正、余弦定理的應(yīng)用

?解三角形?考慮聚焦優(yōu)化整合有序識(shí)記+

【考點(diǎn)1］幾何問(wèn)題

1.已知△4回的兩邊a、方及其夾角G則△47C的面積為:a6sinC.

?解三角形"基礎(chǔ)演煉掌握核心有的放矢.

例1已知圓內(nèi)接四邊形被力的邊長(zhǎng)48=2,BC=6,CADA=A,求圓內(nèi)接四邊形加切的面

積.

【點(diǎn)撥】連接BD分割成三角形，利用余弦定理求出sinA.

【解析】連接BD,則四邊形面積

S=S&U?+SA(?=；AB,AD?sinA+；BC,CD,sinC.

VA+C=180°,.'.sinA=sinC.

.?.S=J(AB?AD+BC?CD)?sinA=16sinA.

由余弦定理:在AABD中，BD2=22+42-2X2X4CO.SA=20-16COSA,

在aCDB中，BD2=42+62-2X4X6COSC=52-48cosC,

.".20—16cosA=52—48cosC.

又cosC=—cosA,/.cosA=—.??A=120°.

四邊形ABCD的面積S=16sinA=8#.

【答案】8木.

【小結(jié)】本題考查余弦定理.

練習(xí)1：(2014?新課標(biāo)全國(guó)卷H)四邊形被力的內(nèi)角力與C互補(bǔ)，A8=l,況、=3,CD^DA

—2.

⑴求。和BD；

(2)求四邊形4版的面積.

【解答過(guò)程】

【解析】(1)由題設(shè)及余弦定理得

Blf=BC+Cl}-2BOCZbosC

=13—12cosC,①

BG=AS^DA-UB-DACOSA

=5+4cosC.②

由①②得cosC=；,故C=60。，BD=^i.

(2)四邊形4比》的面積

S=^AB?ZMsinA+^BC,CZteinC

=(|xiX2+|x3X2jsin600=2小.

?解三角形?考點(diǎn)、聚焦優(yōu)化整合有序識(shí)記,

【考點(diǎn)2】測(cè)量距離問(wèn)題

1.基線(xiàn)的定義：在測(cè)量上，我們根據(jù)測(cè)量需要適當(dāng)確定的線(xiàn)段叫做基線(xiàn).一般來(lái)說(shuō)，基線(xiàn)

越長(zhǎng)，測(cè)量的精確度越高.

2.方位角：指從正北方向線(xiàn)按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)到H標(biāo)方向線(xiàn)所成的水平角.如圖中的4點(diǎn)

的方位角為*

3.計(jì)算不可直接測(cè)量的兩點(diǎn)間的距離是正弦定理和余弦定理的重要應(yīng)用之一.

4.仰角和俯角：與目標(biāo)視線(xiàn)在同一鉛垂平面內(nèi)的水平視線(xiàn)和目標(biāo)視線(xiàn)的夾角，目標(biāo)視線(xiàn)在

水平線(xiàn)上方時(shí)叫仰角，目標(biāo)視線(xiàn)在水平線(xiàn)上方時(shí)叫俯角.（如圖所示）

目標(biāo)視線(xiàn)

水平視線(xiàn)

K目標(biāo)視線(xiàn)

?解三角形?基礎(chǔ)演煉掌提核心有的漱矢＜

例2（2014?全國(guó)新課標(biāo)卷I）如圖，為測(cè)量山高M(jìn)N,選擇｛和另一座山的山頂，為測(cè)量觀

測(cè)點(diǎn).從1點(diǎn)測(cè)得"點(diǎn)的仰角乙曲滬=60°,C點(diǎn)的仰角NC48=45°,以及/物。=75°,

從C點(diǎn)測(cè)得乙必4=60°.已知山高取'=100m,則山高M(jìn)V=m.

M

【點(diǎn)撥】在RtZXABC中，求得AC=10（h\「；在△MAC中，AM=100^3,在Rt/XAMN中，有MN

=150.

