高中數學新題型選編(共70個題)

1、(1)已知函數：/(x)=2"T(x"+a)-(x+a)”,(xe[0,+oo),〃eN*)求函數/(X)的最小值;

(II)證明:"+”>("+")"(a>0,6>0,〃eN*)；

22

(III)定理:若4M2M3…4均為正數，則有"；+"+[+…+d之產+…+…+―成立

kk

(其中％22,&eN*,%為常數).請你構造一個函數g(x),證明：

當公/必,…磯均為正數時，4'+4'+試+…+&2產+%+4+…+《”,

k+\k+l

解：(I)令/■'(?=2*-心|-噸+礦1=0得口廠：①+)產:②”+芯L…2分

當時，2xvx+〃f\x)<0故/(x)在[0,。]上遞減.

當x>〃jq)>0故在(%+oo)上遞增.所以，當時,的最小值為/(〃)=0..…4分

(II)由1>0,有1/0)2/3)=0BPf(b)=2-'(an+bn)-(a+b)">0

故-+b>(^-^)"(a>0,b>0,neN')...................................................5分

22

-rnnJ、T4：+以+域H----1-+?->+?H----bO?

(III)證明:1要a證：------------------->(―--=——-3-------k—{)

女+14+1

只要證：(A+1)”[(a；+域+…+4；])之(4+〃)+%+?,,+%+[)"

設g(x)=(%+1)"?+a；+a；+…+x")—(ti|+e+/+…+x)”......................7分

則g'(X)=(k+1)"?1—〃(〃[++…+。&+X)"

令g'(X)=0得x=1+生+…+4.................................................................8分

k

n-1

當0<x<。|+%+…+%時，g<x)=n[(kx+尤]”T-+%+???+%+x)

k

K〃(〃1+Q,+???+cij.+x)"i—n(6f1+出+,??+Qq+x)"i=0

故g(x)在[0,3+9+二+Wq上遞減,類似地可證g(x)在(巴+3+二,+4-,+oo)遞增

kk

所以當X=".+%+…+4時，g(x)的最小值為g產+4+…+4).......]°分

kk

而g(4+"”…+%=(k+D”a：+a；+...+"+(—…+勺"]-(4+仇+…

kkk

=-―—伙”+???+〃()+(q+/+…+%)〃一(％+l)(q+4+…+%)”】

=號-伙”(《+《+...+砌-?4+廿…+&)+爺HL+…+介(廿什..+鐘

由定理知：k"'(a；+a；+???+&')—?(4+a,+???+a*)"20故.g(------------------)^0

k

??,W+ie[0,+oo)g(%_|)>g('2---------L)>0

K

故(Z+1)H(a；+a；+ci"+???+&'+])—(a]+“2+%+…+%+i)"

用.4'+4'+試+…+*i>(?+%+%+…+%+i

k+l-k+1.............

2、用類比推理的方法填表

等差數列｛4｝中等比數列低｝中

+d/?q

%+4=+。5力3?人4=〃2.力5

q+%+。3+。4+。5=5%

答案:

bx?b2?b3?b4*b5=b^

3、10.定義?種運算“*”：對于自然數"滿足以下運算性質：

⑴1*1=1,(ii)(n+D*1="*1+1,則”*1等于

A.nB."+1C."TD.M2答案：D

4、若f(n)為“2+1(〃eN*)的各位數字之和，如：14?+1=197,1+9+7=17,則/(14)=17；

記工(")=/(〃)/(〃)=/(〃”))，…，九⑺=乂*,則篇8(8)=一

答案：5

5、下面的-一組圖形為某一四棱錐S-ABCD的側面與底面。

(1)請畫出四棱錐S-ABCD的示意圖，是否存在一條側棱垂直于底面？如果存在，請給出證明：如果不

存在，請說明理由；

(2)若SA_L面ABCD,E為AB中點，求二面角E-SC-D的大??；

(3)求點D到面SEC的距離。

(I)存在一條側棱垂直于底面(如圖)...........3分

證明：。SAJLAB,SA上AD,且AB、AD是面ABCD內的交線SA1底面ABCD............................

