《7.3離散型隨機變量的數(shù)字特征》教案

第一課時離散型隨機變量的均值

課標要求素養(yǎng)要求

1.通過具體實例，理解離散型隨機變量通過研究離散型隨機變量的分布列

的分布列及其數(shù)字特征.及其數(shù)字特征，進一步提升數(shù)學抽

2.能計算簡單離散型隨機變量的均值.象及數(shù)據(jù)分析素養(yǎng).

【課前預習】

新知探究

A情境引入

某城市隨機抽查了1000戶居民的住房情況，發(fā)現(xiàn)戶型主要集中在160平方

米，100平方米，60平方米三種，對應住房比例為1：5：4,能否說該市的戶

均住房面積為160+100+6。合［06.7（平方米）？

問題上述情境中的計算是否合理，怎樣運算才更合理?

提示此種計算顯然不合理，忽略了不同住房面積的居民所占的比例，造成了

“被平均”現(xiàn)象，通過本課時的學習我們可以找到正確的計算方法.

A知識梳理

1.離散型隨機變量的均值或數(shù)學期望

正確地求出離散型隨機變量的分布列是求解期望的關(guān)鍵一般地，若離散型隨機

變量X的分布列為

??????

XX1X2XiXn

??????

PP1P2PlPn

則稱E(X)=X|Pi+X2P2~l---!~XiP,十…XnPn=￡XiPi為隨機變量X的均值或數(shù)學

i=l

期望，數(shù)學期望簡稱為期望.均值是隨機變量可能取值關(guān)于取值概率的加權(quán)壬

均數(shù),它綜合了隨機變量的取值和取值的概率，反映了隨機變量取值的平均水

2.兩點分布的期望

一般地，如果隨機變量X服從兩點分布，那么E(X)=OX(1—p)+lXp=p；

3.離散型隨機變量的均值的性質(zhì)

設X的分布列為P(X=x)=Pi,i=l,2,—,n.

一般地，下面的結(jié)論成立：E(aX+b)=aE(X)+b.

拓展深化

［微判斷］

1.隨機變量X的均值E(X)是個變量，其隨X的變化而變化.(X)

提示隨機變量X的均值E(X)是個定值，不隨X的變化而變化.

2.隨機變量的均值與樣本的平均值相同.(X)

提示隨機變量的均值與樣本的均值并非等價，因為樣本代表的是部分的情

況，不能完全與整體等價.

3.若隨機變量X的均值E(X)=2,則E(2X)=4.(J)

［微訓練］

1.已知離散型隨機變量X的分布列為

X123

256

pT313

則X的數(shù)學期望E(X)=()

3027

A-l3B-T3

25

C.2D-n

…L/、2,5630

解析E(X)=1X—+2X—+3X—=—

10101010

答案A

2.口袋中有編號分別為1,2,3的三個大小和形狀相同的小球，從中任取2

個，則取出的球的最大編號X的期望為.

…l,、11,、C；2

解析X=2,3.P(X=2)=j=§,P(X=3)=在=g.

以,、I,28

故E(X)=2X-+3X-=-

ooo

..j8

答案7

［微思考］

某商場要將單價分別為18元/kg、24元/kg、36元/kg的3種糖果按3：2：1

的比例混合銷售，如何對混合糖果定價才合理？

提示由于平均在每1kg的混合糖果中，3種糖果的質(zhì)量分別是)kg、1kg和

LtO

7kg,所以混合糖果的合理價格應該是18X：+24X1+36X：=23(元/kg).

O乙。O

這里的23元/kg就是混合糖果價格的均值.

【課堂互動】

題型一利用定義求離散型隨機變量的均值

【例1】袋中有4只紅球，3只黑球，今從袋中隨機取出4只球，設取到一只

紅球得2分，取到一只黑球得1分，試求得分X的均值.

解取出4只球顏色及得分分布情況是：4紅得8分，3紅1黑得7分，2紅2

黑得6分，1紅3黑得5分，因此，

C；C；4

P(X=5)=

c；35,

C港18

P(X=6)=-CT=35,

C：C；12

P(X=7)=

/、C：C；1

P(X=8)=『方

故X的分布列如下:

X5678

418121

p

35353535

/、4,18,12,144/八、

???E(X)=5*原+6X布+7X而+8X旃=萬(分).

