第2課時(shí)超幾何分布的綜合問題第七章7.4.2超幾何分布1.掌握超幾何分布的均值的計(jì)算.2.了解二項(xiàng)分布與超幾何分布的區(qū)別與聯(lián)系.學(xué)習(xí)目標(biāo)導(dǎo)語(yǔ)上節(jié)課學(xué)習(xí)了超幾何分布模型，這節(jié)課我們重點(diǎn)研究超幾何分布模型的應(yīng)用.隨堂演練課時(shí)對(duì)點(diǎn)練內(nèi)容索引一、超幾何分布的均值二、二項(xiàng)分布與超幾何分布的區(qū)別與聯(lián)系三、超幾何分布的綜合應(yīng)用一、超幾何分布的均值問題服從超幾何分布的隨機(jī)變量的均值是什么？提示設(shè)隨機(jī)變量X服從超幾何分布，則X可以解釋為從包含M件次品的N件產(chǎn)品中，不放回地隨機(jī)抽取n件產(chǎn)品中的次品數(shù).實(shí)際上，由隨機(jī)變量均值的定義，令m＝max(0，n－N＋M)，r＝min(n，M)，有例1某大學(xué)志愿者協(xié)會(huì)有6名男同學(xué)，4名女同學(xué).在這10名同學(xué)中，3名同學(xué)來自數(shù)學(xué)學(xué)院，其余7名同學(xué)來自物理、化學(xué)等其他互不相同的七個(gè)學(xué)院.現(xiàn)從這10名同學(xué)中隨機(jī)選取3名同學(xué)，到希望小學(xué)進(jìn)行支教活動(dòng)(每位同學(xué)被選到的可能性相同).(1)求選出的3名同學(xué)是來自互不相同學(xué)院的概率；解設(shè)“選出的3名同學(xué)是來自互不相同的學(xué)院”為事件A，(2)設(shè)X為選出的3名同學(xué)中女同學(xué)的人數(shù)，求隨機(jī)變量X的分布列及均值.(2)設(shè)X為選出的3名同學(xué)中女同學(xué)的人數(shù)，求隨機(jī)變量X的分布列及均值.解依據(jù)條件，隨機(jī)變量X服從超幾何分布，其中N＝10，M＝4，n＝3，且隨機(jī)變量X的可能取值為0,1,2,3.反思感悟求超幾何分布均值的步驟(1)驗(yàn)證隨機(jī)變量服從超幾何分布，并確定參數(shù)N，M，n的值.(2)根據(jù)超幾何分布的概率計(jì)算公式計(jì)算出隨機(jī)變量取每一個(gè)值時(shí)的概率.(3)利用均值公式求解.跟蹤訓(xùn)練1某學(xué)校實(shí)行自主招生，參加自主招生的學(xué)生從8道試題中隨機(jī)挑選4道進(jìn)行作答，至少答對(duì)3道才能通過初試.記在這8道試題中甲能答對(duì)6道，甲答對(duì)試題的個(gè)數(shù)為X，則甲通過自主招生初試的概率為___，E(X)＝_____.3解析依題意，知甲能通過自主招生初試的概率為二、二項(xiàng)分布與超幾何分布的區(qū)別與聯(lián)系二、二項(xiàng)分布與超幾何分布的區(qū)別與聯(lián)系例2某食品廠為了檢查一條自動(dòng)包裝流水線的生產(chǎn)情況，隨機(jī)抽取該流水線上的40件產(chǎn)品作為樣本稱出它們的質(zhì)量(單位：克)，質(zhì)量的分組區(qū)間為(490,495]，(495，500]，…，(510,515]，由此得到樣本的頻率分布直方圖如圖.(1)根據(jù)頻率分布直方圖，求質(zhì)量超過505克的產(chǎn)品數(shù)量；解質(zhì)量超過505克的產(chǎn)品的頻率為5×0.05＋5×0.01＝0.3，所以質(zhì)量超過505克的產(chǎn)品數(shù)量為40×0.3＝12(件).(2)在上述抽取的40件產(chǎn)品中任取2件，設(shè)X為質(zhì)量超過505克的產(chǎn)品數(shù)量，求X的分布列，并求其均值；解質(zhì)量超過505克的產(chǎn)品數(shù)量為12件，則質(zhì)量未超過505克的產(chǎn)品數(shù)量為28件，X的可能取值為0,1,2，X服從超幾何分布.