■■I第亙章概率

DISANZHANG3,3幾何概型

3.3.1幾何概型

3.3.2均勻隨機數(shù)的產(chǎn)生

卜課前自主預習

一、幾何概型

1.幾何概型的定義

如果每個事件發(fā)生的概率只與世構(gòu)成該事件區(qū)域的長度(面積或體積)成比

例，則稱這樣的概率模型為幾何概率模型，簡稱幾何概型.

2.幾何概型的特點

(1)試驗中所有可能出現(xiàn)的結(jié)果(基本事件)有螞型經(jīng)；

(2)每個基本事件出現(xiàn)的可能性螞相等.

3.幾何概型的概率公式

°,舊構(gòu)成事件A的區(qū)域長度(面積或體積)

"㈤一里試驗的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域長度(面積或體積)?

注意：(1)公式中的“長度”并不是實際意義的長度.有些書上也叫測度，測

度的意義依試驗的全部結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域而定，若區(qū)域分別是線段、平面圖形和立

體圖形時，相應的測度分別是長度、面積和體積.

(2)當試驗全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域長度一定時，A的概率只與構(gòu)成事件A的

區(qū)域長度有關(guān)，而與A的位置形式無關(guān).

二、均勻隨機數(shù)

均勻隨機數(shù)的產(chǎn)生

(1)均勻隨機數(shù)的概念

如果試驗的結(jié)果是區(qū)間［。，句內(nèi)的任何一個實數(shù)，而且出現(xiàn)任何一個實數(shù)是

等可能的，則稱這些實數(shù)為均勻隨機數(shù).

(2)均勻隨機數(shù)的產(chǎn)生方法

①計算器上產(chǎn)生［0,1］的均勻隨機數(shù)的函數(shù)是RAND函數(shù).

②Excel軟件產(chǎn)生［0,1］區(qū)間上均勻隨機數(shù)的函數(shù)為“rand()”.

注意：(1)均勻隨機數(shù)是隨機產(chǎn)生的，在一定的區(qū)域長度上出現(xiàn)的機率是均等

的.

(2)均勻隨機數(shù)是小數(shù)或整數(shù)，是連續(xù)的數(shù)值，相鄰兩個均勻隨機數(shù)的步長是

人為設定的.

R自診小測

1.判一判(正確的打“，錯誤的打“X”)

(1)幾何概型的概率與構(gòu)成事件的區(qū)域形狀無關(guān).()

(2)在射擊中，運動員擊中靶心的概率在(0,1)內(nèi).()

(3)幾何概型的基本事件有無數(shù)多個.()

(4)從區(qū)間上取一個數(shù)，求取到1的概率屬于幾何概型.()

答案(1)V(2)X(3)V(4)X

2.做一做

(1)(教材改編Pl42T2)—個靶子如右圖所示，隨機地擲一個飛鏢扎在靶子上，

假設飛鏢既不會落在靶心，也不會落在陰影部分與空白的交線上，現(xiàn)隨機向靶擲

飛鏢30次，則飛鏢落在陰影部分的次數(shù)約為()

A.5B.10C.15D.20

答案A

解析陰影部分對應的圓心角度數(shù)和為15°X4=60°,所以飛鏢落在陰影內(nèi)

的概率為黑=卷，飛鏢落在陰影內(nèi)的次數(shù)約為30義t=5.

(2)在區(qū)間［—2,3］上隨機選取一個數(shù)X,則XW1的概率為()

A］B.|c.|D］

答案B

解析在區(qū)間L2,3］上隨機選取一個數(shù)X,則X&的概率為廣聶鶯=

3

5,

(3)(教材改編PuoTi)如圖所示，半徑為4的圓中有一個小狗圖案，在圓中隨

機撒一粒豆子，它落在小狗圖案內(nèi)的概率是小則小狗圖案的面積是()

八兀八4兀一8兀、16兀

A.gB.}"eq-D.

答案D

解析設小狗圖案的面積為Si,圓的面積S=TTX42=16兀，由幾何概型的計

算公式得卷=；,得匹故選D.

卜課堂互動探究

探究1與長度有關(guān)的幾何概型

例1⑴在區(qū)間［-2,4］上隨機地取一個數(shù)x,若x滿足園W〃z的概率為q，則

m=.

