2021屆重慶市名校聯(lián)盟高三三模數(shù)學試題一、單選題1．若集合，則下列選項正確的是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)函數(shù)的定義域和值域分別求解出集合，由此判斷出正確的的選項.【詳解】因為中，所以，所以，又因為中，所以，所以，所以成立，故選：C.2．若復(fù)數(shù)滿足，其中i為虛數(shù)單位，則對應(yīng)的點(x，y)滿足方程（）A． B．C． D．【答案】B【分析】設(shè)，代入中，再利用模的運算，即可得答案.【詳解】設(shè)，代入得：.故選：B3．函數(shù)的部分圖象大致為（）A． B．C． D．【答案】D【分析】通過函數(shù)的奇偶性、區(qū)間上的函數(shù)值的符號確定正確選項.【詳解】因為函數(shù)的定義域為，且，所以函數(shù)為偶函數(shù)，排除B.由，可知當時，；當時，.所以D選項符合.故選：D【點睛】本小題主要考查函數(shù)圖象的識別，函數(shù)圖象的識別的方法主要根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性、特殊點來求解.4．孿生素數(shù)猜想是希爾伯特在1900年提出的23個問題中的第8個：存在無窮多個素數(shù)P，使得是素數(shù)，素數(shù)對稱為孿生素數(shù)，2013年華人數(shù)學家張益唐發(fā)表的論文《素數(shù)間的有界距離》第一次證明了存在無窮多組間距小于定值的素數(shù)對，那么在不超過16的素數(shù)中任意取出不同的兩個．可組成孿生素數(shù)的概率為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】先列出不超過16以內(nèi)的素數(shù)，然后利用列舉法寫出在這些素數(shù)中任取兩個構(gòu)成素數(shù)對的所有可能情況，得出為孿生素數(shù)的個數(shù)，然后計算其概率.【詳解】不超過16的素數(shù)有，，，，，，共個，任取兩個構(gòu)成素數(shù)對，則有：，，，，，，，，，，，，，，，共中取法，而是孿生素數(shù)的有，，，這三種取法，所以其概率為.故選：A.【點睛】方法點睛：本題考查古典概型及概率計算，一般可采用列舉法、列表法或樹狀圖法求解.5．已知的展開式中各項系數(shù)之和為0，則該展開式的常數(shù)項是（）A． B． C．9 D．10【答案】C【分析】根據(jù)的展開式中各項系數(shù)之和為0，令可得參數(shù)，再根據(jù)通項公式可求解.【詳解】的展開式中各項系數(shù)之和為0.令得，解得..則展開式的通項公式為：則展開式的常數(shù)滿足：則或，則該展開式的常數(shù)項是.故選：C.6．我國古代著名的數(shù)學專著《九章算術(shù)》有一段敘述：今有良馬與駑馬發(fā)長安至齊，行程一千一百二十五里，良馬初日行一百零三里，日減半里；駑馬初日行九十七里，日減半里，良馬先至齊，復(fù)還迎駑馬，則二馬（）日后相逢．A．10 B．11 C．12 D．13【答案】C【分析】根據(jù)題意通過已知條件轉(zhuǎn)化為兩個等差數(shù)列的前n項和為定值問題，進而計算可得結(jié)論．【詳解】由題可知，良馬每日行程構(gòu)成一個首項為103，公差的等差數(shù)列，駑馬每日行程構(gòu)成一個首項為97，公差為的等差數(shù)列，則，，則數(shù)列與數(shù)列的前n項和為，又數(shù)列的前n項和為，數(shù)列的前n項和為，，整理得：，當時，，當時，，所以大12日相逢．故選:C．7．己知雙曲線的左右焦點為，虛軸長為，若其漸近線上橫坐標為1的點P恰好滿足，則雙曲線的離心率為（）A．2 B． C．4 D．【答案】A【分析】先求得的值，利用一條漸近線方程求得點坐標，然后利用數(shù)量積得，結(jié)合求得離心率.【詳解】解：虛軸長為，得，設(shè)一條漸近線，則，，又，解得，故，故選：A.8．