第06講事件的相互獨(dú)立性、條件概率與全概率公式目錄考點(diǎn)要求考題統(tǒng)計(jì)考情分析（1）了解兩個(gè)事件相互獨(dú)立的含義．（2）理解隨機(jī)事件的獨(dú)立性和條件概率的關(guān)系，會(huì)利用全概率公式計(jì)算概率．2023年甲卷（理）第6題，5分2022年乙卷（理）第10題，5分2022年I卷第20題，12分本節(jié)內(nèi)容是概率的基礎(chǔ)知識(shí)，考查形式可以是選擇填空題，也可以在解答題中出現(xiàn)．出題多會(huì)集中在隨機(jī)事件的關(guān)系以對(duì)應(yīng)的概率求解．全概率公式將會(huì)是一個(gè)新的出題點(diǎn)，思維難度會(huì)略大．但整體而言，本節(jié)內(nèi)容在高考中的難度處于中等偏易．知識(shí)點(diǎn)1、條件概率（一）定義一般地，設(shè)，為兩個(gè)事件，且，稱為在事件發(fā)生的條件下，事件發(fā)生的條件概率．注意：（1）條件概率中“”后面就是條件；（2）若，表示條件不可能發(fā)生，此時(shí)用條件概率公式計(jì)算就沒有意義了，所以條件概率計(jì)算必須在的情況下進(jìn)行．（二）性質(zhì)（1）條件概率具有概率的性質(zhì)，任何事件的條件概率都在和1之間，即．（2）必然事件的條件概率為1，不可能事件的條件概率為．（3）如果與互斥，則．注意：（1）如果知道事件發(fā)生會(huì)影響事件發(fā)生的概率，那么；（2）已知發(fā)生，在此條件下發(fā)生，相當(dāng)于發(fā)生，要求，相當(dāng)于把看作新的基本事件空間計(jì)算發(fā)生的概率，即．知識(shí)點(diǎn)2、相互獨(dú)立與條件概率的關(guān)系（一）相互獨(dú)立事件的概念及性質(zhì)（1）相互獨(dú)立事件的概念對(duì)于兩個(gè)事件，，如果，則意味著事件的發(fā)生不影響事件發(fā)生的概率．設(shè)，根據(jù)條件概率的計(jì)算公式，，從而．由此我們可得：設(shè)，為兩個(gè)事件，若，則稱事件與事件相互獨(dú)立．（2）概率的乘法公式由條件概率的定義，對(duì)于任意兩個(gè)事件與，若，則．我們稱上式為概率的乘法公式．（3）相互獨(dú)立事件的性質(zhì)如果事件，互相獨(dú)立，那么與，與，與也都相互獨(dú)立．（4）兩個(gè)事件的相互獨(dú)立性的推廣兩個(gè)事件的相互獨(dú)立性可以推廣到個(gè)事件的相互獨(dú)立性，即若事件，，…，相互獨(dú)立，則這個(gè)事件同時(shí)發(fā)生的概率．（二）事件的獨(dú)立性（1）事件與相互獨(dú)立的充要條件是．（2）當(dāng)時(shí)，與獨(dú)立的充要條件是．（3）如果，與獨(dú)立，則成立．知識(shí)點(diǎn)3、全概率公式（一）全概率公式（1）；（2）定理若樣本空間中的事件，，…，滿足：①任意兩個(gè)事件均互斥，即，，；②；③，．則對(duì)中的任意事件，都有，且．注意：（1）全概率公式是用來計(jì)算一個(gè)復(fù)雜事件的概率，它需要將復(fù)雜事件分解成若干簡單事件的概率計(jì)算，即運(yùn)用了“化整為零”的思想處理問題．（2）什么樣的問題適用于這個(gè)公式？所研究的事件試驗(yàn)前提或前一步驟試驗(yàn)有多種可能，在這多種可能中均有所研究的事件發(fā)生，這時(shí)要求所研究事件的概率就可用全概率公式．（二）貝葉斯公式（1）一般地，當(dāng)且時(shí)，有（2）定理若樣本空間中的事件滿足：①任意兩個(gè)事件均互斥，即，，；②；③，．則對(duì)中的任意概率非零的事件，都有，且注意：（1）在理論研究和實(shí)際中還會(huì)遇到一類問題，這就是需要根據(jù)試驗(yàn)發(fā)生的結(jié)果尋找原因，看看導(dǎo)致這一試驗(yàn)結(jié)果的各種可能的原因中哪個(gè)起主要作用，解決這類問題的方法就是使用貝葉斯公式．貝葉斯公式的意義是導(dǎo)致事件發(fā)生的各種原因可能性的大小，稱之為后驗(yàn)概率．（2）貝葉斯公式充分體現(xiàn)了，，，，，之間的轉(zhuǎn)關(guān)系，即，，之間的內(nèi)在聯(lián)系．題型一：條件概率例1．（2023·云南大理·統(tǒng)考模擬預(yù)測）“狼來了”的故事大家小時(shí)候應(yīng)該都聽說過：小孩第一次喊“狼來了”，大家信了，但去了之后發(fā)現(xiàn)沒有狼；第二次喊“狼來了”，大家又信了，但去了之后又發(fā)現(xiàn)沒有狼；第三次狼真的來了，但是這個(gè)小孩再喊狼來了就沒人信了．從數(shù)學(xué)的角度解釋這一變化，假設(shè)小孩是誠實(shí)的，則他出于某種特殊的原因說謊的概率為；小孩是不誠實(shí)的，則他說謊的概率是．最初人們不知道這個(gè)小孩誠實(shí)與否，所以在大家心目中每個(gè)小孩是誠實(shí)的概率是．已知第一次他說謊了，那么他是誠實(shí)的小孩的概率是（

