微專題?？间J角三角函數(shù)測(cè)量問題考向一解一個(gè)直角三角形滿分技法第1題圖1.(2022臺(tái)州)圖①是放置在水平地面上的落地式話筒架實(shí)物圖，圖②是其示意圖．支撐桿AB垂直于地面l,活動(dòng)桿CD固定在支撐桿上的點(diǎn)E處，若∠AED＝48°，BE＝110cm,DE＝80cm,求活動(dòng)桿端點(diǎn)D離地面的高度DF.(結(jié)果精確到1cm,參考數(shù)據(jù)：sin48°≈0.74,cos48°≈0.67,tan48°≈1.11)∵DF⊥l，AB⊥l，EG⊥DF，∴∠GFB＝∠EBF＝∠EGF＝90°，∴四邊形BEGF是矩形，∴DF∥AB，GF＝EB＝110，∴∠D＝∠AED＝48°.在Rt△DEG中，DE＝80，∠D＝48°，∴DG＝DE·cos48°≈80×0.67＝53.6，∴DF＝DG＋GF＝53.6＋110＝163.6≈164，∴活動(dòng)桿端點(diǎn)D離地面的高度DF約為164cm.解：如圖，過(guò)點(diǎn)E作EG⊥DF于點(diǎn)G，G第1題圖滿分技法基本圖形：

解題思路：作BP⊥AC，構(gòu)造出Rt△ABP和矩形DCPB第2題圖考向二背靠背型2.如圖，A，B兩地被一個(gè)小島隔開，A地在B地的正東方向，從A地到B地需先到達(dá)C地，然后再前往B地，C地既位于A地的西北方向，又位于B地的北偏東65°方向，B，C之間的距離為15海里，求A，B兩地之間的距離．(結(jié)果精確到1海里，參考數(shù)據(jù)：sin65°≈0.91，cos65°≈0.42，tan65°≈2.14，≈1.41)解：如圖，過(guò)點(diǎn)C作CD⊥AB于點(diǎn)D，由題意可知∠BCD＝65°，∠ACD＝45°，在Rt△BCD中，∵∠BCD＝65°，∴＝sin65°，

＝cos65°，∴BD＝BC·sin65°，CD＝BC·cos65°，在Rt△ACD中，∵∠ACD＝45°，∴AD＝CD，∴AB＝AD＋BD＝15·cos65°＋15·sin65°≈20.答：A，B兩地之間的距離約為20海里．D第2題圖第3題圖3.(2023陜師大附中模擬)如圖，圖②是圖①秋千的側(cè)面示意圖，秋千的靜止?fàn)顟B(tài)為OC.已知AB與地面平行，OD、OE是其在擺動(dòng)過(guò)程中的兩個(gè)位置，其中∠AOD＝65°，∠BOE＝40°，點(diǎn)E相對(duì)于點(diǎn)D秋千升高了30cm(即EN－DM＝30cm，其中DM⊥MN于點(diǎn)M，EN⊥MN于點(diǎn)N)，求該秋千擺繩OC的長(zhǎng)度．(結(jié)果精確到0.1cm.參考數(shù)據(jù)：sin25°≈0.42，cos25°≈0.91，sin65°≈0.91，cos65°≈0.42，sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，sin40°≈0.64，cos40°≈0.77)由題意可得，HF＝30cm，∵∠AOD＝65°，∠BOE＝40°，∴∠FOD＝25°，∠HOE＝50°，∴OF＝OD·cos∠FOD，OH＝OE·cos∠HOE.∵HF＝OF－OH，∴30＝OD·cos∠FOD－OE·cos∠HOE，∵OD＝OE＝OC，∴30＝OC·cos25°－OC·cos50°，解得OC≈111.1cm，即該秋千擺繩OC的長(zhǎng)度約為111.1cm.解：如圖，過(guò)點(diǎn)D作DF⊥OC于點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)E作EH⊥OC于點(diǎn)H，HF第3題圖滿分技法基本圖形：

解題思路：通過(guò)在三角形內(nèi)部作高CP，構(gòu)造出Rt△ACP和Rt△BCP，其中公共邊CP為解題的關(guān)鍵，AP＋BP＝AB圖形演變：

