固體物理學(xué)主講教師：胡建民哈爾濱師范大學(xué)物理與電子工程學(xué)院12024/7/23知識回顧第四章晶格振動理論2經(jīng)典的晶格振動理論量子的晶格振動理論晶格振動的熱容理論一維原子鏈周期性邊界條件(q,ω)

振動模式數(shù)=格波數(shù)三維晶格色散關(guān)系第四章晶格振動理論3熱容熱容：晶格振動在晶體宏觀性質(zhì)上的直接體現(xiàn)第四節(jié)晶格熱容理論定義

定容熱容

固體內(nèi)能=晶格振動能+電子動能+相互作用勢能

簡諧近似下相互作用勢能近似為常數(shù)。

第四章晶格振動理論4熱容在溫度不太低的情況下第四節(jié)晶格熱容理論晶格熱容第五章討論電子熱容本章討論第四章晶格振動理論5熱容對于晶體第四節(jié)晶格熱容理論定容熱容實驗熱容定壓熱容理論熱容實驗結(jié)果驗證理論結(jié)果第四章晶格振動理論6經(jīng)典的熱容理論1杜隆-珀替（Dulong-Petit）定律：第四節(jié)晶格熱容理論1819年，室溫下晶體熱容為24.9JK-1mol-11875年，Weber發(fā)現(xiàn)隨溫度升高晶體的熱容趨于定值，室溫下隨溫度的降低而減小。第四章晶格振動理論7經(jīng)典的熱容理論2經(jīng)典的玻爾茲曼統(tǒng)計理論：第四節(jié)晶格熱容理論根據(jù)能量均分定理：能量按照自由度平均分配。線性諧振子在每個自由度上的平均能量為則由N個原子組成的晶體內(nèi)能為摩爾熱容：Cm=

3NAkB=3R=24.9JK-1mol-1kBT3NkBT第四章晶格振動理論8經(jīng)典的熱容理論第四節(jié)晶格熱容理論摩爾熱容：Cm=

3NAkB=3R=24.9JK-1mol-1可見：室溫下與實驗一致，低溫下與實驗結(jié)果不符。玻耳茲曼常數(shù)：kB阿弗加德羅常數(shù)：NA普適氣體常數(shù)：R第四章晶格振動理論9經(jīng)典的熱容理論3經(jīng)典熱容理論失敗的原因：第四節(jié)晶格熱容理論經(jīng)典的玻爾茲曼統(tǒng)計不能正確描述線性諧振子體系的統(tǒng)計規(guī)律。需要引入量子的觀點，建立量子的熱容理論。第四章晶格振動理論10量子的熱容理論第四節(jié)晶格熱容理論為簡單起見，取由N個原子構(gòu)成的晶體內(nèi)能量子數(shù)ni=0,1,2,…i=1,2,3,…,3N頻率為ωi的聲子數(shù)聲子是玻色子，遵從Bose-Einstein統(tǒng)計規(guī)律1晶體內(nèi)能第四章晶格振動理論11量子的熱容理論第四節(jié)晶格熱容理論2Bose-Einstein統(tǒng)計規(guī)律只考慮對熱容有貢獻(xiàn)的部分第四章晶格振動理論12量子的熱容理論第四節(jié)晶格熱容理論3晶格熱容波矢和頻率取分立值，色散關(guān)系看作準(zhǔn)連續(xù)變化qω第四章晶格振動理論13量子的熱容理論第四節(jié)晶格熱容理論3晶格熱容ρ(ω)

：在ω~ω+

dω的格波數(shù)，稱為振動模式密度可以確定ωm第四章晶格振動理論14量子的熱容理論第四節(jié)晶格熱容理論3晶格熱容可見，求解熱容的關(guān)鍵是確定

ρ(ω)和ωm第四章晶格振動理論15愛因斯坦模型第四節(jié)晶格熱容理論1獨立諧振子模型1907年，Einstein提出晶體中各原子的振動模式都是獨立的所有原子做頻率相等的簡諧振動原子的振動能量是量子化的，能量子為聲子第四章晶格振動理論16愛因斯坦模型第四節(jié)晶格熱容理論2熱容fE稱為Einstein熱容函數(shù)稱為Einstein溫度第四章晶格振動理論17愛因斯坦模型第四節(jié)晶格熱容理論2熱容高溫情況下第四章晶格振動理論18愛因斯坦模型第四節(jié)晶格熱容理論2熱容高溫情況下1872年，Weber測得金剛石熱容量6CalK-1mol-1