）A． B． C． D．例2．（2023·河北秦皇島·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知有兩箱書，第一箱中有3本故事書，2本科技書；第二箱中有2本故事書，3本科技書．隨機(jī)選取一箱，再從該箱中隨機(jī)取書兩次，每次任取一本，做不放回抽樣，則在第一次取到科技書的條件下，第二次取到的也是科技書的概率為（

）A． B． C． D．例3．（2023·廣西柳州·統(tǒng)考模擬預(yù)測）根據(jù)歷年的氣象數(shù)據(jù)，某市5月份發(fā)生中度霧霾的概率為，刮四級(jí)以上大風(fēng)的概率為，既發(fā)生中度霧霾又刮四級(jí)以上大風(fēng)的概率為，則在刮四級(jí)以上大風(fēng)的情況下，發(fā)生中度霧霾的概率為（

）A． B． C． D．變式1．（2023·河南南陽·高三南陽中學(xué)?？奸_學(xué)考試）袋子中裝有大小?形狀完全相同的2個(gè)白球和2個(gè)紅球.現(xiàn)從中不放回地摸取2個(gè)球，已知第二次摸到的是紅球，則第一次摸到紅球的概率為（

）A． B． C． D．變式2．（2023·云南曲靖·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）有首歌道“大理三月好風(fēng)光，蝴蝶泉邊好梳妝”，近年來大理州一直致力開發(fā)旅游事業(yè)，吸引著大批的游客前往大理旅游.現(xiàn)有甲、乙兩位游客慕名來到大理，準(zhǔn)備從蒼山、洱海、大理古城、崇圣寺三塔、蝴蝶泉五個(gè)景點(diǎn)中隨機(jī)選擇一個(gè)景點(diǎn)游玩，記事件為“甲和乙至少一人選擇蝴蝶泉”，事件為“甲和乙選擇的景點(diǎn)不同”，則（

）A． B． C．2 D．變式3．（2023·廣東·高三河源市河源中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）從1、2、3、4、5、6、7這7個(gè)數(shù)中任取5個(gè)不同的數(shù)，事件：“取出的5個(gè)不同的數(shù)的中位數(shù)是4”，事件：“取出的5個(gè)不同的數(shù)的平均數(shù)是4”，則（

）A． B． C． D．【解題方法總結(jié)】用定義法求條件概率的步驟（1）分析題意，弄清概率模型；（2）計(jì)算，；（3）代入公式求．題型二：相互獨(dú)立事件的判斷例4．（2023·安徽·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知A，B，C為三個(gè)隨機(jī)事件且，，>0，則A，B，C相互獨(dú)立是A，B，C兩兩獨(dú)立的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件例5．（2023·上海浦東新·高三華師大二附中?？茧A段練習(xí)）已知事件，滿足，，則不能說明事件，相互獨(dú)立的是（

）A． B．C． D．例6．（2023·福建南平·高三福建省政和第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）甲箱中有5個(gè)紅球，2個(gè)白球和3個(gè)黑球；乙箱中有4個(gè)紅球，3個(gè)白球和3個(gè)黑球.先從甲箱中隨機(jī)取出一球放入乙箱中，分別以，，表示由甲箱中取出的是紅球，白球和黑球的事件；再從乙箱中隨機(jī)取出一球，以B表示由乙箱中取出的球是紅球的事件，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（

）A． B．C．事件B與事件不相互獨(dú)立 D．，，兩兩互斥變式4．（2023·全國·高三專題練習(xí)）某家庭有三個(gè)孩子，假定生男孩和生女孩是等可能且相互獨(dú)立的．記事件A：該家庭既有男孩又有女孩；事件：該家庭最多有一個(gè)男孩；事件：該家庭最多有一個(gè)女孩；則下列說法中正確的是（