規(guī)律方法求隨機變量的均值關(guān)鍵是寫出分布列，一般分為四步：(1)確定X的

可能取值；(2)計算出P(X=k)；(3)寫出分布列；(4)利用E(X)的計算公式計算

E(X).

【訓練1】某衛(wèi)視綜藝節(jié)目中有一個環(huán)節(jié)叫“超級猜猜猜”，規(guī)則如下：在

這一環(huán)節(jié)中嘉賓需要猜三道題目，若三道題目中猜對一道題目可得1分，若猜

對兩道題目可得3分，要是三道題目完全猜對可得6分，若三道題目全部猜

211

錯，則扣掉4分.如果嘉賓猜對這三道題目的概率分別為用5,可，且三道題目

之間相互獨立.求某嘉賓在該“猜題”環(huán)節(jié)中所得分數(shù)的分布列與均值.

解根據(jù)題意，設X表示“該嘉賓所得分數(shù)”，則X的可能取值為一4,1,3,

6.

,,212112,1117

P(x=i)=-x-x-+-x-x-+-x-x-=—,

oZooZooZoio

,.212,211,1117

P(X=3)=TX-X-4--X-X-+-X-X-=—,

oZooZooZoio

,.21121

p("X=a6)=-3X~2X~3=—18=-9，

AX的分布列為

X-4136

1771

1D

918189

/、/、1,7,7,116,八、

；.E(X)=(—4)X-4-1X—+3X—4-6X-=—(^).

yioioyy

題型二離散型隨機變量均值的性質(zhì)

【例2】已知隨機變量X的分布列為：

X-2-1012

1

Pm

43520

若Y=-2X,則E(Y)=.

解析由隨機變量分布列的性質(zhì)，得

J+J+：+m+白=1,解得m=',

43bZUo

,、/、1-、11.1,117

AE(X)=(—2)X-+(—1)X-?+0X-+1X-+2X—=——

43562030

由Y=-2X,得E(Y)=-2E(X),

即E(Y)=—2義卜而卜山

17

答案后

【遷移1】(變設問)本例條件不變，若Y=2X—3,求E(Y).

17

解由公式E(aX+b)=aE(X)+b及E(X)=一茄得，

OU

/、/、，、(⑺62

E(Y)=E(2X-3)=2E(X)-3=2X---3=-—

\oOJio

【遷移2】(變條件，變設問)本例條件不變，若丫=2乂+3,且E(Y)=一

耳，求a的值.

1711

解VE(Y)=E(aX+3)=aE(X)+3=——a+3=——,

DU乙

.\a=15.

規(guī)律方法離散型隨機變量性質(zhì)有關(guān)問題的解題思路

若給出的隨機變量Y與X的關(guān)系為丫=2乂+13,a,b為常數(shù)，一般思路是先求出

E(X),再利用公式E(aX+b)=aE(X)+b求E(Y).也可以利用X的分布列得到Y(jié)

的分布列，關(guān)鍵是由X的取值計算Y的取值，對應的概率相等，再由定義法求

得E(Y).

【訓練2】已知隨機變量X和Y,其中Y=12X+7,且E(Y)=34,若X的分布

列如下表，則m的值為()

X1234

1

Pmn

412

11

C-6D，8

解析因為Y=12X+7,則E(Y)=12E(X)+7,

即E(Y)=12(lX；+2?m+3?n+4X*)+7=34.

5

所以2m+3n=-,①

o

又;+m+n+卷=1,

2

所以m+n=鼻，②

由①②可解得

答案A

題型三離散型隨機變量均值的應用

9

【例3】某企業(yè)有甲、乙兩個研發(fā)小組，他們研發(fā)新產(chǎn)品成功的概率分別為可

O

3

和￡.現(xiàn)安排甲組研發(fā)新產(chǎn)品A,乙組研發(fā)新產(chǎn)品B.設甲、乙兩組的研發(fā)相互獨

立.