解題思路：通過(guò)在三角形內(nèi)部作高CP，構(gòu)造出Rt△ACP，Rt△BCP和矩形CPAD，其中公共邊CP為解題的關(guān)鍵滿分技法4.如圖，某建筑物AB頂部有一信號(hào)塔BC，且點(diǎn)A、B、C在一條直線上，某同學(xué)為了測(cè)量建筑物的高度，在地面的D處測(cè)得信號(hào)塔下端B的仰角為30°，然后他正對(duì)塔的方向前進(jìn)了8米到達(dá)地面的E處，又測(cè)得信號(hào)塔頂端C的仰角為45°，已知AC⊥AD，信號(hào)塔BC的高度為6米，求建筑物AB的高度．(結(jié)果精確到1米，參考數(shù)據(jù)：≈1.73)第4題圖考向三母子型解：根據(jù)題意得DE＝8，BC＝6，∠D＝30°，∠AEC＝45°，設(shè)AB＝x，則AC＝x＋6，在Rt△ABD中，AD＝

，在Rt△AEC中，AE＝AC＝x＋6，∵AD＝AE＋ED，∴x＝x＋6＋8，解得x≈19.答：建筑物AB的高度約為19米．第4題圖第5題圖5.(人教九下P84復(fù)習(xí)題28T8改編)如圖，甲、乙兩建筑物中間有一花園，小明和小亮想利用所學(xué)的知識(shí)測(cè)量?jī)蓚€(gè)建筑物之間的距離，小明先在甲建筑物底部B處測(cè)得乙建筑物頂部D的仰角為60°，然后回到家中，在家中的陽(yáng)臺(tái)E處測(cè)得乙建筑物頂部D的仰角為45°，已知點(diǎn)E與點(diǎn)B之間的距離約為36m，A、E、B三點(diǎn)共線，且AB，CD均垂直于BC，求兩個(gè)建筑物之間的距離BC.(結(jié)果保留根號(hào))

則四邊形BEFC為矩形，∴CF＝BE＝36，EF＝BC.設(shè)BC＝x，則EF＝x.在Rt△BCD中，∵∠DBC＝60°，∴CD＝

BC＝

x，在Rt△DEF中，∵∠DEF＝45°，∴DF＝EF＝x，∴x－x＝36，解得x＝18＋18.∴兩個(gè)建筑物之間的距離BC為(18＋18)m.解：如圖，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥CD于點(diǎn)F，第5題圖F滿分技法基本圖形：

解題思路：通過(guò)在三角形外部作高BP，構(gòu)造出Rt△ABP和Rt△BCP，其中公共邊BP為解題的關(guān)鍵，AC＋CP＝AP圖形演變1：解題思路：延長(zhǎng)DC交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)P，構(gòu)造出Rt△ACP和Rt△BDP圖形演變2：解題思路：延長(zhǎng)AE交CD于點(diǎn)P，構(gòu)造出Rt△ACP，Rt△CEP和矩形APDB、矩形AEFB、矩形PEFD滿分技法第6題圖6.(2021內(nèi)江)在一次課外活動(dòng)中，某數(shù)學(xué)興趣小組測(cè)量一棵樹CD的高度．如圖所示，測(cè)得斜坡BE的坡度i＝1∶4，坡底AE的長(zhǎng)為8米，在B處測(cè)得樹CD頂部D的仰角為30°.在E處測(cè)得樹CD頂部D的仰角為60°，求樹高CD.(結(jié)果保留根號(hào))考向四擁抱型解：如圖，過(guò)點(diǎn)B作BF⊥CD于點(diǎn)F，則四邊形ABFC為矩形，BF＝AC.∵斜坡BE的坡度為1∶4，AE＝8，∴AB＝2.設(shè)DF＝x，在Rt△DBF中，∵tan∠DBF＝

，∴BF＝

.第6題圖F

在Rt△DCE中，∵DC＝x＋CF＝x＋2，tan∠DEC＝

，∴EC＝

.∵BF－CE