5分

F

(2)分別取SC、SD的中點G、F,連GE、GF、FA,

則GF//EA,GF=EA,.\AF//EG

而由5人_1_面ABCD得SA_1_CD,

又ADJ_CD,...CD，面SAD,CD±AF

又SA=AD,F是中點，，AFJ_SD

A/7_L面SCD.EG1面SCD,.?.面SEC_L面SCD

所以二面角E-SC-D的大小為90°..................10分

(3)作DH-Lsc于H,

面SEC_1_面SCD,...DHJ_面SEC,

r.DH之長即為點D到面SEC的距離，12分

,/在RtAscD中，DH=SD、蘆=亞=崢。

SC島3

答：點D到面SEC的距離為乎a.........................................14分

6、一個計算裝置有一個入口A和一輸出運算結果的出口B,將自然數列｛〃｝(〃21)中的各數依次輸入A

口，從B口得到輸出的數列,結果表明：①從A口輸入〃=1時，從B口得4=§；②當〃N2時,

從A口輸入“，從B口得到的結果凡是將前一結果先乘以自然數列｛〃｝中的第個奇數，再除

以自然數列｛。,｝中的第〃+1個奇數。試問：

(1)從A口輸入2和3時，從B口分別得到什么數？

(2)從A口輸入100時，從B口得到什么數？并說明理由。

,u1cr1

解(1)%=4x1+5=/=%x3+7—

1*

(2)先用累乖法得4,=-----------------------(鹿eN)

"(2H-1)(2/I+1)

1

(2x100-1)(2x100+1)39999

7、在aABC中，B(-2,0),C(2,0),A(x,y),給出aABC滿足的條件，就能得到動點A的軌跡方程,

下表給出了一些條件及方程:

條件方程

①aABC周長為10G：J2=25

②aABC面積為ioC2：/+,2=4(y70)

r2y2

③aABC中，ZA=90"G:——=1(y。0)

95

則滿足條件①、②、③的軌跡方程分別為(用代號G、。2、。3填入)

答案：C3C,C2

8、已知兩個函數f(x)和g(x)的定義域和值域都是集合(1,2,3},其定義如下表.

X123X123

f(x)231g(X)132

填寫下列g[/(x)]的表格，其三個數依次為

X123

g(f(x))

A.3,1,2B.2,1,3C.1,2,3D.3,2,1

答案:D

9、在實數的原有運算法則中，我們補充定義新運算“十”如下：

當aNb時，a?b=a；

當a<b時，a十=h~.

則函數/(x)=(1十x)?x-(2十為[2,2。的最大值等于(c)

(“,和“一”仍為通常的乘法和減法)A.-1B.1C.6D.12

io,已知xeR,[x]表示不大于x的最大整數，如[乃]=3,[—g]=—1，[g]=0，則

[-73]=：使[x-1]=3成立的x的取值范圍是答案：2

11、為研究“原函數圖象與其反函數圖象的交點是否在直線y=x上''這個課題，我們可以分三步進行研

究:

(D首先選取如下函數：

y-2x+l,y-~X,y=-Jx+1

x+1

求出以上函數圖象與其反函數圖象的交點坐標：

X—1

y=2x+1與其反函數y=——的交點坐標為(-1,—1)

2xx

y=-----與其反函數y=----------的交點坐標為(0,0),(1,1)

x+12-x

y=—Jx+1與其反函數y=-1,(x40)的交點坐標為(—[,—^―?),(—1,0),

(0,-1)

di)觀察分析上述結果得到研究結論;

（Ill）對得到的結論進行證明。

現(xiàn)在，請你完成（II）和（IH）。

解：（II）原函數圖象與其反函數圖象的交點不一定在直線y=x上2分

（III）證明：設點（a,b）是/（X）的圖象與其反函數圖象的任一交點，由于原函數與反函數圖象關

于直線y=x對稱，則點（b,a）也是/（X）的圖象與其反函數圖象的交點，且有

b=f（a）,a=/（Z?）

若a=b時，交點顯然在直線y=x上

若a<b且/（X）是增函數時，有/（力</（。），從而有b<a,矛盾；若b<a且/（X）是增函數時，

有/（。）</（8），從而有a<b,矛盾

若a<b且/（X）是減函數，有/（0）</（4）,從而a<b成立，此時交點不在直線y=x上；同理，b<a

且/（X）是減函數時，交點也不在直線y=x上。

綜上所述，如果函數/（X）是增函數，并且/（X）的圖象與其反函數的圖象有交點，則交點一定在直

線y=x上；

如果函數/（x）是減函數，并且/（x）的圖象與其反函數的圖象有交點，則交點不一定在直線y=x

上。14分

12、設M是由滿足下列條件的函數/（X）構成的集合：“①方程/（X）—X=0有實數根：②

函數/（X）的導數/'（X）滿足0<f'（X）<1."