(2)某汽車站每隔15min有一輛汽車到達，乘客到達車站的時刻是任意的，

求一位乘客到達車站后等車時間超過10min的概率.

［答案］(1)3(2)見解析

［解析］(1)由幾何概型及題意，知相＞0.由得一mW尤當0＜〃zW2

時，由題意得誓=常解得機=2.5,矛盾，舍去.當2＜加＜4時，由題意得團一92)

=1，解得m=3,即〃？的值為3.

(2)設上一輛車于時刻。到達，而下一輛車于時刻T2到達，則線段。乃的長

度為15,設T是線段刀乃上的點，且，T=5,727=10,如圖所示.

Tiii______l丁

1I---y人-------y-------，12

5T10

記“等車時間超過lOmin”為事件A,則當乘客到達車站的時刻r落在線段

T1T上(不含端點)時，事件A發(fā)生.

.mW￡.=j_=i

./(A)一力心的長度—15-3'

即該乘客等車時間超過10min的概率是:.

拓展提升

1.解幾何概型概率問題的一般步驟

(1)選擇適當?shù)挠^察角度(一定要注意觀察角度的等可能性)；

(2)把基本事件轉(zhuǎn)化為與之對應的區(qū)域。；

(3)把所求隨機事件A轉(zhuǎn)化為與之對應的區(qū)域/；

(4)利用概率公式計算.

2.與長度有關(guān)的幾何概型問題的計算公式

如果試驗的結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域的幾何度量可用長度表示，則其概率的計算公式

為：

_______構(gòu)成事件A的區(qū)域長度

&A)=試驗的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域長度?

【跟蹤訓練1]一個路口的紅燈亮的時間為30秒，黃燈亮的時間為5秒,

綠燈亮的時間為40秒，當你到達路口時，看見下列三種情況的概率各是多少？

(1)紅燈亮；(2)黃燈亮；(3)不是紅燈亮.

解在75秒內(nèi)，每一時刻到達路口亮燈的時間是等可能的，屬于幾何概型.

紅燈亮的時間_30_2

(全部時間—30+40+5—亍

黃燈亮的時間_5_1

(2"一全部時間_75.15.

不是紅燈亮的時間

(3)解法一：P=

全部時間

—黃燈亮或綠燈亮的時間

全部時間

453

755-

23

解法二：P=l—P(紅燈亮)=1一§=；.

探究2與面積有關(guān)的幾何概型

例2如圖，矩形ABCO中，點A在x軸上，點3的坐標為(1,0),且點C與

x+1?xNO,

點。在函數(shù)兀x)=《1,的圖象上.若在矩形ABC。內(nèi)隨機取一點，

—/+1，x<0

則此點取自陰影部分的概率等于()

131

B-C-D

148

A-6

嗒

案1B

2-

[解析]依題意得，點C的坐標為(1,2),所以點。的坐標為(-2,2),所以矩

、13

形A8CO的面積S版形ABCD=3X2=6,陰影部分的面積S陰影=]X3><1=],根據(jù)

3

幾何概型的概率求解公式，得所求的概率=1；,故選B.

3矩形A5C004

拓展提升

L解與面積有關(guān)的幾何概型的關(guān)鍵點

此類幾何概型問題，關(guān)鍵是要構(gòu)造出隨機事件對應的幾何圖形，利用圖形的

幾何特征找出兩個‘'面積"，套用幾何概型公式，從而求得隨機事件的概率.

2.與面積有關(guān)的幾何概型的概率公式

如果試驗的結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域的幾何度量可用面積表示，則其概率的計算公

式為：

_構(gòu)成事件A的區(qū)域面積

產(chǎn)⑷=試驗的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域面積?

【跟蹤訓練2】如圖，在圓心角為直角的扇形0A8中，分別以OA,0B為

直徑作兩個半圓.在扇形內(nèi)隨機取一點，則此點取自陰影部分的概率是（）

答案A

解析設扇形的半徑為2,則其面積為一廠=兀.陰影部分的面積可轉(zhuǎn)化為扇

形的面積減去AAOB的面積，即陰影部分的面積為兀一；X2X2=TI—2.因此任取

一點，此點取自陰影部分的概率為?！?=1—2（.