）A．事件與事件互斥但不對(duì)立 B．事件A與事件互斥且對(duì)立C．事件與事件相互獨(dú)立 D．事件A與事件相互獨(dú)立變式5．（2023·全國·高三專題練習(xí)）隨著2022年卡塔爾世界杯的舉辦，中國足球也需要重視足球教育．某市為提升學(xué)生的足球水平，特地在當(dāng)?shù)剡x拔出幾所學(xué)校作為足球特色學(xué)校，開設(shè)了“5人制”“7人制”“9人制”“11人制”四類足球體驗(yàn)課程．甲、乙兩名同學(xué)各自從中任意挑選兩門課程學(xué)習(xí)，設(shè)事件“甲乙兩人所選課程恰有一門相同”，事件“甲乙兩人所選課程完全不同”，事件“甲乙兩人均未選擇‘5人制’課程”，則（

）A．A與為對(duì)立事件 B．A與互斥 C．A與相互獨(dú)立 D．與相互獨(dú)立變式6．（2023·四川宜賓·統(tǒng)考三模）同時(shí)拋擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子一次，事件甲表示“第一枚骰子向上的點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)”，事件乙表示“第二枚骰子向上的點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)”，事件丙表示“兩枚骰子向上的點(diǎn)數(shù)之和為”，事件丁表示“兩枚骰子向上的點(diǎn)數(shù)之和為”，則（

）A．事件甲與事件乙互斥 B．C．事件甲與事件丁相互獨(dú)立 D．事件丙與事件丁互為對(duì)立事件【解題方法總結(jié)】判斷事件是否相互獨(dú)立的方法（1）定義法：事件，相互獨(dú)立?．（2）由事件本身的性質(zhì)直接判定兩個(gè)事件發(fā)生是否相互影響．（3）條件概率法：當(dāng)時(shí)，可用判斷．題型三：相互獨(dú)立事件概率的計(jì)算例7．（2023·天津·校聯(lián)考一模）某產(chǎn)品的質(zhì)量檢驗(yàn)過程依次為進(jìn)貨檢驗(yàn)（IQC）、生產(chǎn)過程檢驗(yàn)（IPQC）、出貨檢驗(yàn)（OQC）三個(gè)環(huán)節(jié)．已知某產(chǎn)品IQC的單獨(dú)通過率為，IPQC的單獨(dú)通過率為，規(guī)定上一類檢驗(yàn)不通過則不進(jìn)入下一類檢驗(yàn)，未通過可修復(fù)后再檢驗(yàn)一次（修復(fù)后無需從頭檢驗(yàn)，通過率不變且每類檢驗(yàn)最多兩次），且各類檢驗(yàn)間相互獨(dú)立，則一件該產(chǎn)品能進(jìn)入OQC環(huán)節(jié)的概率為．例8．（2023·全國·高三專題練習(xí)）某次知識(shí)競賽規(guī)則如下：在主辦方預(yù)設(shè)的5個(gè)問題中，選手若能連續(xù)正確回答出兩個(gè)問題，即停止答題，晉級(jí)下一輪假設(shè)某選手正確回答每個(gè)問題的概率都是，且每個(gè)問題的回答結(jié)果相互獨(dú)立，則該選手恰好回答了5個(gè)問題就晉級(jí)下一輪的概率為.例9．（2023·全國·高三專題練習(xí)）甲、乙兩人輪流投籃，每人每次投一球，約定甲先投且先投中者獲勝，一直到有人獲勝或每人都已投球3次時(shí)投籃結(jié)束.設(shè)甲每次投籃投中的概率為，乙每次投籃投中的概率為，且各次投籃互不影響，則乙獲勝的概率為.變式7．（2023·全國·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知甲、乙、丙三位選手參加某次射擊比賽，比賽規(guī)則如下：①每場比賽有兩位選手參加，并決出勝負(fù)；②每場比賽獲勝的選手與未參加此場比賽的選手進(jìn)行下一場的比賽；③在比賽中，若有一位選手首先獲勝兩場，則本次比賽結(jié)束，該選手獲得此次射擊比賽第一名.若在每場比賽中，甲勝乙的概率為，甲勝丙的概率為，乙勝丙的概率為，且甲與乙先參加比賽，則甲獲得第一名的概率為.變式8．（2023·山東·高三專題練習(xí)）無癥狀感染者被認(rèn)為是新冠肺炎疫情防控的難點(diǎn)之一．國際期刊《自然》雜志中一篇文章指出，30%~60%的新冠感染者無癥狀或者癥狀輕微，但他們傳播病毒的能力并不低，這些無癥狀感染者可能會(huì)引起新一輪的疫情大爆發(fā)．我們把與病毒攜帶者有過密切接觸的人群稱為密切接觸者．