⑴求至少有一種新產(chǎn)品研發(fā)成功的概率；

⑵若新產(chǎn)品A研發(fā)成功，預計企業(yè)可獲利潤120萬元；若新產(chǎn)品B研發(fā)成功，

預計企業(yè)可獲利潤100萬元.求該企業(yè)可獲利潤的分布列和均值.

解記￡="甲組研發(fā)新產(chǎn)品成功”，F(xiàn)="乙組研發(fā)新產(chǎn)品成功”.由題設知

2一13-2————

P(E)=-,P(E)P(F)P(F)=三，且事件E與F,E與F,E與F,E與F都

3355

相互獨立.

(1)記11="至少有一種新產(chǎn)品研發(fā)成功“，則H=EF,于是P(H)=P(E)P(F)=；

O

X/_2___2_

5-15，

213

故所求的概率為P(H)=1-P(H)=1--=77.

Iolo

(2)設企業(yè)可獲利潤為X萬元,則X的可能取值為0,100,120,220.

_122

因為P(X=0)=P(EF)=-X-=—,

O010

131

P(X=100)=P(EF)=-XT=T,

355

224

P(X=120)=P(EF)=-X-=—,

3515

232

P(X=220)=P(EF)=-X-=-,

355

故所求的分布列為

X0100120220

2142

p

155T55

2142

均值為E(X)=0X7Z+100Xm+120X77+220XE=140(萬元).

155155

規(guī)律方法解答實際問題時，(1)把實際問題概率模型化；(2)利用有關(guān)概率的

知識去分析相應各事件可能性的大小，并列出分布列；(3)利用公式求出相應均

值.

【訓練3]某公司擬資助三位大學生自主創(chuàng)業(yè)，現(xiàn)聘請兩位專家獨立地對每

位學生的創(chuàng)業(yè)方案進行評審.假設評審結(jié)果為“支持”和“不支持”的概率都

是3.若某人獲得兩個“支持”，則給予10萬元的創(chuàng)業(yè)資助；若只獲得一個“支

持”，則給予5萬元的資助；若未獲得“支持”，則不予資助.令X表示該公

司的資助總額.

(1)寫出X的分布列；

⑵求均值E(X).

解(1)X的所有取值為0,5,10,15,20,25,30.

/、1/、3

P(X=0)=—,P(X=5)=—,

6432

155

P(X=10)=77，P(X=15)=77，

6416

/x15、3/、1

P(X=20)=—,P(X=25)=—,P(X=30)=—

643264

故X的分布列為

X051015202530

131551531

p

64326416643264

/、，、13,15,5,15,3,1―

(2)E(X)=0XK+5X;^+10X^+I5X77+2OX京+25X*+30X^7=15(萬

64326416643264

元).

【素養(yǎng)達成】

一、素養(yǎng)落地

1.通過本節(jié)課的學習，進一步提升數(shù)學抽象及數(shù)據(jù)分析素養(yǎng).

2.求離散型隨機變量均值的步驟：

(1)確定離散型隨機變量X的取值；

(2)寫出分布列，并檢查分布列的正確與否；

(3)根據(jù)公式寫出均值.

3.若X,Y是兩個隨機變量，且丫=2乂+13,則E(Y)=aE(X)+b；如果一個隨機

變量服從兩點分布，可直接利用公式計算均值.

二、素養(yǎng)訓練

1.袋中有10個大小相同的小球，其中記為0號的有4個，記為n號的有n個

(n=l,2,3).現(xiàn)從袋中任取一球，X表示所取到球的標號，則E(X)等于()

3

A.2B.-

乙

解析由題意，可知X的所有可能取值為0,1,2,3.

2113

P(X=0)=-,P(X=1)=—,P(X=2)=-,P(X=3)=—

510510

/、2,1,1,37

E(X)=0XT4-1X—+2X-+3X—=-

5105105

答案D

2.拋擲一枚硬幣，規(guī)定正面向上得1分，反面向上得一1分，則得分X的均值

為()

1

A.0B.-

C.1D.-1

解析因為P(X=1)=],P(x=-1)=3，

所以由均值的定義得E(X)=M+(-1)x1=o.