【解析】在Rl^ABC中，BC=100,NCAB=45°，所以人，=10咪.在△MAC中，/MAC=75°,

AMACsin600

/MCA=60°,所以NAMC=45°,由正弦定理有.八。=.八”,即AM='.后乂

sinZMCAsinZAMCsin45

100/=10（h/5,于是在RtZ\AMN中，有MN=sin60°X10琉=150.

【答案】150.

【小結(jié)】本題考查正弦定理及仰角的概念.

練習(xí)1：江岸邊有一炮臺(tái)高30m,江中有兩條船，由炮臺(tái)頂部測(cè)得俯角分別為45°和30°,

而且兩條船與炮臺(tái)底部連線(xiàn)成30°角，則兩條船相距.

船C

【解答過(guò)程】

【解析】設(shè)炮塔頂4、底〃，兩船員C,則N4劭=45°,ZACD=30°,NBDC=30：AD

=30,：.1)433DC=34,BG=Dtf+DC—2DB?DC?cos30°=900,."C=30.

?解三角形?考點(diǎn)聚焦優(yōu)化整合有序識(shí)記，

【考點(diǎn)3】測(cè)量角度問(wèn)題

例3如圖,在斜度一定的山坡上的一點(diǎn)4測(cè)得山頂上一建筑物頂端C對(duì)于山坡的斜度為15。，

向山頂前進(jìn)100m后，又從點(diǎn)6測(cè)得斜度為45。，假設(shè)建筑物高50m,設(shè)山對(duì)于地平面的斜度

6,貝ljcos。二.

【點(diǎn)撥】在△ABC中，BC=200sinl5°；在aDBC中，-'。一=「頻向'-求出cos。,

sin450sin(900+0)

【解析】在4ABC中，AB=100m,ZCAB=15°,ZACB=45°-15°=30°

100BC

由正弦定理:

sin30°sin15

ABC=200sinl5°

在4DBC中，CD=50m,ZCBD=45°,ZCDB=90°+0

50200sin15°八尻,

由正弦定理:------=------------=>cos0=v3-1

sin45°sin(90"+6)

【答案】V3-1.

【小結(jié)】本題考查正弦定理應(yīng)用.

練習(xí)1：如圖，為了解某海域海底構(gòu)造，在海平面內(nèi)一條直線(xiàn)上的A,B,C三點(diǎn)進(jìn)行測(cè)量，

已知AB=50m,BC=120m,于A處測(cè)得水深A(yù)D=80m,于B處測(cè)得水深BE=200所,于C處測(cè)

得水深CF=110m,求/DEF的余弦值.

【解答過(guò)程】

【解析】作DM〃AC交BE于N,交CF于M.

DF=VMF2+DM2=V302+1702=107298,

DE=VDN2+EN2=V502+1202=130,

EF=7(BE-FC)2+BC2=V902+1202=150,

在4DEF中，由余弦定理得

/MDE2+EF2-DF213O2+15O2-1O2X29816

Pn<-/DFF=_________________=_______________________=___

2DE更F2x130x15065,

所以/DEF的.余弦值為3.

65

練習(xí)2：如圖，某市擬在長(zhǎng)為8km的道路0P的一側(cè)修建一條運(yùn)動(dòng)賽道，賽道的前一部分為

曲線(xiàn)段0SM,該曲線(xiàn)段為函數(shù)丫=人$行0乂6>0,。>0)xe[0,4]的圖象，且圖象的最高點(diǎn)為

S(3,20)；賽道的后一部分為折線(xiàn)段MNP,為保證參賽運(yùn)動(dòng)員的安全，限定/MNP=120°.

(1)求A,0的值和M,P兩點(diǎn)間的距離；

(2)應(yīng)如何設(shè)計(jì)，才能使折線(xiàn)段賽道MNP最長(zhǎng)？

8x

【解答過(guò)程】

【點(diǎn)撥】本小題主要考查三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)、解三角形等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能

力以及應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)分析和解決實(shí)際問(wèn)題的能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想，

【解析】解法一

(1)依題意，W-A=2A/3J—=3?X7'=-^-,6W=—O/.y=25/3sin—x

4co66

當(dāng)x=4Ay=2A/3sin=3

.?.M(4,3)又p(8,3)

/.MP=V42+32=5

(2)在aNINP中NMNP=120°,MP=5,

設(shè)NPMN=6,則0。<6K60°

MPNPMN

山正弦定理得

sin1200-sin6?-sin(6Oo-6>)

ioG.10V3.