若關(guān)于的不等式對一切正實數(shù)恒成立，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】構(gòu)造函數(shù)，將原不等式轉(zhuǎn)化為求解函數(shù)的最小值，通過導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性研究函數(shù)的最值，得到，再利用基本不等式進行求解即可．【詳解】解：設(shè)，則對一切正實數(shù)恒成立，即，由，令，則恒成立，所以在上為增函數(shù)，當時，，當時，，則在上，存在使得，當時，，當時，，故函數(shù)在上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增，所以函數(shù)在處取得最小值為，因為，即，所以恒成立，即，又，當且僅當，即時取等號，故，所以．故選：C．【點睛】方法點睛：不等式恒成立問題常見方法：①分離參數(shù)恒成立(即可)或恒成立（即可）；②數(shù)形結(jié)合(圖象在上方即可)；③討論最值或恒成立；④討論參數(shù).二、多選題9．空氣質(zhì)量指數(shù)大小分為五級，指數(shù)越大說明污染的情況越嚴重，對人體危窖越大，指數(shù)范圍在；對應(yīng)“優(yōu)”?“良”?“輕度污塊"?“中度污染”?“重度污染”五個等級，下面是某市連續(xù)14天的空氣質(zhì)量指數(shù)變化趨勢圖，下列說法中正確的是（）A．從2日到5日空氣質(zhì)量越來越好B．這14天中空氣質(zhì)量指數(shù)的極差為195C．這14天中空氣質(zhì)量指數(shù)的中位數(shù)是103.5D．這14天中空氣質(zhì)量指數(shù)為“良”的頻率為【答案】BC【分析】觀察折線圖，可知ABD的正誤，把每天的空氣指數(shù)從低到高排列，計算中位數(shù)，可判斷C選項.【詳解】從2日到5日空氣質(zhì)量指數(shù)越來越高，故空氣質(zhì)量越來越差，故A不對；這14天中空氣質(zhì)量指數(shù)的極差為，故B正確；14天空氣質(zhì)量指數(shù)由小到大排列，中間為86，121，故中位數(shù)為：，故C正確；14天中有：1日，3日，12日，13日空氣質(zhì)量指數(shù)為良，共4天，所以空氣質(zhì)量指數(shù)為“良”的頻率為，故D不對；故選：BC10．定義在實數(shù)集的函數(shù)的圖象的一個最高點為，與之相鄰的一個對稱中心為，將的圖象向右平移個單位長度得到函數(shù)的圖象，則（）A．的振幅為B．的頻率為C．的單調(diào)遞增區(qū)間為D．在上只有一個零點【答案】AD【分析】先根據(jù)余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，求得的解析式，再結(jié)合三角函數(shù)的圖象變換，求得函數(shù)的解析式，再結(jié)合余弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，即可求解.【詳解】由題意，可得，所以，可得，所以，所以函數(shù)的振幅為3，故A正確；函數(shù)的頻率為，故B錯誤；因為，所以，因為，所以，即，所以，令，可得，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，而選項C只是其中一個單調(diào)遞增區(qū)間，故C錯誤；由，解得，所以函數(shù)在上只有一個零點.故選：AD【點睛】關(guān)鍵點睛：本題主要考查了三角函數(shù)的圖象變換，以及三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，其中解答中熟記三角函數(shù)的圖象變換，以及熟練應(yīng)用三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解答的關(guān)鍵.11．是定義在上周期為4的函數(shù)，且，則下列說法中正確的是（）A．的值域為B．當時，C．圖象的對稱軸為直線D．方程恰有5個實數(shù)解【答案】ABD【分析】畫出的部分圖象結(jié)合圖形分析每一個選項即可.