兀71

探究3與體積有關(guān)的幾何概型

例3在一球內(nèi)有一棱長為1的內(nèi)接正方體，一點在球內(nèi)運動，則此點落在

正方體內(nèi)部的概率為（)

A亞B串C亞D萼

兀2兀兀

［答案］D

［解析］由題意可得正方體的體積為％=1.又球的直徑是正方體的體對角線,

即2R=N"+12+12,故球的半徑R=坐球的體積丫2號/?3=乎兀則此點落在

正方體內(nèi)的概率為2=5=*=需.

271

拓展提升

1.解與體積有關(guān)的幾何概型的關(guān)鍵點

分清題中的條件，提煉出幾何體的形狀，找出總體積是多少以及所求的事件

占有的幾何體是什么幾何體，并計算出體積.

2.與體積有關(guān)的幾何概型概率的求法

如果試驗的結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域的幾何度量可用體積表示，則其概率的計算公

式為

構(gòu)成事件A的區(qū)域體積

。⑷=試驗的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域體積.

【跟蹤訓練3】在棱長為2的正方體內(nèi)部隨機取一點，則該點到正方體8

個頂點的距離都不小于1的概率為（）

A.07B0.70C.7D.1—70

答案D

解析符合條件的點P落在棱長為2的正方體內(nèi)，

且以正方體的每一個頂點為球心，半徑為1的看球體外.

根據(jù)幾何概型的概率計算公式得

232—8X31X74X71X13a

故選D.

探究4與角度有關(guān)的幾何概型

例4如圖，四邊形ABCO為矩形，AB=小,BC=\,以A為圓心，1為半

徑作四分之一個圓弧OE,在/D4B內(nèi)任作射線AP,求射線AP與線段有公

共點的概率.

「解］因為在ND4B內(nèi)任作射線AP,所以它的所有等可能基本事件對應的

區(qū)域是/D4B,當射線AP與線段有公共點時，射線AP落在NCAB內(nèi)，對

/CAR3001

應區(qū)域為NCA8,所以射線AP與線段有公共點的概率不

Z-U/\D”uJ

拓展提升

當涉及射線的運動，扇形中有關(guān)落點區(qū)域問題時，常以角的大小作為區(qū)域度

量來計算概率，切不可用線段代替，這是兩種不同的度量手段.

c

【跟蹤訓練4】如圖，在等腰直角三角形ABC中，過直角頂點C在NAC8

內(nèi)部作一條射線CM,與線段AB交于點M.求的概率.

解因為CM是NACB內(nèi)部的任意一條射線，而總的基本事件是NACB的

大小，即為90。，

180。一45°

所以作AC'=AC,3.ZACC=——^-^=67.5°.

如圖，當CM在NACC'內(nèi)部的任意一個位置時，皆有AM<AC'=AC,即

67.5°3

P(AM<AC)=QQO=^.

例5

利用隨機模擬的方法近似計算邊長為2的正方形內(nèi)切圓的面積，如圖，并估

計圓周率兀的近似值.

［解］(1)利用計算機產(chǎn)生兩組［0,1］上的均勻隨機數(shù)，m=RAND"i=RAND.

(2)經(jīng)過平移和伸縮變換，。=3—0.5)*2,

8=(歷一0.5)*2,得到兩組［-1,1］上的均勻隨機數(shù).

(3)統(tǒng)計試驗總次數(shù)N和點落在圓內(nèi)的次數(shù)M(滿足屋+/W1的點伍,。)數(shù)).

(4)計算頻率器，即為點落在圓內(nèi)的概率.

(5)設圓的面積為S,由幾何概率公式，得尸=》

:李阜,即沁爺即為圓面積的近似值.

又,黑戶兀/=兀，.?.兀=5七寸，即為圓周率無的近似值.

拓展提升

用隨機模擬法估計圖形面積的步驟

(1)把已知圖形放在平面直角坐標系中，將圖形看成某規(guī)則圖形(長方形或圓

等)內(nèi)的一部分，并用陰影表示；

(2)利用隨機模擬方法求出在規(guī)則圖形內(nèi)任取一點，落在陰影部分的概率P(A)

=三；

(3)設陰影部分的面積是S,規(guī)則圖形的面積是S',則有鼠=￡，解得S=

爭，則所求圖形面積的近似值為.