NP=----sin9，.二MN=-----sin(600-0)

33

場(chǎng)ZDAN16.Z)?八0小I0V3J.V3小

故NP+MN=--。--sin0+-1-0-A-/3-si?n(60-0)=-----(—sin。n+——cos0)

33323

=#gsin(6>+60")

v0°<e<60°,.?.當(dāng)e=30°時(shí)，折線(xiàn)段賽道MNP最長(zhǎng)

亦即,將NPMN設(shè)計(jì)為30°時(shí),折線(xiàn)段道MNP最長(zhǎng)

解法二：

(1)同解法一

(2)在△MNP中，ZMNP=120°,MP=5,

由余弦定理得M/V?+NP2-2MNNPcosZMNP=MP2

即MN2+NP2+MNNP=25

故(MN+NP)2-25=MNNP<")2

2

從而』(MN+NP)2V25,即+

43

當(dāng)且僅當(dāng)MN=NP時(shí)，折線(xiàn)段道MNP最長(zhǎng)

【小結(jié)】本題第(2)問(wèn)答案及其呈現(xiàn)方式均不唯一，除了解法一、解法二給出的兩種設(shè)計(jì)

方式，還可以設(shè)計(jì)為：①N(吐叵，衛(wèi)生叵)；②N(巴立，上小)；③點(diǎn)N在線(xiàn)段MP的

2626

垂直平分線(xiàn)上等

?解三角形?考點(diǎn)聚焦優(yōu)化整合有序識(shí)記，

【考點(diǎn)3】測(cè)量高度問(wèn)題

例4如圖所示，為測(cè)一樹(shù)的高度，在地面上選取A、B兩點(diǎn)，從A、B兩點(diǎn)分別測(cè)得樹(shù)尖的仰

角為30°、45°,且A、B兩點(diǎn)間的距離為60m,則樹(shù)的高度為.m.

CB60mA

【解析】由圖可得NAPB=15°,根據(jù)正弦定理，

Bp=WinZBAP=f4=30=30(^+^)>

sinZAPBsinl5°76-72''

4

在aPBC中，PC=BPsinZPBC=30(76+72)X—=30(73+1)(m).

2

【答案】30(V3+1).

練習(xí)1：在200米高的山頂上，測(cè)得山下-塔塔頂與塔底的俯角分別為30°、60°,則塔高

為-

【解答過(guò)程】

BD

【解析】如圖，在RtZXCDB中，CD=200,

2004006

ZBCD=90°-60°=30°,ABC=

cos30°3

在4ABC中.，ZABC=ZBCD=30°,ZACB=60°-30°=30°,

BC_AB

ZBAC=120°

sin1200-sin30°

40g

.BCg>in30°32400

??AB=-----V-3----V3~T

TT

基礎(chǔ)練習(xí)

（時(shí)間：60分鐘）

1.從高出海平面2米的小島看正東方向有一只船俯角為30。，看正南方向一只船俯角為

45°,則此時(shí)兩船間的距離為

2.某人在C點(diǎn)測(cè)得某塔在南偏西80°,塔頂仰角為45°,此人沿南偏東40°方向前進(jìn)10

米到〃測(cè)得塔頂力的仰角為30°,則塔高為.

3.一艘船以20km/h的速度向正北航行，船在/處看見(jiàn)燈塔6在船的東北方向，1h后船

在。處看見(jiàn)燈塔6在船的北偏東75。的方向上，這時(shí)船與燈塔的距離比等于_______km..

4.（2014?四川卷）如圖所示，從氣球4上測(cè)得正前方的河流的兩岸區(qū)C的俯角分別為75°,

30°,此時(shí)氣球的高度是60m,則河流的寬度9等于.

5.臺(tái)風(fēng)中心從A地以每小時(shí)20千米的速度向東北方向移動(dòng)，離臺(tái)風(fēng)中心30千米內(nèi)的地區(qū)

為危險(xiǎn)區(qū)，城市B在A的正東40千米處，B城市處于危險(xiǎn)區(qū)內(nèi)的時(shí)間為.

