【高效培優(yōu)】2022—2023學年八年級數(shù)學上冊必考重難點突破必刷卷（蘇科版）【單元測試】第3章勾股定理（綜合能力拔高卷）（考試時間：100分鐘試卷滿分：120分）學校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________一、選擇題（本大題共有8小題，每小題3分，共24分；在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1．如果3，4，是直角三角形三邊長，則x的值是（

）A．5 B． C．5或 D．5或72．下面四組數(shù)，其中是勾股數(shù)組的是（

）A．，， B．，， C．，， D．，，3．已知中，，，的對邊分別是，，．下列條件不能判斷是直角三角形的是（

）A． B．C． D．4．五根小木棒，其長度分別為7，15，20，24，25，現(xiàn)將它們擺成兩個直角三角形，其中擺放方法正確的是（

）A． B． C． D．5．如圖，在中，，則邊上的高的長為（

）A．4 B． C． D．56．如圖，每個小正方形的邊長都是1，，，分別在格點上，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．7．如圖，一棵大樹在一次強臺風中于離地面10m處折斷倒下，倒下部分的樹梢到樹的距離為24m，則這棵大樹折斷處到樹頂?shù)拈L度是（）A．10m B．15m C．26m D．30m8．如圖，小巷左右兩側(cè)是豎直的墻壁，一架梯子斜靠在左墻時，梯子底端到左墻角的距離為米，頂端距離地面米．若梯子底端位置保持不動，將梯子斜靠在右墻時，頂端距離地面米，則小巷的寬度為（

）A． B． C． D．二、填空題（本大題共有10小題，每題3分，共30分）9．的三邊分別是a、b、c，且滿足，則當__________時是直角三角形．10．如圖，每個小正方形的邊長為1，在中，點D為AB的中點，則線段CD的長為________11．如圖所示，在中，，，，線段的垂直平分線交于交于，則的周長為______．12．如圖，△ABC為一張紙片，AB=3，AC=9，BC=，現(xiàn)將△ABC折疊，使點C與點B重合，折痕為DE．則DC長為_____________13．如圖所示為一種“羊頭”形圖案，其作法是：從正方形①開始，以它的一邊為斜，向外作等腰直角三角形，然后再以其直角邊為邊，分別向外作正方形②和②，…，依此類推，若正方形①的面積為64，則正方形⑤的面積為__________．14．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6，點P是邊AC上一動點，把△ABP沿直線BP折疊，使得點A落在圖中點A′處，當△AA′C是直角三角形時，則線段CP的長是_________．15．如圖，∠ABC＝90°，，以B為圓心，BC長為半徑畫弧，與射線AD相交于點E，連接BE，過點C作CF⊥BE，垂足為F．若AB＝6，AE＝8，BE＝10，則EF的長為_______．16．如圖所示，甲漁船以8海里時的速度離開港口向東北方向航行，乙漁船以6海里時的速度離開港口向西北方向航行，他們同時出發(fā)，一個小時后，甲、乙兩漁船相距_______海里．17．A、B、C、D四個小城鎮(zhèn)，它們之間（除B、C外）都有筆直的公路相連接（如圖），公共汽車行駛于城鎮(zhèn)之間，其票價與路程成正比．已知各城鎮(zhèn)間的公共汽車票價如下：A﹣B：10元，A﹣C：12.5元，A﹣D：8元，B﹣D：6元，C﹣D：4.5元，為了B、C之間交通方便，在B、C之間建成筆直的公路，請按上述標準計算出B、C之間公共汽車的票價為_____元．18．愛動腦筋的小明某天在家玩遙控游戲時遇到下面的問題：已知，如圖一個棱長為8cm無蓋的正方體鐵盒，小明通過遙控器操控一只帶有磁性的甲蟲玩具，他先把甲蟲放在正方體盒子外壁A處，然后遙控甲蟲從A處出發(fā)沿外壁面正方形ABCD爬行，爬到邊CD上后再在邊CD上爬行3cm，最后在沿內(nèi)壁面正方形ABCD上爬行，最終到達內(nèi)壁BC的中點M，甲蟲所走的最短路程是______cm三、解答題（本大題共有10小題，共66分；第19-24每小題5分，第25-26每小題6分，第27小題10分，第28小題14分）19．如圖，在長方形中，，E為上一點，把沿折疊，使點C落在邊上的F處．(1)求的長；(2)求的長．20．