線段上一點，且，求三棱錐的體積．【思路引導】(1)首先根據(jù)題的條件，可以得到=90，即，再結(jié)合已知條件BA⊥AD，利用線面垂直的判定定理證得AB⊥平面ACD，又因為AB平面ABC，根據(jù)面面垂直的判定定理，證得平面ACD⊥平面ABC；(2)根據(jù)已知條件，求得相關(guān)的線段的長度，根據(jù)第一問的相關(guān)垂直的條件，求得三棱錐的高，之后借助于三棱錐的體積公式求得三棱錐的體積.詳解：（1）由已知可得，=90°，．又BA⊥AD，且，所以AB⊥平面ACD．又AB平面ABC，所以平面ACD⊥平面ABC．（2）由已知可得，DC=CM=AB=3，DA=．又，所以．作QE⊥AC，垂足為E，則．由已知及（1）可得DC⊥平面ABC，所以QE⊥平面ABC，QE=1．因此，三棱錐的體積為．4．【廣東中山市2020屆高三期末考試】如圖1，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2，E是CD的中點，將△ADE沿AE折起，得到如圖2所示的四棱錐D1—ABCE，其中平面D1AE⊥平面ABCE.(1)證明：BE⊥平面D1AE；(2)設F為CD1的中點，在線段AB上是否存在一點M，使得MF∥平面D1AE，若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．【思路引導】（1）先計算得BE⊥AE，再根據(jù)面面垂直性質(zhì)定理得結(jié)果，（2）先分析確定點M位置，再取D1E的中點L，根據(jù)平幾知識得AMFL為平行四邊形，最后根據(jù)線面平行判定定理得結(jié)果.【詳解】(1)證明連接BE，∵ABCD為矩形且AD＝DE＝EC＝BC＝2，∴∠AEB＝90°，即BE⊥AE，又平面D1AE⊥平面ABCE，平面D1AE∩平面ABCE＝AE，BE?平面ABCE，∴BE⊥平面D1AE.(2)解AM＝AB，取D1E的中點L，連接AL，F(xiàn)L，∵FL∥EC，EC∥AB，∴FL∥AB且FL＝AB，∴FL∥AM，F(xiàn)L=AM∴AMFL為平行四邊形，∴MF∥AL，因為MF不在平面AD1E上，AL?平面AD1E，所以MF∥平面AD1E.故線段AB上存在滿足題意的點M，且＝.5．【2020屆重慶八中高三月考】如圖，在邊長為的菱形中，，點，分別是邊，的中點，．沿將△翻折到△，連接，得到如圖的五棱錐，且．（1）求證：平面；（2）求四棱錐的體積．【思路引導】（1）證明：∵點，分別是邊，的中點，∴∥.∵菱形的對角線互相垂直，∴.∴.∴，.分∵平面，平面，，∴平面.∴平面.（2）解：設，連接，∵，∴△為等邊三角形.∴，，，.在Rt△中，，在△中，，∴.∵，，平面，平面，∴平面.梯形的面積為，∴四棱錐的體積.6．【湖南省長沙市2019屆上學期高三統(tǒng)一檢測】已知三棱錐（如圖一）的平面展開圖（如圖二）中，四邊形為邊長等于的正方形，和均為正三角形，在三棱錐中：（I）證明：平面平面；（Ⅱ）若點在棱上運動，當直線與平面所成的角最大時，求二面角的余弦值.圖一圖二【思路引導】(1)設AC的中點