南

6.某市電力部門(mén)在今年的抗雪救災(zāi)的某項(xiàng)重建工程中，需要在A、8兩地之間架設(shè)高壓電

線(xiàn)，因地理?xiàng)l件限制，不能直接測(cè)量A、B兩地距離.現(xiàn)測(cè)量人員在相距6的C、。兩

地（假設(shè)在同平面上），測(cè)得/4C8=75°,ZBCD=45°,ZADC=30°,

乙4OB=45°（如圖），假如考慮到電線(xiàn)的自然下垂和施工損耗等原因，實(shí)際所須電線(xiàn)長(zhǎng)度

_4

大約應(yīng)該是A、8距離的一倍，問(wèn)施工單位至少應(yīng)該準(zhǔn)備多長(zhǎng)的電線(xiàn)?

3

7.如圖所示，已知在四邊形46（力中，ADVCD,47=10,48=14,NBDA=60°,/圜9=135°,

求a'的長(zhǎng).

8.（2014?湖南卷）如圖所示，在平面四邊形/版中，DAUB,DE=\,EC=$,￡4=2,

2nJI

ZADC=—ABEC=—.

ofo

(1)求sin/物的值;

(2)求應(yīng)的長(zhǎng).

9.甲船在A處、乙船在甲船正南方向距甲船20海里的B處，乙船以每小時(shí)10海里的速度

向正北方向行駛，而甲船同時(shí)以每小時(shí)8海里的速度由A處向南偏西60”方向行駛，問(wèn)經(jīng)過(guò)

多少小時(shí)后，甲、乙兩船相距最近？

加

10.（山東省棗莊市2014屆高三上學(xué)期期中檢測(cè)數(shù)學(xué)（理）試題）如圖，在AA8C

中，/48。=90。,48=6,8。=1,2為根8。內(nèi)一點(diǎn)，ZBPC=9Q°.

(1)若PC=^，求PA;

2

⑵若ZABC=120°,求MBP的面積S.

11.如圖，甲船以每小時(shí)300海里的速度向正北方航行，乙船按固定方向勻速直線(xiàn)航行,

當(dāng)甲船位于4處時(shí)，乙船位于甲船的北偏西105°方向的4處，此時(shí)兩船相距20海里，當(dāng)

甲船航行20分鐘到達(dá)4處時(shí)，乙船航行到甲船的北偏西120。方向的與處，此時(shí)兩船相距

10匹海里，問(wèn)乙船每小時(shí)航行多少海里？

12.在某海濱城市附近海面有一臺(tái)風(fēng)，據(jù)檢測(cè)，當(dāng)前臺(tái)風(fēng)中心位于城市0（如圖）的東偏南

。（cos。=%）方向300km的海面P處，并以20km/h的速度向西偏北45°的方向移動(dòng),

臺(tái)風(fēng)侵襲的范圍為圓形區(qū)域，當(dāng)前半徑為60km,并以10km/h的速度不斷增加，問(wèn)幾

小時(shí)后該城市開(kāi)始受到臺(tái)風(fēng)的侵襲？持續(xù)多長(zhǎng)時(shí)間？

13.6.設(shè)A46C的內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c,且滿(mǎn)足在心=上獨(dú)

acosA

(1)求角A的大??；

⑵若a=2舊,求A48C面積的最大值.

參考答案

1?【解析】如圖所示,

BC=#h,Agh,

...48=、3斤+斤=2/7.

68X必

MN=g=34乖,；.心號(hào)=11^（nG/h）.

2

2.【解析】如圖，設(shè)塔高為h,

在RtZUOC中，ZACO=A5°,

則OC=OA=h.

在RtZX/如中，N4?=30。，

貝UOA#h,

在中，/次力=120°,CD=\Q,

由余弦定理得：切=況+）一2%?汝osN毆,

BP（V3/7）2=A2+102-2AX10XCOS1200,

...少一5力-50=0,解得，=10或==一5（舍）.

BC________AC_

3.【解析】如圖所示,

sin45°sin30°

AC

：.BC=Xsin45°

sin30°

2

=2（hj2（km）.