∴X的分布列為∴X的均值為(3)從該流水線上任取2件產(chǎn)品，設(shè)Y為質(zhì)量超過505克的產(chǎn)品數(shù)量，求Y的分布列.∴Y的分布列為反思感悟不放回抽樣服從超幾何分布，放回抽樣服從二項(xiàng)分布，求均值可利用公式代入計(jì)算.跟蹤訓(xùn)練2在10件產(chǎn)品中有2件次品，連續(xù)抽3次，每次抽1件，求：(1)不放回抽樣時(shí)，抽取次品數(shù)X的均值；解方法一由題意知X的可能取值為0,1,2.∴隨機(jī)變量X的分布列為∴隨機(jī)變量X服從超幾何分布，n＝3，M＝2，N＝10，(2)放回抽樣時(shí)，抽取次品數(shù)Y的均值與方差.三、超幾何分布的綜合應(yīng)用例3某大學(xué)志愿者協(xié)會(huì)有10名同學(xué)，成員構(gòu)成如表所示.表中部分?jǐn)?shù)據(jù)不清楚，只知道從這10名同學(xué)中隨機(jī)抽取1名同學(xué)，該名同學(xué)的專業(yè)為數(shù)學(xué)的概率為

.專業(yè)性別中文英語(yǔ)數(shù)學(xué)體育男n1m1女1111現(xiàn)從這10名同學(xué)中隨機(jī)選取3名同學(xué)參加社會(huì)公益活動(dòng)(每名同學(xué)被選到的可能性相同).(1)求m，n的值；解設(shè)事件A為“從10名同學(xué)中隨機(jī)抽取1名同學(xué)，該名同學(xué)的專業(yè)為數(shù)學(xué)”，由題意，可知數(shù)學(xué)專業(yè)的同學(xué)共有(1＋m)名，因?yàn)閙＋n＋6＝10，所以n＝1.(2)求選出的3名同學(xué)恰為專業(yè)互不相同的男生的概率；解設(shè)事件B為“選出的3名同學(xué)恰為專業(yè)互不相同的男生”，(3)設(shè)ξ為選出的3名同學(xué)中是女生或?qū)I(yè)為數(shù)學(xué)的人數(shù)，求隨機(jī)變量ξ的分布列、均值及方差.解由題意，可知這10名同學(xué)中是女生或?qū)I(yè)為數(shù)學(xué)的人數(shù)為7，ξ的可能取值為0,1,2,3.所以ξ的分布列為反思感悟超幾何分布常應(yīng)用在產(chǎn)品合格問題、球盒取球(兩色)問題、男女生選舉問題等，這類問題有一個(gè)共同特征，就是對(duì)每一個(gè)個(gè)體而言，只研究其相對(duì)的兩種性質(zhì)而不涉及其他性質(zhì)，如產(chǎn)品的合格與不合格、球的紅色與非紅色、學(xué)生的性別等.跟蹤訓(xùn)練3目前，有些城市面臨“垃圾圍城”的窘境，垃圾分類把不易降解的物質(zhì)分出來，減輕了土地的嚴(yán)重侵蝕，減少了土地流失.某市將實(shí)行生活垃圾分類，分類標(biāo)準(zhǔn)為廚余垃圾、可回收物、有害垃圾和其他垃圾四類，生活垃圾中有30%～40%可以回收利用，分出可回收垃圾既環(huán)保，又節(jié)約資源.如：回收利用1噸廢紙可再造出0.8噸好紙，可以挽救17棵大樹，少用純堿240千克，降低造紙的污染排放75%，節(jié)省造紙能源消耗40%～50%.現(xiàn)調(diào)查了該市5個(gè)小區(qū)12月份的生活垃圾投放情況，其中可回收物中廢紙和塑料品的投放量如表所示：