【跟蹤訓練5】某同學到公共汽車站等車上學，可乘坐8路、23路，8路

車10分鐘一班，23路車15分鐘一班.則這位同學等車不超過8分鐘的概率為

答案75

0815”(分鐘)

解析

設x軸表示23路車的到站時間，y軸表示8路車的到站時間，記”8分鐘內(nèi)

乘坐8路車或23路車”為事件A.如圖，則A所占區(qū)域面積為8X10+7X8=

136,整個區(qū)域的面積為10X15=150,那么，等車不超過8分鐘的概率P(A)=

探=黑即這位同學等車不超過8分鐘的概率為普

JLJ\Jr。J

1

r--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------1涕鬻酬--------------------

1.幾何概型適用于試驗結(jié)果是無窮多且事件是等可能發(fā)生的概率模型.

2.幾何概型主要用于解決與長度、面積、體積有關(guān)的題目.

3.注意理解幾何概型與古典概型的區(qū)別.

4.理解如何將實際問題轉(zhuǎn)化為幾何概型的問題，利用幾何概型公式求解，

概率公式為

構(gòu)成事件A的區(qū)域長度（面積或體積）

P（A）一試驗的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域長度（面積或體積了

5.在區(qū)間出，切上的均勻隨機數(shù)與整數(shù)值隨機數(shù)的共同點都是等可能取

值，不同點是均勻隨機數(shù)可以取區(qū)間內(nèi)的任意一個實數(shù)，整數(shù)值隨機數(shù)只取區(qū)

間內(nèi)的整數(shù).

6.利用幾何概型的概率公式，結(jié)合隨機模擬試驗，可以解決求概率、面

積、參數(shù)值等一系列問題，體現(xiàn)了數(shù)學知識的應用價值.

卜隨堂達標自測

1.為了測算如圖所示的陰影部分的面積，作一個邊長為6的正方形將其包

含在內(nèi)，并向正方形內(nèi)隨機投擲800個點，已知恰有200個點落在陰影部分內(nèi)，

據(jù)此可估計陰影部分的面積是（）

A.12B.9C.8D.6

答案B

解析易得正方形的面積為6X6=36,設陰影部分的面積為S,則簫心呆，

oUUJO

即S2黑義36=9.

OUU

2.某公司的班車在7：00,8：00,8：30發(fā)車，小明在7：50至8：30之間到

達發(fā)車站乘坐班車，且到達發(fā)車站的時刻是隨機的，則他等車時間不超過10分

鐘的概率是（）

A.gB.；C.,

答案B

解析設小明到達發(fā)車站的時間為y,當y在7：50至8：00,或8：20至

201

8：30時，小明等車時間不超過10分鐘，故尸=而=],故選B.

3.在線段AB上任取三個點XI,X2,X3,則X2位于XI與X3之間的概率是（）

A.gB.；C.；D.1

答案B

解析因為陽，X2,相是線段A3上任意的三個點，任何一個數(shù)在中間的概

率相等且都是g.

4.利用計算機產(chǎn)生0-1之間的均勻隨機數(shù)a,則事件“3a—l<0”的概率

為?

答案3

解析已知OWaWl,事件“3a—1<0”發(fā)生時，0<?<|,由幾何概型得其概

率為小

5.奧運會射箭比賽的箭靶涂有五個彩色得分環(huán)，從外向內(nèi)為白色、黑色、

藍色、紅色，靶心是金色，金色靶心叫“黃心”，靶面直徑為122cm,靶心直徑

為12.2cm.運動員在70m外射箭，假設射箭都能中靶，且射中靶面內(nèi)任一點都

是等可能的，那么射中黃心的概率為多少？

在該試驗中，射中靶面上每一點都是一個基本事件，這一點可以是靶面直徑

為122cm的大圓內(nèi)的任一點，如圖所示，記''射中黃心”為事件8,由于中靶

點隨機地落在面積為兀X（室12cm2的大圓內(nèi)，而當中靶點

落在面積為兀X（野｝cm2的黃心內(nèi)時，事件8發(fā)生，于是事件8發(fā)生的概

|XTTX12.22

率為P（B）=，--------------=0.01.