60

4.【解析】由題意可知，AC=~~k=120.

sin30

ZBAC=75°-30°=45°,ZABC=180°-45°-30°=105°，所以sin//a:=sin1050

=sin（60°+45°）=sin60°cos450+cos60°sin45°=4.

在△腦中,由正弦定理得;缶r梟

于是BC=—j=---臺(tái)=2：。*=120（木—1）（m）.故選C.

■V2+V6丫

4

5.【解析】設(shè)A地東北方向上點(diǎn)P到B的距離為30千米，AP=x,在4ABP中

PB2=AP2+AB2-2AP?AB?cosA,

即30，=x'+40'-2x?40cos45°

化簡(jiǎn)得X2-40缶+700=0

IXi—X2I'=(X1+X2)2-4XIX2=400,|XI—X2I=20,即CD=20

,,CD20,,

故"——=—=1]

v20

6.【解析】在AACO中，由已知可得，ZCAD=30°

所以，AC=43km.....

在△BCD中，由已知可得，ZCBD=60"

sin75°=sin(45°+30°)=■:>

由正弦定理，.="5。=如逑

sin6002

cos75°=cos(45°+30。)=娓一°

在AABC中，由余弦定理AB2=AC1+BC2-AC-BCcosZBCA

2

rz>/6+V22r~y/6+y/2

=73+(--------)-2V3--------------cos75-5

22

所以，AB=#>施工單位應(yīng)該準(zhǔn)備電線(xiàn)長(zhǎng)-V5.

3

答：施工單位應(yīng)該準(zhǔn)備電線(xiàn)長(zhǎng)-V5km.

3

7.【解析】設(shè)被=x,在△45?中，由余弦定理有

At}=Alf+Bl}-2AD?BD，cosAADB,

即14'=f+10‘-20xcos600,

/./—10x—96=0,，x=16(x=-6舍去)，

即BD=16.

BeBD

在△版中，由正弦定理.//,“?=一/后方

sinZcZ?smABCD

,、16sin30°

‘欣=sin135。

8.【解析】設(shè)NQ?=a.

(1)在△口定中，由余弦定理，得

EC=Ca+呢-2CD，DE-cosAEDC,

于是由題設(shè)知，7=5+1+09,BPCG+CD—

6=0,解得32(&?=—3舍去).

在△&組中，由正弦定理，得.口后

s\x\Z_EDCsina

2冗

CD-sin—2XVr-

sinZ6E?=^.

(2)由題設(shè)知，0<于是由(1)知，

o

而-—a,所以

(2n、2n2n

cosZ^￡ff=cosl-l=cos_ycosa+sinf-sina

1m.

=--cosa+slna

捶+圾恒-亞

-2X7+2X7-14-

EA2

在中，CQSZ.AEB=^=—^,故

22

BE-/力s=~~rr=4ylr7.

cos/AEBA/7v

14

9.【解析】設(shè)經(jīng)過(guò)x小時(shí)后，甲船和乙船分別到達(dá)CO兩點(diǎn)

貝必。=8%,4。=48—BO=20—10x

/.CD2=AC2+AD2-2AC-AD?cos60°

=(8x)2+(20—10x)2-2-8X-(20-10X)-1

=2441-560x+400=244(%-—)2+

6161

當(dāng)CO?取得最小值時(shí),co取得最小值.

.?.當(dāng)x=；70時(shí),CO取得最小值，

61

B

此時(shí)，甲、乙兩船相距最近

10.【解析】（1）在Rt/^BPC中，sinZPBC=—.所以NPBC=60°.而

2

PB=^BC2-PC2=.J13I=i,

V42

在\ABP中，ZPBA=90°-ZPBC=90°-60°=30°.由余弦定理，

PA2=PB2+AB2-2PB-AB-cosZPBA='+3—2x!x百x走=2，所以PA=也.

42242

（2）設(shè)NP8A=a,則NP8C=90°—a.在MAJ5PC中,

PB=BCcosZPBC=cos（900-a）=sina.

AB_PB即G_sina

在A48尸中，由正弦定理,

sin1200sin（60。-a）百sin（600-a）

T

所以sina=2cosa——sina即2sina=Gcosa.