Page1函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用專(zhuān)項(xiàng)練一、單選題1．若不等式對(duì)隨意實(shí)數(shù)x都成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．2．已知函數(shù)，若方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．3．已知函數(shù)在上有零點(diǎn)，則m的取值范圍是（

）A． B．C． D．4．若函數(shù)，當(dāng)時(shí)，恒成立，則的取值范圍（

）A． B． C． D．5．已知，函，若函數(shù)有三個(gè)不同的零點(diǎn)，為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．6．已知曲線(xiàn)與在區(qū)間上有兩個(gè)公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．7．已知函數(shù)與函數(shù)的圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m取值范圍為（

）A． B．C． D．8．設(shè)實(shí)數(shù)，若不等式對(duì)恒成立，則t的取值范圍為（

）A． B．C． D．9．已知函數(shù)，若關(guān)于x的不等式恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．10．已知，若對(duì)隨意兩個(gè)不等的正實(shí)數(shù)都有成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．11．函數(shù)在區(qū)間（0,1）內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是A．0 B．1C．2 D．312．已知，，若存在，，使得成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（

）A． B． C． D．二、填空題13．已知是上的偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，且對(duì)恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是___________.14．已知函數(shù)，，若函數(shù)只有唯一零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________.15．已知函數(shù)，若對(duì)隨意正數(shù)，當(dāng)時(shí)，都有成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是______．三、解答題16．已知函數(shù)．（1）探討函數(shù)的單調(diào)性；（2）若對(duì)隨意的，都有成立，求的取值范圍．17．已知函數(shù).(1)若在上為單調(diào)函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(2)記的兩個(gè)極值點(diǎn)為，，求證：.18．已知函數(shù)，．（1）求函數(shù)圖像在處的切線(xiàn)方程；（2）證明：；（3）若不等式對(duì)于隨意的均成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．19．已知函數(shù)(1)當(dāng)，證明：；(2)若函數(shù)在上恰有一個(gè)極值，求a的值．20．已知函數(shù)．（1）若，求的單調(diào)區(qū)間；（2）若函數(shù)有且只有一個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)k的值；21．已知.(1)求曲線(xiàn)在處的切線(xiàn)方程；(2)當(dāng)時(shí)，證明.22．已知函數(shù)，其中.（Ⅰ）當(dāng)a=1時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間：（Ⅱ）求函數(shù)的極值；（Ⅲ）若函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，求a的取值范圍．1．D【詳解】,當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，的遞減區(qū)間是，遞增區(qū)間是，所以取得微小值，也是最小值，，不等式對(duì)隨意實(shí)數(shù)x都成立，所以.故選:D.2．B【詳解】設(shè)當(dāng)時(shí)，所以當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減時(shí)，取得極大值當(dāng)趨向于，趨向于當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增依題意可知，直線(xiàn)與的圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn)如圖所示，的取值范圍為故選：B3．C【詳解】由函數(shù)存在零點(diǎn)，則有解，設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增．則時(shí)取得最小值，且，所以m的取值范圍是．故選：C4．