廣西玉林2024-2025高三上學期第一次摸底測試數(shù)學留意事項：1.滿分150分，考試時間120分鐘.2.考生作答時，請將答案答在答題卡上.選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑；非選擇題請用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效，在試題卷、草稿紙上作答無效.3.考試結(jié)束后，將答題卡交回.一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A. B. C. D.2.已知復數(shù)滿意，則的虛部為（）A. B. C. D.3.已知直線：（）和圓：，則“”是“直線與圓相切”的（）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件4.若，則（）A. B. C. D.5.若函數(shù)（）在內(nèi)有且僅有一個零點，則在上的最大值與最小值的和為（）A.1 B. C. D.56.已知的外心為，且，，向量在向量上的投影向量為（）A. B. C. D.7.已知是定義在上的偶函數(shù)，對隨意實數(shù)滿意，且在上單調(diào)遞增，設(shè)，，，則，，的大小關(guān)系是（）A. B. C. D.8.如圖所示，，是雙曲線：（，）的左、右焦點，的右支上存在一點滿意，與雙曲線左支的交點滿意，則雙曲線的離心率為（）A. B.2 C. D.二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項是符合題目要求的全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.為深化學習宣揚黨的二十大精神，某校開展了“奮進新征程，強國伴我行”二十大主題學問競賽.其中高一年級選派了10名同學參賽，且該10名同學的成果依次是：70，85，86，88，90，90，92，94，95，100.則下列說法正確的有（）A.中位數(shù)為90，平均數(shù)為89 B.70%分位數(shù)為93C.極差為30，標準差為58 D.去掉一個最低分和一個最高分，平均數(shù)變大，方差變小10.已知（，），則下列結(jié)論正確的是（）A.的最小值為16 B.的最小值為9C.的最大值為1 D.的最小值為11.已知函數(shù)（，，）的部分圖象如圖所示，下列說法正確的是（）A.B.函數(shù)的圖象關(guān)于對稱C.函數(shù)在的值域為D.要得到函數(shù)的圖象，只需將函數(shù)的圖象向左平移個單位12.如圖，平面平面，四邊形是正方形，四邊形是矩形，且，，若是線段上的動點，則（）A.與所成角的正切值最大為B.在上存在點，使得C.當為上的中點時，三棱錐的外接球半徑最小D.的最小值為三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知公差不為零的等差數(shù)列的前項和為，，則______.14.1886年5月1日，芝加哥的二十一萬六千余名工人為爭取實行八小時工作制而實行大罷工，經(jīng)過艱苦的流血斗爭，最終獲得了成功.為紀念這次宏大的工人運動，1889年7月由恩格斯領(lǐng)導的其次國際在巴黎實行代表大會，會議上宣布將五月一日定為國際勞動節(jié).五一勞動節(jié)某單位支配甲、乙、丙3人在5天假期值班，每天只需1人值班，且每人至少值班1天，已知甲在五一長假期間值班2天，則甲連續(xù)值班的概率是______.15.已知點在直線上運動，點是圓上的動點，點是圓上的動點，則的最大值為______.16.若是區(qū)間上的單調(diào)函數(shù)，滿意，，且（為函數(shù)的導數(shù)），則可用牛頓切線法求在區(qū)間上的根的近似值：取初始值，依次求出圖象在點處的切線與軸交點的橫坐標（），當與的誤差估計值（為（的最小值）在要求范圍內(nèi)時，可將相應的與的近似值.用上述方法求方程在區(qū)間上的根的近似值時，誤差不超過0.01，則滿意條件的的最小值為______，相應的值為______.（本題第一空2分，其次空3分）四、解答題：本題共6小題，井70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.（10分）在①；②；③這三個條件中任選一個，補充在下面的問題中，并解答問題.