近似分析方法

第1節(jié)概述

對(duì)于力學(xué)問題（如穩(wěn)定問題），通過(guò)建立微分方程求解，往往有一定的困難，甚至不能得到閉合

解，必須采用近似方法，它能滿足工程計(jì)算的精度要求。無(wú)限自由度體系的特性常用微分方程來(lái)描

述，而近似方法把實(shí)際的無(wú)限自由度連續(xù)體用有限自由度的體系來(lái)代替，其特征可用代數(shù)方程來(lái)描

述。

第2節(jié)Timoshenko能量法

1、原理

若體系處于穩(wěn)定平衡時(shí)（參考狀態(tài)），施微小擾動(dòng)力，則

體系應(yīng)變能增量=外荷載作功增量△W+擾動(dòng)力所作功。

因此，時(shí)，結(jié)構(gòu)體系穩(wěn)定平衡。

時(shí)，結(jié)構(gòu)體系不穩(wěn)定平衡。

=時(shí)，結(jié)構(gòu)體系處于中性平衡，相應(yīng)的荷載為

臨界荷載。

2、實(shí)例

例1：以兩端簡(jiǎn)支的理想壓桿為例，取剛要屈曲的直桿作

為參考狀態(tài)。

失穩(wěn)后下降△/的過(guò)程中，應(yīng)力、應(yīng)變均不變，故

S=/+A/?

現(xiàn)考察△/：在軸上投影為，其差為

123

由二項(xiàng)式定理（l+f）2=1+--------1--------并注意

2816

微彎狀態(tài)下（小變形），可略去2以上的高階項(xiàng)得

所以△/=4（杰一公）=3（包）2&

外力所作功增量為

△W=/W=*(@)2公

(1)

2dx

彎曲應(yīng)變能增量為

(2)

1乂2

或AU=3總國(guó)-dx(本例中加=4)(3)

要求AW或bU必須先確定y=y(x)

①假定，此式滿足

幾何邊界條件y(0)=0,y(/)=0

力學(xué)邊界條件/(0)=0,/(/)=0

將代入式(1)、(2)中得

A27T2P2/方A27T2P

△W=------Lcosz(—)dx=-------

2/2°I4/

A27T4E1.2/玄、」42萬(wàn)4加

△U=2/4左10氣了)辦=

4/3

令A(yù)W=AU(代數(shù)方程)，得

兀2EI

Per-P

E下

所得結(jié)果與精確值完全一致，這是因?yàn)樗俣ǖ暮瘮?shù)完全正確之故(它即滿足幾何邊界條件,

又滿足力學(xué)邊界條件，其參數(shù)幅值A(chǔ)會(huì)自然消去)。

②假設(shè)y=a+hx+cx~

由幾何邊界條件：y(0)=0〃^a=0,丁(/)=0,得力=一〃

因此y=c(》2-xl)

上式滿足幾何邊界條件但不滿足桿端彎矩為0的力學(xué)邊界條件，因?yàn)閥"=2c工0。

2§

=^^c2(2x-l)2dx=^-

LU=2EIc2l(式⑵得)

I2F/

令A(yù)U=AW（代數(shù)方程），得4=—^比&=一^（精確解）大21%。

T72[2

③仍假定y=c(x2-xl)

則知=尸）〉=「4工2_工/）

2,P2c2戶

—ax----（-式---（3）得）

叱產(chǎn)…El）60E/

由AW=AU得”/=萼^,比精確解僅大1.3%。

2、方法

一次近似解，只包括一個(gè)參數(shù)，即一個(gè)自由度對(duì)應(yīng)一個(gè)方程。為了得到更精確的解，可假定曲線

包含更多的參數(shù)：

假設(shè)y=alfl（x）+頂介（x）+/力（x）+…

式中，力（x）是滿足邊界條件的關(guān)于的函數(shù)，叫做坐標(biāo)函數(shù)或試解函數(shù)；是參變數(shù)，叫廣義坐

標(biāo)。

仍以兩端較支的軸心壓桿為例，則

P2,n2p2

△U=*Qaifi）dx,=ndx

ZHIi=\Lj=i

由AU=AW,解得P=Egg?！?，a"）

/2（卬，。2,…,為）

式中，、均為的二次函數(shù)。

為了得到臨界荷載，必須使為最小，因此

空=瑁（工阻一旦.返）=旦（阻-二.返）

daiF?dai冠35F?曲EIda1

或沮_￡歿

=0(z=1,2,…，〃)

dajElda.