如圖，甲乙兩船從港口A同時出發(fā)，甲船以16海里/時速度向北偏東航行，乙船以12海里/時向南偏東方向航行，3小時后，甲船到達C島，乙船到達B島．若C、B兩島相距60海里，問乙船出發(fā)后的航向是南偏東多少度？21．在中，AB，BC，AC三邊的長分別，，，求這個三角形的面積．小明同學在解答這道題時，先建立一個正方形網(wǎng)格（每個小正方形的邊長為1），再在網(wǎng)格中畫出格點（即三個頂點都在小正方形的頂點處），如圖1所示．這樣不需求的高，而借用網(wǎng)格就能計算出它的面積．(1)請你將的面積直接填寫在橫線上______；(2)我們把上述求面積的方法叫做構(gòu)圖法，若三邊AB，BC，AC的長分別為，，，請利用圖2的正方形網(wǎng)格（每個小正方形的邊長為1）畫出相應(yīng)的，并求出它的面積．22．如圖，P是等邊三角形ABC內(nèi)一點，將線段AP繞點A順時針旋轉(zhuǎn)60°得到線段AQ，連接BQ．若PA=6，PB=8，PC=10．(1)CP與BQ的大小關(guān)系，并說明理由；(2)連接PQ，判斷△BPQ的形狀；(3)求四邊形APBQ的面積．23．如圖，為紀念中國共產(chǎn)黨建黨100周年，水磨溝景區(qū)擬對園中的一塊空地進行美化施工，已知米，米，，米，米，欲在此空地上種植盆景造型．已知盆景每平方米500元，試問用該盆景鋪滿這塊空地共需花費多少元？24．如圖，斜靠墻上的一根竹竿AB長為13m，端點B離墻角的水平距離BC長為5m．(1)若A端下移的距離等于B端沿CB方向移動的距離，求下移的距離．(2)在竹竿滑動的過程中，△ABC面積有最值（填“大”或“小”）為（兩個空直接寫出答案不需要解答過程）．25．如圖，中，，，，若動點P從點C開始，按的路徑運動，且速度為每秒1cm，設(shè)出發(fā)的時間為t秒．(1)當秒時，的周長=________________；(2)當_____________秒時，平分；(3)問t為何值時，為等腰三角形？(4)另有一點Q，從點C開始，按的路徑運動，且速度為每秒2cm，若P、Q兩點同時出發(fā)，當P、Q中有一點到達終點時，另一點也停止運動．當t為何值時，直線把的周長分成相等的兩部分？26．如圖，一個牧童在小河正南方向4km的處牧馬，若牧童從點向南繼續(xù)前行7km到達點．則此時牧童的家位于點正東方向8km的處．牧童打算先把在點吃草的馬牽到小河邊飲水后再回家，請問他應(yīng)該如何選擇行走路徑才能使所走的路程最短？最短路程是多少？請先在圖上作出最短路徑，再進行計算．27．如圖，直線AB與x軸交于點A（4，0），與y軸交于點B（0，－4），若點E在線段AB上，OE⊥OF，且OE＝OF，連接AF.（1）猜想線段AF與BE之間的關(guān)系，并證明；（2）過點O作OM⊥EF垂足為D,OM分別交AF、BA的延長線于點C、M若BE=，求CF的長.28．臺風是一種自然災(zāi)害，它在以臺風中心為圓心，一定長度為半徑的圓形區(qū)域內(nèi)形成極端氣候，有極強的破壞力．如圖，監(jiān)測中心監(jiān)測到一臺風中心沿監(jiān)測點B與監(jiān)測點A所在的直線由東向西移動，已知點C為一海港，且點C與A，B兩點的距離分別為300km、400km，且∠ACB=90°，過點C作CE⊥AB于點E，以臺風中心為圓心，半徑為260km的圓形區(qū)域內(nèi)為受影響區(qū)域．（1）求監(jiān)測點A與監(jiān)測點B之間的距離；（2）請判斷海港C是否會受此次臺風的影響，并說明理由；（3）若臺風的速度為25km/h，則臺風影響該海港多長時間？【高效培優(yōu)】2022—2023學年八年級數(shù)學上冊必考重難點突破必刷卷（蘇科版）【單元測試】第3章勾股定理（綜合能力拔高卷）（考試時間：100分鐘試卷滿分：120分）學校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________一、選擇題（本大題共有8小題，每小題3分，共24分；在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1．如果3，4，是直角三角形三邊長，則x的值是（

）A．5 B． C．5或 D．5或7【答案】C【分析】分4為直角邊和4為斜邊時兩種情況，利用勾股定理求解即可．【詳解】解：當4為直角邊時，由勾股定理得，解得x=5，當4為斜邊時，由勾股定理得，解得x=，綜上，x=5或x=，故選：C．【點睛】本題考查勾股定理，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，求出x的值，注意存在兩種情況．2．下面四組數(shù)，其中是勾股數(shù)組的是（