xsinx

（I）判斷函數/（的二萬+7一是否是集合M中的元素，并說明理由；

（II）集合M中的元素/（X）具有下面的性質：若/（X）的定義域為D,則對于任意

|m,n]OD,都存在無（）e[m,n],使得等式/（〃）一/（加）=（〃一加）/'（%）成立“，

試用這一性質證明：方程/（x）—x=O只有一個實數根；

（III）設七是方程f（X）-X=O的實數根，求證：對于/（X）定義域中任意的

X2，當，當1X21<1，且1%3-X"<1吐1/。3）-/5）1<2.

解：（1）因為f\x）=~+~COSX>........2分

所以/'(x)￡[―,~]滿足條件0V/'(X)v1,..........3分

又因為當x=0時，/(0)=0,所以方程/(幻一1=0有實數根0.

xsinx

所以函數/(X)=—4-----是集合M中的元素........4分

<2)假設方程/(幻一%=0存在兩個實數根&,尸。工￡),

則/(a)—a=OJ(0—Q=0,.....5分不妨設&<4，根據題意存在數ce(%戶)，

使得等式/(4)-/(?)=/(7?-a)/'(c)成立，...............7分

因為/(a)=a,f(0)=P，且a*。,所以f'(c)=1,

與已知0</'(x)<l矛盾，所以方程/(x)-x=0只有一個實數根；.......9分

(3)不妨設/<與，因為了'(x)>0,所以/(x)為增函數，所以/(%2)</(當)，

又因為/'(幻一1<0,所以函數/*)-x為減函數，...........io分

所以/(x2)-x2>f(x3)-x3,.......11分

所以0<f(尤3)-f(x2)<x3-x2,BPIf(x3)-f(x2)|<|x3-x2I,.......12分

所以17(%3)一，(％2)1<13一%2|=|13一七一(％2一玉)4%3一王|+|%2-王1<2.

..................13分

13、在算式“2XD+1XD=3O”的兩個口中，分別填入兩個自然數，使它們的倒數之和最小，則這兩個數

應分別為和.答案：9,12.

14、如圖為一幾何體的的展開圖，其中ABCD是邊長

為6的正方形，SD=PD=6,CR=SC,AQ=AP,點S,

D,A,Q及P,D,C,R共線，沿圖中虛線將它們折疊起來，

使P,Q,R,S四點重合，則需要個這樣的

幾何體，可以拼成一個棱長為6的正方體.答案：3

15、用水清洗一堆蔬菜上殘留的農藥的效果假定如下：用x單位量的水清洗一次以后，蔬菜上殘留的農藥

量與這次清洗前殘留的農藥量之比為f(X)=—.

1\+x

(I)試解釋/(O)的實際意義;

(II)現(xiàn)有a(?>0)單位量的水，可以清洗一次，也可以把水平均分成2份后清洗兩次.哪種方案

清洗后蔬菜上殘留的農藥比較少？請說明理由.

答案：解：(1)/(0)=1.表示沒有用水清洗時，蔬菜上的農藥量沒有變化..........2'

(II)設清洗前蔬菜上的農藥量為1,那么用a單位量的水清洗1次后.殘留的農藥量為Wi=lX/(?)

1

又如果用色單位量的水清洗1次，殘留的農藥量為1x/(@)：-

221+

此后再用人單位量的水清洗1次后，殘留的農藥量為

2

116

=1------------]8

(4+/)2

1+

16a2(a2-8)

9'

(4+a2)2(l+a2)(4+a2)2

故當。>2J5時，用>牝，此時，把a單位量的水平均分成2份后，清洗兩次，殘留的農藥量較少;

當a=2收時，卬產牝，此時，兩種清洗方式效果相同；當acJE時，Wt<W2,此時，把a單位量的水清

洗一次，殘留的農藥量較少....................12'

16、直角坐標系中橫坐標、縱坐標均為整數的點稱為格點，如果函數f(x)的圖象恰好通過k(kdN*)個格點,

則稱函數f(x)為k階格點函數。下列函數：

①f(x)=sinx；②f(x)=n(x-l)2+3;③/(尤)=g)"；?/(X)=log06X,

其中是一階格點函數的有.答案：①②④

17、一水池有2個進水口，1個出水口，一個口進出水速度如圖甲、乙所示.某天0點到6點,

該水池的蓄水量如圖丙所示(至少打開一個水口)，給出以下3個論斷：

(1)0點到3點只進水不出水；(2)3點到4點不進水只出水；(3)4點到6點不進水不

出水。則一定不確定的論斷是(把你認為是符合題意的論斷序號都填上)。

答案：(2)(3)

18、己知等比數列｛a“｝的前"項和為S“.