這是包含。1，42,的齊次線性方程組，不全為0的條件是△=（），可求，臨界荷載。歸結(jié)

為特征值問題。

3、小結(jié)

①能量法可避免解微分方程，歸結(jié)為特征值問題。

②由于正確的事先并不知道，故一般只能得到近似解。若假定的是正確的，則得到精確解，能

量法的精度取決于位移函數(shù)的選擇，選擇越合理，則精度越高。選擇時(shí)應(yīng)考慮三點(diǎn)：其一，形狀合

理；其二，盡可能滿足幾何、力學(xué)邊界條件，至少滿足幾何邊界條件；其三，易積分，便于計(jì)算(常

用多項(xiàng)式和三角函數(shù))；

③由于常不是真實(shí)曲線，則的誤差比引起的誤差更大，故用式(3)求比用式(2)求精度

號(hào)j;

④用能量法求解較精確值高。這是由于假定的曲線不是真實(shí)曲線，相當(dāng)于增加了約束；

⑤提高精度的另一方法是增加自由度，但求解復(fù)雜；

⑥當(dāng)精確解未知時(shí)，很難判斷解的精度，這是能量法的一個(gè)缺點(diǎn)。但可將兩次近似解比較，若

很接近，說(shuō)明誤差不大。

第3節(jié)變分法

下一節(jié)將介紹更有效、更通用的能量法一勢(shì)能駐值原理。為此，先對(duì)變分原理作一簡(jiǎn)單介紹，

以便在勢(shì)能駐值原理中應(yīng)用。

變分法是普通微積分中求極值問題的推廣，用以研究泛函的極值問題.

泛函：即函數(shù)的函數(shù)。

設(shè)定積分/=y,V，…,y")公

A\

式中，是的函數(shù)，因此I是一個(gè)泛函。變分法就是確定y=y(x)使取極值的方法，其結(jié)果是得

到y(tǒng)=y(x)必須滿足一個(gè)或一組微分方程。本章的重點(diǎn)放在獲得使泛函取極值的必要條件的微分方

程。

1、只包含一個(gè)自變量的一個(gè)函數(shù)的泛函

(1)

在邊界條件y(榻)=力和火交)=y2下的極值問

題。即求為極值時(shí)的丁=y&)。

設(shè)函數(shù)對(duì)都有一階和二階連續(xù)偏導(dǎo)，y(x)有

一階、二階導(dǎo)數(shù)。

圖中曲線為y=y(x),稱為原曲名或極值曲線?？?/p>

慮任意函數(shù)〃(x),〃(x)及導(dǎo)數(shù)在陽(yáng)區(qū)間連續(xù)，且〃(為)=0,〃(尤2)=0。

則可找到一族比較曲線：y(x)=y(x)+a〃(x),

式中，是一個(gè)微小參數(shù)，可選擇足夠小的使舊米刈＜￡,是任意選定的小數(shù)，稱為原曲線的鄰

近曲線，它們的端點(diǎn)、相同，y(x)叫做容許函數(shù)。選取不同的，可得到不同的鄰近曲線。

在變分法中稱二紙劃為的變分，記作，于是

y(x)=y(x)+?(x),y'=y'+3y',y"=y"+3y"■■■

式中，W=a〃'(x)=?(?),Sy"=arf(x)=J：=當(dāng)(時(shí))

dxdx1dx

和的變分，也是的函數(shù)，表示原曲線變到鄰近曲線時(shí)，和的相應(yīng)變化。

由于6，=冷⑸),討=演。)=v⑹=?》

dxdxdxdxdxdx

導(dǎo)數(shù)的變分等于變分的導(dǎo)數(shù)，即和兩個(gè)符號(hào)可以互換位置。

將鄰近曲線代入式(1)中得

1(a)=F(x,y+ar),y'+arf^dx(2)

對(duì)于給定的〃(x),/(a)是參數(shù)的一元函數(shù)，因此將一個(gè)求泛函極值問題轉(zhuǎn)化為求普通函數(shù)的

極值問題。此外，設(shè)y=y(x)是使為極值的函數(shù)，這就要求在得到極值條件后尚應(yīng)使。=0,這就

得到泛函的極值條件為

也=0⑶

aa=0

或?qū)懗?'(0)=0,即

/'(0)=*F(x,y+arj,y'+a7j')dx]a=0

da/

=拿卻幻a=0=整嚀〃+。佻=。

入ca入oycy

上式兩邊各乘以，可改寫成

\^[—8y+—3y']dx=Q(4)