A小區(qū)B小區(qū)C小區(qū)D小區(qū)E小區(qū)廢紙投放量(噸)55.15.24.84.9塑料品投放量(噸)3.53.63.73.43.3(1)從A，B，C，D，E這5個(gè)小區(qū)中任取1個(gè)小區(qū)，求該小區(qū)12月份的可回收物中，廢紙投放量超過5噸且塑料品投放量超過3.5噸的概率；解記“該小區(qū)12月份的可回收物中廢紙投放量超過5噸且塑料品投放量超過3.5噸”為事件A.由題意，得B，C兩個(gè)小區(qū)12月份的可回收物中廢紙投放量超過5噸且塑料品投放量超過3.5噸，(2)從A，B，C，D，E這5個(gè)小區(qū)中任取2個(gè)小區(qū)，記X為12月份投放的廢紙可再造好紙超過4噸的小區(qū)個(gè)數(shù)，求X的分布列及均值.解因?yàn)榛厥绽?噸廢紙可再造出0.8噸好紙，所以12月份投放的廢紙可再造好紙超過4噸的小區(qū)有B，C，共2個(gè)小區(qū).X的所有可能取值為0,1,2.所以X的分布列為1.知識(shí)清單：(1)超幾何分布的均值.(2)超幾何分布與二項(xiàng)分布的區(qū)別與聯(lián)系.2.方法歸納：類比.3.常見誤區(qū)：超幾何分布與二項(xiàng)分布混淆，前者是不放回抽樣，后者是有放回抽樣.課堂小結(jié)隨堂演練1.一個(gè)盒子里裝有大小相同的紅球、白球共30個(gè)，其中白球4個(gè).從中任取兩個(gè)，則概率為

的事件是A.沒有白球 B.至少有一個(gè)白球C.至少有一個(gè)紅球 D.至多有一個(gè)白球1234√即至少有一個(gè)白球的概率.2.(多選)某人參加一次測(cè)試，在備選的10道題中，他能答對(duì)其中的5道.現(xiàn)從備選的10道題中隨機(jī)抽出3道題進(jìn)行測(cè)試，規(guī)定至少答對(duì)2道題才算合格，則下列說法正確的是1234√√123412343.盒子里有5個(gè)球，其中3個(gè)白球，2個(gè)黑球，從中任取兩球，設(shè)取出白球的個(gè)數(shù)為ξ，則E(ξ)＝_____.4.某校為了解高三學(xué)生身體素質(zhì)情況，從某項(xiàng)體育測(cè)試成績(jī)中隨機(jī)抽取n個(gè)學(xué)生成績(jī)進(jìn)行分析，得到成績(jī)頻率分布直方圖(如圖所示).已知成績(jī)?cè)?234[90,100]的學(xué)生人數(shù)為8，且有4個(gè)女生的成績(jī)?cè)赱50,60)中，則n＝______，現(xiàn)由成績(jī)?cè)赱50,60)的樣本中隨機(jī)抽取2名學(xué)生，記所抽取學(xué)生中女生的人數(shù)為ξ，則ξ的均值是______.50解析由(0.012＋0.016＋0.018＋0.024＋x)×10＝1，解得x＝0.03.依題意得0.016×10n＝8，則n＝50.成績(jī)?cè)赱50,60)的人數(shù)為0.012×10×50＝6，其中4個(gè)為女生，2個(gè)為男生.ξ的可能取值為0,1,2.12341234課時(shí)對(duì)點(diǎn)練1.一批產(chǎn)品共10件，次品率為20%，從中任取2件，則恰好取到1件次品的概率為基礎(chǔ)鞏固12345678910111213141516√解析由題意知10件產(chǎn)品中有2件次品，12345678910111213141516√解得x＝5.X服從超幾何分布，3.一袋中裝有5個(gè)紅球和3個(gè)黑球(除顏色外無區(qū)別)，任取3球，記其中黑球數(shù)為X，則E(X)為12345678910111213141516√解析由題意可知，隨機(jī)變量X的可能取值有0,1,2,3，123456789101112131415164.今有電子元件50個(gè)，其中一級(jí)品45個(gè)，二級(jí)品5個(gè)，從中任取3個(gè)，出現(xiàn)二級(jí)品的概率為12345678910111213141516√5.