CP在OFDM系統(tǒng)中的應(yīng)用用數(shù)學(xué)理論證明CP是如何消除ISI與ICI

OFDM原理及CP介紹

CP如何將線性卷積變?yōu)閳A周卷積OFDM原理及CP介紹OFDM發(fā)展史OFDM基本原理OFDM中正交性如何克服ICIOFDM中CP介紹正交頻分復(fù)用（OFDM）是一種利用多載波調(diào)制的特殊頻率復(fù)用技術(shù)。傳統(tǒng)的頻分復(fù)用系統(tǒng)（FDM）：整個(gè)信號頻段被分為N個(gè)相互不重疊的頻率子信道，每個(gè)子信道傳輸獨(dú)立調(diào)制符號，然后再將N個(gè)子信道進(jìn)行頻率復(fù)用，這種方法有利于消除信道間干擾，但是不能有效利用頻譜資源。OFDM技術(shù)可以利用子載波之間的正交性而不需要這段保護(hù)頻帶。從而節(jié)省了帶寬，因而OFDM比FDM頻譜利用率更高如圖（1）。OFDM發(fā)展史正交頻分復(fù)用基本原理：就是把高速數(shù)據(jù)流通過串并變換，分配到傳輸速率相對較低的若干個(gè)子信道中進(jìn)行傳輸。這樣每一個(gè)子信道中的符號周期會變長，因此可以減輕多徑時(shí)延對系統(tǒng)造成的影響。OFDM采用容易實(shí)現(xiàn)的基于載波頻率正交的傅立葉變換調(diào)制，直接在基帶處理。編碼與交織數(shù)字調(diào)制插入導(dǎo)頻串并轉(zhuǎn)換IFFT并串轉(zhuǎn)換加入CP….….數(shù)模轉(zhuǎn)換多徑信道+噪聲模數(shù)轉(zhuǎn)換去掉CP串并轉(zhuǎn)換FFT并串轉(zhuǎn)換信道校正數(shù)字解調(diào)去交織與解碼….….OFDM基本原理介紹OFDM收發(fā)機(jī)結(jié)構(gòu)一個(gè)OFDM符號之內(nèi)包括多個(gè)經(jīng)過調(diào)制的子載波的合成信號，其中每個(gè)子載波都可以受到PSK（相移鍵控）或QAM（正交幅度調(diào)制）調(diào)制。一個(gè)OFDM符號可以表示為：N表示子信道個(gè)數(shù)，T表示OFDM符號的寬度，di（i=0,1,….N-1）是分配給每個(gè)子信道的數(shù)據(jù)，fc是第一個(gè)子載波的載波頻率，rect(t)=1,-T/2=<t<=T/2.所以其頻譜可以看作是周期為T的矩形脈沖的頻譜與一組位于各個(gè)子載波頻率上的函數(shù)的卷積OFDM正交性克服ICI矩形脈沖的頻譜函數(shù)為sinc(fT)函數(shù)。頻譜圖如下每個(gè)子載波頻率最大值處，所有其它子信道的頻譜值恰好為0；這樣解調(diào)時(shí)就可以從多個(gè)互相重疊的子信道中提取每一個(gè)子信道符號而不受其它子信道干擾OFDM正交性克服ICIOFDM的循環(huán)前綴(CP)：將OFDM符號尾部的一部分復(fù)制放到前面。如圖（4）CP的作用：消除符號干擾(ISI)和信道間干擾(ICI)

由于多徑效應(yīng)的影響系統(tǒng)中會出現(xiàn)OFDM符號的時(shí)延信號這樣在FFT運(yùn)算時(shí)間長度內(nèi)第一個(gè)子載波與帶有時(shí)延的第二個(gè)子載波之間的周期個(gè)數(shù)之差不再是整數(shù)。這樣當(dāng)接收機(jī)對第一個(gè)子載波解調(diào)時(shí)，第二載波會對其造成干擾。加入CP目的就是為了消除ISI和ICI。OFDM中CP介紹用數(shù)學(xué)推導(dǎo)CP是如何消除ISI與ICI理解OFDM中應(yīng)用到的數(shù)學(xué)公式。用向量分析CP如何消除ISI與ICI理解OFDM中應(yīng)用到的數(shù)學(xué)公式。時(shí)域中N點(diǎn)序列x[n]的DFT定義為離散傅里葉逆變換IDFT定義為卷積公式：序列長為N的序列x[n]與序列長為M的序列h[n]線性卷積得到序列長為N+M-1的序列?；竟嚼梦⒎e分說明圓周卷積：注：<m>N=mmodN=m+lN;其中l(wèi)是使得m+lN的值在