答案A

3.若p為非負實數(shù)，隨機變量X的分布列為

X012

11

P

P2-P2

則E(X)的最小值為(

3

A.1B，2

2

C，3D.2

解析由p?0,〈一p?0,得OWpW4，貝IE(X)=〈一p+2X4="—p2L故選

A.

答案A

4.隨機拋擲一枚骰子，則所得骰子點數(shù)X的均值為

解析拋擲一枚骰子所得點數(shù)X的分布列為

X123456

]_工]_

P

666666

所以E(X)=1X/2X/3X/4X、+5X，+6XM(1+2+3+4+5+6)X(

_21_7

=~Q=2'

7

答案2

5.袋中有20個大小相同的球，其中記上0號的有10個，記上n號的有n(n=

1,2,3,4)個.現(xiàn)從袋中任取一球，X表示所取球的標號.

(1)求X的分布列、均值；

⑵若Y=aX+4,E(Y)=1,求a的值.

解（1）X的分布列為

X01234

J113

p

220To205

1[1313

X的均值E(X)=OX-+1X—+2X—+3X^T+4X-=-

ZZU1UZU0z

(2)E(Y)=aE(X)+4=l,

3

又E(X)=-,

3,

則nla?-+4=1,

a=-2.

【課后作業(yè)】

基礎(chǔ)達標

一、選擇題

1.已知離散型隨機變量X的分布列為

X-101

I]_

P

263

則E(2X+1)=()

11

A.5B-3

…L/、1111

解析VE(X)=-lX-+OX-+lX-=--.

.,.E(2X+1)=2E(X)+1=2x1

答案c

2.已知某一隨機變量X的分布列如下表所示，若E(X)=6.3,則a的值為()

Xa79

pb0.10.4

A.4B.5

C.6D.7

解析根據(jù)分布列的性質(zhì)可知b+0.1+0.4=1,所以b=0.5.又E(X)=a?0.5

+7X0.14-9X0.4=6.3,所以a=4.

答案A

3.設隨機變量X的分布列如下表，且E(X)=1.6,則a—b等于()

X0123

P0.1Ab0.1

A.0.2B.0.1

C.—0.2D.-0.4

解析由0.l+a+b+0.1=1,得a+b=0.8.

又由E(X)=0X0.1+1?a+2?b+3X0.1=1.6,

得a+2b=1.3,

解得a=O3,b=0.5,則a—b=—0.2.

答案C

4.某射擊運動員在比賽中每次擊中10環(huán)得1分，擊不中10環(huán)得0分.已知他

擊中10環(huán)的概率為0.8,則射擊一次得分X的期望是()

A.0.2B.0.8

C.1D.0

解析因為P(X=l)=0.8,P(X=0)=0.2,所以E(X)=lX0.8+0X0.2=0.8.

答案B

5.隨機變量X的可能取值為1,2,3,4,P(X=k)=ak+b(k=l,2,3,4),

E(X)=3,則a+b等于()

A.10B.5

11

C

-5D-TO

解析易知E(X)=1X(a+b)+2X(2a+b)+3X(3a+b)+4X(4a+b)=3,即

30a+10b=3.①

又(a+b)+(2a+b)+(3a+b)+(4a+b)=l,即10a+4b=L②

由①②，得a=七，b=0.

答案D

二、填空題

6.已知某一隨機變量X的分布列如下表：

X3b8

P0.20.5a

且E(X)=6,貝Ua=,b=.

解析由0.2+0.5+a=l,得a=0.3.又由E(X)=3X0.2+b?0.5+8?a=

6,得b=6.

答案0.36

7.某商場經(jīng)銷某商品，根據(jù)以往資料統(tǒng)計，顧客采用的付款期數(shù)X的分布列為

X1234

p0.50.20.20.1

商場經(jīng)銷一件該商品，采用1期付款，其利潤為100元；分2期或3期付款，

其利潤為150元；分4期付款，其利潤為200元.若Y表示經(jīng)銷一件該商品的

利潤，則E(Y)=元.

