第四章測(cè)評(píng)

（時(shí)間:120分鐘滿(mǎn)分:150分）

一、單項(xiàng)選擇題（本題共8小題,每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有

一項(xiàng)是符合題目要求的）

L己知數(shù)列｛為｝的通項(xiàng)公式為““=/一〃，則可以作為這個(gè)數(shù)列的其中一項(xiàng)的數(shù)是（）

A.10B.15C.21D.42

|解析|當(dāng)”=7時(shí),47=72-7=42,所以42是這個(gè)數(shù)列中的一項(xiàng).

函D

2.己知數(shù)列｛兒｝是等比數(shù)列的是1和3的等差中項(xiàng)，則b力16=（）

A.16B.8C.4D.2

函因?yàn)槌鹗?和3的等差中項(xiàng)，所以2為=1+3,即加）=2.由等比數(shù)列｛兒｝的性質(zhì)可得〃2歷6=屑=4.

SUc

3.（2019全國(guó)/,理9）記S“為等差數(shù)列｛處｝的前n項(xiàng)和.已知54=0,的=5,則（）

A.〃,1=2〃-5B.an=3n-l0

C.S?=2〃2-8/7D.S〃=、2-2〃

麗由題意可知「4=4%+竽-d=0,

=%+4d=5,

=3

=2.

故斯=2〃-55="-4〃,故選A.

1M]A

4.等差數(shù)列｛斯｝中,S16>057<0,當(dāng)其前〃項(xiàng)和取得最大值時(shí),〃二（)

A.8B.9C.16D.I7

I解析I依題意,S16>0,即。1+。16="8+49>0$7<0,即。1+07=249<0,所以“9<0,48>0,所以等差數(shù)列｛%｝為遞

減數(shù)列，且前8項(xiàng)為正數(shù)，從第9項(xiàng)以后為負(fù)數(shù)，所以當(dāng)其前n項(xiàng)和取得最大值時(shí),〃=8.故選A.

答案A

5.已知數(shù)列｛如｝是以2為首項(xiàng),1為公差的等差數(shù)列,出"｝是以1為首項(xiàng),2為公比的等比數(shù)列，則。如+

%+…+%。=()

A.1033B.I034C.2057D,2058

|解析|由已知可得?！?〃+1/”=2"T,于是回“=。2”-1=2"7+1,因此￡1玩+

-1

l929

ab2+—+az,i0=(2°+l)+(2+l)4--+(2+l)=(l+2+2+—+2)+10=-^-+10=1033.

答案A

6.我國(guó)古代數(shù)學(xué)巨著《九章算術(shù)》中，有如下問(wèn)題廣今有女子善織,日自倍，五日織五尺，問(wèn)日織幾何?”

這個(gè)問(wèn)題用今天的白話(huà)敘述為廣有一位善于織布的女子，每天織的布都是前一天的2倍,已知她5天

共織布5尺，問(wèn)這位女子每天分別織布多少?”根據(jù)上面的已知條件，可求得該女子第4天所織布的尺

數(shù)為（）

解明設(shè)該女子第〃天織的布為小尺,且數(shù)列｛斯｝為公比q=2的等比數(shù)列，由題意可得當(dāng)尹=5,解得

3=捺所以該女子第4天所織布的尺數(shù)為°4=0爐=,

故選D.

H]D

7.給出數(shù)陣：

01—9

12-10

910—18

其中每行、每列均為等差數(shù)列，則此數(shù)陣所有數(shù)的和為)

A.495B.900C.1000D.1100

|解析［設(shè)21=0+1+2+…+9,岳=1+2+3+…+10,.......加0=9+10+…+18,則仍〃｝是首項(xiàng)仇二45,公差"10的

1AyQ

等差數(shù)列，所以510=45x10+^x10=900.

答案B

8.對(duì)于正項(xiàng)數(shù)列｛〃“｝,定義:G“=色也等二遙為數(shù)列｛4.｝的“勻稱(chēng)值”.已知數(shù)列｛斯｝的“勻稱(chēng)值”為

G“=〃+2廁該數(shù)列中的mo等于（）

|解析|:77“=01+202+303+__i^i,G"=〃+2,?(附+2)=ai+2a2+343+?"+"4",.：

10x(10+2)=ai+2a2+3〃3+"，+10"IO；9X(9+2)=0+2a2+343+"，+9。%兩式相減得10七“)=21,.：”|0=而故

選D.