）A．，， B．，， C．，， D．，，【答案】A【分析】根據(jù)勾股數(shù)的定義：有a、b、c三個正整數(shù)，滿足的三個數(shù)，稱為勾股數(shù)．由此判定即可．【詳解】解：A、，能構(gòu)成勾股數(shù)，故正確；B、0.3，0.4，0.5，不是正整數(shù)，所以不是勾股數(shù)，故錯誤；C、，不能構(gòu)成勾股數(shù)，故錯誤；D、，不能構(gòu)成勾股數(shù)，故錯誤．故選：A．【點睛】本題考查了勾股數(shù)，解答此題要深刻理解勾股數(shù)的定義，熟記常用的勾股數(shù)．3．已知中，，，的對邊分別是，，．下列條件不能判斷是直角三角形的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】利用三角形的內(nèi)角和定理、直角三角形的定義和勾股定理的逆定理逐項判斷即可．【詳解】解：、，，故是直角三角形；、，，，故是直角三角形；、，，故不是直角三角形；、，，故是直角三角形．故選：．【點睛】此題主要考查了勾股定理的逆定理及三角形的內(nèi)角和定理，當三角形的三邊長a、b、c滿足或三內(nèi)角中有一個是直角的情況下，能判定三角形是直角三角形，掌握勾股定理的逆定理是解題的關(guān)鍵．4．五根小木棒，其長度分別為7，15，20，24，25，現(xiàn)將它們擺成兩個直角三角形，其中擺放方法正確的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)圖中所給出的數(shù)，找出組成三角形的三邊，并判斷較小兩邊的平方和是否等于最大邊的平方，每一個圖判斷兩次即可．【詳解】解：∵，∴，∴A錯誤，B錯誤，C錯誤，D正確．故選：D．【點睛】本題考查了勾股定理的逆定理，解題的關(guān)鍵是注意是判斷較小兩邊的平方和是否等于最大邊的平方．5．如圖，在中，，則邊上的高的長為（

）A．4 B． C． D．5【答案】C【分析】過A作AE⊥BC于點E，根據(jù)勾股定理計算出底邊上的高AE的長，然后利用三角形面積的不同求法列式求出BD即可．【詳解】解：過點A作AE⊥BC于點E，∵AB＝AC＝5，∴△ABC是等腰三角形，∵AE⊥BC，∴EB＝EC＝BC＝3，在Rt△ABE中，AE＝，∴＝AC·BD＝BC·AE，∴BD，故選：C．【點睛】此題主要考查了勾股定理的應(yīng)用以及等腰三角形的性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握等腰三角形底邊上的高線和中線重合．6．如圖，每個小正方形的邊長都是1，，，分別在格點上，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用勾股定理的逆定理證明△ACB為等腰直角三角形即可得到∠ABC的度數(shù)．【詳解】解：連接AC，由勾股定理得：AC=BC=，AB=，∵AC2+BC2=AB2=10，∴△ABC為等腰直角三角形，∴∠ABC=45°，故選B．【點睛】本題考查了勾股定理的逆定理，解答本題的關(guān)鍵是根據(jù)正方形的性質(zhì)求出邊長，由勾股定理的逆定理判斷出等腰直角三角形．7．如圖，一棵大樹在一次強臺風中于離地面10m處折斷倒下，倒下部分的樹梢到樹的距離為24m，則這棵大樹折斷處到樹頂?shù)拈L度是（）A．10m B．15m C．26m D．30m【答案】C【分析】根據(jù)勾股定理求出大樹折斷部分的高度即可求解．【詳解】】解：如圖所示：∵△ABC是直角三角形，AB=10m，AC=24m，故選C【點睛】本題考查的是勾股定理的應(yīng)用，解答此題的關(guān)鍵是先根據(jù)勾股定理求出BC的長度．8．如圖，小巷左右兩側(cè)是豎直的墻壁，一架梯子斜靠在左墻時，梯子底端到左墻角的距離為米，頂端距離地面米．若梯子底端位置保持不動，將梯子斜靠在右墻時，頂端距離地面米，則小巷的寬度為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先根據(jù)勾股定理求出梯子的長，進而根據(jù)勾股定理可得出小巷的寬度．【詳解】解：如圖，由題意可得：AD2=0.72+2.42=6.25，在Rt△ABC中，∵∠ABC=90°，BC=1.5米，BC2+AB2=AC2，AD=AC，∴AB2+1.52=6.25，∴AB=±2，∵AB＞0，∴AB=2米，∴小巷的寬度為：0.7+2=2.7（米）．