(1)若以，Sm+2,S,”+i成等差數列，證明a,”，am+i,而+i成等差數列;

(II)寫出(I)的逆命題，判斷它的真?zhèn)?，并給出證明.

liE(I)?Sni+1=Sm-I-Clm+lfSm+2=S"?+a，〃+l+〃，”+2?

由已知2S,”+2=<S/n+S/n+l,??2(S”t+a”t+l+Om+2)=S/n+(S,n+am+1),

，0”+2=—即數列（。八的公比g=一

??din+1=f。,”+2=不?"”??2(lm+2=din4-Um+1,??Umf0”+2,成等差數列.

（II）（I）的逆命題是：若?！?，（lm+2f%”+1成等差數列，則Sm+2fS/”+l成等差數列.

2

設數列｛?！ǎ墓葹?，Va,M+i=am^,alll+2=amq.

1

由題設，2a,H+i=a-^am+\即2a”q2=麗+。,哈，即2『一1=0,.,.q=i或q=

mt~2,

當q=l時，4HO,???￡〃，Sm+2,S〃,+i不成等差數列.

逆命題為假.

19、2005年底，某地區(qū)經濟調查隊對本地區(qū)居民收入情況進行抽樣調查，抽取1000戶，按

本地區(qū)確定的標準，情況如右表：

高收入中等收入低收入

本地區(qū)在“十一五”規(guī)劃中明確

125戶400戶475戶

提出要縮小貧富差距，到2010年

要實現(xiàn)一個美好的愿景，由右邊圓圖顯示，則中等收入家庭的數

量在原有的基礎要增加的百分比和低收入家庭的數量在原有的基

礎要降低的百分比分別為（B）

A.25%,27.5%B.62.5%,57.9%C.25%,57.9%D.62.5%,42.1%

20、一個三位數。反稱為“凹數”，如果該三位數同時滿足。>6且bVc,那么所有不同的三位“凹數”的

個數是.

答案：三位“凹數”可分兩類：一類是aba,共有C；（）=45,另一類是abc,a#c,共有2C；（）=240,

故共有45+240=285個

ab2-i4z3-xi

21、定義運算=ad-bc,若復數x=——y=，則y=—c答案：-4

cd3+i1+ix+i

22、從裝有〃+1個球（其中〃個白球，1個黑球）的口袋中取出m個球（0<m€N）,共有C：：|

種取法。在這C3種取法中，可以分成兩類：一類是取出的加個球全部為白球，共有

c,°-c"+c；.GT=C；CL，即有等式：c'"+c：-'=成立。試根據上述思想化簡下列式子:

C；；'+.G'：T+…+C：?（：；>￡=。（l<k<m<n,k,m,neN）.

答案：C：：￡根據題中的信息，可以把左邊的式子歸納為從〃+左個球（n個白球，k個黑球）中取出m

個球，可分為：沒有黑球，一個黑球，……，k個黑球等（左+1）類，故有C：，.種取法。

_fx(x<y)

23、定義運算工派丫=〈,若則m的取值范圍是__________m>—

y(x>y)2

24,在公差為d(dw0)的等差數列｛%｝中，若S“是｛a“｝的前〃項和，則數列

S2O-S|o，S3o-S2O，S4O-S3o也成等差數列，且公差為1002,類比上述結論，相應地在公比為

q(qwl)的等比數列h｝中，若Tn是數列也,｝的前”項積，則有=

Zk,Zk,Zk也成等比數列，且公比為，00。

工0720^30

23+53>22-5+2-52

24+54>23-5+2-53

25、考察下列一組不等式：5j1|將上述不等式在左右兩端仍為兩項和的情

I2+5i>22-52+2±-52

況下加以推廣，使以上的不等式成為推廣不等式的特例，則推廣的不等式為

am+n+b"'+">a"'b"+anbn'(a,b>0,a^b,m,n>0)

26、對任意實數x,y,定義運算x*y=av+Z?y+sy,其中a,仇c為常數，等號右邊的運算是通常

意義的加、乘運算?，F(xiàn)已知1*2=4,2*3=6,且有一個非零實數加，使得對任意實數x,都有

x*m=x,則機=5?