假設(shè)每名密切接觸者成為無癥狀感染者的概率均為，那么4名密切接觸者中，至多有2人成為無癥狀感染者的概率為．變式9．（2023·重慶沙坪壩·高三重慶八中?？茧A段練習(xí)）某電視臺(tái)的夏日水上闖關(guān)節(jié)目一共有三關(guān)，第一關(guān)與第二關(guān)的過關(guān)率分別為，．只有通過前一關(guān)才能進(jìn)入下一關(guān)，每一關(guān)都有兩次闖關(guān)機(jī)會(huì)，且通過每關(guān)相互獨(dú)立．一選手參加該節(jié)目，則該選手能進(jìn)入第三關(guān)的概率為．變式10．（2023·浙江·高三專題練習(xí)）2019年底，武漢發(fā)生“新型冠狀病毒”肺炎疫情，國家衛(wèi)健委緊急部署，從多省調(diào)派醫(yī)務(wù)工作者前去支援，正值農(nóng)歷春節(jié)舉家團(tuán)圓之際，他們成為“最美逆行者”．武漢市從2月7日起舉全市之力入戶上門排查確診的新冠肺炎患者?疑似的新冠肺炎患者?無法明確排除新冠肺炎的發(fā)熱患者和確診患者的密切接觸者等“四類”人員，強(qiáng)化網(wǎng)格化管理，不落一戶?不漏一人．若在排查期間，某小區(qū)有5人被確認(rèn)為“確診患者的密切接觸者”，現(xiàn)醫(yī)護(hù)人員要對(duì)這5人隨機(jī)進(jìn)行逐一“核糖核酸”檢測，只要出現(xiàn)一例陽性，則將該小區(qū)確定為“感染高危小區(qū)”．假設(shè)每人被確診的概率均為且相互獨(dú)立，若當(dāng)時(shí)，至少檢測了4人該小區(qū)被確定為“感染高危小區(qū)”的概率取得最大值，則．【解題方法總結(jié)】（1）求相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率的步驟①首先確定各事件之間是相互獨(dú)立的．②求出每個(gè)事件的概率，再求積．（2）使用相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率計(jì)算公式時(shí)，要掌握公式的適用條件，即各個(gè)事件是相互獨(dú)立的．題型四：相互獨(dú)立事件概率的綜合應(yīng)用例10．（2023·河南焦作·高三統(tǒng)考開學(xué)考試）小李參加某項(xiàng)專業(yè)資格考試，一共要考3個(gè)科目，若3個(gè)科目都合格，則考試直接過關(guān)；若都不合格，則考試不過關(guān)；若有1個(gè)或2相科目合格，則所有不合格的科目需要進(jìn)行一次補(bǔ)考，補(bǔ)考都合格的考試過關(guān)，否則不過關(guān)．已知小李每個(gè)科目每次考試合格的概率均為p（），且每個(gè)科目每次考試的結(jié)果互不影響．(1)記“小李恰有1個(gè)科目需要補(bǔ)考”的概率為，求的最大值點(diǎn)．(2)以（1）中確定的作為p的值．（?。┣笮±钸@項(xiàng)資格考試過關(guān)的概率；（ⅱ）若每個(gè)科目每次考試要繳納20元的費(fèi)用，將小李需要繳納的費(fèi)用記為X元，求．例11．（2023·湖北武漢·華中師大一附中校考模擬預(yù)測）某獵人發(fā)現(xiàn)在距離他100米處的位置有一只獵物，如果直接射擊，則只射擊一次就擊中獵物的概率為，為了有更大的概率擊中獵物，獵人準(zhǔn)備多次射擊.假設(shè)每次射擊結(jié)果之間相互獨(dú)立，獵人每次射擊擊中獵物的概率與他和獵物之間的距離成反比.(1)如果獵人第一次射擊沒有擊中藥物，則獵人經(jīng)過調(diào)整后進(jìn)行第二次射擊，但由于獵物受到驚嚇奔跑，使得第二次射擊時(shí)獵物和他之間的距離增加了50米；如果第二次射擊仍然沒有擊中獵物，則第三次射擊時(shí)獵物和他之間的距離又增加了50米，如此進(jìn)行下去，每次射擊如果沒有擊中，則下一次射擊時(shí)獵物和他之間的距離都會(huì)增加50米，當(dāng)獵人擊中獵物或發(fā)現(xiàn)某次射擊擊中的概率小于時(shí)就停止射擊，求獵人停止射擊時(shí)射擊次數(shù)的概率分布列與數(shù)學(xué)期望.(2)如果獵人直接連續(xù)射擊，由于射擊速度很快，可以認(rèn)為在射擊期間獵物和獵人之間的距離保持不變，如果希望至少擊中獵物一次的概率超過98%，至少要連續(xù)射擊多少次?附:.例12．