答案|D

二、多項(xiàng)選擇題（本題共4小題,每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符

合題目要求.全部選對(duì)的得5分,部分選對(duì)的得3分，有選錯(cuò)的得0分）

9.（2020江蘇鎮(zhèn)江中學(xué)高二期末）對(duì)于數(shù)列｛斯｝，若存在正整數(shù)k（k22）,使得以＜以』四＜四+i,則稱(chēng)這是

數(shù)列｛斯｝的“谷值”火是數(shù)列｛斯｝的“谷值點(diǎn)”，在數(shù)列｛斯｝中，若a“=|n+，8],下面哪些數(shù)不能作為數(shù)列

｛斯｝的“谷值點(diǎn)”?（）

A.3B.2C.7D.5

|解析卜〃二|+[-8],故〃產(chǎn)2,42=孤=2,04=滔=1,%=呆7=梟8=[.

故a2＜a3f3不是“谷值點(diǎn)”;。1＞。2。3＞的故2是“谷值點(diǎn)

。6>。7,48>。7,故7是“谷值點(diǎn)”;。6<。5,5不是“谷值點(diǎn)

故選AD.

^BJAD

1（）.已知等比數(shù)列｛斯｝的各項(xiàng)均為正數(shù),公比為g,且G>1,“6+47>。M7+1>2,記｛面的前〃項(xiàng)積為T(mén)”,則

下列選項(xiàng)中正確的選項(xiàng)是（）

A.O<qvlB.?6>1

C.7I2>1D.7,I3>1

I解析|由于等比數(shù)列｛。〃｝的各項(xiàng)均為正數(shù)，公比為4,且a\>1,46+。7>。6??+1>2,所以（&6-1）（47-1）<0,所以

0<6/6<1且。7>1,或。6>1且0<。7<1.

當(dāng)Ov〃6Vl且。7>1時(shí),±=q>l,又所以｛〃〃｝是遞增數(shù)列，所以矛盾，當(dāng)。6>1且

06

0<。7<1時(shí),0<±<1,即0<4<1.因?yàn)椤?〃7+1>2,所以。6〃7>1,力2=?！可?…?。1-。12=（。6〃7）6>1,713=。/<1.故

06

選ABC.

答案|ABC

11.已知等比數(shù)列｛%｝中，滿(mǎn)足0=1,4=2,5“是｛斯｝的前“項(xiàng)和廁下列說(shuō)法正確的是（）

A.數(shù)列僅2“｝是等比數(shù)列

B.數(shù)列石?是遞增數(shù)列

C.數(shù)列｛10g2。"｝是等差數(shù)列

D.數(shù)列｛%｝中SoSoSo仍成等比數(shù)列

|解析|等比數(shù)列｛%｝中1=1,q=2,

所以a“=2"T5=2"-L

于是a2n-22"']-2x4"\—=償），10g2""="-l,故數(shù)列他2"｝是等比數(shù)列，

an、乙）

數(shù)列｛丹是遞減數(shù)列，數(shù)列｛睡2斯｝是等差數(shù)列.

因?yàn)?曰。-"2犯"23。電嚕所以$。&。$。不成等比數(shù)列.

故選AC.

答案AC

12.已知數(shù)列｛如｝的前“項(xiàng)和為S”⑸和)，且滿(mǎn)足a”+4S“一5=0(〃22),0=/則下列說(shuō)法正確的是()

A.數(shù)列｛?。那皀項(xiàng)和為S“=；

B.數(shù)列｛斯｝的通項(xiàng)公式為%=嬴品

C數(shù)列｛斯｝為遞增數(shù)列

D.數(shù)列8｝為遞增數(shù)列

庭畫(huà)：4+4SrS,=0(〃22),

?+4S〃/S〃=0.

11

:?S#0,**----=4.

因此數(shù)列位｝是以［=4為首項(xiàng),4為公差的等差數(shù)列，也是遞增數(shù)列抑D正確;

所以白=4+4(〃-l)=4〃，：Sk片即A正確;

3〃4n

當(dāng)"22時(shí)，m=5"$“=贏(yíng)—4(n-i)=-4n(n-l).

=1，

所以斯=〈1即B,C不正確；

[-4n(n-l),n-2'

故選AD.

答案AD

三、填空題（本題共4小題,每小題5分，共20分）

13.若等差數(shù)列｛斯｝的前〃項(xiàng)和為S”,且s=0,$5=10,數(shù)列｛〃”｝滿(mǎn)足從=0,且〃"+1=斯+1+狐則數(shù)列｛兒｝的

通項(xiàng)公式為.