0和N-1之間的整數(shù)基本公式利用微積分說明正交性序列：滿足如下條件的序列DFT:X=DN

其中，X是N個(gè)DFT樣本組成的向量，

X=[X[0],X[1]….X[N-1]]T

是N個(gè)輸入樣本向量,TDN是大小為N*N的DFT矩陣即基本公式利用矩陣說明IDFT：=DN-1X；其中DN-1=DN*，即DN的共軛。DN-1=基本公式利用矩陣說明序列長為N的序列x[n]與序列長為M+1的序列h[n]線性卷積得到序列長為N+M的序列。即從0到N+M-1基本公式利用矩陣說明線性卷積圓周卷積基本公式利用矩陣說明用向量分析CP如何消除ISI與ICI

從數(shù)學(xué)角度來看，OFDM的傳輸過程可以用一系列的矢量或者矩陣

運(yùn)算來表示

OFDM系統(tǒng)的等效基帶模型:X(k)DN-1IFFTTcp加CPX1(k)P/su(k)h(n)u(n)

?(n)S/PRcpDNr(n)r(k)y(k)Y(k)序列長度NNN+NgN+NgN+NgN+NgNN多徑信道去CPFFT用戶的發(fā)送信息比特首先經(jīng)過PSK或QAM調(diào)制形成調(diào)制符號，之后每N個(gè)調(diào)制符號一組，形成第k個(gè)數(shù)據(jù)幀，其中X(k)=[Xk0,Xk1,…Xk(N-1)];Xki表示第k個(gè)數(shù)據(jù)幀中的第i個(gè)調(diào)制符號,N為幀長u(k)=TcpDN-1X(k);r(n)=u(n)*h(n)+?(n);y(k)=Rcpr(k);Y(k)=DNy(k)OFDM系統(tǒng)向量分析Tcp=[ANg×N;IN×N]包含一個(gè)Ng階單位矩陣，和一個(gè)N階單位矩陣Rcp=[0N×NgIN×N]包含一個(gè)N×Ng階零矩陣與N階單位矩陣OFDM系統(tǒng)向量分析CP是如何消除ISI可以用以下矩陣形式來表示接收到采樣后的數(shù)組

r(k)=u(k)*h(n)+u[k-1]*h(n)+?(n);

其中，u[k-1]*h(n)表示第K-1個(gè)數(shù)據(jù)幀對第K個(gè)數(shù)據(jù)幀的影響即符號干擾ISI；假設(shè)多徑信道有M徑，用向量表示h[n]=[h0,h1…..hM-1];

信號在過信道時(shí)實(shí)質(zhì)是兩信號相卷積，即序列長度為N+Ng的u[k]信號與序列長為M的信號h[n]相卷積生成了長度為N+Ng+M-1的信號y[n].因此會有M-1個(gè)符號落在下一幀里，于是產(chǎn)生了符號間干擾。Cp與ISICP（Ng）N-NgNgM-1CP（Ng）N-NgNgM-1令y(k-1）=[yk-10,yk-11,yk-12,….yk-1N+Ng+M-3,yk-1N+Ng+M-2];于是它對第K幀的干擾可以寫成向量

YL=[y(k-1)N+Ng,…y(k-1)N+Ng+M-2,0,…0]共N+Ng維。因?yàn)橛蠱-1個(gè)符號落在了下一幀里所以循環(huán)前綴長度Ng>=M-1.所以收到的信號符號干擾為YL=[y(k-1)N+Ng,…y(k-1)N+Ng+M-2,0,…0];在去除CP時(shí)乘以Rcp=[0Ng×Ng]結(jié)果為0矩陣完全消除由于CP消除ISI是在去除CP時(shí)消除的，所以無論CP的內(nèi)容是什么，只要CP長度Ng>=L-1就可以消除ISI。即只要保護(hù)間隔Tg大于最大時(shí)延擴(kuò)展即可消除ISI。