這就是泛涵有極值的必要條件。

式中被積函數(shù)的幾何意義是變化和變化后F(x,y,y')的變化，即

dF5F,

3F=——a+——Sy(5)

dydy'

于是，當(dāng)不變時(shí)(參見圖)，增加了，增加了，就增加質(zhì)，因而積分增加了，式(4)的意義

是

拉=刃；F(x,y,y')dx=卯(x,y,y')dx=0

人1A1

因此，泛涵有極值的必要條件是泛函的一階變分應(yīng)等于零，即

(57=0(6)

下面將式(4)進(jìn)行變換，由式(4)得

SI=\x^—dydx+\x^—dy'dx

次dy%dy'

rx^F5Fd

=L2—bydx+LrX:——(3y)dx

Aidy<oyax

(XdFdFx,rxd,dF

Aioydyaxoy

「渭會(huì)韻時(shí)=。(7)

由于可以有不等于零的任意值，故有

/I靜

說(shuō)明泛函在曲線上取極值，則曲線必然是上述微分方程的解，式(8)叫做歐拉方程。求解泛

函的極值問題轉(zhuǎn)化為求解一個(gè)微分方程。

a=0是泛函以得極值的必要條件，至于是極大還是極小，要考察高階變分。

已定義y(x)=y(x)+并滿足值7加)|<￡，則稱y(x)為y(x)的鄰近。

若y=y(x)在它的鄰近的一切曲線y=y(x)都滿足不等式/()，)>/(y)，則泛函/(y)在曲線

y=y(x)上取得極小值。

若/G)V/(y),則取得極大值。

取得極小值的條件是△/=iG)-I(y)>0。根據(jù)多元函數(shù)的泰勒級(jí)數(shù),

△I=段F(x,y,y')dx-j:F(x,y,y')dx

；一$

=J人IF(x,y+?,y'+3y')dx人］F(x,y,y')dx

=3+辦，旻)Fdx+白+辦，曇產(chǎn)Fdx

xidydy2!dydy

+-\x\dy—+dy'—)iFdx+---^8l+-52I+-8^I+---

3!Jx，dydy'2!3!

式中，和分別為二階和三階變分。

由于取得極值的必要條件是H=0,則△/=,^2/+，占3/+…

2!3!

對(duì)于任意，若^2/>0,則為極??；若/<0,則為極大。

對(duì)于一般力學(xué)問題，極大還是極小值，可由問題的性質(zhì)確定，不一定要求高階變分。

HFdF

?下面說(shuō)明斷="?+匕&與全微分"=匕公+匕辦+竺；辦'是有區(qū)別的。"是的

dydydxdydy

變化引起了和變化，從而引起b(x)變化；曲是由于變成后的變化，此時(shí)固定不變。

2、自然邊界條件

在式(7)中利用了、兩邊界處?=0的條件。假如在邊界上不預(yù)先給定，則只有

dF

三=。（10）

x=x2

和式(8)歐拉方程同時(shí)成立，才能得到初=0,即式(7)成立。

式(10)是變分計(jì)算時(shí)自然得到的附加邊界條件，故稱為自然邊界條件，它往往就是力學(xué)問題

中的力學(xué)邊界條件。

變化問題的解就是在自然邊界條件下求解歐拉方程。因此，在求解力學(xué)問題時(shí)，幾何邊界必須

先給出，力學(xué)邊界條件可以不必預(yù)先給出而在變分計(jì)算中自然得到，這是變分原理的一個(gè)特點(diǎn)。

3、當(dāng)積分中還包含時(shí)，

/(y)=*F(x,y,y',y〃)dx。

設(shè)邊界條件，y(x])=yi，y(%2)=1y'(xi)=K，y'(x2)=出都已知，現(xiàn)在來(lái)求使/(V)

有極值的y=y(x)所必須滿足的歐拉方程。

必要條件H=0,而

31=陽(yáng)(x,%乂y")dx=J送aF》+言3y'+^；dy"}dx

分部積分并利用邊界處?=》'=0,則

2

rx,rSFddFd,dF

漢=1［弁一?。ㄋ拢?F（/）防-=0

'5ydxdydx1為

從而得到y(tǒng)=y(x)所須滿足的歐拉方程

叫+4（罵=0

（11）

dydxdyfdx2Qy

4、當(dāng)泛函中包含自變量的幾個(gè)函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)時(shí):

1=J；F(x，yi，)'2,…，…，況泗，…)dx

n”開AF

"曝隙濟(jì)+夠?'+福訓(xùn)3°(A=1,2…,〃)

