第一單元充要條件（單元測試）一、選擇題（每小題4分，共40分）1．如果一條直線與兩個平行平面中的一個平行，那么這條直線與另一個平面的位置關系為（

）A．平行 B．直線在平面內C．相交或直線在平面內 D．平行或直線在平面內【答案】D【分析】分別討論直線是否在其中的一個平面內，結合平行的傳遞性和面面平行的性質即可求解.【詳解】設這兩個平面為，，直線，且，如果，由，，可得，即直線平行于另一個平面；如果，由可知，，滿足題意，則直線可以在另一個平面內.故選：D.2．已知空間中兩個角，，且角與角的兩邊分別平行，若，則（

）A．30° B．150° C．30°或150° D．60°或120°【答案】C【分析】由于角與角的兩邊分別平行，所以角與角相等或互補，從而可求得的值【詳解】∵角與角的兩邊分別平行，∴與相等或互補，又，∴或150°.故選：C3．在長方體中，，，，則和所成的角是（

）A．60° B．45° C．30° D．90°【答案】A【分析】根據(jù)可知即為和所成的角.【詳解】如圖所示：易知，所以和所成的角，即為和所成的角，在中，，所以.即和所成的角是.故選：A4．若直線不平行于平面，且，則下列說法正確的是（

）A．內存在一條直線與平行 B．內不存在與平行的直線C．內所有直線與異面 D．內所有直線與相交【答案】B【分析】根據(jù)線面位置關系逐一分析即可.【詳解】若內存在一條直線與平行，則由和線面平行判定定理可知，與已知矛盾，故內不存在直線與平行，A錯誤，B正確；記，當內直線a過點A，則與a相交，C錯誤；當內直線b不過點A，則與b異面，D錯誤.故選：B

5．空間中，，是兩條不同直線，是平面，有下列四個命題：①若，，則；②若，，則；③若，，則；④若，，則．則正確的命題個數(shù)是（

）A．3 B．2 C．1 D．0【答案】B【分析】由空間中的線面平行、垂直的判定和性質分析判斷即可【詳解】①若，，則直線和可能平行，還可能相交或異面，所以①錯誤，②若，，則與無交點，所以或與為異面直線，所以②錯誤，③當，時，由線面垂直的性質可得，所以③正確，④當，時，由線面垂直的判定可得，所以④正確，故選：B．6．如圖，在正方體中，異面直線AC與所成的角為（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】由異面直線所成角的概念求解，【詳解】由題意，正方體中得，故異面直線AC與所成的角，即正方形對角線與的夾角，故選：D7．如圖所示，在正方體中，下列直線與垂直的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由平行關系可確定的垂線即為的垂線，由此可確定結果.【詳解】四邊形為正方形

故選：【點睛】本題考查異面直線垂直的判斷，關鍵是明確通過平行關系將異面直線所成角的問題轉化為相交直線所成角的問題.8．已知是兩條直線，是一個平面，則下列判斷正確的是（

）A．則B．則C．，則D．，則【答案】D【分析】利用線面關系的性質定理和判定定理對選項分別分析即得．【詳解】對于A，則，故A錯誤；對于B，則或者異面，故B錯誤；對于C，，則與位置關系不確定，故C錯誤；對于D，滿足線面平行的判定定理，故D正確．故選：D．9．若、是兩個不重合的平面，①若內的兩條相交直線分別平行于內的兩條直線，則；②設、相交于直線，若內有一條直線垂直于，則；③若外一條直線與內的一條直線平行，則.以上說法中成立的有（

）個.A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【分析】根據(jù)平面與平面平行的判定定理，平面與平面垂直的判定定理，直線與平面平行的判定定理可依次判斷得解.【詳解】對①，面內有兩條相交直線分別平行于面內兩條直線，可得這兩條相交直線均平行于面，由平面與平面平行的判定定理可知①正確；對②，根據(jù)平面與平面垂直的判定定理，一個平面經過另一個平面的垂線可得平面與平面垂直，②錯誤；對③，根據(jù)直線與平面平行的判定定理可知③正確.故選：C.10．在空間中，設m，n為兩條不同的直線，為一個平面，下列條件可判定的是（

