專(zhuān)題07平面解析幾何（選擇題）近三年高考真題學(xué)問(wèn)點(diǎn)1：直線與圓的位置關(guān)系1．（2024?新高考Ⅰ）過(guò)點(diǎn)與圓相切的兩條直線的夾角為，則A．1 B． C． D．【答案】【解析】圓可化為，則圓心，半徑為；設(shè)，切線為、，則，中，，所以，所以．故選：．2．（2024?北京）若直線是圓的一條對(duì)稱(chēng)軸，則A． B． C．1 D．【答案】【解析】圓的圓心坐標(biāo)為，直線是圓的一條對(duì)稱(chēng)軸，圓心在直線上，可得，即．故選：．3．（多選題）（2024?新高考Ⅱ）已知直線與圓，點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是A．若點(diǎn)在圓上，則直線與圓相切 B．若點(diǎn)在圓外，則直線與圓相離 C．若點(diǎn)在直線上，則直線與圓相切 D．若點(diǎn)在圓內(nèi)，則直線與圓相離【答案】【解析】中，若在圓上，則，而圓心到直線的距離，所以直線與圓相切，即正確；中，點(diǎn)在圓外，則，而圓心到直線的距離，所以直線與圓相交，所以不正確；中，點(diǎn)在直線上，則，而圓心到直線的距離，所以直線與圓相切，所以正確；中，點(diǎn)在圓內(nèi)，則，而圓心到直線的距離，所以直線與圓相離，所以正確；故選：．學(xué)問(wèn)點(diǎn)2：軌跡方程及標(biāo)準(zhǔn)方程4．（2024?甲卷（文））已知橢圓的離心率為，，分別為的左、右頂點(diǎn)，為的上頂點(diǎn)．若，則的方程為A． B． C． D．【答案】【解析】由橢圓的離心率可設(shè)橢圓方程為，則，由平面對(duì)量數(shù)量積的運(yùn)算法則可得：，，則橢圓方程為．故選：．5．（2024?天津）雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，．過(guò)作其中一條漸近線的垂線，垂足為．已知，直線的斜率為，則雙曲線的方程為A． B． C． D．【答案】【解析】因?yàn)檫^(guò)作一條漸近線的垂線，垂足為，則，所以①，聯(lián)立，可得，，即，，因?yàn)橹本€的斜率，整理得②，①②聯(lián)立得，，，故雙曲線方程為．故選：．6．（2024?天津）已知拋物線，，分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，拋物線的準(zhǔn)線過(guò)雙曲線的左焦點(diǎn)，與雙曲線的漸近線交于點(diǎn)，若，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為A． B． C． D．【答案】【解析】由題意可得拋物線的準(zhǔn)線為，又拋物線的準(zhǔn)線過(guò)雙曲線的左焦點(diǎn)，，聯(lián)立，可得，又，，，，，又，，，，雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為．故選：．7．（2024?北京）雙曲線的離心率為2，且過(guò)點(diǎn)，，則雙曲線的方程為A． B． C． D．【答案】【解析】因?yàn)殡p曲線過(guò)點(diǎn)，，則有①，又離心率為2，則②，由①②可得，，，所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為．故選：．8．（2024?浙江）已知，，，函數(shù)．若，，成等比數(shù)列，則平面上點(diǎn)的軌跡是A．直線和圓 B．直線和橢圓 C．直線和雙曲線 D．直線和拋物線【答案】【解析】函數(shù)，因?yàn)?，，成等比?shù)列，則，即，即，整理可得，因?yàn)?，故，即，所以或，?dāng)時(shí)，點(diǎn)的軌跡是直線；當(dāng)，即，因?yàn)椋庶c(diǎn)的軌跡是雙曲線．綜上所述，平面上點(diǎn)的軌跡是直線或雙曲線．故選：．學(xué)問(wèn)點(diǎn)3：橢圓的幾何性質(zhì)9．（2024?甲卷（理））已知橢圓，，為兩個(gè)焦點(diǎn)，為原點(diǎn)，為橢圓上一點(diǎn)，，則A． B． C． D．【答案】【解析】橢圓，，為兩個(gè)焦點(diǎn)，，為原點(diǎn)，為橢圓上一點(diǎn)，，設(shè)，，不妨，可得，，即，可得，，，可得．