D【詳解】解：依題意，當(dāng)時(shí)，恒成立，令，，則，又，∴在上單調(diào)遞減，∴，即故選：D．5．B【詳解】當(dāng)時(shí)，，即，故，令，則，令，得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，作出函數(shù)的圖象如圖所示：由圖象知：當(dāng)時(shí)，方程有兩不等實(shí)根，當(dāng)時(shí)，方程有一個(gè)實(shí)根；令，明顯,所以，令，則在上恒成立，則在上遞增，且，作出函數(shù)的圖象如圖所示：由圖象知：當(dāng)時(shí)，方程在恰有一個(gè)實(shí)根，即此時(shí)有三個(gè)不同的零點(diǎn)，綜上，的取值范圍是.故選：B6．A【詳解】曲線(xiàn)與在區(qū)間上有兩個(gè)公共點(diǎn)，即在區(qū)間上有兩根，設(shè)，則，故當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減.又，，，故在區(qū)間上有兩根則故選：A7．D【詳解】由題意得：，則，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為y＝m和有2個(gè)交點(diǎn)，而，在和上，遞增，在上，遞減，當(dāng)x趨于正無(wú)窮大時(shí)，無(wú)限接近于0，且，，，作出函數(shù)的圖象，如圖所示：視察圖象得：函數(shù)和的圖象有2個(gè)不同的交點(diǎn)時(shí)，實(shí)數(shù).故選：D．8．B【詳解】對(duì)恒成立，即，即，令，，則，故在單調(diào)遞增，故，故，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為，令，則，令，解得：，令，解得：，故在遞增，在遞減，故（e），故.故選：B．9．B【詳解】解：，，令，明顯為增函數(shù)，則原命題等價(jià)于，又令，則，所以時(shí)，當(dāng)時(shí)，即在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，即恒成立，所以，所以，即得．故選：B10．A【詳解】對(duì)隨意兩個(gè)不等的正實(shí)數(shù)，都有恒成立，即為時(shí)，恒成立.所以在上恒成立，則而，則．故選：A．11．B【詳解】試題分析：,在范圍內(nèi)，函數(shù)為單調(diào)遞增函數(shù)．又，，，故在區(qū)間存在零點(diǎn)，又函數(shù)為單調(diào)函數(shù)，故零點(diǎn)只有一個(gè)．考點(diǎn)：導(dǎo)函數(shù)，函數(shù)的零點(diǎn)．12．B【詳解】?x1,x2，當(dāng)時(shí)，，遞減，當(dāng)時(shí)，，遞增，所以當(dāng)x＝－1時(shí)，取得最小值；當(dāng)x＝－1時(shí)取得最大值為，所以，即實(shí)數(shù)a的取值范圍是故選：B．13．【詳解】，故為增函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，可得為增函數(shù).又為偶函數(shù)，故，恒成立.因?yàn)?，，所以有，故答案為?4．【詳解】令，得，則當(dāng)時(shí)，令，所以，則在單調(diào)遞減，所以函數(shù)與的圖象，由圖象可知，當(dāng)，即時(shí)，圖象有1個(gè)交點(diǎn)，即存在1個(gè)零點(diǎn).故答案為：15．【詳解】由得，令，∴∴在單調(diào)遞增，又∵∴，在上恒成立，即令，則∴在單調(diào)遞減，又因?yàn)?，∴．故答案為?16．（1）答案見(jiàn)解析；（2）.【詳解】解：（1）由已知定義域?yàn)?，?dāng)，即時(shí)，恒成立，則在上單調(diào)遞增；當(dāng)，即時(shí)，（舍）或，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.所以時(shí)，在上單調(diào)遞增；時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.（2）由（1）可知，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，若對(duì)隨意的恒成立，只需，而恒成立，所以成立；當(dāng)時(shí)，若，即，則在上單調(diào)遞增，又，所以成立；若，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又，所以，，不滿(mǎn)意對(duì)隨意的恒成立.所以綜上所述：.17．(1)；(2)證明見(jiàn)解析.【解析】（1）對(duì)求導(dǎo)得，由題設(shè)將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為()恒成立，即可求a的取值范圍；（2）由（1）有，是的兩個(gè)根，應(yīng)用根與系數(shù)關(guān)系易得，，進(jìn)而可得，即可證結(jié)論.（1）的定義域?yàn)椋?，又單調(diào)，∴對(duì)恒成立，即()恒成立，而，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，∴.（2）由（1）知：，是的兩個(gè)根，則，，且，∴，故，，而，∴，得證.18．（1）；（2）證明見(jiàn)解析；（3）．【詳解】試題分析：（1）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得切線(xiàn)的斜率，即可得出切線(xiàn)的方程．