8.某人進行一項試驗，若試驗成功，則停止試驗；若試驗失敗，則再重新試驗

2

一次；若試驗3次均失敗，則放棄試驗.若此人每次試驗成功的概率均為十則

O

此人試驗次數(shù)X的均值是

解析試驗次數(shù)X的可能取值為1,2,3,

2

則p(x=D=于

o

/、122

P(X=2)=-X-=-,

00*7

/、112+1

P(X=3)=-x-x

oo33

所以X的分布列為

X123

22

P

399

“一/、2,2,113

所以E(X)=1X-+2X-+3X-=—

O*y*y

公-13

答案T

三、解答題

9.盒中裝有5節(jié)同品牌的五號電池，其中混有2節(jié)廢電池，現(xiàn)在無放回地每次

取一節(jié)電池檢驗，直到取到好電池為止.

求：（D抽取次數(shù)X的分布列；

⑵平均抽取多少次可取到好電池.

解（1）由題意知，X取值為1,2,3.

/、3

P(X=1)=-；

5

/、233

P(X=2)=-X-=-;

/、211

P(X=3)=-XZ=-

所以X的分布列為

X123

331

P

51010

331

（2）E（X）=1X-+2X—+3X—=1.5（次），

0It）1U

即平均抽取1.5次可取到好電池.

10.在有獎摸彩中，一期（發(fā)行10000張彩票為一期）有200個獎品是5元的，

20個獎品是25元的，5個獎品是100元的.在不考慮獲利的前提下，一張彩票

的合理價格是多少元？

解設一張彩票的中獎額為隨機變量X,顯然X的所有可能取值為0,5,25,

100.依題意，可得X的分布列為

X0525100

39111]

P

400505002000

391111

所以E(X)=ox^5o+5x^+25x^5o+ioox2000

=0.2（元），

所以一張彩票的合理價格是0.2元.

能力提升

11.某人有資金10萬元，準備用于投資經(jīng)營甲、乙兩種商品，根據(jù)統(tǒng)計資料:

投資甲獲利（萬元）23-1

概率0.40.30.3

投資乙獲利（萬元）14-2

概率0.60.20.2

那么他應該選擇經(jīng)營種商品.

解析投資甲項目獲利的期望E甲=2X0.4+3X0.3+（—1）X0.3=1.4,

投資乙項目獲利的期望E乙=1X0.6+4X0.2+（-2）X0.2=1.因為ET>E

乙故他應該選擇經(jīng)營甲種商品.

答案甲

12.如圖，將一個各面都涂了油漆的正方體，切割成125個同樣大小的小正方

體.經(jīng)過攪拌后，從中隨機取出一個小正方體，記它的涂油漆面數(shù)為X,求X

的分布列及均值.

解根據(jù)題意易知X=0,1,2,3.分布列如下:

X0123

2754368

p

125125125125

廣…，、27,54,36,81506

所義E(X)=°X高+1X近+2X近+3><這=該=稱

創(chuàng)新猜想

13.（多選題）設p為非負實數(shù)，隨機變量X的概率分布為:

X012

11

P

2-Pp2

則下列說法正確的是()

1~|3

A.pe0,-B.E(X)最大值為5

1]5

C-pe0,-D.E(X)最大值為5

[owJ—pWi,「1](1

解析由表可得j2從而得pe0,5,期望值E(x)=ox|j-pj+

〔OWpWl,L」

i13

1,p+2X-=p+l,當且僅當p=5時,E(X)M*(a=-

答案AB

14.(多空題)某射手射擊所得環(huán)數(shù)X的分布列如下:

X78910

pX0.10.3y

已知X的均值E(X)=8.9,則x的值為，y的值為

x+0.1+0.3+y=l,

解析由題意知

7x+8X0.l+9X0.3+10y=8.9,

解得y=0.4,x=0.2.

答案0.20.4

7.3離散型隨機變量的數(shù)字特征

第二課時離散型隨機變量的方差

課標要求素養(yǎng)要求

1.通過具體實例，理解離散型隨機變量

通過研究離散型隨機變量的方差，

的分布列及方差的概念.