故選：D.【點睛】本題考查的是勾股定理的應(yīng)用，在應(yīng)用勾股定理解決實際問題時勾股定理與方程的結(jié)合是解決實際問題常用的方法，關(guān)鍵是從題中抽象出勾股定理這一數(shù)學模型，畫出準確的示意圖．二、填空題（本大題共有10小題，每題3分，共30分）9．的三邊分別是a、b、c，且滿足，則當__________時是直角三角形．【答案】100或28##28或100【分析】根據(jù)絕對值和偶次方的非負性得出a=8，b=6，再根據(jù)勾股定理解答即可．【詳解】解∶∵，∴a-8=0，b-6=0，解得∶a=8，b=6，∴當△ABC是以∠ACB為直角的直角三角形時，，當△ABC是以∠CAB為直角的直角三角形時，，故答案為∶100或28．【點睛】本題考查的是勾股定理的逆定理，即如果三角形的三邊長a，b，c滿足，那么這個三角形就是直角三角形，熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．10．如圖，每個小正方形的邊長為1，在中，點D為AB的中點，則線段CD的長為________【答案】##【分析】根據(jù)勾股定理列式求出AB、BC、AC，再利用勾股定理逆定理判斷出△ABC是直角三角形，然后根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半解答即可．【詳解】解：根據(jù)勾股定理，，，，∵，∴△ABC是直角三角形，∵點D為AB的中點，∴．故答案為：．【點睛】本題考查了直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半的性質(zhì)，勾股定理，勾股定理逆定理的應(yīng)用，判斷出△ABC是直角三角形是解題的關(guān)鍵．11．如圖所示，在中，，，，線段的垂直平分線交于交于，則的周長為______．【答案】7【分析】根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)定理：垂直平分線上的任意一點到線段兩端點的距離相等，可得AE=EC，再根據(jù)勾股定理求出BC的長度，即可得的周長．【詳解】DE垂直平分線段AC，AE=CE，在中，，，，==4，的周長=AB+BE+AE=AB+BE+EC=AB+BC=3+4=7．故答案為：7．【點睛】此題考查了垂直平分線的性質(zhì)定理、勾股定理等知識．熟練運用垂直平分線性質(zhì)定理和勾股定理是解此題的關(guān)鍵．12．如圖，△ABC為一張紙片，AB=3，AC=9，BC=，現(xiàn)將△ABC折疊，使點C與點B重合，折痕為DE．則DC長為_____________【答案】5【分析】根據(jù)勾股定理逆定理可得∠A=90°，再根據(jù)折疊的性質(zhì)可得BD=CD，設(shè)CD=x，則BD=x，AD=9-x，再由勾股定理，即可求解．【詳解】解：∵AB=3，AC=9，BC=，∴，∴∠A=90°，∵將△ABC折疊，使點C與點B重合，∴BD=CD，設(shè)CD=x，則BD=x，AD=9-x，∵，∴，解得：，即CD=5．故答案為：5【點睛】本題主要考查了勾股定理勾股定理及其逆定理，圖形的折疊，熟練掌握勾股定理勾股定理及其逆定理是解題的關(guān)鍵．13．如圖所示為一種“羊頭”形圖案，其作法是：從正方形①開始，以它的一邊為斜，向外作等腰直角三角形，然后再以其直角邊為邊，分別向外作正方形②和②，…，依此類推，若正方形①的面積為64，則正方形⑤的面積為__________．【答案】4【分析】根據(jù)題意可知第一個正方形的面積是64，則第二個正方形的面積是32，…，進而可找出規(guī)律得出第n個正方形的面積，即可得出結(jié)果．【詳解】解：第一個正方形的面積是64；設(shè)第一個等腰直角三角形的直角邊長為由勾股定理可得：∴解得：∴第二個正方形的面積是；同理：第三個正方形的面積是；…第n個正方形的面積是，當時，正方形的面積為∴正方形⑤的面積是4．故答案為：4．【點睛】本題考查了正方形的性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、勾股定理．解題的關(guān)鍵是找出第n個正方形的面積．14．