Cp與ISICp與ISIY(k-1)N+Ng…Y(k-1)N+Ng+M-20…0前Ng×Ng為0矩陣前M-1項(xiàng)為干擾信號后面為0向量為了克服ISI是只要其保護(hù)間隔大于最大時(shí)延擴(kuò)展就可以了，插入CP的真正作用是為了抵抗由于多徑效應(yīng)帶來的ICI從圖中可以看出只要Ng>=M-1乘出的結(jié)果就為0矩陣CP如何消除ICI加入空白信號非CP的情況CP與ICI由于多徑影響，空閑保戶間隔對子載波造成的干擾加入循環(huán)前綴CP后時(shí)延造成的影響CP與ICI實(shí)線波形分別為兩信道的傳輸信號，虛線波形可理解為信道的多徑而產(chǎn)生的延時(shí)信號CP與ICI從頻域上證明加入CP后各子信道仍保持正交N表示子信道個(gè)數(shù)，T表示OFDM符號的寬度，di（i=0,1,….N-1）是分配給每個(gè)子信道的數(shù)據(jù)，fc是第一個(gè)子載波的載波頻率，rect(t)=1,-T/2=<t<=T/2.所以其頻譜可以看作是周期為T的矩形脈沖的頻譜與一組位于各個(gè)子載波頻率上的函數(shù)的卷積所以加入CP后前面符號的頻譜函數(shù)仍為sinc(fT)函數(shù)，由于時(shí)延后只會發(fā)生相位偏移，幅度譜并沒有變化。x(t)經(jīng)過FT后為X(jW）x(t-td)經(jīng)過FT后為exp(-jwtd)X(jw)故加入CP后子信道仍然保持正交，從而有效的抵抗了由于多徑效應(yīng)帶來的子信道間干擾即ICI。CP的另一個(gè)作用：將線性卷積變?yōu)閳A周卷積

加了CP的信號與信道的線性卷積與未加CP的信號與信道的圓周卷積一樣加入CP后的信號為u(k)

u(k)=(x1(N-Ng)，x1(N-Ng+1),…x1(N-1),x10,x11,..x1(N-1));信道h[n]=[h0,h1,h2,…h(huán)M-1];n=(0,1,2,…M-1);

y[n]=u(k)*h[n];由線性卷積與矩陣的關(guān)系：CP將線性卷積變?yōu)閳A周卷積前Ng項(xiàng)中間N項(xiàng)后M-1項(xiàng)由于前Ng相在去循環(huán)時(shí)會去掉，后M-1項(xiàng)會落在下一幀里，所以現(xiàn)在把中間N項(xiàng)拆出來與循環(huán)卷積相比較，Ng>=M-1,h[n]在0.M-1外取值為零，把中間N項(xiàng)拆出來線性卷積與矩陣的關(guān)系CP將線性卷積變?yōu)閳A周卷積中間N項(xiàng)的矩陣的分析前M-1項(xiàng)即Ng項(xiàng)方便證明在這里令Ng=M-1前Ng即M-1項(xiàng)CP將線性卷積變?yōu)閳A周卷積未加CP信號X1k=(x10,x11,..x1(N-1));

信道信號h[n]=(h0,h1,h2,…h(huán)(M-1),0,…0);y1K=(y10,y11,y12,…y1(N-1))為X1k與h[n]的圓周卷積，利用矩陣表示：后M-1即Ng項(xiàng)后Ng項(xiàng)未加CP的圓周卷積矩陣分析CP將線性卷積變?yōu)閳A周卷積通過矩陣計(jì)算發(fā)現(xiàn)加了CP后與信道的線性卷積與未加CP時(shí)的信號與信道的圓周卷積一樣。DFT{h[n]x[n]}=DFT{h[n]}×DFT{x[n]}如果沒有引入CP，對于這些離散信號的運(yùn)算很難將其從時(shí)域轉(zhuǎn)化到頻域。通過轉(zhuǎn)為圓周卷積有利于頻域均衡?！?/p>