3．2函數(shù)模型及其應(yīng)用3．2.1幾類不同增長的函數(shù)模型基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)1．設(shè)f(x)＝x2，g(x)＝2x，h(x)＝log2x，當(dāng)x∈(4，＋∞)時，對這三個函數(shù)的增長速度進(jìn)行比較，下列結(jié)論正確的是()．A．f(x)增長速度最快，h(x)增長速度最慢B．g(x)增長速度最快，h(x)增長速度最慢C．g(x)增長速度最快，f(x)增長速度最慢D．f(x)增長速度最快，g(x)增長速度最慢解析由三個函數(shù)的性質(zhì)，可知：g(x)增長速度最快，h(x)增長速度最慢．答案B2．如圖所示給出了紅豆生長時間t(月)與枝數(shù)y(枝)的散點圖，那么最能擬合詩句“紅豆生南國，春來發(fā)幾枝”所提到的紅豆生長時間與枝數(shù)的關(guān)系的函數(shù)模型是()．A．指數(shù)函數(shù)：y＝2t B．對數(shù)函數(shù)：y＝log2tC．冪函數(shù)：y＝t3 D．二次函數(shù)：y＝2t2解析由散點圖可知，與指數(shù)函數(shù)擬合的最貼切．答案A3．據(jù)報道，某淡水湖的湖水在50年內(nèi)減少了10%，若按此規(guī)律，設(shè)年的湖水量為m，從年起，經(jīng)過x年后湖水量y與x的函數(shù)關(guān)系為()答案C4．已知某工廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品的月產(chǎn)量y與月份x滿足關(guān)系y＝a·(0.5)x＋b，現(xiàn)已知該廠今年1月、2月生產(chǎn)該產(chǎn)品分別為1萬件、1.5萬件．則此廠3月份該產(chǎn)品產(chǎn)量為________．解析由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1＝a·0.51＋b，,1.5＝a·0.52＋b，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－2，,b＝2，))∴y＝－2×0.5x＋2，所以3月份產(chǎn)量為y＝－2×0.53＋2＝1.75(萬件)．答案1.75萬件5．在某種金屬材料的耐高溫實驗中，溫度隨著時間變化的情況由微機記錄后顯示的圖象如圖所示．現(xiàn)給出下列說法：①前5min溫度增加的速度越來越快；②前5min溫度增加的速度越來越慢；③5min以后溫度保持勻速增加；④5min以后溫度保持不變．其中正確的說法是________．解析因為溫度y關(guān)于時間t的圖象是先凸后平，即5min前每當(dāng)t增加一個單位增量Δt，則y相應(yīng)的增量Δy越來越小，而5min后是y關(guān)于t的增量保持為0，則②④正確．答案②④6．計算機的成本不斷下降，若每隔5年計算機的價格降低現(xiàn)價格的eq\f(1,m)，現(xiàn)在價格5400元的計算機經(jīng)過15年的價格為________元．解析5年后的價格為5400eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,m)))元，10年后的價格為5400eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,m)))2元，15年后的價格為5400eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,m)))3元．答案5400eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,m)))37．大西洋鮭魚每年都要逆流而上，游回產(chǎn)地產(chǎn)卵．記鮭魚的游速為V(m/s)，鮭魚的耗氧量的單位數(shù)為Q，研究中發(fā)現(xiàn)V與log3eq\f(Q,100)成正比，且當(dāng)Q＝900時，V＝1.(1)求出V關(guān)于Q的函數(shù)解析式；(2)計算一條鮭魚的游速是1.5m/s時耗氧量的單位數(shù)．解(1)設(shè)V＝k·log3eq\f(Q,100)，∵當(dāng)Q＝900時，V＝1，∴1＝k·log3eq\f(900,100)，∴k＝eq\f(1,2)，∴V關(guān)于Q的函數(shù)解析式為V＝eq\f(1,2)log3eq\f(Q,100).(2)令V＝1.5，則1.5＝eq\f(1,2)log3eq\f(Q,100)，∴Q＝2700，所以，一條鮭魚的游速是1.5m/s時耗氧量為2700個單位．能力提升8．如圖所示，向放在水槽底部的燒杯注水(流量一定)，注滿燒杯后，繼續(xù)注水，直至注滿水槽，水槽中水面上升高度h與注水時間t之間的函數(shù)關(guān)系大致是下列圖象中的()．解析開始一段時間，水槽底部沒有水，燒杯滿了之后，水槽中水面上升先快后慢，與B圖象相吻合．答案B9．某種動物繁殖數(shù)量y(只)與時間x(年)的關(guān)系式為：y＝alog2(x＋1)，設(shè)這種動物第一年有100只，則到第7年這種動物發(fā)展到________只．解析把x＝1，y＝100代入y＝alog2(x＋1)得：a＝100，故函數(shù)關(guān)系式為y＝100log2(x＋1)，∴當(dāng)x＝7時，y＝100log2(7＋1)＝300.所以到第7年這種動物發(fā)展到300只．答案30010．已知桶1與桶2通過水管相連如圖所示，開始時桶1中有aL水，tmin后剩余的水符合指數(shù)衰減函數(shù)y1＝ae－nt，那么桶2中的水就是y2＝a－ae－nt，假定5min后，桶1中的水與桶2中的水相等，那么再過多長時間桶1中的水只有eq\f(a,4)L?解由題意，得ae－5n＝a－a·e－5n，即e－5n＝eq\f(1,2). ①設(shè)再過tmin后桶1中的水有eq\f(a,4)，則ae－n(t＋5)＝eq\f(a,4)，e－n