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6，點P是邊AC上一動點，把△ABP沿直線BP折疊，使得點A落在圖中點A′處，當△AA′C是直角三角形時，則線段CP的長是_________．【答案】4或3【分析】分類討論分別當∠AA′C=90°時，當∠ACA′=90°時，根據(jù)折疊的性質(zhì)函數(shù)直角三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【詳解】解：如圖1，當∠AA′C=90°時，∵以直線BP為軸把△ABP折疊，使得點A落在圖中點A′處，∴AP=A′P，∴∠PAA′=∠AA′P，∵∠ACA′+∠PAA′=∠CA′P+∠AA′P=90°，∴∠PCA′=∠PA′C，∴PC=PA′，∴PC=AC=4，如圖2，當∠ACA′=90°時，∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，且AC=8，BC=6．∴AB=10，∵以直線BP為軸把△ABP折疊，使得點A落在圖中點A′處，∴A′B=AB=10，PA=PA′，∴A′C=4，設(shè)PC=x，∴AP=8-x，∵A′C2+PC2=PA′2，∴42+x2=（8-x）2，解得：x=3，∴PC=3，綜上所述：當△AA′C是直角三角形時，則線段CP的長是4或3，故答案為：4或3．【點睛】本題考查了翻折變換（折疊問題）直角三角形的性質(zhì)，正確的作出圖形是解題的關(guān)鍵．15．如圖，∠ABC＝90°，，以B為圓心，BC長為半徑畫弧，與射線AD相交于點E，連接BE，過點C作CF⊥BE，垂足為F．若AB＝6，AE＝8，BE＝10，則EF的長為_______．【答案】2【分析】先判斷為直角三角形，再證明,由全等性質(zhì)求得BF=8，再相減可得【詳解】，，為直角三角形，，∵CF⊥BE，，又，，是以B為圓心，BC長為半徑的圓弧的半徑，，在和中，，（AAS），，，故答案為：2．【點睛】本題考查了勾股定理的逆定理，三角形全等的判定和性質(zhì)，找對應(yīng)邊和找對應(yīng)角是解題關(guān)鍵．16．如圖所示，甲漁船以8海里時的速度離開港口向東北方向航行，乙漁船以6海里時的速度離開港口向西北方向航行，他們同時出發(fā)，一個小時后，甲、乙兩漁船相距_______海里．【答案】10【分析】根據(jù)方位角分析可得，根據(jù)路程等于速度乘以時間求得，繼而根據(jù)勾股定理即可求解．【詳解】解：甲漁船離開港口向東北方向航行，乙漁船離開港口向西北方向航行，，出發(fā)一個小時后，（海里），（海里），（海里），故答案為：10．【點睛】本題考查了勾股定理，方位角，掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．17．A、B、C、D四個小城鎮(zhèn)，它們之間（除B、C外）都有筆直的公路相連接（如圖），公共汽車行駛于城鎮(zhèn)之間，其票價與路程成正比．已知各城鎮(zhèn)間的公共汽車票價如下：A﹣B：10元，A﹣C：12.5元，A﹣D：8元，B﹣D：6元，C﹣D：4.5元，為了B、C之間交通方便，在B、C之間建成筆直的公路，請按上述標準計算出B、C之間公共汽車的票價為_____元．【答案】7.5【分析】先根據(jù)勾股定理的逆定理判定△ABD為直角三角形，則△BDC也為直角三角形，再根據(jù)勾股定理計算BC的長，從而算出B、C之間的票價．【詳解】根據(jù)題意，公共汽車行駛于城鎮(zhèn)之間，其票價與路程成正比，設(shè)其比例系數(shù)為（k≠0），即票價＝×路程，則路程＝k票價；在△ABD中，AB＝10k，AD＝8k，BD＝6k，∵AD2+BD2=(8k)2+(6k)2=100k2=AB2∴△ABD為直角三角形∴∠ADB＝90°，則∠BDC＝90°；則在Rt△BDC中，BD＝6k，CD＝4.5k；由勾股定理可得BC2=BD2+DC2==56.25k2∴BC＝7.5k，則B、C之間公共汽車的票價為7.5元．故答案為7.5【點睛】本題考查了勾股定理及其逆定理，掌握勾股定理及其逆定理是解題的關(guān)鍵．18．愛動腦筋的小明某天在家玩遙控游戲時遇到下面的問題：已知，如圖一個棱長為8cm無蓋的正方體鐵盒，小明通過遙控器操控一只帶有磁性的甲蟲玩具，他先把甲蟲放在正方體盒子外壁A處，然后遙控甲蟲從A處出發(fā)沿外壁面正方形ABCD爬行，爬到邊CD上后再在邊CD上爬行3cm，最后在沿內(nèi)壁面正方形ABCD上爬行，最終到達內(nèi)壁BC的中點M，甲蟲所走的最短路程是______cm【答案】16【分析】將正方形沿著翻折得到正方形，過點在正方形內(nèi)部作，使，連接，過作于點，此時最小，運用勾股定理求解即可．