第四章晶格振動理論19愛因斯坦模型第四節(jié)晶格熱容理論2熱容低溫情況下1910年能斯特發(fā)現(xiàn)在液氫溫度(20.3K)下熱容量變化更緩慢第四章晶格振動理論20愛因斯坦模型第四節(jié)晶格熱容理論3Einstein模型的成功與不足解決了經(jīng)典理論的困難，證實量子理論的成功；模型過于簡單，忽略了低頻長聲學(xué)波的貢獻(xiàn)。小結(jié)第四章晶格振動理論21經(jīng)典的熱容理論量子的熱容理論

Einstein模型

Debye模型第四章晶格振動理論22愛因斯坦模型第四節(jié)晶格熱容理論高溫情況下低溫情況下獨立諧振子模型模型過于簡單，忽略了低頻長聲學(xué)波的貢獻(xiàn)。第四章晶格振動理論23德拜模型第四節(jié)晶格熱容理論1彈性的連續(xù)介質(zhì)模型1912年，Debye提出對于長聲學(xué)波，晶格看作連續(xù)的彈性介質(zhì)；格波為彈性介質(zhì)波，ω=qc，υp=υg=c

；

聲學(xué)波3支：1支縱波和2支橫波，且波速相等。υL=υT=c

第四章晶格振動理論24德拜模型第四節(jié)晶格熱容理論2振動模式密度ρ(ω)和頻率極限ωD=ωm一維單原子鏈一維雙原子鏈三維晶格(q,ω)

(q,±ω)

第四章晶格振動理論25德拜模型第四節(jié)晶格熱容理論一個倒格點的體積格點密度：單位體積內(nèi)的格點數(shù)可見，在波矢空間中倒格點均勻分布。第四章晶格振動理論26德拜模型第四節(jié)晶格熱容理論等頻率面：半徑為q的球面半徑為q厚度為dq的球殼內(nèi)振動模式數(shù)第四章晶格振動理論27德拜模型第四節(jié)晶格熱容理論振動模式密度頻率極限ωm也稱為Debye頻率ωm=ωD格波總數(shù)等于晶體中原子的總自由度數(shù)第四章晶格振動理論28德拜模型第四節(jié)晶格熱容理論第四章晶格振動理論29德拜模型第四節(jié)晶格熱容理論3熱容量第四章晶格振動理論30德拜模型第四節(jié)晶格熱容理論Debye溫度第四章晶格振動理論31德拜模型第四節(jié)晶格熱容理論第四章晶格振動理論32德拜模型第四節(jié)晶格熱容理論第四章晶格振動理論33德拜模型第四節(jié)晶格熱容理論3熱容量fD：Debye熱容函數(shù)第四章晶格振動理論34德拜模型第四節(jié)晶格熱容理論高溫情況下完全符合實驗結(jié)果第四章晶格振動理論35德拜模型第四節(jié)晶格熱容理論低溫情況下完全符合實驗結(jié)果第四章晶格振動理論36德拜模型第四節(jié)晶格熱容理論4Debye模型的理論成就與不足考慮長聲學(xué)波的貢獻(xiàn)，成功解釋低溫?zé)崛?；格波的振動是多樣的，僅考慮長聲學(xué)波不夠合理，導(dǎo)致德拜溫度與溫度無關(guān)，與實驗不符；章小結(jié)第四章晶格振動理論37經(jīng)典的晶格振動理論量子的晶格振動理論晶格熱容理論晶格振動理論章小結(jié)第四章晶格振動理論38經(jīng)典的晶格振動理論一維原子鏈問題動力學(xué)方程格波簡諧近似色散關(guān)系振動模式(q,ω)光學(xué)波與聲學(xué)波章小結(jié)第四章晶格振動理論39量子的晶格振動理論周期性邊界條件格波與聲子晶格振動能振動模式(q,ω)q和

ω取分立值環(huán)狀原子鏈塊狀晶體堆砌模型章小結(jié)第四章晶格振動理論40晶格熱容理論經(jīng)典的熱容理論量子的熱容理論杜隆-珀替定律玻爾茲曼統(tǒng)計能量均分定理Eindte