分部積分并利用硼t(k=l,2…〃)x=x,=0,得

x=x2

里一幺里+烏盧)=0

(k=l,2---,n)(12)

1

當(dāng)kdxdy'kdx斷

解式(12),可確定使為極值的個(gè)函數(shù)月與2,…%。

5、當(dāng)泛函中包含兩個(gè)自變量的一個(gè)函數(shù)時(shí)，

/=JJF[x,y,〃(x,y\ux.uy]dxdy

給定邊界條件：〃(羽y)|c=。

其中，是區(qū)域的邊界閉曲線，為給定值。

必要條件漢=0,即

QFdFdF

H=JJSFdxdy-JJ(——5uH----8LIX+~^T)dxdy—0

v?dudux

利用分部積分法和邊界條件，得

名」(工一e(正)=0

(13)

dudxdu'xdydu'y

這就是使有極值時(shí)，必須滿足的歐拉方程。

6、附加條件下的變分問題

求y=y(x),使泛函/=J)F(x,y,y')dx為極值并同時(shí)滿足下列附加條件

x\

\^G{x,y,y')dx=K,式中為任意常數(shù)，邊界條件是火/)=?和y(X2)=先。

x\

利用Lagrange待定乘子求解，設(shè)Lagrange乘子為，得新泛函

H=一產(chǎn)(蒼y,yf)dx+y,yf)dx-K]

A1Al

對(duì)此泛函取變分的獨(dú)立變量為和，并令尸*=F+，G,則

SH=\^3Fdx+^SGdx+S^Gdx-K]

=產(chǎn)（卯+4比）dx+蘇U占G公—K]

x\x\

=般跖*公+宓U；G公-K]=0

于是得

**

”二（紇）=0（14）

dydxdy'

和jX2Gdx-K=0

x\

在邊界條件y（同）=力，?。ㄓ?）=及和附加條件〕：Gdx=K下求解歐拉方程式（14）,即得

x\

使取得極值的y=y（x）。

第4節(jié)勢(shì)能駐值原理和最小勢(shì)能原理

勢(shì)能駐值原理和最小勢(shì)能原理是能量法中的一個(gè)重要原理，應(yīng)用極廣，它可導(dǎo)自虛位移原理。

虛位移原理：當(dāng)彈性體（線性或非線性的）處于平衡狀態(tài)時(shí)，對(duì)任意虛位移，外力虛功與內(nèi)力

虛功的總和應(yīng)等于零，即

M外+時(shí)內(nèi)=0（1）

爾伍始終為負(fù)值，應(yīng)等于負(fù)的應(yīng)變能一比，即即內(nèi)=-比，則

外+（-犯）=0（2）

或次/一阱=0（3）

式（2）與式（3）意義不同：式（2）表示內(nèi)力虛功與外力虛功的和為零，是虛位移原理；式

（3）表示虛應(yīng)變能（虛內(nèi)力勢(shì)能）況7與虛外力勢(shì)能-阱之和為零。

虛位移是位移的微小增量，實(shí)際是位移的一階變分，史,5卬也是一階變分。因此，式（3）為

5n=b（U—W）=0（4）

式中，n=u-w為總勢(shì)能，它是應(yīng)變能和外力勢(shì)能之和；、、均可從某一參考狀態(tài)算起。例如桿

的屈曲問題。

式（4）導(dǎo)自虛位移原理，適用于彈性體。其意義是當(dāng)彈性體系處于平衡狀態(tài)時(shí)，總勢(shì)能一階

變分為零，或體系總勢(shì)能為一駐值，這就叫勢(shì)能駐值原理。

511=0是彈性體系處于平衡狀態(tài)的充要條件。但平衡是否穩(wěn)定，還要進(jìn)一步考察的高階變分。

勢(shì)能是以位移場(chǎng)為變量的函數(shù)，是一個(gè)泛函，由上節(jié)可知

△n=sriH—15"nH—n+…

2!3!

體系平衡時(shí)5口=0,則

An=—除nH—An+…(5)

2!3!