【詳解】根據(jù)周期性，畫出的部分圖象如下圖所示，由圖可知，選項A，D正確，C不正確；根據(jù)周期為，當時，，故B正確.故選：ABD.12．如圖，矩形ABCD中，M為BC的中點，將沿直線AM翻折成，連結(jié)，N為的中點，則在翻折過程中，下列說法中所有正確的是（）A．存在某個位置，使得B．翻折過程中，CN的長是定值C．若，則D．若，當三棱錐的體積最大時，三棱錐的外接球的表面積是4π【答案】BD【分析】取AD中點E，連接EC交MD與F，根據(jù)EN⊥CN可判斷A；由∠NEC＝∠MAB1（定值），結(jié)合余弦定理可判斷B；取AM中點O，連接B1O，DO，由線面垂直的性質(zhì)可得OD⊥AM，即AD＝MD，進而判斷C；由題意得AD中點是三棱錐B1﹣AMD的外接球的球心時，體積最大，即求.【詳解】解：對于A：如圖1，取AD中點E，連接EC交MD與F，則NEAB1，NFMB1，如果CN⊥AB1，可得到EN⊥NF，又EN⊥CN，且三線NE，NF，NC共面共點，不可能，故A錯誤．對于B：如圖1，可得由∠NEC＝∠MAB1（定值），（定值），（定值），由余弦定理可得，∴NC是定值，故B正確．對于C：如圖2，取AM中點O，連接B1O，DO，由題意得AM⊥面ODB1，即可得OD⊥AM，從而AD＝MD，由題意不成立，可得C錯誤．對于D：當平面B1AM⊥平面AMD時，三棱錐B1﹣AMD的體積最大，由題意得AD中點就是三棱錐B1﹣AMD的外接球的球心，球半徑為1，表面積是4π，故D正確．故選：BD．三、填空題13．已知，則的值是__________．【答案】【詳解】∵，∴而故答案為點睛：1．利用sin2＋cos2＝1可以實現(xiàn)角的正弦、余弦的互化，利用＝tan可以實現(xiàn)角的弦切互化．2．應(yīng)用公式時注意方程思想的應(yīng)用：對于sin＋cos，sincos，sin－cos這三個式子，利用(sin±cos)2＝1±2sincos，可以知一求二．3．注意公式逆用及變形應(yīng)用：1＝sin2＋cos2，sin2＝1－cos2，cos2＝1－sin2.14．已知，且滿足，則的最小值為__________.【答案】4【分析】由指數(shù)的運算得出，再由結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)得出最值.【詳解】由可得，即故答案為：15．已知拋物線C：的焦點為F，點M(x0，2),()是拋物線C上一點，以點M為圓心的圓與直線x＝交于E，G兩點，若sin∠MFG＝，則拋物線C的方程是______.【答案】y2=4x【分析】根據(jù)點在拋物線上和，列方程組可解得和，即可得出拋物線的方程.【詳解】如下圖所示，作，垂足為由題意知點M(x0，2),()是拋物線C上一點，則①，由拋物線的定義，可知，因為，所以，，所以，解得②，由①②解得（舍去）或，故拋物線的方程為．故答案為：.【點睛】本題考查拋物線的定義，利用拋物線的定義進行線段的轉(zhuǎn)化是關(guān)鍵，考查方程思想的應(yīng)用，屬于中檔題.16．在三棱錐中，，二面角的大小為，在側(cè)面內(nèi)(含邊界)有一動點，滿足到的距離與到平面的距離相等，則動點的軌跡的長度為__________．【答案】【分析】如圖，先作出二面角的平面角，進而得到，再建立如圖所示的平面直角坐標系，可得直線的方程為，從而求出的軌跡的長度．【詳解】解：如圖，過作于，平面于，過作于，連接，則為二面角的平面角，由，得．又，所以，在中，以所在直線為軸，所在直線為軸建立平面直角坐標系，則直線的方程為，直線的方程為，所以直線與的交點坐標為，所以的軌跡為線段，長度為．故答案為：．【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題關(guān)鍵為利用二面角得出結(jié)論后建立平面直角坐標系求解，方法比較少見，利用直角坐標系求得直線的方程后順利求得直線與的交點坐標，將問題轉(zhuǎn)化為求線段得長度，問題解決.四、解答題17．在①，②，③，這三個條件中任選一個，補充在下面的問題中，并解決該問題.