進一步提升數(shù)學抽象及數(shù)據(jù)分析素

2.能計算簡單離散型隨機變量的方差，

養(yǎng).

并能解決一些實際問題.

【課前預習】

新知探究

A情境引入

甲、乙兩個工人生產(chǎn)同一產(chǎn)品，在相同的條件下，他們生產(chǎn)100件產(chǎn)品所出的

不合格產(chǎn)品數(shù)分別用X,Y表示，X,Y的分布列如下:

X0123

P0.60.20.10.1

Y0123

P0.50.30.20

?i

如何比較甲、乙兩人的技術(shù)？

問題情境中的問題，我們可以分別求出甲、乙兩人不合格品數(shù)的均值，但是

兩人的均值相等，我們應如何更準確地比較兩個工人的技術(shù)水平？

提示我們知道，當樣本平均值相差不大時，可以利用樣本方差考察樣本數(shù)據(jù)

與樣本平均值的偏離程度.

/口識梳理

1.離散型隨機變量的方差、標準差

正確求解隨機變量的方差的關(guān)鍵是正確求解分布列及其期望值

設離散型隨機變量X的分布列為

??????

XX1X2XiXn

??????

PP1P2PlPn

考慮X所有可能取值Xi與E(X)的偏差的平方(X1—E(X))2,(X-E(X))2,....

(x-E(X))2,因為X取每個值的概率不盡相同，所以我們用偏差平方關(guān)于取值

概率的加權(quán)平均，來度量隨機變量X取值與其均值E(X)的偏離程度，我們稱

:!2

D(X)=(X,—E(X))pi+(x2—E(X))'p2d----1-(x?—E(X))~p?=E(x；—E(X))Pi

1=1

為隨機變量X的方差,有時也記為Var(X),并稱、/D(X)為隨機變量X的標準

差，記為o(X).

2.幾個常見的結(jié)論

(l)D(aX+b)=a2D(X).

(2)若X服從兩點分布，則D(X)=p(l—p).

拓展深化

［微判斷］

1.離散型隨機變量的方差越大，隨機變量越穩(wěn)定.(X)

提示隨機變量的方差越小，隨機變量越穩(wěn)定.

2.若a是常數(shù)，則D(a)=O.(V)

3.離散型隨機變量的方差反映了隨機變量偏離于期望的平均程度.(J)

［微訓練］

1.若隨機變量X服從兩點分布，且成功的概率p=0.5,則E(X)和D(X)分別

為()

A.0.5和0.25B.0.5和0.75

C.1和0.25D.1和0.75

解析E(X)=p=0.5,D(X)=p(l—p)=0.5X0.5=0.25.

答案A

2.設隨機變量X的方差D(X)=l,則D(2X+1)的值為()

A.2B.3

C.4D.5

解析D(2X+1)=4D(X)=4X1=4.

答案C

［微思考］

離散型隨機變量的方差越大，隨機變量越穩(wěn)定還是方差越小越穩(wěn)定？

提示離散型隨機變量的方差越小隨機變量越穩(wěn)定.

【課堂互動】

題型一求離散型隨機變量的方差

角度1用定義求離散型隨機變量的方差

【例1】設離散型隨機變量X的分布列為

X1234

工]_]_

P

4364

則D(X)等于()

29121

A—B.—

L-144

解析由題意知，E(X)=1X1+2X-i+3X-i+4X1=-29＞故D(X)=((129

ZZ12

1179

x-+3-77X4=144-

答案C

角度2求兩點分布的方差

[例2]若某運動員投籃命中率p=0.8,則該運動員在一次投籃中命中次數(shù)

X的方差為,

解析依題意知：X服從兩點分布，

所以D(X)=0.8X(1-0.8)=0.16.

答案0.16

規(guī)律方法求離散型隨機變量的方差的類型及解決方法

(1)已知分布列型(非兩點分布)：直接利用定義求解，先求均值，再求方差.

(2)已知分布列是兩點分布：直接套用公式D(X)=p(l—p)求解.