可得．故選：．學(xué)問(wèn)點(diǎn)4：雙曲線的幾何性質(zhì)10．（2024?乙卷（文））設(shè)，為雙曲線上兩點(diǎn)，下列四個(gè)點(diǎn)中，可為線段中點(diǎn)的是A． B． C． D．【答案】【解析】設(shè)，，，，中點(diǎn)為，，，①②得，即，即或，故、、錯(cuò)誤，正確．故選：．11．（2024?甲卷（文））點(diǎn)到雙曲線的一條漸近線的距離為A． B． C． D．【答案】【解析】由題意可知，雙曲線的漸近線方程為，即，結(jié)合對(duì)稱(chēng)性，不妨考慮點(diǎn)到直線的距離，則點(diǎn)到雙曲線的一條漸近線的距離．故選：．學(xué)問(wèn)點(diǎn)5：拋物線的幾何性質(zhì)12．（2024?乙卷（文））設(shè)為拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)在上，點(diǎn)，若，則A．2 B． C．3 D．【答案】【解析】為拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)在上，點(diǎn)，，由拋物線的定義可知，不妨在第一象限），所以．故選：．13．（2024?新高考Ⅱ）若拋物線的焦點(diǎn)到直線的距離為，則A．1 B．2 C． D．4【答案】【解析】拋物線的焦點(diǎn)，到直線的距離為，可得，解得．故選：．學(xué)問(wèn)點(diǎn)6：弦長(zhǎng)問(wèn)題14．（2024?甲卷（理））已知雙曲線的離心率為，其中一條漸近線與圓交于，兩點(diǎn)，則A． B． C． D．【答案】【解析】雙曲線的離心率為，可得，所以，所以雙曲線的漸近線方程為：，一條漸近線與圓交于，兩點(diǎn)，圓的圓心，半徑為1，圓的圓心到直線的距離為：，所以．故選：．15．（2024?甲卷（文））已知雙曲線的離心率為，的一條漸近線與圓交于，兩點(diǎn)，則A． B． C． D．【答案】【解析】雙曲線的離心率為，可得，所以，所以雙曲線的漸近線方程為：，一條漸近線與圓交于，兩點(diǎn)，圓的圓心，半徑為1，圓的圓心到直線的距離為：，所以．故選：．學(xué)問(wèn)點(diǎn)7：離心率問(wèn)題16．（2024?新高考Ⅰ）設(shè)橢圓，的離心率分別為，．若，則A． B． C． D．【答案】【解析】由橢圓可得，，，橢圓的離心率為，，，，，或（舍去）．故選：．17．（2024?甲卷（理））橢圓的左頂點(diǎn)為，點(diǎn)，均在上，且關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)．若直線，的斜率之積為，則的離心率為A． B． C． D．【答案】【解析】已知，設(shè)，，則，，，，故①，，即②，②代入①整理得：，．故選：．18．（2024?甲卷（理））已知，是雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)，為上一點(diǎn)，且，，則的離心率為A． B． C． D．【答案】【解析】設(shè)，，則依據(jù)題意及余弦定理可得：，解得，所求離心率為．故選：．19．（多選題）（2024?乙卷（理））雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)為，，以的實(shí)軸為直徑的圓記為，過(guò)作的切線與交于，兩點(diǎn)，且，則的離心率為A． B． C． D．【答案】【解析】當(dāng)直線與雙曲線交于兩支時(shí)，設(shè)雙曲線的方程為，設(shè)過(guò)的切線與圓相切于點(diǎn)，則，，又，所以，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，所以，又為的中點(diǎn)，所以，，因?yàn)椋?，所以，所以，則，所以，由雙曲線的定義可知，所以，可得，即，所以的離心率．狀況二：當(dāng)直線與雙曲線交于一支時(shí)，如圖，記切點(diǎn)為，連接，則，，過(guò)作于，則，因?yàn)?，所以，，，即，所以，正確．故選：．20．（2024?乙卷（理））設(shè)是橢圓的上頂點(diǎn)，若上的隨意一點(diǎn)都滿(mǎn)意，則的離心率的取值范圍是A．， B．， C．， D．