在中，內(nèi)角，，的對邊分別為，，，且滿意______.（1）求角；（2）若，的外接圓周長為，求邊上的中線長.18.（12分）設(shè)數(shù)列的前項和為，已知，（）.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若數(shù)列滿意，數(shù)列的前項和為，，都有，求的取值范圍.19.（12分）后疫情時代，為了可持續(xù)發(fā)展，提高人民華蜜指數(shù)，國家先后出臺了多項減稅增效政策.某地區(qū)對在職員工進行了個人所得稅的調(diào)查，經(jīng)過分層隨機抽樣，獲得500位在職員工的個人所得稅（單位：百元）數(shù)據(jù)，按，，，，，，，，分成九組，制成如圖所示的頻率分布直方圖：假設(shè)每個組內(nèi)的數(shù)據(jù)是勻整分布的.（1）求這500名在職員工的個人所得稅的中位數(shù)（保留到小數(shù)點后一位）；（2）從個人所得稅在，，三組內(nèi)的在職員工中，接受分層抽樣的方法抽取了10人，現(xiàn)從這10人中隨機抽取3人，記年個稅在內(nèi)的員工人數(shù)為，求的分布列和數(shù)學期望；（3）以樣本的頻率估計概率，從該地區(qū)全部在職員工中隨機抽取100名員工，記年個稅在內(nèi)的員工人數(shù)為，求的數(shù)學期望與方差.20.（12分）如圖，在矩形中，，，點是邊上的動點，沿將翻折至，使二面角為直二面角.（1）當時，求證：；（2）當時，求二面角的正弦值.21.（12分）已知平面上動點到點與到圓：的圓心的距離之和等于該圓的半徑.記的軌跡為曲線.（1）說明是什么曲線，并求的方程；（2）設(shè)，是上關(guān)于軸對稱的不同兩點，點在上，且異于，兩點，為原點，直線交軸于點，直線交軸于點，試問是否為定值？若為定值，求出這個定值；若不是定值，請說明理由.22.（12分）已知函數(shù).（1）探討的單調(diào)性；（2）若在區(qū)間上存在唯一零點，求證：.

數(shù)學參考答案1.D【解析】，，所以.故選：D.2.A【解析】由，得，所以的虛部為.故選：A.3.C【解析】圓：的方程可化為，其圓心坐標為，半徑為，當時，直線：，圓心到直線的距離，此時直線與圓相切，故充分性成立；當直線與圓相切時，圓心到直線的距離，所以，故必要性成立，所以“”是“直線與圓相切”的充要條件.故選：C.4.B【解析】由可得，，整理可得，，所以有，所以，所以，.故選：B.5.C【解析】，，，.因為函數(shù)在內(nèi)有且僅有一個零點，所以函數(shù)在上先減后增，有微小值，解得，零點為.在上先增后減，且，所以函數(shù)在上的最大值與最小值的和為.選C.6.A【解析】在中，由，得點為線段的中點，而為的外心，則，即有，又，則為正三角形，即，，于是，，所以向量在向量上的投影向量為.故選：A.7.A【解析】是偶函數(shù)，所以.，，故，的周期為2.所以，，，又因為，，，故，又在上單調(diào)遞增，則在上單調(diào)遞增，則在上單調(diào)遞減，所以，即.故選：A.8.D【解析】在中，由正弦定理得，，①在中，由正弦定理得，，②因為，所以，所以①式與②式相比，得，因為，所以，所以，設(shè)（），則.由雙曲線的定義得，，因為，所以，所以，解得，在中，由勾股定理得，所以，得，所以，得.故選：D.9.ABD【解析】對于選項A，10個分數(shù)從小到大排列后第5個和第6個數(shù)的平均值為，即中位數(shù)是90，這10個數(shù)的均值為分，A正確；對于選項B，由于，所以70%分位數(shù)是第7個數(shù)92與第8個數(shù)94的平均數(shù)，即，所以B正確；對于C選項：這10個數(shù)的極差為30，方差為，標準差為，所以C錯誤；對于D選項：去掉70和100后，平均數(shù)為，方差為，，，所以D正確.故選：ABD.10.ABD【解析】對于A，由（，）得，則，得，當且僅當即，取等號時，故A正確；對于B，，當且僅當，即，時，等號成立，故B正確；對于C，（，），故，，則，故C錯誤；對于D，（，），，，，，，則當，即時，取最小值，故D正確.故選：ABD.11.ACD【解析】對A，依據(jù)函數(shù)（，，）的部分圖象，可得，，所以，利用五點法作圖，可得，可得，所以，故A正確；對B，令，得，故函數(shù)的圖象不關(guān)于對稱，故B錯誤；當時，，則，故函數(shù)值域為，故C正確；對D，，把其圖象向左平移個單位可得，故D正確.