對(duì)于穩(wěn)定的平衡，給定任何虛位移，△門總為正。因?yàn)橹挥懈蓴_力作正功才可能偏離原來(lái)平衡

位置。因此，在穩(wěn)定平衡狀態(tài)，體系的總勢(shì)能為最小，這就是最小勢(shì)能原理。因此，由式（5）可

知

當(dāng)32rl>0時(shí)，An>o,為極小，屬穩(wěn)定平衡；

當(dāng)32n=（）時(shí)，△“=（）,屬中性平衡；

當(dāng)32n<。時(shí)，△“<（）,為極大，屬不穩(wěn)定平衡。

綜上所述，可以概括求臨界荷載的兩種方法：

①中性平衡時(shí)的荷載即臨界荷載，因此在中性平衡狀態(tài)列出平衡條件5n=。（可不必求二階

變分），這是勢(shì)能駐值原理；

②從穩(wěn)定平衡過(guò)渡到不穩(wěn)定平衡的荷載，即由b2n=。（△□=（））求臨界荷載，這是最小勢(shì)

能原理。

①、②概念上不同，①較簡(jiǎn)單常用，但從數(shù)學(xué)上講bn=。只是平衡條件，它不表示從穩(wěn)定平

衡過(guò)渡到不穩(wěn)定平衡的臨界條件，因此，理論上方法②更嚴(yán)密。

例：兩端簡(jiǎn)支的軸心壓桿

以剛要屈曲的直桿為參考狀態(tài)：

外力功w=2ax

應(yīng)變能U=弓酎2dx

總勢(shì)能n=U-W^^[Efy"2-Py'2]dx

由3r[=o,得

bn=網(wǎng)Ely"2-1Py12]dx=[而公=庶第效〃+養(yǎng)於心

=由Ely"by"-Py'Sy']dx=0

利用分步積分和幾何邊界條件：yx=o=yx=l=0，

因而ax=o=雙：=/=0

n

得到：^n=[EIy"8y']x=l-[EIySy']x^+庶后加⑷+Py"^ydx=0

由此得

El/4）+Py"=0（平衡條件）（6）

（EIy"）x=l=0]

?（力學(xué)條件）（7）

（E/）/）x=0=0-

可見幾何邊界條件要預(yù)先給定，力學(xué)邊界條件自然得出。式（6）就是歐拉方程，可由3rl=0

從上節(jié)式cm得到。

令/-gpy'2,則

—=0,—=-Py',—=Ely"

8ydy'為"'

代入變上（變）+g（工

=0,得

dxdy'dx1W

EIyW+Py"=0

利用勢(shì)能駐值原理建立微分方程，有時(shí)比直接根據(jù)平衡條件建立簡(jiǎn)單。該原理是適用于彈性體

系的普遍原理，并不是一個(gè)近似方法，但可在近似方法中應(yīng)用它解決問題。

第5節(jié)Rayleigh-Ritz法

勢(shì)能駐值原理可以計(jì)算結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定問題，但需用變分法，得到的結(jié)果是微分方程，還需求解微

分方程才能得到臨界荷載。

Rayleigh-Ritz法是建立在勢(shì)能駐值原理基礎(chǔ)上的一個(gè)近似方法，用求解代數(shù)方程式代替求解微

分方程式。為避免求解微分方程，可以先假定體系在中性平衡時(shí)變形圖形：

nnn

u=ZaM（x,y,z）,y=Z“w（x,y,z）,w=Z0%（x,y,z）（1）

i=lz=lz=l

式中，四?,%,1是個(gè)獨(dú)立參數(shù)，叫做廣義坐標(biāo)；為#,,小是個(gè)連續(xù)函數(shù)，叫做坐標(biāo)函數(shù)。坐標(biāo)函

數(shù)可以任意假定（試解函數(shù)），但須滿足幾何邊界條件而不一定滿足力學(xué)邊界條件。這樣體系在中

性平衡時(shí)的位形取決于個(gè)獨(dú)立參數(shù)，一旦這個(gè)獨(dú)立參數(shù)確定了，位移也就確定。無(wú)限自由度的連續(xù)

體系便用個(gè)有限自由度替代，越大，兩者越接近。

將式（1）代入n=u-w中，則是個(gè)廣義坐標(biāo)或獨(dú)立參數(shù)的函數(shù)，根據(jù)勢(shì)能駐值原理，可得

sn=z（―&,?+—+—&,■）=o由于砌，砌，由是微小的任意值，則

/=1da^dbjdcj

也=0,也=0,現(xiàn)

(i=1,2,…，〃)(2)

dctjdbjdci

求解這個(gè)代數(shù)方程，即得位移解。當(dāng)為線性屈曲問題時(shí)，令△=（）,即得。

例：求兩端較支軸心壓桿的臨界荷載

n

設(shè)y=力（X）+（%）+,,?+?！?（%）=力（%）

/=1

為￡

P〃

必212

nz/z力\

=--(〃?-|1

\Z2\/

1JO

?=1/=l

2

-尸

汨2

3rn

得

由-O=1\

c,2,--7

g〃2

P2in.n

—ZaiGfkdx—P*Zaf)代dx=0?=1,2…〃)

Hli=li=l

n-

或Zai[\l)(Pfifk-EIfi'f^dx]=0(Z=1,2…〃)

z=l

aj(i=1,2,…〃)有非零解的條件是

如仇2,,b\n

%b22,"b2n

A==0(4)

b

n21bnn

式中，城電)公

上式關(guān)于P的最小根就是臨界荷載.