（2）設(shè)h（x）=f（x）﹣g（x）=lnx﹣x+1，利用導(dǎo)數(shù)探討其單調(diào)性極值與最值即可得出．（3）?x∈（1，+∞），f（x）＞0，g（x）＞0．對(duì)a分類(lèi)探討，利用導(dǎo)數(shù)探討其單調(diào)性極值與最值即可得出．試題解析：(1)∵，∴.又由，得所求切線(xiàn)：，即所求切線(xiàn)為.（2）設(shè)，則，令，得，得下表：1單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減∴，即.（3），，（i）當(dāng)時(shí)，；（ii）當(dāng)時(shí)，，；（iii）當(dāng)時(shí)，設(shè)，，令，得下表：?jiǎn)握{(diào)遞增極大值單調(diào)遞減+0-∴，即不滿(mǎn)意等式.綜上，.點(diǎn)睛：導(dǎo)數(shù)問(wèn)題常常會(huì)遇見(jiàn)恒成立的問(wèn)題：（1）依據(jù)參變分別，轉(zhuǎn)化為不含參數(shù)的函數(shù)的最值問(wèn)題；（2）若就可探討參數(shù)不同取值下的函數(shù)的單調(diào)性和極值以及最值，最終轉(zhuǎn)化為，若恒成立，轉(zhuǎn)化為;（3）若恒成立，可轉(zhuǎn)化為.19．(1)證明見(jiàn)解析；(2).【解析】（1）利用導(dǎo)數(shù)推斷的單調(diào)性，再由單調(diào)性證明結(jié)論.（2）由題意，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為在上有且僅有一個(gè)解，構(gòu)造并應(yīng)用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)性質(zhì)，即可求a值，留意驗(yàn)證對(duì)應(yīng)零點(diǎn)是否變號(hào)．（1）由題設(shè)且，則，所以在上遞增，則，得證.（2）由題設(shè)在有且僅有一個(gè)變號(hào)零點(diǎn)，所以在上有且僅有一個(gè)解，令，則，而，故時(shí)，時(shí)，時(shí)，所以在、上遞增，在上遞減，故極大值，微小值，，要使在上與有一個(gè)交點(diǎn)，則或或.閱歷證，或時(shí)對(duì)應(yīng)零點(diǎn)不變號(hào)，而時(shí)對(duì)應(yīng)零點(diǎn)為變號(hào)零點(diǎn)，所以.20．（1）的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為；（2）；【詳解】（1）由得，定義域?yàn)?，則，由得，由得，所以的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為.（2）由題意知方程僅有一個(gè)實(shí)根，由得，令，則與有且僅有一個(gè)交點(diǎn)，又，由得；由得；所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以.當(dāng)時(shí)，.又，所以要使僅有一個(gè)零點(diǎn)，則.21．(1)(2)證明見(jiàn)解析【解析】（1）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義可求解；（2）將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為證明成立，再分別求與的最值即可證明.（1）因?yàn)椋瑒t，，則，所以所求切線(xiàn)方程為，即.（2）由題意，可知，要證明，即證，令，則，當(dāng)，當(dāng)，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.所以.令，則，因?yàn)?，所以?dāng)，當(dāng)，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.所以，所以恒成立，即恒成立，所以當(dāng)時(shí)，.【點(diǎn)睛】解決本題的關(guān)鍵一是對(duì)要證明的不等式進(jìn)行變形，二是分別求兩個(gè)新函數(shù)的最值.22．（Ⅰ）單調(diào)減區(qū)間為（1，+），增區(qū)間為（0,1）;（Ⅱ）見(jiàn)解析（Ⅲ）a>1【詳解】（Ⅰ）當(dāng)a=1時(shí),,f′（x）=當(dāng)f′（x）<0時(shí)，x>1;f′（x）>0時(shí)，0<x<1∴函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為（1，+），增區(qū)間為（0,1）（Ⅱ）f（x）的定義域是（0，+∞），f′（x），若a≤0，則f′（x）＜0，此時(shí)f（x）在（0，+∞）遞減，無(wú)極值若a＞0，則由f′（x）＝0，解得：x＝a，當(dāng)0＜x＜a時(shí)，f′（x）>0，當(dāng)x＞a時(shí)，f′（x）<0，此時(shí)f（x）在（0，a）遞增，在（a，+∞）遞減；∴當(dāng)x=a時(shí)，函數(shù)的極大值為f(a)=，無(wú)微小值（Ⅲ）由（Ⅱ）可知當(dāng)a≤0時(shí)，f（x）在（0，+∞）遞減，則f(x)至多有一個(gè)零點(diǎn)，不符合題意，舍去；當(dāng)a＞0時(shí)，函數(shù)的微小值為f(a)=，令g(x)=lnx+x-1(x>0)∵∴g(x)在（0，+∞）單調(diào)遞增，又g(1)=0,∴0<x<1時(shí)，g(x)<0;x>1時(shí)，g(x)>0(i)

當(dāng)0<a≤1,f(a)=ag(a)≤0