(3)未知分布列型：求解時可先借助已知條件及概率知識求得分布列，然后轉(zhuǎn)化

成⑴中的情況.

【訓練1】袋中有大小相同的四個球，編號分別為1,2,3,4,每次從袋中

任取一個球，記下其編號.若所取球的編號為偶數(shù)，則把該球編號改為3后放

回袋中繼續(xù)取球；若所取球的編號為奇數(shù)，則停止取球.

(1)求“第二次取球后才停止取球”的概率；

(2)若第一次取到偶數(shù)，記第二次和第一次取球的編號之和為X,求X的分布列

和方差.

解(1)記“第二次取球后才停止取球”為事件A.

21

易知第一次取到偶數(shù)球的概率為彳=5，

第二次取球時袋中有三個奇數(shù)，

3

所以第二次取到奇數(shù)球的概率為力

而這兩次取球相互獨立,

、133

所以P(A)=-X-=-

Z4o

(2)若第一次取到2,則第二次取球時袋中有編號為1,3,3,4的四個球;

若第一次取到4,則第二次取球時袋中有編號為1,2,3,3的四個球.

所以X的可能取值為3,5,6,7,

所以P(X=3)=Jx；=J，

Z4：o

/12,113

P(X=5x)=-X-+-X-=-.

方差D(X)=(3—界x|+fs-ylx|+fe-^x|=|.

題型二方差的性質(zhì)的應用

【例3】已知隨機變量X的分布列為：

X01X

}_2

PP

23

2

若E(X)=-

⑴求D(X)的值；

(2)若Y=3X—2,求ND(Y)的值.

解由分布列的性質(zhì)，得＜+J+p=l,解得P=:，

236

/、1.1.12

VE(X)=0X-+1X-+-x=-,.\x=2.

乙ooo

(1)D(X)=

(2)VY=3X-2,.\D(Y)=D(3X-2)=9D(X)=5,

；.y/D(Y)=乖.

規(guī)律方法求隨機變量Y=aX+b方差的方法

求隨機變量Y=aX+b的方差，一種方法是先求Y的分布列，再求其均值，最后

求方差；另一種方法是應用公式D(aX+b)=a?D(X)求解.

【訓練2】設隨機變量X的分布列為

X-101

111

P

236

若Y=2X+2,則D(Y)等于()

15

A

3-B.9-

解析由題意知，E(X)=-1x]+0X[+lX，=-J,故D(X)—義；+

乙JOOIOyZJ

/、2/、2

|0+11x1+fl+||x|=|,D(Y)=D(2X+2)=4D(X)=4x1=^.

<3V376999

答案D

題型三均值與方差的綜合應用

【例4】有甲、乙兩種建筑材料，從中各取等量樣品檢查它們的抗拉強度如

T：

XA110120125130135

p0.10.20.40.10.2

XB100115125130145

p0.10.20.40.10.2

其中，X,”先分別表示甲、乙兩種材料的抗拉強度，在使用

時要求抗拉強度不低于120,試比較甲、乙兩種建筑材料的穩(wěn)定程度(哪一個的

穩(wěn)定性較好).

解E(XA)=110X0.1+120X0.2+125X0.4+130X0.1+135X0.2=125,

E(XB)=100X0.1+115X0.2+125X0.4+130X0.1+145X0.2=125,

22

D(XA)=0.IX(110—125T+0.2X(120-125)+0.4X(125-125)+0.IX(130

-125)2+0.2X(135—125)2=50,

222

D(XB)=0.IX(100-125)+0.2X(115-125)+0.4X(125-125)+0.IX(130

—125)2+0.2X(145—125)2=165.

由此可見E(XA)=E(XB),D(XA)<D(XB),

故兩種材料的抗拉強度的平均值相等，其穩(wěn)定程度材料乙明顯不如材料甲，即

甲的穩(wěn)定性好.

規(guī)律方法(1)均值體現(xiàn)了隨機變量取值的平均大小，在兩種產(chǎn)品相比較時，只

比較均值往往是不恰當?shù)?，還需比較它們的取值的離散程度，即通過比較方

差，才能準確地得出更恰當?shù)呐袛?