學(xué)校要從10名候選人中選2名同學(xué)組成學(xué)生會(huì)，其中高二(1)班有4名候選人，假設(shè)每名候選人都有相同的機(jī)會(huì)被選到，若X表示選到高二(1)班的候選人的人數(shù)，則E(X)等于12345678910111213141516√12345678910111213141516解析方法一(公式法)由題意得隨機(jī)變量X服從超幾何分布n＝2，M＝4，N＝10，方法二由題意知，X的可能取值為0,1,2，12345678910111213141516則X的分布列為6.從4名男生和2名女生中任選3人參加演講比賽，則所選3人中至少有1名女生的概率是12345678910111213141516√解析設(shè)所選3人中的女生人數(shù)為X，則X服從參數(shù)為N＝6，M＝2，n＝3的超幾何分布，123456789101112131415167.設(shè)口袋中有黑球、白球共7個(gè)，從中任取2個(gè)球，已知取到白球個(gè)數(shù)的均值為

，則口袋中白球的個(gè)數(shù)ξ為_____.3解析設(shè)口袋中有白球x個(gè)，則ξ服從超幾何分布，123456789101112131415168.某支教隊(duì)有8名老師，現(xiàn)欲從中隨機(jī)選出2名老師參加志愿者活動(dòng)，若規(guī)定選出的至少有一名女老師，則共有18種不同的安排方案，則該支教隊(duì)女老師的人數(shù)為____；記X為選出的2位老師中女老師的人數(shù)，則X的均值為_____.312345678910111213141516解析不妨設(shè)男老師總共有x人，則女老師共有8－x人(1≤x≤8，x∈N*)，即有x(x－1)＝20，解得x＝5,8－x＝3，所以該支教隊(duì)共有女老師3人.所以X可取值為0,1,2，X＝0表示選派2位男老師，12345678910111213141516X＝1表示選派1位男老師與1位女老師，X＝2表示選派2位女老師，X的分布列為123456789101112131415169.盒內(nèi)有大小相同的9個(gè)球，其中2個(gè)紅色球，3個(gè)白色球，4個(gè)黑色球.規(guī)定取出1個(gè)紅色球得1分，取出1個(gè)白色球得0分，取出1個(gè)黑色球得－1分.現(xiàn)從盒內(nèi)任取3個(gè)球.(1)求取出的3個(gè)球中至少有一個(gè)紅球的概率；12345678910111213141516(2)求取出的3個(gè)球得分之和恰為1分的概率；解

記“取出1個(gè)紅色球，2個(gè)白色球”為事件B，“取出2個(gè)紅色球，1個(gè)黑色球”為事件C，12345678910111213141516(3)設(shè)ξ為取出的3個(gè)球中白色球的個(gè)數(shù)，求ξ的分布列.12345678910111213141516解ξ可能的取值為0,1,2,3，ξ服從超幾何分布，ξ的分布列為1234567891011121314151610.根據(jù)歷史資料顯示，某種慢性疾病患者的自然痊愈率為5%.為試驗(yàn)一種新藥，在有關(guān)部門批準(zhǔn)后，醫(yī)院將此藥給10位病人服用，試驗(yàn)方案為：若這10人中至少有2人痊愈，則認(rèn)為該藥有效，提高了治愈率；否則，則認(rèn)為該藥無效.(1)如果在該次試驗(yàn)中有5人痊愈，院方欲從參加該次試驗(yàn)的10人中隨機(jī)選2人了解服藥期間的感受，記抽到痊愈的人的個(gè)數(shù)為X，求X的分布列及均值；12345678910111213141516解X的所有可能取值為0,1,2，∴X的分布列為12345678910111213141516(2)如果新藥有效，將治愈率提高到了50%，求通過試驗(yàn)卻認(rèn)定新藥無效的概率p，并根據(jù)p的值解釋該試驗(yàn)方案的合理性.(參考結(jié)論：通常認(rèn)為發(fā)生概率小于5%的事件可視為小概率事件)解新藥無效的情況有10人中1人痊愈、10人中0人痊愈，≈0.01<0.05.