已知的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，_________，，.（1）求角B；（2）求的面積.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）選①，直接利用余弦定理即可求解，選②，利用正弦定理可得求解即可，選③，利用輔助角公式化簡求解即可；（2）由正弦定理求出，直接利用三角形面積公式求解.【詳解】若選擇①，（1）由余弦定理，因為，所以.（2）由正弦定理得，因為，所以，所以，所以.若選擇②.（1）由正弦定理得，因為，所以，因為，所以；（2）由正弦定理得，因為，所以，所以，所以.若選擇③，（1）由和角公式得，所以.因為，所以，所以，所以；（2）由正弦定理得，因為，所以，所以，所以.【點睛】本題主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面積公式，三角恒等變換，考查了推理運算能力，屬于中檔題.18．已知數(shù)列的前項和為，且滿足．（1）求數(shù)列的通項公式：（2）設(shè)，數(shù)列的前項和為，求證：．【答案】（1）；（2）證明見解析．【分析】（1）利用，求得數(shù)列的通項公式.（2）求得數(shù)列的通項公式，進而利用裂項求和法求得，結(jié)合數(shù)列的單調(diào)性證得.【詳解】（1）解：，令，解得時，兩式相減，得數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列，所以；（2）證明單調(diào)遞增，所以1即19．如圖，四棱錐中，，，.（1）求證：平面；（2）若，且，平面平面，，求直線與平面所成的角.【答案】（1）證明見解析；（2）.【分析】（1）取線段的靠近的三等分點為，連接，，則，所以且，再結(jié)合已知可證得四邊形為平行四邊形，從而有，然后利用線面平行的判定定理可證得結(jié)論；（2）取中點為，連接，過作交于，可證得直線，，兩兩垂直，所以以為原點，分別以射線，，的方向為，，軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標系，然后利用空間向量求直線與平面所成的角.【詳解】（1）如圖，取線段的靠近的三等分點為，連接，.則，所以且.又且,所以四邊形為平行四邊形.所以.又平面，平面，所以平面.（2）如圖，取中點為，連接，過作交于.因為平面平面，，由面面垂直的性質(zhì)定理可知，平面.所以直線，，兩兩垂直，以為原點，分別以射線，，的方向為，，軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標系.則，，，.所以，，.設(shè)平面的法向量為，則取，得.所以，所以直線與平面所成的角為45°.【點睛】此題考查了線面平行的證明，求直線與平面所成的角，考查了空間想象能力和計算能力，屬于中檔題.20．近年來，國資委.黨委高度重視扶貧開發(fā)工作，堅決貫徹落實中央扶貧工作重大決策部署，在各個貧困縣全力推進定點扶貧各項工作，取得了積極成效，某貧困縣為了響應(yīng)國家精準扶貧的號召，特地承包了一塊土地，已知土地的使用面積以及相應(yīng)的管理時間的關(guān)系如下表所示：土地使用面積（單位：畝）管理時間（單位：月）并調(diào)查了某村名村民參與管理的意愿，得到的部分數(shù)據(jù)如下表所示：愿意參與管理不愿意參與管理男性村民女性村民求出相關(guān)系數(shù)的大小，并判斷管理時間與土地使用面積是否線性相關(guān)？若以該村的村民的性別與參與管理意愿的情況估計貧困縣的情況，則從該貧困縣中任取人，記取到不愿意參與管理的男性村民的人數(shù)為，求的分布列及數(shù)學期望.參考公式：，參考數(shù)據(jù)：，，【答案】，管理時間與土地使用面積線性相關(guān)；分布列見解析，.【分析】，，故，，，進而求出，即可得出結(jié)論；的可能取值為，，，，從該貧困縣中隨機抽取一名，則取到不愿意參與管理的男性村民的概率為，由此能求出的分布列及數(shù)學期望.【詳解】解：依題意：，故，則，故管理時間與土地使用面積線性相關(guān).依題意，的可能取值為，，，，從該貧困縣中隨