27、對于任意實數X,符號[X]表示X的整數部分，即[X]是不超過X的最大整數”。在實數軸R(箭頭向

右)上IX]是在點X左側的第一個整數點，當X是整數時[X]就是X。這個函數[X]叫做“取整函數”,

它在數學本身和生產實踐中有廣泛的應用。那么

[log21]+[log22]+[log23]+[log24]+…+[log21024]=_______________8204

28、我國男足運動員轉會至海外俱樂部常會成為體育媒體關注的熱點新聞。05年8月，在上海申花俱樂部

隊員杜威確認轉會至蘇超凱爾特人俱樂部之前，各種媒體就兩俱樂部對于杜威的轉會費協(xié)商過程紛紛“爆

料”：

媒體A："……，凱爾特人俱樂部出價已從80萬英鎊提高到了120萬歐元?！?/p>

媒體B："……，凱爾特人俱樂部出價從120萬歐元提高到了100萬美元，同

時增加了不少附加條件?！?/p>

媒體C：”……，凱爾特人俱樂部出價從130萬美元提高到了120萬歐元

請根據表中提供的匯率信息（由于短時間內國際貨幣的匯率變化不大，我們假定比值為定值），我們可

以發(fā)現(xiàn)只有媒體C（填入媒體的字母編號）的報道真實性強一些。

匯率

歐元兌美元hl.19

英鎊兌歐元1:1.52

29、已知二次函數f（x）=x2一女+蕾》€(wěn)R）同時滿足：①不等式/（x）40的解集有且只有一個元

素；②在定義域內存在0＜芭＜/，使得不等式/（芯）＞/（12）成立。

設數歹|｛凡｝的前n項和S,,=/（〃）,

（1）求數列｛/,｝的通項公式;

（2）試構造一個數列｛，,｝,（寫出｛/｝的一個通項公式）滿足：對任意的正整數〃都有a＜an,且

lim——=2,并說明理由；

〃T8b

（3）設各項均不為零的數列｛c〃｝中，所有滿足C,.?CR＜0的正整數i的個數稱為這個數列｛c“｝的變

號數。令c“=l一幺（”為正整數），求數列｛c“｝的變號數。

解：（1）：/（x）40的解集有且只有一個元素，,A=a，-4a=0=＞a=0或a=4,

當a=0時，函數/（尤）=/在（0,心）上遞增，故不存在0＜不＜%2，使得不等式

/（七）＞/（%2）成立。

當a=4時，函數/（%）=%2-4無+4在（0,2）上遞減，故存在0＜/＜了2，使得不等式

/（再）＞/（元2）成立。

22

綜上，得a=4,/（x）=x-4x+4,Sn=n-4n+4,

IJI=1

a-5--S_j

?,i|2n-5,n＞2

a

（2）要使lim—^=2,可構造數列4=〃-Z,???對任意的正整數〃都有2＜a〃，

〃T8

,當時，〃一女＜2〃一5恒成立，即〃＞5—左恒成立，即5—左＜2=＞%＞3,

3

又b”手G,:?k史Nh=71—,等等。

f"2

-3,71=1

(3)解法一：由題設的=<4

1------->2

2n-5

448

>0,二〃23時，數列{%}

???鹿23時,明C"―2n-5~2n-3~（2〃-5）（2〃-3）

遞增,

14

a=——<0,由1------->0=>H>5,可知。4?。5<0，即〃23時，有且只有1

432n-5

個變號數;

又：G=-3,c2=5,。3=—3,即G?<0,。2?<0，,此處變號數有2個。

綜上得數列｛c,J共有3個變號數，即變號數為3。

一3,〃=1

解法二：由題設c“=<4,

1-------,H>2

2〃一5

n>2時，令

八2〃一92〃一7八35r79#/

c-*<0=>------------<0=—<〃<一或一<〃<一=>〃=2或〃=4:

"nn+l2n-52n-32222

又；G=-3,。2=5,???幾=1時也有q?。2<0。

綜上得數列｛%｝共有3個變號數，即變號數為3。

3()、在R上定義運算△:xAy=x(l-y)若不等式(x-a)/X(x+a)〈l,對任意實數x恒成立，則實數a的取值

/13、

氾圍是(一q，二)。

22

彳22

31、已知x、y之間滿足z:+萬=1(6>0)