解畫(huà)設(shè)｛斯｝的公差為"，則藍(lán)之10解得｛‘二22'于是“"=-2+2（〃-1）=2〃-4.因此知*1=2〃-2.于

是小+]-/?”=2〃-2/〃=〃|+（岳-/?1）+33-/?2）+?一+（?！?兒-1）=0+0+2+?一+（2〃-4）二層-3,7+2,故數(shù)列｛/?〃｝的通項(xiàng)公

2

式為bn=n-3n+2.

|答案上〃二層?3〃+2

14.已知在公差不為零的正項(xiàng)等差數(shù)列｛斯｝中$為其前〃項(xiàng)和,Igm,1g〃2,坨。4也成等差數(shù)列.若45=10,

則S5=_______

麗設(shè)｛斯｝的公差為4則d>0.

由1g0,1g々2,1g。4成等差數(shù)列，

得21ga2=lgfli+lg。4,

則

即（。1+叫2=內(nèi)（〃]+3歐理=04

因?yàn)?>0,所以1=的,。5=5。|=10,

解得d=a\=2.

故55=5f/i+-^-xJ=30.

答案30

15.我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《張邱建算經(jīng)》有“分錢(qián)問(wèn)題”:今有與人錢(qián)，初一人與三錢(qián),次一人與四錢(qián)，次一

人與五錢(qián)，以次與之，轉(zhuǎn)多一錢(qián)，與訖，還斂聚與均分之，人得一百錢(qián)，問(wèn)人幾何?意思是:將錢(qián)分給若干人,

第一人給3錢(qián)，第二人給4錢(qián)，第三人給5錢(qián)，以此類(lèi)推，每人比前一人多給1錢(qián)，分完后,再把錢(qián)收回平

均分給各人,結(jié)果每人分得100錢(qián)，問(wèn)有多少人?則題中的人數(shù)是.

|解析|設(shè)共有〃人，根據(jù)題意得3〃+也羅=100",解得〃=195,所以一共有195人.

答案195

16.（2020浙江余姚中學(xué)高二檢測(cè)）已知n為正偶數(shù)，用數(shù)學(xué)歸納法證明力士+1-%…+二--=2（

234n-1n

4?+與+…”時(shí)，第一步的驗(yàn)證為；若已假設(shè)H=k（g

且k為偶數(shù)）時(shí)等式成立，則還需要用歸納假設(shè)證77=時(shí)等式成立.（本題第一空2分,第二空

3分）

|解析|因?yàn)椤檎紨?shù)，則歸納基礎(chǔ)為

當(dāng)n=2時(shí)，左邊=1]=/，右邊=2x；=:，等式成立;

ZZ4Z

歸納假設(shè)為當(dāng)"=火（4》2且人為偶數(shù)）時(shí),1』+JT+…+上—=2（/+士+…+N成立，由于

Z34K~LKH十/"十4乙K

〃是所有正偶數(shù)，則下一個(gè)數(shù)應(yīng)為n=k+2.

置嵬當(dāng)”=2時(shí)，左邊=1當(dāng)=今右邊=2x；=提等號(hào)成立k+2

四'解答題（本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟）

17.（本小題滿(mǎn)分10分）（2019全國(guó)〃，理19）已知數(shù)列｛斯｝和｛d｝滿(mǎn)足。|=1力i=0,4%+產(chǎn)3加

兒+4,4〃〃+1=3〃,廣?！?

（1）證明:｛。+正｝是等比數(shù)列,｛如也｝是等差數(shù)列;

（2）求｛斯｝和｛勿｝的通項(xiàng)公式.

（1亦正明|由題設(shè)得4（〃〃+1+瓦+D=2（斯+兒），

即知+1+兒+產(chǎn)?斯+勿）.

又因?yàn)閍i+bi=l,所以+為｝是首項(xiàng)為1,公比為2的等比數(shù)列.

由題設(shè)得4（〃〃+1也+1）=4（〃〃也）+8,

即知+1也+1=?！ㄒ?2.

又因?yàn)棰浅?1,所以｛斯也｝是首項(xiàng)為1,公差為2的等差數(shù)列.

（2解由（1）知，如+4尸責(zé),?！?/?〃=2止1.