【詳解】如圖，將正方形沿著翻折得到正方形，過點在正方形內(nèi)部作，使，連接，過作于點，則四邊形是矩形，四邊形是平行四邊形，∴，，，，此時最小，∵點是中點，∴cm，∴cm，cm，在中，cm，∴cm，故答案為：16．【點睛】本題考查最短路徑問題，考查了正方形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)和判定，勾股定理，軸對稱性質(zhì)等，解題的關(guān)鍵是將立體圖形中的最短距離轉(zhuǎn)換為平面圖形的兩點之間線段長度進行計算．三、解答題（本大題共有10小題，共66分；第19-24每小題5分，第25-26每小題6分，第27小題10分，第28小題14分）19．如圖，在長方形中，，E為上一點，把沿折疊，使點C落在邊上的F處．(1)求的長；(2)求的長．【答案】(1)8(2)【分析】（1）由長方形和折疊的性質(zhì)得到DF=CD=10，在Rt△ADF中，由勾股定理求解即可；（2）設(shè)CE=EF=x，則BE=6-x，BF=AB-AF=2，在Rt△BEF中，由勾股定理建立方程求解即可．【詳解】（1）解：∵四邊形ABCD是長方形，∴∠A=90°，AB=CD=10，由折疊的性質(zhì)可知DF=CD=10，∴在Rt△ADF中，由勾股定理得；（2）解：由折疊的性質(zhì)可得CE=EF，由長方形的性質(zhì)可得∠B=90°，BC=AD=6，設(shè)CE=EF=x，則BE=6-x，BF=AB-AF=2，在Rt△BEF中，由勾股定理得，∴，解得，∴．【點睛】本題主要考查了勾股定理與折疊問題，熟知勾股定理和折疊的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．20．如圖，甲乙兩船從港口A同時出發(fā)，甲船以16海里/時速度向北偏東航行，乙船以12海里/時向南偏東方向航行，3小時后，甲船到達C島，乙船到達B島．若C、B兩島相距60海里，問乙船出發(fā)后的航向是南偏東多少度？【答案】【分析】首先理解方位角的概念，根據(jù)所給的方位角得到∠CAB=90°．根據(jù)勾股定理求得乙船所走的路程，再根據(jù)速度=路程÷時間，計算即可．【詳解】由題意可得，，，，∵，∴，∴是直角三角形，，∵，∴，∴乙船出發(fā)后的航向是南偏東40°．【點睛】本題考查了方位角的概念及勾股定理，解決本題的關(guān)鍵是能熟練使用勾股定理解決問題．21．在中，AB，BC，AC三邊的長分別，，，求這個三角形的面積．小明同學在解答這道題時，先建立一個正方形網(wǎng)格（每個小正方形的邊長為1），再在網(wǎng)格中畫出格點（即三個頂點都在小正方形的頂點處），如圖1所示．這樣不需求的高，而借用網(wǎng)格就能計算出它的面積．(1)請你將的面積直接填寫在橫線上______；(2)我們把上述求面積的方法叫做構(gòu)圖法，若三邊AB，BC，AC的長分別為，，，請利用圖2的正方形網(wǎng)格（每個小正方形的邊長為1）畫出相應(yīng)的，并求出它的面積．【答案】(1)2.5(2)圖見解析，4【分析】（1）利用長方形的面積減去邊角的三角形面積即可；（2）是邊長為2和2的直角三角形的斜邊，是邊長為1和3的直角三角形的斜邊，是邊長為1和5的直角三角形的斜邊，再利用長方形面積減去多余的三角形即可．【詳解】（1）解：；故答案為：2.5；（2）如圖2，，，，∴．【點睛】此題考查了在網(wǎng)格中畫圖，勾股定理計算邊長，構(gòu)建長方形求三角形的面積，根據(jù)三角形三邊的長度在網(wǎng)格中畫出三角形是解題的關(guān)鍵，需要掌握直角三角形的勾股數(shù)才能正確畫圖．22．如圖，P是等邊三角形ABC內(nèi)一點，將線段AP繞點A順時針旋轉(zhuǎn)60°得到線段AQ，連接BQ．若PA=6，PB=8，PC=10．(1)CP與BQ的大小關(guān)系，并說明理由；(2)連接PQ，判斷△BPQ的形狀；(3)求四邊形APBQ的面積．【答案】(1)CP=BQ，理由見解析(2)直角三角形(3)【分析】（1）結(jié)論：CP=BQ．證明△CAP≌△BAQ（SAS），可得結(jié)論；（2）結(jié)論：△PBQ是直角三角形．利用勾股定理的逆定理證明即可；（3）根據(jù)，求解即可．【詳解】（1）解：結(jié)論：CP=BQ．