，【答案】【解析】點(diǎn)的坐標(biāo)為，設(shè)，，則，，故，，，又對(duì)稱(chēng)軸，當(dāng)時(shí)，即時(shí)，則當(dāng)時(shí)，最大，此時(shí)，故只須要滿(mǎn)意，即，則，所以，又，故的范圍為，，當(dāng)時(shí)，即時(shí)，則當(dāng)時(shí)，最大，此時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號(hào)成立，又，所以，即，故不滿(mǎn)意題意，綜上所述的的范圍為，，方法二：依據(jù)題意，有，設(shè)，，則，也即，不妨設(shè)，則，，，也即，，，也即，，，從而可得，，從而離心率的取值范圍為，，故選：．21．（2024?天津）已知雙曲線的右焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)重合，拋物線的準(zhǔn)線交雙曲線于，兩點(diǎn)，交雙曲線的漸近線于，兩點(diǎn)，若，則雙曲線的離心率為A． B． C．2 D．3【答案】【解析】解由題意可得拋物線的準(zhǔn)線方程為，由題意可得：，漸近線的方程為：，可得，，，，，，，，所以，，由，解得：，所以雙曲線的離心率，故選：．學(xué)問(wèn)點(diǎn)8：焦半徑、焦點(diǎn)弦問(wèn)題22．（2024?甲卷（文））設(shè)，為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)在上，若，則A．1 B．2 C．4 D．5【答案】【解析】依據(jù)題意，點(diǎn)在橢圓上，滿(mǎn)意，可得，又由橢圓，其中，則有，，可得，故選：．23．（2024?北京）已知拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)在上，若到直線的距離為5，則A．7 B．6 C．5 D．4【答案】【解析】如圖所示，因?yàn)辄c(diǎn)到直線的距離，點(diǎn)到直線的距離．由方程可知，是拋物線的準(zhǔn)線，又拋物線上點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離和到焦點(diǎn)的距離相等，故．故選：．24．（多選題）（2024?新高考Ⅱ）設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線過(guò)拋物線的焦點(diǎn)，且與交于，兩點(diǎn)，為的準(zhǔn)線，則A． B． C．以為直徑的圓與相切 D．為等腰三角形【答案】【解析】直線過(guò)拋物線的焦點(diǎn)，可得，所以，所以正確；拋物線方程為：，與交于，兩點(diǎn)，直線方程代入拋物線方程可得：，，所以，所以不正確；，的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)：，中點(diǎn)到拋物線的準(zhǔn)線的距離為：，所以以為直徑的圓與相切，所以正確；，不妨可得，，，，，，，所以不是等腰三角形，所以不正確．故選：．25．（多選題）（2024?新高考Ⅰ）已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)在拋物線上，過(guò)點(diǎn)的直線交于，兩點(diǎn)，則A．的準(zhǔn)線為 B．直線與相切 C． D．【答案】【解析】點(diǎn)在拋物線上，，解得，拋物線的方程為，準(zhǔn)線方程為，選項(xiàng)錯(cuò)誤；由于，，則，直線的方程為，聯(lián)立，可得，解得，故直線與拋物線相切，選項(xiàng)正確；依據(jù)對(duì)稱(chēng)性及選項(xiàng)的分析，不妨設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線方程為，與拋物線在第一象限交于，，，，聯(lián)立，消去并整理可得，則，，，，由于等號(hào)在時(shí)才能取到，故等號(hào)不成立，選項(xiàng)正確；，選項(xiàng)正確．故選：．26．（多選題）（2024?新高考Ⅱ）已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)拋物線焦點(diǎn)的直線與交于，兩點(diǎn)，其中在第一象限，點(diǎn)．