所以。〃=，3〃+為）+（知也）］=玄+嗎,

仇=.（如+四）?（0廠(chǎng)瓦）］號(hào)-〃+寶

18.（本小題滿(mǎn)分12分）已知等比數(shù)列｛〃”｝的各項(xiàng)均為正數(shù)，且2。1+3。2=1,謾=9〃4。8.

⑴求數(shù)列｛斯｝的通項(xiàng)公式；

（2）設(shè)仇=斯求數(shù)列｛仇｝的前n項(xiàng)和Sn.

闞⑴設(shè)｛〃〃｝的公比為q,

則由磺二9OM8,可得（。1/）2=9〃143.〃@,

即a海8=9Q海？

因此戶(hù)也

因?yàn)椋梗母黜?xiàng)均為正數(shù)，

1

所以q>0,故q=-.

又因?yàn)?4/1+3a2=1,

所以2ai+3aq=1,解得〃］二.

故溫?（滬抑為??

⑵由⑴得—」?-（滬4（曠,

所以W公比中等—項(xiàng)和狂蜂

336

19.（本小題滿(mǎn)分12分）（2019北京，文16）設(shè)｛斯｝是等差數(shù)列,s=-10,且。2+10,的+8,。4+6成等比數(shù)列.

(1)求｛%｝的通項(xiàng)公式；

(2)記｛““｝的前〃項(xiàng)和為S”,求Sn的最小值.

解(1)設(shè)｛““)的公差為d.

因?yàn)?lt;?|=-10,

所以02=-10+d,ay=-10+2(r/,tZ4=-10+3J.

因?yàn)椤?+10,03+8,44+6成等比數(shù)列，

所以(。3+8)2=(。2+10)Q+6).

所以(-2+2療=”(一4+36/).

解得d=2.

所以a?=ai+(n-l)d=2n-12.

(2)由(1)知,。”=2”-12.

所以，當(dāng)心7時(shí),小>0;當(dāng)后6時(shí),&W0.

所以S的最小值為S6=-30.

n

20.(本小題滿(mǎn)分12分)已知數(shù)列｛斯｝的前n項(xiàng)和Sn=2a,,-2.

(1)求01,612.

⑵設(shè)以=斯+「2斯,證明數(shù)歹由以｝是等比數(shù)列.

⑶求數(shù)歹U｛氏｝的前〃項(xiàng)和

(1廨:Q=S],2ai=S]+2,?：ai=Si=2.

由2a〃=S〃+2",知2a〃+]=S?+i+2"+】=a〃+[+S〃+2"+l

?：如+]=5〃+2"\。

?：〃2=Si+22=2+22=6.

(2悵則由題設(shè)和①式知如+「2斯=⑸+2">⑸+2")=2"+L2"=2",即cn=2",

.："=2（常數(shù)）.

：€1=2'=2,

.：｛4,｝是首項(xiàng)為2,公比為2的等比數(shù)列.

（3回飛=2",.：受=五號(hào)..：數(shù)列｛黑｝的前"項(xiàng)和7"=最+*+假+…+器■,，,=檢+

3?,n?\+1

尹+…+產(chǎn)l+歷7，

海弋垢演，“下一2,1,1,1,上1n+l_1,/（1舟九十131n+1

兩式相戒，%T,=/+/+/+/+…+尹一嚴(yán)=爹+_q尹=,一尹一嚴(yán)=

3n+3

廠(chǎng)產(chǎn).

?7_3n+3

??/”二2一產(chǎn)

-1Q

2

21.（本小題滿(mǎn)分12分）已知數(shù)列｛〃〃｝的前〃項(xiàng)和Sn=an+-n+-n-2（nGN*）.

（1）求數(shù)列｛&｝的通項(xiàng)公式；

1:、、,n為奇數(shù),

⑵若6“=｛（號(hào)處+）且數(shù)列｛仇｝的前n項(xiàng)和為T(mén)”,求T2n.

（4.g）,71為偶數(shù)，

2

陶⑴由于S?=an+^n+|n-2,

1Q

所以當(dāng)時(shí)51一產(chǎn)〃小］+5（〃-1）2+5（〃-1）-2,

兩式相減得小=。〃?M1+〃+1,于是an.i=n+l,

所以?！?〃+2.

（,二q、,九為奇數(shù),

⑵由⑴得與=原產(chǎn)3）

,71為偶數(shù),

所以/〃=力|+岳+加+…+岳〃=("+。3+…+岳"-1)+(岳+〃4+…+62〃).

因?yàn)閎I4"/734-***?=-------|----------k-----F,??H----------------=—|_------+------+