理由：如圖1中，∵△ABC是等邊三角形，∴AC=AB，∠CAB=60°，∵AP=AQ，∠PAQ=60°，∴∠CAB=∠PAQ，∴∠CAP=∠BAQ，在△CAP和△BAQ中，，∴△CAP≌△BAQ（SAS），∴CP=BQ；（2）解：結(jié)論：△PBQ是直角三角形．理由：如圖2中，∴AP=AQ，∠PAQ=60°，∴△APQ是等邊三角形，∴PQ=AP=6，∵BQ=PC=10，PB=8，∴，∴∠BPQ=90°，∴△PBQ是直角三角形；（3）解：過點A作AG⊥PQ于點G，∵△APQ是等邊三角形，且PQ=AP=6，∴PG=QG=3，∴AG==3，．【點睛】本題屬于四邊形綜合題，考查了等邊三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理的逆定理等知識，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形解決問題．23．如圖，為紀念中國共產(chǎn)黨建黨100周年，水磨溝景區(qū)擬對園中的一塊空地進行美化施工，已知米，米，，米，米，欲在此空地上種植盆景造型．已知盆景每平方米500元，試問用該盆景鋪滿這塊空地共需花費多少元？【答案】用盆景鋪滿這塊空地共需花費12000元【分析】首先利用勾股定理得出AC的長度，然后利用勾股定理得逆定理得到是直角三角形，進而求出和的面積，兩個面積之差即為空地面積．【詳解】解：如圖連接AC，在中，米，米，∠B=90°，由勾股定理得（米），在中，由勾股定理得逆定理得是直角三角形，且，∴=平方米∴用盆景鋪滿空地需要（元）．答：用盆景鋪滿這塊空地共需花費12000元．【點睛】本題主要考查勾股定理和勾股定理得逆定理得應(yīng)用，關(guān)鍵在于求出．24．如圖，斜靠墻上的一根竹竿AB長為13m，端點B離墻角的水平距離BC長為5m．(1)若A端下移的距離等于B端沿CB方向移動的距離，求下移的距離．(2)在竹竿滑動的過程中，△ABC面積有最值（填“大”或“小”）為（兩個空直接寫出答案不需要解答過程）．【答案】(1)下移的距離為7m(2)大，【分析】（1）設(shè)=x，根據(jù)勾股定理列出關(guān)于x的方程，解方程即可；（2）以為底，以C到直線的距離為高，在竹竿下滑過程中，高為的中線時，的面積最大，由三角形的面積公式求出最大值．【詳解】（1）解：設(shè)＝＝xm，由題意得：m，則＝（12﹣x）m，＝（5＋x）m，由勾股定理得：，即，解得：x＝7，即＝7m．答：下移的距離為7m；（2）解：如圖，以為底，過C作的垂線CD，D為垂足，設(shè)Rt△斜邊上的中線為CP，則CP＝m，CD≤CP，在竹竿下滑過程中，當CD為的中線時，的面積最大，最大值＝×13×＝（）．故答案為：大，．【點睛】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，直角三角形斜邊上的中線以及垂線段最短的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握勾股定理．25．如圖，中，，，，若動點P從點C開始，按的路徑運動，且速度為每秒1cm，設(shè)出發(fā)的時間為t秒．(1)當秒時，的周長=________________；(2)當_____________秒時，平分；(3)問t為何值時，為等腰三角形？(4)另有一點Q，從點C開始，按的路徑運動，且速度為每秒2cm，若P、Q兩點同時出發(fā)，當P、Q中有一點到達終點時，另一點也停止運動．當t為何值時，直線把的周長分成相等的兩部分？【答案】(1)(2)3(3)當t為6s或12s或10.8s或13s時，為等腰三角形(4)當t為4或12秒時，直線把的周長分成相等的兩部【分析】（1）由勾股定理求出AC=8cm，動點P從點C開始，出發(fā)2秒后，則CP=2cm，AP=6cm，由勾股定理求出PB，即可得出結(jié)果；（2）過點P作PD⊥AB于點D，由HL證明Rt△BPD≌Rt△BPC，得出BD=BC=6cm，則AD=10-6=4cm，設(shè)PC=x?cm，則PA=（8-x）cm，由勾股定理得出方程，解方程即可；（3）分兩種情況：①若P在邊AC上時，BC=CP=6cm，此時用的時間為6秒；②若P在AB邊上時，有三種情況：i若使BP=CB=6cm，此時AP=4cm，P運動的路程為4+8=12cm，用的時間為12秒；ii）若CP=BC=6cm，過C作CD⊥AB于點D，根據(jù)面積法求得高CD=4.8cm，求出BP=2PD=7.2cm，得出P運動的路程為18-7.2=10.8cm，即可得出結(jié)果；ⅲ）若BP=CP，則∠PCB=∠B，證出PA=PC得出PA=PB=5cm，得出P的路程為13cm，即可得出結(jié)果；（4）分兩種情況：①當P、Q沒相遇前：如圖6，P點走過的路程為tcm，Q走過的路程為2tcm，根據(jù)題意得出方程，解方程即可；②當P、Q相遇后：當P點在AB上，Q在AC上，則AP=（t-8）cm，AQ=（2t-16）cm，根據(jù)題意得出方程，解方程即可；即可得出結(jié)果．