（2023·河北滄州·校考三模）甲、乙、丙三人進(jìn)行臺(tái)球比賽，比賽規(guī)則如下：先由兩人上場比賽，第三人旁觀，一局結(jié)束后，敗者下場作為旁觀者，原旁觀者上場與勝者比賽，按此規(guī)則循環(huán)下去.若比賽中有人累計(jì)獲勝3局，則該人獲得最終勝利，比賽結(jié)束，三人經(jīng)過抽簽決定由甲、乙先上場比賽，丙作為旁觀者.根據(jù)以往經(jīng)驗(yàn)，每局比賽中，甲、乙比賽甲勝概率為，乙、丙比賽乙勝概率為，丙、甲比賽丙勝概率為，每局比賽相互獨(dú)立且每局比賽沒有平局.(1)比賽完3局時(shí)，求甲、乙、丙各旁觀1局的概率；(2)已知比賽進(jìn)行5局后結(jié)束，求甲獲得最終勝利的概率.變式11．（2023·貴州·校聯(lián)考模擬預(yù)測）某校為豐富教職工業(yè)余文化活動(dòng)，在教師節(jié)活動(dòng)中舉辦了“三神杯”比賽，現(xiàn)甲乙兩組進(jìn)入到?jīng)Q賽階段，決賽采用三局兩勝制決出冠軍，每一局比賽中甲組獲勝的概率為，且甲組最終獲得冠軍的概率為（每局比賽沒有平局）.(1)求；(2)已知冠軍獎(jiǎng)品為28個(gè)籃球，在甲組第一局獲勝后，比賽被迫取消，獎(jiǎng)品分配方案是：如果比賽繼續(xù)進(jìn)行下去，按照甲乙兩組各自獲勝的概率分配籃球，請(qǐng)問按此方案，甲組、乙組分別可獲得多少個(gè)籃球?變式12．（2023·河南鄭州·統(tǒng)考模擬預(yù)測）手工刺繡是中國非物質(zhì)文化遺產(chǎn)之一，指以手工方式，用針和線把人的設(shè)計(jì)和制作添加在任何存在的織物上的一種藝術(shù)，大致分為繪制白描圖和手工著色、電腦著色，選線、配線和裁布三個(gè)環(huán)節(jié)，簡記為工序A，工序，工序.經(jīng)過試驗(yàn)測得小李在這三道工序成功的概率依次為，，.現(xiàn)某單位推出一項(xiàng)手工刺繡體驗(yàn)活動(dòng)，報(bào)名費(fèi)30元，成功通過三道工序最終的獎(jiǎng)勵(lì)金額是200元，為了更好地激勵(lì)參與者的興趣，舉辦方推出了一項(xiàng)工序補(bǔ)救服務(wù)，可以在著手前付費(fèi)聘請(qǐng)技術(shù)員，若某一道工序沒有成功，可以由技術(shù)員完成本道工序.每位技術(shù)員只完成其中一道工序，每聘請(qǐng)一位技術(shù)員需另付費(fèi)100元，制作完成后沒有接受技術(shù)員補(bǔ)救服務(wù)的退還一半的聘請(qǐng)費(fèi)用.(1)若小李聘請(qǐng)一位技術(shù)員，求他成功完成三道工序的概率；(2)若小李聘請(qǐng)兩位技術(shù)員，求他最終獲得收益的期望值.變式13．（2023·廣東陽江·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）部分高校開展基礎(chǔ)學(xué)科招生改革試點(diǎn)工作（強(qiáng)基計(jì)劃）的校考由試點(diǎn)高校自主命題，?？歼^程中達(dá)到筆試優(yōu)秀才能進(jìn)入面試環(huán)節(jié).已知兩所大學(xué)的筆試環(huán)節(jié)都設(shè)有三門考試科目且每門科目是否達(dá)到優(yōu)秀相互獨(dú)立.若某考生報(bào)考大學(xué)，每門科目達(dá)到優(yōu)秀的概率均為，若該考生報(bào)考大學(xué)，每門科目達(dá)到優(yōu)秀的概率依次為，，，其中.(1)若，分別求出該考生報(bào)考兩所大學(xué)在筆試環(huán)節(jié)恰好有一門科目達(dá)到優(yōu)秀的概率；(2)強(qiáng)基計(jì)劃規(guī)定每名考生只能報(bào)考一所試點(diǎn)高校，若以筆試過程中達(dá)到優(yōu)秀科目個(gè)數(shù)的期望為依據(jù)作出決策，該考生更有希望進(jìn)入大學(xué)的面試環(huán)節(jié)，求的范圍.【解題方法總結(jié)】1、求復(fù)雜事件的概率一般可分三步進(jìn)行（1）列出題中涉及的各個(gè)事件，并用適當(dāng)?shù)姆?hào)表示它們；（2）理清各事件之間的關(guān)系，恰當(dāng)?shù)赜檬录g的“并”“交”表示所求事件；（3）根據(jù)事件之間的關(guān)系準(zhǔn)確地運(yùn)用概率公式進(jìn)行計(jì)算．2、計(jì)算事件同時(shí)發(fā)生的概率常用直接法，當(dāng)遇到“至少”“至多”問題，考慮逆向思維，考查原事件的對(duì)立事件，用間接法處理．