若，則A．直線的斜率為 B． C． D．【答案】【解析】如圖，，，，且，，，由拋物線焦點(diǎn)弦的性質(zhì)可得，則，則，，，故正確；，，，故錯(cuò)誤；，故正確；，，，，，，，，均為銳角，可得，故正確．故選：．學(xué)問(wèn)點(diǎn)9：范圍與最值問(wèn)題27．（2024?乙卷（理））已知的半徑為1，直線與相切于點(diǎn)，直線與交于，兩點(diǎn)，為的中點(diǎn)，若，則的最大值為A． B． C． D．【答案】【解析】如圖，設(shè)，則，依據(jù)題意可得：，，又，當(dāng)，，時(shí)，取得最大值．故選：．28．（2024?北京）已知直線為常數(shù)）與圓交于，，當(dāng)改變時(shí)，若的最小值為2，則A． B． C． D．【答案】【解析】圓，直線，直線被圓所截的弦長(zhǎng)的最小值為2，設(shè)弦長(zhǎng)為，則圓心到直線的距離，當(dāng)弦長(zhǎng)取得最小值2時(shí)，則有最大值，又，因?yàn)?，則，故的最大值為，解得．故選：．29．（2024?新高考Ⅰ）已知，是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)在上，則的最大值為A．13 B．12 C．9 D．6【答案】【解析】，是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)在上，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號(hào)，所以的最大值為9．故選：．30．（2024?乙卷（文））已知實(shí)數(shù)，滿(mǎn)意，則的最大值是A． B．4 C． D．7【答案】【解析】依據(jù)題意，，即，其幾何意義是以為圓心，半徑為3的圓，設(shè)，變形可得，其幾何意義為直線，直線與圓有公共點(diǎn)，則有，解可得，故的最大值為．故選：．31．（2024?乙卷（文））設(shè)是橢圓的上頂點(diǎn)，點(diǎn)在上，則的最大值為A． B． C． D．2【答案】【解析】是橢圓的上頂點(diǎn)，所以，點(diǎn)在上，設(shè)，，，，所以，當(dāng)時(shí)，取得最大值，最大值為．故選：．32．（多選題）（2024?新高考Ⅰ）已知點(diǎn)在圓上，點(diǎn)，，則A．點(diǎn)到直線的距離小于10 B．點(diǎn)到直線的距離大于2 C．當(dāng)最小時(shí)， D．當(dāng)最大時(shí)，【答案】【解析】，，過(guò)、的直線方程為，即，圓的圓心坐標(biāo)為，圓心到直線的距離，點(diǎn)到直線的距離的范圍為，，，，，點(diǎn)到直線的距離小于10，但不肯定大于2，故正確，錯(cuò)誤；如圖，當(dāng)過(guò)的直線與圓相切時(shí)，滿(mǎn)意最小或最大點(diǎn)位于時(shí)最小，位于時(shí)最大），此時(shí)，，故正確．故選：．學(xué)問(wèn)點(diǎn)10：面積問(wèn)題33．（2024?新高考Ⅱ）已知橢圓的左焦點(diǎn)和右焦點(diǎn)分別為和，直線與交于點(diǎn)，兩點(diǎn)，若△面積是△面積的兩倍，則A． B． C． D．【答案】【解析】記直線與軸交于，橢圓的左，右焦點(diǎn)分別為，，，，由△面積是△的2倍，可得，，解得或，或，或，聯(lián)立可得，，直線與相交，所以△，解得，不符合題意，故．故選：．學(xué)問(wèn)點(diǎn)11：新定義問(wèn)題34．（2024?上海）已知，是曲線上兩點(diǎn)，若存在點(diǎn)，使得曲線上隨意一點(diǎn)都存在使得，則稱(chēng)曲線是“自相關(guān)曲線”．現(xiàn)有如下兩個(gè)命題：①隨意橢圓都是“自相關(guān)曲線”；②存在雙曲線是“自相關(guān)曲線”，則A．①成立，②成立 B．①成立，②不成立 C．①不成立，②成立 D．①不成立，②不成立【答案】【解析】橢圓是封閉的，總可以找到滿(mǎn)意題意的點(diǎn)，使得成立，故①正確，在雙曲線中，，而是個(gè)固定值，則無(wú)法對(duì)隨意的，都存在，使得，故②錯(cuò)誤．故選：．35．（2024?上海）設(shè)集合，，①存在直線，使得集合中不存在點(diǎn)在上，而存在點(diǎn)在兩側(cè)；②存在直