故選：ACD.12.AC【解析】因為平面平面，且交線為，面，，所以面.因為面，所以.，故與所成角為，，當和重合時，最長，且為5，故最大為，故選項A正確.假設(shè)在上存在點，使得.因為面，面，所以.又，，面，所以面.又因為面，所以.設(shè)，，，則，，在直角中，，可得方程，該方程無解，故假設(shè)不成立，即在上不存在點，使得，故選項B錯誤.設(shè)的外接圓半徑為，因為面，故三棱錐的外接球半徑滿意：.設(shè)，，，由正弦定理得，因為，所以，因為，故，故為銳角.當時，為的中點，取等最小值，取得最大值，取得最大值，取得最小值，三棱錐的外接球半徑取得最小值，故選項C正確.，，設(shè)，，，如圖，設(shè)關(guān)于軸對稱的點為，則，直線方程為，令得，即當時，，，的最小值為，故D錯誤.故選：AC.13.7【解析】設(shè)等差數(shù)列的首項為，公差為（），則由，得，即，所以.故答案為：7.14.【解析】記“甲在五一長假期間值班2天”，“甲連續(xù)值班”，則種，種，所以.所以已知甲在五一長假期間值班2天，則甲連續(xù)值班的概率為.故答案為：.15.8【解析】如圖所示，圓的圓心為，半徑為3，圓的圓心為，半徑為1，可知，，所以，若求的最大值，轉(zhuǎn)化為求的最大值，設(shè)關(guān)于直線的對稱點為，設(shè)坐標為，則解得故，因為，可得，當，，三點共線，即點為時，等號成立.所以的最大值為.故答案為：8.16.2【解析】設(shè)，則，，，，當時，，故可用牛頓切線法求在區(qū)間上的根的近似值.由于在單調(diào)遞增，所以，所以的最小值為2，即.圖象在點處的切線方程為，化簡得，令，則.由于，所以，，，，，.故可將作為的近似值，對應的，滿意條件的最小值為2，.故答案為：2.17.解：（1）選①，，由正弦定理可得，又因為，可得，即，所以，又因為，所以，所以，解得；選②，由，得，所以，因為，所以；選③，由正弦定理可得，因為，所以，即，因為，所以.（2）由，由余弦定理知，又因為，所以，所以，如圖，取中點，連接，記的外接圓的半徑為，則，解得，依據(jù)正弦定理可得，所以，即.依據(jù)余弦定理可得，所以，故邊上的中線長為.18.解：（1）證明：由，，得（），兩式相咸，得.因為，由，得，所以，所以對隨意都成立.所以數(shù)列為等比數(shù)列，首項為1，公比為2，故.（2）由（1）知，，所以數(shù)列前項和.又數(shù)列是遞增數(shù)列，所以，故.19.解：（1）設(shè)中位數(shù)為，前四個矩形的面積之和為，前五個矩形的面積之和為，所以可設(shè)中位數(shù)為，由中位數(shù)的定義可得，解得.（2）由頻率分布直方圖，得這500名在職員工的個人所得稅在，，三組內(nèi)的員工人數(shù)分別為：，，，若接受分層抽樣的方法抽取了10人，則從在內(nèi)的員工中抽取人，從這10人中隨機抽取3人，則的可能取值為0，1，2，3，，，，，所以，的分布列為0123數(shù)學期望.（3）員工的個人所得稅在內(nèi)的概率為，從該地區(qū)全部在職員工中隨機抽取100名員工，個人所得稅在內(nèi)的員工人數(shù)為，則，，.20.解：（1）證明：在矩形中，，，，所以，在直角三角形中，.在直角三角形中，，所以，所以，又二面角為直二面角，即平面平面，平面平面，平面，所以平面，又平面，所以.（2）如圖，在平面內(nèi)，過點作垂直于，因為平面平面，所以平面，，，兩兩垂直.以為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，，，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，所以是平面的一個法向量.設(shè)平面的法向量，則令，則，，所以是平面的一個法向量.所以，二面角的正弦值為.21.解：（1）依題意，，圓的半徑為4.于是，且，故為橢圓.，，.所以的方程為：.（2）設(shè)點，，，，，則直線的方程為，直線的方程為，聯(lián)立消去并整理可得，因為點在橢圓上，則直線與橢圓必有公共點，所以，，同理可得.所以，，，化簡可得.當時，則，此時；當時，，，三點重合，此時，，.綜上所述，，即為定值4.22.解：（1）由題設(shè).（ⅰ）當時，令，則.若，則，在上遞減；若，則，在上遞增.（ⅱ）當，令，則，.①當，即