?Reyleigh-Ritz法與Timoshenko能量法的異同

由式(3)令犯=0得因?—￡%=()

da,da,EIda,

可見所得結(jié)果完全相同，但概念上不同。

Timoshenko能量法求臨界荷載的能量準(zhǔn)則是：

勢(shì)能駐值原理的準(zhǔn)則是：5n=5(U—W)=0

這兩式概念是不同的。其結(jié)果分別為:

—=0,即Timoshenko法認(rèn)為臨界荷載是中性平衡下的最小荷載。

da.

—=0,體系處于微小變形的中性平衡時(shí)的荷載即勢(shì)能最小時(shí)的荷載是臨界荷載。

dcij

第6節(jié)Galerkin法

當(dāng)彈性體處在平衡狀態(tài)時(shí)，總勢(shì)能的一階變分為零：sn=o（勢(shì)能駐值原理）

是一個(gè)泛函，設(shè)

n=*F（x,y,y\y"）dx

人I

aF麗

則°n=E：（匹?+方w+歹?"）公二°

經(jīng)分部積分：

8FddFd2,dFdFd,dFSF,

bn=石一石（瓶）+密（示）吻以+行現(xiàn)x「〔五（歹向左卡r印初,Xy利

用邊界條件?=a'=0或一般地，選擇滿足力學(xué)邊界條件，得

2

tXrSFddFd,dF

5n5石一石（y）+*（萬(wàn)M小。

或Sfl=jx：L(y)6ydx=0

Xl

近似解法

n

設(shè)y="必+a2M+…+a*n=￡a由（1）

（=1

式中，一待定參數(shù)，一符合所有邊界條件的坐標(biāo)函數(shù)。

則

8an=￡互加,?

i=l的

n

0\8(1\+02占^2+…+放〃石匕〃=￡仇?西

z=l

則6口=］：￡0)。［a3%+3+1}L(y)</>&idx

玉x\nn

由于8ct\,8ci?,,是任意的，由此得Galerkin方程:

公=0

人］

目（加小=。

(11)

j；L(y)°〃dx=0

n

式中,L(y)中y=￡。渺,

j=i

求解上式即得的近似解。當(dāng)為線性屈曲問題時(shí)，令△=(),即得臨界荷載。

Galerkin法與平衡微分方程相關(guān)，不需計(jì)算總勢(shì)能。當(dāng)能直接寫出平衡微分方程時(shí)，有其便利

之處。而Rayleigh----Ritz法僅需寫出總勢(shì)能。

例：求兩端固支桿的臨界荷載

設(shè)y=〃1曲+。2。2

=x4-2lx3+l2X202=2/-5立4+4產(chǎn)%3_/3%2

和都滿足全部邊界條件：

y(o)=xO=o儂(0)=皿)=o]

y(o)=y(/)=o[“(o)="(/)=o]

L(y)=y(4)+女2y

222y223

=a1[24+2k(6x-6lx+l)]+a2[12Q(2x-l)+2k(20x-3Qlx+12lx-l)]

Galerkin方程為

儀(加@=4(0.8—0.0191M/2)/5+。2(0+0A2/2)/6=0

227

必L{y)(/)2dx=(0—6k2/2)/6+狽(0.5714-0.00634%/)/=0

由上兩式可解出與的比值，從而確定。

、不全為0的條件是

0.8-0.019U2/20

A=

—6.0-2產(chǎn)(0.5714-0.006349k212y

展開后解得(封)2=41.99或(0)2=90(k1=P!EI)

最小根為工7=41.99與精確解=39.48―丁相比，偏大約6.3%。

第7節(jié)差分法

這是一種數(shù)值方法，用以求解微分方程。它是

把函數(shù)在某一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)近似地用該點(diǎn)及其相鄰點(diǎn)