故實(shí)驗(yàn)方案合理.綜合運(yùn)用1234567891011121314151611.《易·系辭上》有“河出圖，洛出書”之說，河圖、洛書是中華文化，陰陽(yáng)術(shù)數(shù)之源，其中河圖排列結(jié)構(gòu)是一、六在后，二、七在前，三、八在左，四、九在右，五、十背中.如圖，白圈為陽(yáng)數(shù)，黑點(diǎn)為陰數(shù).若從這10個(gè)數(shù)中任取3個(gè)數(shù)，則這3個(gè)數(shù)中至少有2個(gè)陽(yáng)數(shù)的概率為√12345678910111213141516解析由題意可知，10個(gè)數(shù)中，1,3,5,7,9是陽(yáng)數(shù)，2,4,6,8,10是陰數(shù)，若任取3個(gè)數(shù)中有2個(gè)陽(yáng)數(shù)，若任取3個(gè)數(shù)中有3個(gè)陽(yáng)數(shù)，12.口袋中有相同的黑色小球n個(gè)，紅、白、藍(lán)色的小球各一個(gè)，從中任取4個(gè)小球.ξ表示當(dāng)n＝3時(shí)取出黑球的數(shù)目，η表示當(dāng)n＝4時(shí)取出黑球的數(shù)目.則下列結(jié)論成立的是A.E(ξ)＜E(η)，D(ξ)＜D(η)B.E(ξ)＞E(η)，D(ξ)＜D(η)C.E(ξ)＜E(η)，D(ξ)＞D(η)D.E(ξ)＞E(η)，D(ξ)＞D(η)12345678910111213141516√12345678910111213141516解析當(dāng)n＝3時(shí)，ξ的可能取值為1,2,3，12345678910111213141516當(dāng)n＝4時(shí)，η可取1,2,3,4，12345678910111213141516∴E(ξ)<E(η)，D(ξ)<D(η).13.已知一盒子中有圍棋子10粒，其中7粒黑子，3粒白子.任意取出2粒，若X表示取得白子的個(gè)數(shù)，則X的均值E(X)＝_____.12345678910111213141516解析方法一

隨機(jī)變量X的取值為0,1,2，12345678910111213141516方法二由題意知，隨機(jī)變量X服從超幾何分布，其中N＝10，M＝3，n＝2，則由超幾何分布的均值公式知1234567891011121314151614.生產(chǎn)方提供一批50箱的產(chǎn)品，其中有2箱不合格產(chǎn)品.采購(gòu)方接收該批產(chǎn)品的準(zhǔn)則是：從該批產(chǎn)品中任取5箱產(chǎn)品進(jìn)行檢測(cè)，若至多有1箱不合格產(chǎn)品，便接收該批產(chǎn)品，則該批產(chǎn)品被接收的概率為________.12345678910111213141516解析以50箱為一批產(chǎn)品，從中隨機(jī)抽取5箱，用X表示“5箱中不合格產(chǎn)品的箱數(shù)”，則X服從參數(shù)為N＝50，M＝2，n＝5的超幾何分布，這批產(chǎn)品被接收的條件是5箱中沒有不合格的或只有1箱不合格的，拓廣探究1234567891011121314151615.有甲、乙兩個(gè)盒子，甲盒子里有1個(gè)紅球，乙盒子里有3個(gè)紅球和3個(gè)黑球，現(xiàn)從乙盒子里隨機(jī)取出n(1≤n≤6，n∈N*)個(gè)球放入甲盒子后，再?gòu)募缀凶永镫S機(jī)取一球，記取到的紅球個(gè)數(shù)為ξ個(gè)，則隨著n(1≤n≤6，n∈N*)的增加，下列說法正確的是A.E(ξ)增加，D(ξ)增加

B.E(ξ)增加，D(ξ)減小C.E(ξ)減小，D(ξ)增加

D.E(ξ)減小，D(ξ)減小√12345678910111213141516解析由題意可知，從乙盒子里隨機(jī)取出n個(gè)球，含有紅球個(gè)數(shù)