第十章

計數(shù)原理、概率、隨機(jī)變量及分布第四節(jié)古典概型與事件的相互獨(dú)立性·考試要求·1．理解古典概型、事件的相互獨(dú)立性及其概率計算公式．2．會計算一些隨機(jī)事件所含的樣本點(diǎn)數(shù)及事件發(fā)生的概率．知識點(diǎn)一古典概型1．判斷下列說法的正誤，正確的打“√”，錯誤的打“×”．(1)“在適宜條件下，種下一粒種子觀察它是否發(fā)芽”屬于古典概型，其樣本點(diǎn)是“發(fā)芽與不發(fā)芽”．

(

)(2)擲一枚硬幣兩次，出現(xiàn)“兩個正面”“一正一反”“兩個反面”，這三個事件是等可能事件．

(

)必備知識落實“四基”××(3)試驗“向一個圓面內(nèi)部隨機(jī)地投一個點(diǎn)，該點(diǎn)落在圓心的概率”屬于古典概型．

(

)解析：向一個圓面內(nèi)部隨機(jī)地投一個點(diǎn)，該點(diǎn)落在圓心的概率，不符合有限性，故此試驗不屬于古典概型．×

√

√

1．古典概型具有以下特征的試驗稱為古典概型試驗，其數(shù)學(xué)模型稱為古典概率模型，簡稱古典概型．(1)有限性：樣本空間的樣本點(diǎn)只有________；(2)等可能性：每個樣本點(diǎn)發(fā)生的可能性______．有限個相等

知識點(diǎn)二事件的相互獨(dú)立性1．判斷下列說法的正誤，正確的打“√”，錯誤的打“×”．(1)不可能事件與任何一個事件相互獨(dú)立．

(

)(2)必然事件與任何一個事件相互獨(dú)立．

(

)(3)“P(AB)＝P(A)P(B)”是“事件A，B相互獨(dú)立”的充要條件．

(

)(4)如果兩個事件相互獨(dú)立，則它們的對立事件也是相互獨(dú)立的．

(

)√√√√

√

事件的相互獨(dú)立性注意點(diǎn)：兩事件互斥是指兩事件不可能同時發(fā)生，兩事件相互獨(dú)立是指一個事件的發(fā)生與否對另一個事件發(fā)生的概率沒有影響，兩個事件相互獨(dú)立不一定互斥．定義對任意兩個事件A與B，如果P(AB)＝____________成立，則稱事件A與事件B相互獨(dú)立，簡稱為獨(dú)立特例必然事件Ω、不可能事件?都與______事件相互獨(dú)立性質(zhì)P(A)P(B)任意

【常用結(jié)論】1．相互獨(dú)立事件概率公式的推廣如果事件A1，A2，…，An相互獨(dú)立，那么這n個事件同時發(fā)生的概率等于每個事件發(fā)生的概率的積，即P(A1A2…An)＝P(A1)P(A2)…P(An)．2．相互獨(dú)立事件與互斥事件的概率計算概率A，B互斥A，B相互獨(dú)立P(A∪B)P(A)＋P(B)P(AB)0P(A)P(B)1－[P(A)＋P(B)]P(A)＋P(B)

√

核心考點(diǎn)提升“四能”√簡單的古典概型的概率

√

√

√反思感悟古典概型的概率求解步驟提醒：古典概型中樣本點(diǎn)個數(shù)的常見探求方法有列舉法、列表法、畫樹狀圖法、排列組合法等．

√古典概型的交匯問題

√

反思感悟求解古典概型交匯問題的思路求解古典概型的交匯問題，關(guān)鍵是把相關(guān)的內(nèi)容轉(zhuǎn)化為事件，然后利用古典概型的有關(guān)知識解決，其解題流程為：考向2與統(tǒng)計的交匯問題【例2】(2024·濟(jì)南模擬)某學(xué)校團(tuán)委組織了一次“奧運(yùn)會”知識講座活動，活動結(jié)束后隨機(jī)抽取120名學(xué)生對講座情況進(jìn)行調(diào)查，其中男生與女生的人數(shù)之比為1∶1，抽取的學(xué)生中男生有40名對講座活動滿意，女生中有30名對講座活動不滿意．(1)完成下面2×2列聯(lián)表，并依據(jù)小概率值α＝0.10的獨(dú)立性檢驗，能否以此推斷對講座活動是否滿意與性別有關(guān)？單位：名性別滿意情況合計滿意不滿意男