）A．， B．， C．， D．，且【答案】C【分析】根據(jù)空間線線、線面位置關系有關知識對選項進行分析，從而確定正確答案.【詳解】A選項，當，時，，所以A選項錯誤.B選項，當，時，可能平行，所以B選項錯誤.C選項，當，時，，所以C選項正確.D選項，當，且時，可能平行，所以D選項錯誤.故選：C二、填空題（每小題4分，共20分）11．已知直線平面于，直線，則與平面的關系是．【答案】【分析】假設，然后利用已知證明假設不成立即可.【詳解】假設，記由NP，MN確定的平面為，因為平面，，所以，又，則在平面內，過點N存在兩條直線與已知直線垂直（矛盾），所以假設不成立，故.故答案為：12．如圖所示，已知AF⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，且，則.【答案】6【分析】根據(jù)題意結合線面垂直的性質分析求解.【詳解】∵AF⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，則AF//DE，又∵，則四邊形AFED為平行四邊形，∴.故答案為：6.13．空間中，下列命題正確的是（填序號）①若∥，∥，則∥②若∥，∥，?，?，則∥③若∥，∥，則∥④若∥，?，則∥【答案】④【分析】根據(jù)線面平行的性質和判定逐個分析判斷即可【詳解】對于①，可以在內，①錯；對于②，當，相交時才能有∥，②錯；對于③，可能在內，③錯；對于④，由面面平行的性質知，④正確．故答案為：④14．若，則兩直線a與b的位置關系是.【答案】相交、平行或異面【分析】根據(jù)線面平行的性質定理判斷可得；【詳解】解：因為，所以直線a與b的位置關系為：相交、平行或異面故答案為：相交、平行或異面15．在正方體中，M，N分別為棱，的中點，則異面直線BN與AM所成角的余弦值為.【答案】/【分析】根據(jù)異面直線夾角得概念結合圖形分析可得或其補角為異面直線BN與AM所成的角，利用勾股定理可得，，結合余弦定理運算求解．【詳解】設正方體的棱長為a，如圖，連接，，易知，所以或其補角為異面直線BN與AM所成的角.則，，，所以.故答案為：．三、解答題（共6小題，共60分）16．如圖，四棱錐的底面為正方形，E為PB的中點.證明：平面.

【答案】證明見解析【分析】作出輔助線，由中位線得到線線平行，進而得到線面平行.【詳解】連接，交于，連接，因為底面為正方形，所以為的中點，

因為E為PB的中點，所以是的中位線，所以，因為平面，平面，所以平面.17．如圖，已知長方體中，，，．

(1)BC和所成的角是多少度？(2)和BC所成的角是多少度？【答案】(1)(2)【分析】（1）確定是異面直線與所成的角，在中根據(jù)長度關系得到答案；（2）確定是異面直線和BC所成的角，則得到答案.【詳解】（1）因為，所以是異面直線與所成的角，在中，，，所以.故異面直線和所成的角是.（2）因為，則和BC所成的角即為，顯然，則和BC所成的角是.18．如圖,在四棱錐P－ABCD中,四邊形ABCD是菱形,PA=PC,E為PB的中點．求證:(1)平面AEC;(2)平面AEC⊥平面PBD．【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【分析】(1)設,連接,根據(jù)中位線可得,再根據(jù)線面平行的判定定理即可證明;(2)根據(jù)可得,根據(jù)四邊形為菱形,可得,再根據(jù)線面垂直的判斷定理可得平面,再根據(jù)面面垂直的判定定理即可得出結果.【詳解】（1）設,連接,如圖所示:因為O,E分別為,的中點,所以,又因為平面,平面,所以平面．（2）連接,如圖所示:因為,為的中點,所以,又因為四邊形為菱形,所以,因為平面,平面,且,所以平面,又因為平面,所以平面平面．19．在三棱錐中，分別為的中點，且.(1)證明：平面；(2)若平面平面，證明：.【答案】(1)證明見解析；(2)證明見解析.【分析】（1）由中位線定理，可得，再根據(jù)線面平行的判定定理，即可證明結果．（2）由題意可證，再根據(jù)面面垂直的性質定理，可證平面，由此即可證明結果．【詳解】（1）證明:因為，分別為，的中點，所以，又平面，平面，所以平面；（2）證明：因為，為的中點，，又平面平面平面平面，所以平面又平面.所以.20．如圖，在矩形中，，，沿對角線把△折起，使點移到點，且在平面內的射影恰好落在上．（1）求證：平面平面；（2）求二面角的余弦值．【答案】（1）證明見解析；（2）.【分析】（1）由題意易知，根據(jù)線面垂直的判定可得平面，再由面面垂直的判定證平面平面．（2）由（1）結合勾股逆定理知，根據(jù)線面垂直的判定有面，有是二面角的平面角，即可求余弦值.【詳解】（1）證明：在平面內的射影恰好落在上，即為在面上的射影，而，所以，∵，，∴平面，又平面，∴平面平面．（2）由（1）知：，在中，有，即，∴，又，，即面，∴二面角的平面角是，∴，∴二面角的余弦值是．21．如圖，S為圓錐頂點，O是圓錐底面圓的圓心，AB、CD為底面圓的兩條直徑，，且，，P為SB的中點.