(1)方程?+六=1(/?>0)表示的曲線經過一點(6，；),求方的值

22

XV

(2)動點(x,y)在曲線---1z-=1S>0)上變化，求5+2)，的最大值；

4b2

/V2

(3)由7-+*=1(。>0)能否確定一個函數關系式y(tǒng)=f(x),如能，求解析式；如不能，再加什

么條件就可使x、y之間建立函數關系，并求出解析式。

Mi

解：⑴------1---=1(?！?)?'?〃=1（4分）

44〃'7

22(y2\

(2)根據=1(。>0)得f=41—（5分）

Ib2)

|++4(―Z?KyWZ?)（分）

?,"2y=41一點+2y=-撲7

當屋時,即624時(1+2川=2/7+4

4\/max

當心涮■,

即0WZ?W4時(/+2)，)=—+4

4\/max4

2/7+4,(/?>4)

?+2)，)（10分）

\/max—+4,(0</?<4)

（2）不能（11分）

如再加條件xy<0就可使x、y之間建立函數關系（12分）

x>0)

解析式y(tǒng)=<（14分）

x<0)

（不唯一，也可其它答案）

32、用錘子以均勻的力敲擊鐵釘入木板。隨著鐵釘的深入,鐵釘所受的阻力會越來越大，使得每次釘入木

板的釘子長度后一次為前一次的工僅eN*）。已知一個鐵釘受擊3次后全部進入木板，且第一次受擊

4

后進入木板部分的鐵釘長度是釘長的一，請從這個實事中提煉出一個不等式組是

7

44,

77k

444、，

—I---1----21

,77k7A2

33、已知P=卜|1N},記f(a,b,c,d)=ab-cd,(其中a,0,c,"wP),例如：

/(1,2,3,4)=

=1x2—3x4=—10。設e尸，且滿足/(w,u,x,y)=39不V(“，y，x，u)=66，則

有序數組(”,v,x,y)

HfoA1Q\(1("+xXy-u)=27J〃+x=9,y-v=3、

7s'—二^一、［(M-x)(y+u)=105"-x=7,y+v=15,

34、（12'=9'+3'）（理）設P表示基函數y=；/-5E6在（0,18）上是增函數的。的集合；。表示不

等式|x-l|+|x-2d>1對任意xeR恒成立的c的集合。（1）求PcQ；（2）試寫出一個解集為

PcQ的不等式。

（文）設P表示基函數y=;/-6c+8在（。，物）上是增函數的。的集合；。表示不等式

,一1|+,一412c對任意xeR恒成立的c的集合。（1）求PDQ；（2）試寫出一個解集為PuQ

的不等式。

解：（理）（1）..?塞函數y=x'-5c+6在（0,-K?）上是增函數，...c?—5c+6>0,即

P=（一oo,2）u（3,+oo）,

又不等式|九一1|+,—2d>1對任意xeR恒成立，|2c-l|>l,即

Q=（-oo,0）u（l,+oo）,

.?.PcQ=（-8,0）D（1,2）U（3,E）。,

（2）一個解集為PcQ的不等式可以是x（x-lXx-2Xx-3）>0.

（文）（1）..?事函數y=x/Fc+8在（0,茁）上是增函數，c2-6c+8>0,即

P=（-00,2）u（4,-boo）,

又不等式|x-l|+|x-412c對任意XER恒成立，???c<3,即0=（—8,3],

PuQ=（-00,3]（4,+oo）。

九一3

（2）一個解集為PuQ的不等式可以是----->00

x-4

35、（理）已知/（X）=€（—2,2）,4為正常數。

（1）可以證明：定理“若。、beR*,則巴心茄（當且僅當。=人時取等號）”推廣到

2

三個正數時結論是正確的，試寫出推廣后的結論（無需證明）；

（2）若/（x）>0在（0,2）上恒成立，且函數/,（X）的最大值大于1,求實數a的取值范圍，并由

此猜測y=/（x）的單調性（無需證明）：

（3）對滿足（2）的條件的一個常數a,設x=$時，/（x）取得最大值。試構造一個定義在上的

函數g（x）,使當xw（-2,2）時，g（x）=f（x）,當xe。時，g（x）取得最大值的自變量的值構

成以玉為首項的等差數列。

._,a+b+c

o/~~：-f

解：（1）若。、b、ceR,則--------->\abc（當且僅當Q=A=C,時取等號）。

3

（2）/（元）=ci^x——~—5元之）,0在（0,2）上恒成立，即/在（0,2）上

恒成立,

'/y%2€(0,2),a2>2,即a之正，

又???