的函數(shù)值的代數(shù)式來(lái)代替，這些代數(shù)式叫做差分公

式。由于用差分公式代替了導(dǎo)數(shù)，從而把微分方程

近似地轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程，用求解代數(shù)方程代替了求

解微分方程。

導(dǎo)數(shù)的定義為：

dylim也土二四AyAy

lim~~~x~~

dxA—0AxAx

考察圖示函數(shù)，一階導(dǎo)數(shù)的差分公式為:

fi+h-f'

（第前差分

h

或哼）x=i=上廿后差分

axn

或啥）1="產(chǎn)中央差分（較準(zhǔn)確）⑴

fi+h-2赤+fi-h

下(2)

fi+2h-2力+/?+力捫-2力_〃+fi”h

2)=d(力之一廬廬

"='屋公2)x=2h

=%+2〃-2力+〃+2力-/?一力-2/?

(3)

2/?3

(4)

為便于記憶（1）~（4）式可用圖表示如下:

非均勻格式差分和偏導(dǎo)數(shù)也可按上述原理推導(dǎo)。

差分公式的精度取決于Ax=小的大小，格式分得愈小，則差分與導(dǎo)數(shù)了也愈接近。

例：求兩端簡(jiǎn)支壓桿的臨界荷載。

P

平衡方程為y"+——y=0及y(0)=y(/)=0

EI

d2y

將的差分公式代入得點(diǎn)的差分方程：

dx1

Ph2

yi+h-2乃+yi-h+—%=o

El

①取〃=3(第二次近似)，〃=//3

P12

取的差分方程V2-2?+y()+；777月=0

9EI

2

取i=2的差分方程為一2y2+?+祟為=。

9EI

由邊界條件得了0=>3=0,則

(^77-2)y1+V2=°

yCA

Pl2

I"為+、(-9-E--I--2)y2=0

9EI

由A=0得2/=了-比精確解小9%o

②取〃=4(第三次近似)，〃=//4

P12

時(shí)，>2-2>[+y。+g3=°

16EI

P12

i=2時(shí)，為一2把+力+；777先=。

P12

i=3時(shí)，>,4-2為+>2+7TT7>3=°

16￡7

利用對(duì)稱性力=為及邊界條件No=了4=0，整理后得

Pl2

-2）為+y>2=0

\6E1

Pl2

2yl+(---------2))篤=0

-16EI-

EJ

由△=()得外廠=9.47■比精確解小5%。

③外插法改善精度

?先取和兩種區(qū)段劃分進(jìn)行差分計(jì)算，相應(yīng)的區(qū)段尺寸分別為用=Unx,h2=//〃2；近似解為和。

?設(shè)精確解為，則誤差分別為句=B—氏和C2=，一夕2。

誤差的大小與約成正比，則

飛=B-氏=c4^c—

</2

e2=B-為=漏=c-y

I〃2

式中，為比例常數(shù)，聯(lián)立求解，消去得

〃3金2(5)

屏-?2

由于和單調(diào)趨向精確解，則上式給出了外插值，將較和更接近于精確解。

ElEI

己知〃1=3,4=9=;〃2=4,2=9.4—

I2I2

Q2vQ-42xQ4FlFl

則Per=-~:，-胃=9.85胃比精確解僅小0.2%.

32-42I2I2

例：求一端固定另一端簡(jiǎn)支桿的臨界荷載。

平衡微分方程y(4)+P/=0

邊界條件y(0)=y'(0)=y(l)=y"(/)=0

差分方程為:

P2

為+2/z-4%+〃+6%?-4%_〃+yj2h+—(%+/?-2?+yi-h)=0

EI

取〃=2,/z=//2

Pl2

時(shí)：為一4〉2+6月―4yo+y_i,(>2-2力+y0)=°

AEl

式中出現(xiàn)了與，可由邊界條件定出：

%=丁2=°

y'(0)=0,則也芋3=0(中央差分)得>_]=力

y〃(/)=0,則門—?’2-)'1=0得y3=-月

守

差分方程變?yōu)椋?i(6-----)=0,得?，=12彳比精確解小41%。

2EI〃

?小結(jié)

1、差分法是一個(gè)十分有效的方法，加大區(qū)段可提高精度，差分格式有規(guī)律，適用于計(jì)算機(jī)求

解。

2、與能量法相比，都是用有限自由度體系代替無(wú)限自由度體系；能量法假定體系變形后的形

狀，而差分法則把連續(xù)體離散成質(zhì)點(diǎn)體系。能量法解比精確值大，是上限，差分解則比精確值小，

是下限。

3、非特征值問題的差分解是、……，為非閉合解;若想得到解析式,則將離散點(diǎn)擬合成y=y(x).