題型五：全概率公式及其應(yīng)用例13．（2023·江西·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）某同學(xué)喜愛籃球和跑步運(yùn)動(dòng).在暑假期間，該同學(xué)下午去打籃球的概率為.若該同學(xué)下午去打籃球，則晚上一定去跑步；若下午不去打籃球，則晚上去跑步的概率為.已知該同學(xué)在某天晚上去跑步，則下午打過籃球的概率為.例14．（2023·江蘇南京·高三統(tǒng)考開學(xué)考試）某批麥種中，一等麥種占90%，二等麥種占10%，一、二等麥種種植后所結(jié)麥穗含有50粒以上麥粒的概率分別為，，則這批麥種種植后所結(jié)麥穗含有50粒以上麥粒的概率為．例15．（2023·湖南長沙·高三周南中學(xué)?？茧A段練習(xí)）某籃球隊(duì)教練對(duì)近兩年隊(duì)員甲參加過的100場比賽進(jìn)行統(tǒng)計(jì)：甲在前鋒位置出場20次，其中球隊(duì)獲勝14次；中鋒位置出場30次，其中球隊(duì)獲勝21次；后衛(wèi)位置出場50次，其中球隊(duì)獲勝40次.用該樣本的頻率估計(jì)概率，則甲參加比賽時(shí)，該該球隊(duì)某場比賽獲勝的概率為.變式14．（2023·福建漳州·高三統(tǒng)考開學(xué)考試）有一批同一型號(hào)的產(chǎn)品，其中甲工廠生產(chǎn)的占，乙工廠生產(chǎn)的占.已知甲、乙兩工廠生產(chǎn)的該型號(hào)產(chǎn)品的次品率分別為，，則從這批產(chǎn)品中任取一件是次品的概率是.變式15．（2023·江蘇鎮(zhèn)江·高三統(tǒng)考開學(xué)考試）現(xiàn)有兩個(gè)罐子，1號(hào)罐子中裝有3個(gè)紅球?2個(gè)黑球，2號(hào)罐子中裝有4個(gè)紅球?2個(gè)黑球.現(xiàn)先從1號(hào)罐子中隨機(jī)取出一個(gè)球放入2號(hào)罐子，再從2號(hào)罐子中取一個(gè)球，則從2號(hào)罐子中取出的球是紅球的概率為.變式16．（2023·福建·校聯(lián)考模擬預(yù)測）若一個(gè)點(diǎn)從三棱柱下底面頂點(diǎn)出發(fā)，一次運(yùn)動(dòng)中隨機(jī)去向相鄰的另一個(gè)頂點(diǎn)，則在5次運(yùn)動(dòng)后這個(gè)點(diǎn)仍停留在下底面的概率是.變式17．（2023·上海浦東新·高三上海市實(shí)驗(yàn)學(xué)校?？奸_學(xué)考試）已知，則．【解題方法總結(jié)】全概率公式在解題中體現(xiàn)了“化整為零、各個(gè)擊破”的轉(zhuǎn)化思想，可將較為復(fù)雜的概率計(jì)算分解為一些較為容易的情況分別進(jìn)行考慮．題型六：貝葉斯公式及其應(yīng)用例16．（2023·河北秦皇島·高三校聯(lián)考開學(xué)考試）有甲、乙兩個(gè)加工廠加工同一型號(hào)零件，甲廠加工的次品率為，乙廠加工的次品率為，已知甲乙兩個(gè)加工廠加工的零件數(shù)分別占當(dāng)?shù)厥袌隹倲?shù)的45%，55%，現(xiàn)從當(dāng)?shù)厥袌錾先我赓I一件這種型號(hào)的零件、則買到的零件是次品，且是甲廠加工的概率為．例17．（2023·福建漳州·高三福建省華安縣第一中學(xué)?？奸_學(xué)考試）有3臺(tái)車床加工同一型號(hào)的零件，第1臺(tái)加工的次品率為8%，第2臺(tái)加工的次品率為3%，第3臺(tái)加工的次品率為2%，加工出來的零件混放在一起．已知第1，2，3臺(tái)車床加工的零件數(shù)分別占總數(shù)的10%，40%，50%，從混放的零件中任取一個(gè)零件，如果該零件是次品，那么它是第3臺(tái)車床加工出來的概率為．29．（2023·遼寧錦州·統(tǒng)考模擬預(yù)測）某考生回答一道有4個(gè)選項(xiàng)的選擇題，設(shè)會(huì)答該題的概率是，并且會(huì)答時(shí)一定能答對(duì)，若不會(huì)答，則在4個(gè)答案中任選1個(gè).已知該考生回答正確，則他確實(shí)會(huì)答該題的概率是.29．（2023·河南安陽·統(tǒng)考二模）學(xué)校給每位教師隨機(jī)發(fā)了一箱蘋果，李老師將其分為兩份，第1份占總數(shù)的40％，次品率為5％，第2份占總數(shù)的60％，次品率為4％．