女

合計

120

α0.100.050.010.0050.001xα2.7063.8416.6357.87910.828解：(1)2×2列聯(lián)表如表所示．單位：名性別滿意情況合計滿意不滿意男402060女303060合計7050120

反思感悟古典概型與統(tǒng)計綜合的題型，無論是直接描述還是利用頻率分布表、頻率分布直方圖、列聯(lián)表等給出信息，只需要能夠從題中提煉出需要的信息，結(jié)合古典概型就可求解．

√

√3．某企業(yè)的一種產(chǎn)品以某項指標(biāo)m作為衡量產(chǎn)品質(zhì)量的標(biāo)準(zhǔn)，按該項指標(biāo)劃分等級如下表：隨機(jī)抽取1000件這種產(chǎn)品，按照這項指標(biāo)繪制成如圖所示的頻率分布直方圖．等級一等品二等品三等品mm≥140120≤m＜140m＜120(1)求a的值，若這種產(chǎn)品的一、二等品至少占全部產(chǎn)品的85%，則該企業(yè)為產(chǎn)品優(yōu)質(zhì)企業(yè)，根據(jù)抽樣數(shù)據(jù)，判斷該企業(yè)是否為產(chǎn)品優(yōu)質(zhì)企業(yè)，并說明理由；(2)從這1000件產(chǎn)品中，按各等級的比例用分層隨機(jī)抽樣的方法抽取8件，再從這8件中隨機(jī)抽取2件，求這2件全是一等品的概率．解：(1)由題意知，(0.0035＋0.0090＋0.0215＋0.0285＋a＋0.0150＋0.0025)×10＝1，解得a＝0.0200.該企業(yè)是產(chǎn)品優(yōu)質(zhì)企業(yè)．理由如下：根據(jù)抽樣數(shù)據(jù)可知，一、二等品所占比例的估計值為1－10×(0.0035＋0.0090)＝0.875>0.85，所以該企業(yè)是產(chǎn)品優(yōu)質(zhì)企業(yè)．

考向1事件相互獨(dú)立性的判斷【例3】(2021·新高考全國Ⅰ卷)有6個相同的球，分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4，5，6，從中有放回地隨機(jī)取兩次，每次取1個球．甲表示事件“第一次取出的球的數(shù)字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的數(shù)字是2”，丙表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是8”，丁表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是7”，則(

)A．甲與丙相互獨(dú)立 B．甲與丁相互獨(dú)立C．乙與丙相互獨(dú)立 D．丙與丁相互獨(dú)立√事件的相互獨(dú)立性

反思感悟

√√√

反思感悟求相互獨(dú)立事件同時發(fā)生的概率的方法(1)利用相互獨(dú)立事件的概率乘法公式直接求解．(2)正面求解較麻煩(如“至多”“至少”問題)或難以入手時，可從其對立事件入手計算．1．(多選題)一個質(zhì)地均勻的正四面體，四個面分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4，拋擲這個正四面體一次，觀察它與地面接觸的面上的數(shù)字得到樣本空間Ω＝{1，2，3，4}，設(shè)事件E＝{1，2}，事件F＝{1，3}，事件

G＝{2，4}，則(

)A．E與F

不互斥B．F與G互為對立C．E與F相互獨(dú)立D．F與G相互獨(dú)立√√√

√√

數(shù)學(xué)文化與概率數(shù)學(xué)的發(fā)展與社會的進(jìn)步有著密切的聯(lián)系，這種聯(lián)系是雙向的．一方面，數(shù)學(xué)的發(fā)展受社會政治、經(jīng)濟(jì)、