4X71XI222

即射中黃心的概率是0.01.

卜課后課時精練

A級：基礎(chǔ)鞏固練

一'選擇題

1.在長為12cm的線段AB上任取一點M,并以線段AM為一邊作正方形，

則此正方形的面積介于36cn?與81co?之間的概率為（）

A16BlC4D2

答案C

解析正方形的面積介于36cm2與81cm2之間，所以正方形的邊長介于6

9—61

cm與9cm之間，線段A8的長度為12cm,故所求概率為下

2.某人向圖中的靶子上射箭，假設每次射擊都能中靶，且箭頭落在任何位

置都是等可能的，則最容易射中陰影區(qū)域的是（）

答案B

解析由題意，設圖中每個等邊三角形的面積為1,則正六邊形的面積為6.

選項A：陰影面積為2,射中陰影區(qū)域的概率為主選項B：陰影面積為3,射中

陰影區(qū)域的概率為去選項C：陰影面積為2,射中陰影區(qū)域的概率為多選項D：

陰影面積為2.5,射中陰影區(qū)域的概率為1.因為4卷＞g,所以最容易射中陰影區(qū)

域的是選項B.故選B.

3.在我國古代數(shù)學著作《九章算術(shù)》勾股章有一《池葭出水》的趣題（如圖

所示）：“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺.引葭赴岸，適與岸齊.問水深、

葭長各幾何？”其意思是：有一個正方形的池子，邊長為1丈，池中心有一株蘆

葦，露出水面1尺，將蘆葦拉至池邊，它的頂端正好與水面一樣平，問水有多深？

該植物有多長？（“丈”和“尺”都是舊制長度單位，現(xiàn)已停止使用，1丈=10

尺，1米=3尺）.若從該蘆葦上隨機取一點，則該點取自水下的概率是（）

9

A訶B13C14D15

答案B

解析設水深為無尺，則（x+l）2=f+52,解得x=12,即水深12尺，蘆葦

12

長13尺，則所求概率P=存

4.分別在區(qū)間［1,6］,［1,4］內(nèi)各任取一個實數(shù)，依次記為加，〃，則〃?>〃的概

率是（）

A.0.3B.0.6C.0.7D.0.8

答案C

解析畫出圖形（如圖所示），加，〃所滿足的區(qū)域為矩形A8CD,而〃所

15,

滿足的區(qū)域為梯形ABCE,所以m>n的概率「=合也=-^=07故選C.

3柜彩4BC。1J

DE/_

C

B

5.在區(qū)間［0,2］上隨機地取一個數(shù)x,則事件“一lWlog*+，Wl”發(fā)生的

概率為（)

aA.43B,3C3D4

答案A

111幺,所以裊x+裊2,

解析由-11

3

3\（1\23

解得0W尤韋，故事件“一lWlog5（x+5）Wl”發(fā)生的概率為5=不

乙乙,乙）乙I

二、填空題

6.一只螞蟻在三邊長分別為3、4、5的三角形面上自由爬行，某時刻該螞

蟻距離三角形的三個頂點的距離不超過1的概率為.

答案專

解析由已知得到三角形為直角三角形，三角形ABC的面積為:X3X4=6,

離三個頂點距離都不大于1的地方如圖三角形的陰影部分，它的面積為半徑

為1的半圓面積5=呼1義12=r1r

所以其恰在離三個頂點距離不超過1的概率為

7.記函數(shù)兀r）=N6+x—f的定義域為。.在區(qū)間［-4,5］上隨機取一個數(shù)x,

則的概率是.

答案|

解析由6+x—<20,解得一2W尤W3,貝《。=［—2,刃，則所求概率為

3-（-2）_5

5-（-4）-9-

8.“丁香”和“小花”是好朋友，她們相約本周末去爬歌樂山，并約定周

日早上8：00至8：30之間（假定她們在這一時間段內(nèi)任一時刻等可能地到達）在

歌樂山健身步道起點處會合，若“丁香”先到，則她最多等待“小花”15分

鐘.若“小花”先到，則她最多等待“丁香”10分鐘.若在等待時間內(nèi)對方到

達，則她倆就一起快樂地爬山，否則，她們均不再等候?qū)Ψ蕉氉匀ヅ郎?，則“丁

香”和