⑵離散型隨機變量的分布列、均值、方差之間存在著緊密的聯(lián)系，利用題目中

所給出的條件，合理地列出方程或方程組求解，同時也應注意合理選擇公式，

簡化問題的解答過程.

【訓練3】袋中有20個大小相同的球，其中記上0號的有10個，記上n號

的有n個(n=l,2,3,4).現(xiàn)從袋中任取一球，X表示所取球的標號.

(1)求X的方差；

⑵若Y=aX+b,E(Y)=1,D(Y)=11,試求a,b的值.

解(1)X的分布列為

X01234

]_1131

P

220To205

E/、1,11,31

則E(X)=OX-+1X—4-2X—+3X—+4X-=1.5.

ZZU1UZU0

1113

D(X)=(0-1.5)2X-+(1-1.5)2X—+(2-1.5)2X—+(3-1.5)2X—+(4-

乙乙UL乙U

、21

1.5)々=2.75.

(2)由D(Y)=a?D(X),得a??2.75=11,得2=±2.

又E(Y)=aE(X)+b,所以當a=2時，

由1=2X1.5+b,得b=-2；

當a=-2時，由1=一2義1.5+b,得b=4.

a=2,

所以《或即為所求.

、b=-2b=4

【素養(yǎng)達成】

一、素養(yǎng)落地

1.通過本節(jié)課的學習，進一步提升數(shù)學抽象及數(shù)據(jù)分析素養(yǎng).

2.隨機變量的方差和標準差都反映了隨機變量取值的穩(wěn)定與波動、集中與離散

的程度，以及隨機變量取值偏離于均值的平均程度.方差D(X)或標準差

(X)越小,則隨機變量取值偏離均值的平均程度越小，說明X的取值越集

中；方差D(X)或標準差亞瓦-越大，表明隨機變量取值偏離均值的平均程度

越大，說明X的取值越分散.

3.求離散型隨機變量X的均值、方差的步驟

(1)理解X的意義，寫出X的所有可能取值.

(2)求X取每一個值的概率.

⑶寫出隨機變量X的分布列.

(4)由均值、方差的定義求E(X),D(X).

特別地，若隨機變量服從兩點分布，可根據(jù)公式直接計算E(X)和D(X).

二、素養(yǎng)訓練

1.若離散型隨機變量X的標準差(X)為8,則隨機變量Y=2X—1的標準差

為()

A.8B.15

C.16D.32

解析(2X-1)=^/4D(X)=2^/D(X)=16.

答案C

2.設隨機變量X的分布列為

X123

1

PX

2y

若E(X)=/，則D(X)=()

O

A——33R——55

6464

79

r—D—

3232

15)

解析由隨機變量分布列的性質(zhì)得x+y=)由E(X)=Y~,得lX/2x+3y=

ZoZ

22

目15,解得x=,1y=：3，D(/X、)=((l-百15卜、/歸1一可1|5義、京1+(公3-155、卜§3=蕊55

答案B

3.有甲、乙兩種水稻，測得每種水稻各10株的分藤數(shù)據(jù)，計算出樣本均值

E(X甲)=E(X乙)，方差分別為D(X甲)=11,D(X乙)=3.4.由此可以估計()

A.甲種水稻比乙種水稻分薨整齊

B.乙種水稻比甲種水稻分窠整齊

C.甲、乙兩種水稻分廉整齊程度相同

D.甲、乙兩種水稻分窠整齊程度不能比較

解析由E（X甲）=E（X乙），D（X甲）〉D（X乙）知B正確.

答案B

4.已知離散型隨機變量X的分布列如下表所示，若E（X）=0,D（X）=1,則2=

解析由題意知〈

51

口案逐a

5.甲、乙兩人進行定點投籃游戲，投籃者若投中，則繼續(xù)投籃，否則由對方投

1Q

籃，第一次由甲投籃；已知每次投籃甲、乙命中的概率分別為i，T.

o4

（1）求第三次由乙投籃的概率;

⑵在前3次投籃中，乙投籃的次數(shù)為X,求X的分布列、期望及標準差.

解（1）設第