2a2

212212

I/O7a---xa---x

2727[3)

12V6

/.x2---X~?即X=—CI時,

2------------3

.2V639_376fV6?V6

max=八&>1="d>---,

乖一丁一(切2

又,?，%=^^4￡(0,2),.,.4￡(0,后)。

綜上，得。￡[j5,V6）o

易知，/（尤）是奇函數，?；x=^a時，函數有最大值，二%=一半。時，函數有最小值。

故猜測：XG—2,------au—4,2時，/（X）單調遞減；XE------4,—CI時，

\JL7L.

/（X）單調遞增。

（3）依題意，只需構造以4為周期的周期函數即可。

如對xG（4左-2,4&+2）,&￡N,x—44w（—2,2）,此時

g(x)=g(x-4&)=/(%-4火)，

即g(x)=Q2(x-4Z)-g(x-4Z)3,x￡(4Z—2,4Z+2),Z：￡N。

(文)已知函數/(4)=以2—244+2/?—,g(x)=-yjl-(x-a)2,(a.bGR)

(I)當人=0時，若/(x)在［2,+8)上單調遞增，求a的取值范圍；

(H)求滿足下列條件的所有實數對(。,勸：當a是整數時，存在人,使得/(%)是/(x)的最大值,

g(x())是g(x)的最小值；

(III)對滿足(II)的條件的一個實數對(。/)，試構造一個定義在O={x|x>-2,且

xH2A-2,左eN}上的函數使當xw(—2,0)時，〃(1)=/(犬)，當時，//(%)取得

最大值的自變量的值構成以人為首項的等差數列。

解：(1)當Z?=0時，/(X)=ax2-4x,

若a=0,f(x)=-4x,則/(x)在［2,+8)上單調遞減，不符題意。

。>0

故a/0,要使/(x)在［2,心)上單調遞增，必須滿足。

2a

(II)若a=0,f(x)=-2』4+2h-b。x,則/(無)無最大值，故aH0,/(x)為二次函

數，

要使/'(x)有最大值，必須滿足，，即a<0且1一后4匕41+痛，

4+2b-b2>0

此時，x=x0=+2b~—時，/(x)有最大值。

a

,、^+2h-b2)

x

又g\)取最小值時，x=xQ=a,依題意，有--------------=aeZ,則

a

a2=」4+2b-b?=^5—(/?—l)2,

?.?。<0且1一石$〃<1+有，，0<Q?(a￡Z),得。=一1,此時匕=一1或

b=3o

???滿足條件的實數對(a,。)是(-1,-1),(一1,3)。

(III)當實數對(。乃)是(-1,—1),(—1,3)時，f(x)=-x"—2x

依題意，只需構造以2(或2的正整數倍)為周期的周期函數即可。

如對xG(2k-2,2k),攵￡N,x—2Z￡2,0),

此時，〃(x)=h(x-2k)=/(x-2^)=-(x-2k)2-2(x-2k),

故/i（x）=-（x-2&y-2（x-2k）,x6（2k-2,2k）,k€N。

36、有窮數列｛aj,S“為其前n項和，定義T“=*+力+，+…+S”為數列⑸｝的“凱森和”,

如果有99項的數列④、a?、a：‘、…、a”的“凱森和”為1000,則有100項的數列

1、a】、&、a：、a」、…agg的“凱森和”（oo二991。

37、先閱讀下列不等式的證法，再解決后面的問題：

已知q,￡R，Q］+〃2=1，求證a；+之4，

證明：構造函數/。）=（不-。］）2+0—。2）2

f（x）=2x~-2（6（|+%）%+q+a2=2x~—2x+q+a）

因為對一切xwR,恒有/（x）20,所以△=4-8（a；+a；）wo,

從而得a；+Q；—*2?

（1）若q,g,…，*eR,q+。2+?一+?！?1，請寫出上述結論的推廣式；

（2）參考上述解法，對你推廣的結論加以證明。

解：（1）若外,。2,…，?！ā闍，4+。2+?一+?！?1，