【詳解】（1）解：如圖1，由∠C=90°，AB=10cm，BC=6cm，∴AC=8cm，∵動點P從點C開始，按C→A→B→C的路徑運動，且速度為每秒1cm，∴出發(fā)2秒后，則CP=2cm，AP=6cm，∵∠C=90°，∴由勾股定理得cm，∴△ABP的周長為：AP+PB+AB=cm．故答案為：cm．（2）解：如圖2所示，過點P作PD⊥AB于點D，∵PB平分∠ABC，∴PD=PC．在Rt△BPD與Rt△BPC中，，∴Rt△BPD≌Rt△BPC（HL），∴BD=BC=6cm，∴AD=10-6=4cm．設(shè)PC=x?cm，則PA=（8-x）cm．在Rt△APD中，，即，解得：x=3，故答案為：3．（3）解：①如圖3，若P在邊AC上時，BC=CP=6cm，此時用的時間為6s，△BCP為等腰三角形．②若P在AB邊上時，有三種情況：i）如圖4，若使BP=CB=6cm，此時AP=4cm，P運動的路程為4+8=12cm，所以用的時間為12s，△BCP為等腰三角形；ii）如圖5，若CP=BC=6cm，過C作CD⊥AB于點D，根據(jù)面積法得：高CD=4.8cm，在Rt△PCD中，PD=3.6cm，∴BP=2PD=7.2cm，∴P運動的路程為18-7.2=10.8cm，∴用的時間為10.8s時，△BCP為等腰三角形；ⅲ）如圖6，若BP=CP，則∠PCB=∠B，∵∠ACP+∠BCP=90°，∠B+∠A=90°，∴∠ACP=∠A，∴PA=PC，∴PA=PB=5，∴P的路程為13cm，所以時間為13s時，△BCP為等腰三角形．?綜上所述，當t為6s或12s或10.8s或13s時，△BCP為等腰三角形．（4）解：分兩種情況：①當P、Q沒相遇前：如圖7，P點走過的路程為tcm，Q走過的路程為2tcm，∵直線PQ把△ABC的周長分成相等的兩部分，∴t+2t=12，∴t=4；②當P、Q相遇后：如圖8，當P點在AB上，Q在AC上，則AP=（t-8）cm，AQ=（2t-16）cm，∵直線PQ把△ABC的周長分成相等的兩部分，∴t-8+2t-16=12，∴t=12，∴當t為4或12秒時，直線PQ把△ABC的周長分成相等的兩部分．【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、三角形面積的計算，熟練掌握等腰三角形的判定與性質(zhì)，進行分類討論是解決問題的關(guān)鍵．26．如圖，一個牧童在小河正南方向4km的處牧馬，若牧童從點向南繼續(xù)前行7km到達點．則此時牧童的家位于點正東方向8km的處．牧童打算先把在點吃草的馬牽到小河邊飲水后再回家，請問他應(yīng)該如何選擇行走路徑才能使所走的路程最短？最短路程是多少？請先在圖上作出最短路徑，再進行計算．【答案】畫圖見詳解，牧童選擇如圖所示的AF+FB的回家路線時，所走的路程最短，最短路程為17km．【分析】作圖：先取A點關(guān)于河岸l的對稱點D，連接BD交直線l于點F，連接AF，即最短路徑為：BD．根據(jù)題意可知：牧童的行走路線為AF+BF，根據(jù)A點關(guān)于河岸l的對稱點為D，可得AF+BF=DF+BF，即根據(jù)兩點之間線段最短，可知當點D、F、B三點共線時，路徑最短，且最短路徑為BD，根據(jù)題意可得AD=4×2=8（km），DC=AD+AC=8+7=15（km），利用勾股定理即可求出BD．【詳解】作圖：先取A點關(guān)于河岸l的對稱點D，連接BD交直線l于點F，連接AF，即最短路徑為：BD，如圖：∵牧童先由A點去河邊，再從河邊直接返回家中，∴牧童的行走路線為AF+BF，∵A點關(guān)于河岸l的對稱點為D，∴AF=DF，∴AF+BF=DF+BF，即根據(jù)兩點之間線段最短，可知當點D、F、B三點共線時，路徑最短，且最短路徑為BD，∵A點距離河岸l為4km，∴AD=4×2=8（km），∵AC=7km，∴DC=AD+AC=8+7=15（km），根據(jù)題意可知∠C=90°，BC=8k