若李老師分份之前隨機(jī)拿了一個(gè)發(fā)現(xiàn)是次品后放回，則該蘋果被分到第1份中的概率為．30．（2023·浙江·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）隨著城市經(jīng)濟(jì)的發(fā)展，早高峰問題越發(fā)嚴(yán)重，上班族需要選擇合理的出行方式．某公司員工小明上班出行方式由三種，某天早上他選擇自駕，坐公交車，騎共享單車的概率分別為，而他自駕，坐公交車，騎共享單車遲到的概率分別為，結(jié)果這一天他遲到了，在此條件下，他自駕去上班的概率是．31．（2023·天津?yàn)I海新·高三大港一中?？茧A段練習(xí)）有三個(gè)籠子，里面分別放有兩只雄兔一只雌兔、兩只雄兔兩只雌兔、以及三只雌兔.如果在從一個(gè)籠子里拿出一只雄兔之后，那么再從這個(gè)籠子里取出雄兔的概率為.32．（2023·全國·高三專題練習(xí)）某人下午5：00下班，他所積累的資料如表所示到家時(shí)間5：35~5：395：40~5：445：45~5：495：50~5：54晚于5：54乘地鐵到家的概率乘汽車到家的概率某日他拋一枚硬幣決定乘地鐵回家還是乘汽車回家，結(jié)果他是5：47到家的，則他是乘地鐵回家的概率為．【解題方法總結(jié)】1、利用貝葉斯公式求概率的步驟第一步：利用全概率公式計(jì)算，即；第二步：計(jì)算，可利用求解；第三步：代入求解．2、貝葉斯概率公式反映了條件概率，全概率公式及乘法公式之間的關(guān)系，即．題型七：全概率公式與貝葉斯公式的綜合應(yīng)用例18．（2023·福建三明·統(tǒng)考三模）在二十大報(bào)告中，體育?健康等關(guān)鍵詞被多次提及，促進(jìn)群眾體育和競技體育全面發(fā)展，加快建設(shè)體育強(qiáng)國是全面建設(shè)社會(huì)主義現(xiàn)代化國家的一個(gè)重要目標(biāo).某校為豐富學(xué)生的課外活動(dòng)，加強(qiáng)學(xué)生體質(zhì)健康，擬舉行羽毛球團(tuán)體賽，賽制采取局勝制，每局都是單打模式，每隊(duì)有名隊(duì)員，比賽中每個(gè)隊(duì)員至多上場一次且是否上場是隨機(jī)的，每局比賽結(jié)果互不影響.經(jīng)過小組賽后，最終甲、乙兩隊(duì)進(jìn)入最后的決賽，根據(jù)前期比賽的數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)，甲隊(duì)種子選手對(duì)乙隊(duì)每名隊(duì)員的勝率均為，甲隊(duì)其余名隊(duì)員對(duì)乙隊(duì)每名隊(duì)員的勝率均為.（注：比賽結(jié)果沒有平局）(1)求甲隊(duì)最終獲勝且種子選手上場的概率；(2)已知甲隊(duì)獲得最終勝利，求種子選手上場的概率.例19．（2023·重慶渝中·高三重慶巴蜀中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知外形完全一樣的某品牌電子筆支裝一盒，每盒中的電子筆次品最多一支，每盒電子筆有次品的概率是.(1)現(xiàn)有一盒電子筆，抽出兩支來檢測.①求抽出的兩支均是正品的概率；②已知抽出的兩支是正品，求剩余產(chǎn)品有次品的概率.(2)已知甲乙兩盒電子筆均有次品，由于某種原因?qū)珊泄P完全隨機(jī)的混合在了一起，現(xiàn)隨機(jī)選支電子筆進(jìn)行檢測，記為選出的支電子筆中次品的數(shù)目，求的分布列和期望.例20．（2023·江蘇南京·南京師大附中?？寄M預(yù)測）甲，乙，丙三個(gè)廠家生產(chǎn)的充電器在某地市場上的占有率分別為25%，35%，40%，其充電器的合格率分別為70%，75%，80%．(1)當(dāng)?shù)毓ど藤|(zhì)檢部門隨機(jī)抽取3個(gè)充電器，其中由甲廠生產(chǎn)的充電器數(shù)目記為，求的概率分布列，期望和方差；(2)現(xiàn)從三個(gè)廠家生產(chǎn)的充電器中隨機(jī)抽取1個(gè)，發(fā)現(xiàn)它是不合格品，求它是由甲廠生產(chǎn)的概率．變式18．（2023·湖南長沙·高三周南中學(xué)?？奸_學(xué)考試）英國數(shù)學(xué)家貝葉斯（17011763）在概率論研究方面成就顯著，創(chuàng)立了貝葉斯統(tǒng)計(jì)理論，對(duì)于統(tǒng)計(jì)決策函數(shù)、統(tǒng)計(jì)推斷等做出了重要貢獻(xiàn)．