這個(gè)缺點(diǎn)在特征值問題中并不存在。

第8節(jié)加權(quán)殘數(shù)法

這是求微分方程的一種近似方法，且十分有效。

設(shè)微分方程為：L(y)=P(1),

邊界條件3(y)=0(2)

精確解必然在任意一點(diǎn)都滿足上述平衡微分方程，和任一點(diǎn)上滿足邊界條件。

但復(fù)雜的工程問題很難找到精確解。設(shè)近似解為：

n

y=〃必+〃202■1----卜外機(jī)=工(1由(3)

Z=1

其中，是待定系數(shù)；滿足所有邊界條件，但不滿足微分方程。是線性

由于不滿足(1)式，將上式代入，必有殘數(shù)：

R=L(y)-P(4)

對(duì)于精確解，余量R=(),對(duì)于近似解可以選擇使得在某種平均意義上尺=0。今取殘數(shù)的加

權(quán)積分值為0,即

[WjRdx=0(i=1,2,…〃)(5)

式中，是權(quán)函數(shù)，上式是個(gè)方程，可確定個(gè)待定系數(shù)。采用不同的權(quán)函數(shù)就得到不同的計(jì)算

方法。

1、配點(diǎn)法

權(quán)函數(shù)選擇：在個(gè)分散點(diǎn)上取，其余部分Wj=0,這實(shí)際上是要求近似解在個(gè)分點(diǎn)上滿足微分

方程，同時(shí)滿足邊界條件，即余量在個(gè)點(diǎn)上為0：

Rj=0(z=1,2,????)(6)

由上式可求解個(gè)待定系數(shù)，從而得近似解。

2、最小二乘法

將殘數(shù)的二次方沿桿長(zhǎng)(或板)積分，得

I=\R1dx(7)

aj

因此要求：—=0(i=l,2,…〃)

da,

RR

—=0(i=l,2,…〃)(8)

da,

由這個(gè)方程，正好可求個(gè)?？梢姍?quán)函數(shù)為

3、矩法

對(duì)于一維問題，取用=1,吻=x，%=_?,……得

J1.R公=OjxR公=0,J/R公=0J/-1R公=o。

上式左端分別為余量的零次矩、一次矩、二次矩……。

4、Galerkin法

其權(quán)函數(shù)為。

第9節(jié)逐次漸近法

在用能量法進(jìn)行計(jì)算時(shí)，必須先假設(shè)變形曲線,而且所假設(shè)的變形曲線對(duì)計(jì)算結(jié)果的誤差有決定

性的影響。究竟如何選取變形曲線才能接近于精確解呢?逐次漸近法提供了一種較好的辦法。此外,

對(duì)于精確解為未知或比較復(fù)雜的情況，用漸近法能提供臨界荷載的上限和下限，可以估計(jì)近似解的精

確度，通過(guò)逐次漸近計(jì)算便可得到所需的精確度。

用漸近法計(jì)算臨界荷載時(shí)，先取任一滿足幾何邊界條件的曲線作為初始變形曲線，桿件的彎矩可

以軸力P與撓度來(lái)表示，將其代入微分方程，用重積分法或其他方法得到變形曲線的表達(dá)式，從而

得到一個(gè)臨界荷載值。如果原設(shè)定的變形曲線剛好是正確的，則求解微分方程所得的變形曲線與原

先所設(shè)的曲線必定相同，而如果選擇的初始曲線是近似的，則積分后得到的變形曲線與原曲線將有

區(qū)別。換句話說(shuō)，原先設(shè)定的變形形式不是實(shí)際的屈曲平衡形式。為了尋求新的歹形形式，可以第一

次計(jì)算所得的曲線為基礎(chǔ)作為真實(shí)撓度曲線的一個(gè)新的近似解。重復(fù)上述計(jì)算，乂得到一個(gè)新的變

形曲線，求得另一臨界荷載近似值，它比前一個(gè)臨界荷載近似值更接近于精確值。繼續(xù)進(jìn)行計(jì)算，直

到假設(shè)的與計(jì)算的變形形式相差很小為止，這時(shí)相應(yīng)的臨界荷載就將接近于精確解了。

現(xiàn)以圖la所示的間端餃支等截面壓桿為例來(lái)說(shuō)明。其屈曲時(shí)的平衡微分方程為

EIv=-Pv(1)

積分兩次后，得到其彈性曲線表達(dá)式為

pxx

v(x)=----Jjv(x)dxdx(2)