貝葉斯公式就是他的重大發(fā)現(xiàn)，它用來描述兩個(gè)條件概率之間的關(guān)系.該公式為：設(shè)，，…，是一組兩兩互斥的事件，，且，，則對(duì)任意的事件，，有，.現(xiàn)有三臺(tái)車床加工同一型號(hào)的零件，第臺(tái)加工的次品率為，每加工一個(gè)零件耗時(shí)分鐘，第，臺(tái)加工的次品率均為，每加工一個(gè)零件分別耗時(shí)分鐘和分鐘，加工出來的零件混放在一起.已知第，，臺(tái)車床加工的零件數(shù)分別占總數(shù)的，，.(1)任取一個(gè)零件，計(jì)算它是次品的概率；(2)如果取到的零件是次品，計(jì)算加工這個(gè)零件耗時(shí)（分鐘）的分布列和數(shù)學(xué)期望.變式19．（2023·全國·高三專題練習(xí)）為提升學(xué)生的綜合素養(yǎng)能力，學(xué)校積極為學(xué)生搭建平臺(tái)，組織學(xué)生參與各種社團(tuán)活動(dòng).在學(xué)校辯論隊(duì)活動(dòng)中，甲同學(xué)積極參與.為了更好的了解每個(gè)同學(xué)的社團(tuán)參與情況和能力水平，對(duì)每位參與辯論隊(duì)的同學(xué)進(jìn)行跟蹤記錄.社團(tuán)老師了解到，甲自加入辯論隊(duì)以來參加過100場辯論比賽：甲作為一辯出場20次，其中辯論隊(duì)獲勝14次；甲作為二辯出場30次，其中辯論隊(duì)獲勝21次；甲作為三辯出場25次，其中辯論隊(duì)獲勝20次；甲作為四辯出場25次，其中辯論隊(duì)獲勝20次.用該樣本的頻率估計(jì)概率，則：(1)甲參加比賽時(shí)，求該辯論隊(duì)某場比賽獲勝的概率；(2)現(xiàn)學(xué)校組織6支辯論隊(duì)，進(jìn)行單循環(huán)比賽，即任意兩支隊(duì)伍均有比賽，規(guī)定至少3場獲勝才可晉級(jí).社團(tuán)老師決定每場比賽均派甲上場，已知甲所在辯論隊(duì)順利晉級(jí)，記其獲勝的場數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.變式20．（2023·吉林長春·長春市第二中學(xué)?？寄M預(yù)測）某興趣小組為研究一種地方性疾病與當(dāng)?shù)鼐用竦男l(wèi)生習(xí)慣（衛(wèi)生習(xí)慣分為良好和不夠良好兩類）的關(guān)系，設(shè)A=“患有地方性疾病”，B=“衛(wèi)生習(xí)慣良好”.據(jù)臨床統(tǒng)計(jì)顯示，，，該地人群中衛(wèi)生習(xí)慣良好的概率為.(1)求和，并解釋所求結(jié)果大小關(guān)系的實(shí)際意義；(2)為進(jìn)一步驗(yàn)證（1）中的判斷，該興趣小組用分層抽樣的方法在該地抽取了一個(gè)容量為的樣本，利用獨(dú)立性檢驗(yàn)，計(jì)算得.為提高檢驗(yàn)結(jié)論的可靠性，現(xiàn)將樣本容量調(diào)整為原來的倍，使得能有99.9%的把握肯定（1）中的判斷，試確定k的最小值.參考公式及數(shù)據(jù)：；；.變式21．（2023·江西宜春·高三統(tǒng)考開學(xué)考試）為豐富學(xué)生的課外活動(dòng)，學(xué)校羽毛球社團(tuán)舉行羽毛球團(tuán)體賽，賽制采取5局3勝制，每局都是單打模式，每隊(duì)有5名隊(duì)員，比賽中每個(gè)隊(duì)員至多上場一次且上場順序是隨機(jī)的，每局比賽結(jié)果互不影響，經(jīng)過小組賽后，最終甲乙兩隊(duì)進(jìn)入最后的決賽，根據(jù)前期比賽的數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)，甲隊(duì)明星隊(duì)員對(duì)乙隊(duì)的每名隊(duì)員的勝率均為，甲隊(duì)其余4名隊(duì)員對(duì)乙隊(duì)每名隊(duì)員的勝率均為.（注：比賽結(jié)果沒有平局）(1)求甲隊(duì)明星隊(duì)員在前四局比賽中不出場的前提下，甲乙兩隊(duì)比賽4局，甲隊(duì)最終獲勝的概率；(2)求甲乙兩隊(duì)比賽3局，甲隊(duì)獲得最終勝利的概率；(3)若已知甲乙兩隊(duì)比賽3局，甲隊(duì)獲得最終勝利，求甲隊(duì)明星隊(duì)員上場的概