訓練目標(1)絕對值不等式的解法；(2)利用絕對值不等式求最值；(3)絕對值不等式的綜合應用.訓練題型(1)求絕對值不等式的解集；(2)求含絕對值的函數(shù)的最值；(3)求參數(shù)的取值范圍.解題策略(1)絕對值不等式的三種常用解法：零點分段法，數(shù)形結(jié)合法，構(gòu)造函數(shù)法；(2)利用絕對值三角不等式定理|a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|求函數(shù)最值；(3)不等式恒成立問題、存在性問題都可以轉(zhuǎn)化為最值問題解決.一、選擇題1．不等式|2x－1|<3的解集為()A．(－1,2) B．(1,2)C．(－1,1) D．(－2,2)2．若不等式|x＋eq\f(1,x)|>|a－2|＋1對于一切非零實數(shù)x均成立，則實數(shù)a的取值范圍是()A．(1,3) B．(1，＋∞)C．(－∞，3) D．(－∞，1)3．已知關于x的不等式|x－a|＋1－x>0的解集為R，則實數(shù)a的取值范圍是()A．[1，＋∞) B．(1，＋∞)C．(－∞，1] D．(－∞，1)二、填空題4．不等式x|x－4|－3<0的解集為________________．5．若不等式|3x－b|<4的解集中的整數(shù)有且僅有1,2,3，則b的取值范圍為________．6．若不等式|2x－1|＋|x＋2|≥a2＋eq\f(1,2)a＋2對任意實數(shù)x恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是________．7．已知函數(shù)f(x)＝m－|x＋2|，m∈R，且f(x－2)≥0的解集為[－1,1]，則m＝________.8．設a＋b＝2，b>0，則當a＝________時，eq\f(1,2|a|)＋eq\f(|a|,b)取得最小值．三、解答題9．設f(x)＝x2－x＋14，且|x－a|<1，求證：|f(x)－f(a)|<2(|a|＋1)．10．已知函數(shù)f(x)＝|x＋a|＋|x－2|.(1)當a＝－3時，求不等式f(x)≥3的解集；(2)若f(x)≤|x－4|的解集包含[1,2]，求a的取值范圍．答案解析1．解(1)令t＝eq\r(x－1)≥0，則x＝t2＋1.所以y＝eq\f(t,t2＋1＋3＋t)＝eq\f(t,t2＋t＋4).當t＝0，即x＝1時，y＝0.當t>0，即x>1時，y＝eq\f(1,t＋\f(4,t)＋1)，因為t＋eq\f(4,t)≥2eq\r(4)＝4(當且僅當t＝2時取等號)，所以y＝eq\f(1,t＋\f(4,t)＋1)≤eq\f(1,5)，即y的最大值為eq\f(1,5)(當t＝2，即x＝5時取得最大值)．所以t>0時，y∈(0，eq\f(1,5)]．所以y∈[0，eq\f(1,5)]．(2)令t＝x－1，故x＝t＋1，因為x>1，所以t>0.則函數(shù)f(x)可化為y＝(t＋1)＋eq\f((t＋1)2＋1,t)＝2t＋eq\f(2,t)＋3，因為t>0，所以2t＋eq\f(2,t)≥2eq\r(2t×\f(2,t))＝4，當且僅當2t＝eq\f(2,t)，即t＝1，x＝2時取等號．所以2t＋eq\f(2,t)＋3≥4＋3＝7，即函數(shù)f(x)的最小值為f(2)＝7.2．證明因為a，b，c都是正數(shù)，所以eq\f(a,bc)＋eq\f(b,ca)＝eq\f(1,c)(eq\f(a,b)＋eq\f(b,a))≥eq\f(2,c).同理可得eq\f(b,ca)＋eq\f(c,ab)≥eq\f(2,a)，eq\f(c,ab)＋eq\f(a,bc)≥eq\f(2,b)，將上述三個不等式兩邊分別相加，并除以2，得eq\f(a,bc)＋eq\f(b,ca)＋eq\f(c,ab)≥eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＋eq\f(1,c).3．解(1)當0<x<80，x∈N*時，L(x)＝eq\f(500×1000x,10000)－eq\f(1,3)x2－10x－250＝－eq\f(1,3)x2＋40x－250；當x≥80，x∈N*時，L(x)＝eq\f(500×1000x,10000)－51x－eq\f(10000,x)＋1450－250＝1200－(x＋eq\f(10000,x))，∴L(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)x2＋40x－250(0<x<80，x∈N*)，,1200－(x＋\f(10000,x))(x≥80，x∈N*).))(2)當0<x<80，x∈N*時，L(x)＝－eq\f(1,3)(x－60)2＋950，∴當x＝60時，L(x)取得最大值L(60)＝950.當x≥80，x∈N*時，L(x)＝1200－(x＋eq\f(10000,x))≤1200－2eq\r(x·\f(10000,x))＝1200－200＝1000，∴當x＝eq\f(10000,x)，即x＝100時，L(x)取得最大值L(100)＝1000>950.綜上所述，當x＝100時，L(x)取得最大值1000，即年產(chǎn)量為100千件時，該廠在這一商品的生產(chǎn)中所獲利潤最大．4．解(1)由題設知：|x－1|＋|x＋2|>7，不等式的解集是以下不等式組解集的并集：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≥1,x－1＋x＋2>7))，或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－2<x<1,－x＋1＋x＋2>7))，或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≤－2,－x＋1－x－2>7))，解得函數(shù)f(x)的定義域為(－∞，－4)∪(3，＋∞)．(2)不等式f(x)≥3即|x－1|＋|x＋2|≥a＋8，∵x∈R時，恒有|x－1|＋|x＋2|≥|(x－1)－(x＋2)|＝3，不等式|x－1|＋|x＋2|≥a＋8解集是R，∴a＋8≤3∴a的取值范圍是(－∞，－5]．5．解(1)當t＝－1時，f(x)≤g(x)，即lg(x＋1)≤2lg(2x－1)，此不等式等價于eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋1>0，,2x－1>0，,x＋1≤(2x－1)2，))解得x≥eq\f(5,4).所以原不等式的解集為{x|x≥eq\f(5,4)}．(2)因為當x∈[0,1]時，f(x)≤g(x)恒成立，所以x∈[0,1]時，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋1>0，,2x＋t>0，,x＋1≤(2x＋t)2))恒成立，所以x∈[0,1]時，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋1>0，,t>－2x，,t≥－2x＋\r(x＋1)))恒成立，即x∈[0,1]時，t≥－2x＋eq\r(x＋1)恒成立，于是轉(zhuǎn)化為求－2x＋eq\r(x＋1)(x∈[0,1])的最大值問題．令u＝eq\r(x＋1)，則x＝u2－1，由x∈[0,1]，知u∈[1，eq\r(2)]．所以－2x＋eq\r(x＋1)＝－2(u2－1)＋u＝－2(u－eq\f(1,4))2＋eq\f(17,8)，當u＝1，即x＝0時，－2x＋eq\r(x＋1)有最大值1.所以t的取值范圍是[1，＋∞)．沁園春·雪<毛澤東>北國風光，千里冰封，萬里雪飄。望長城內(nèi)外，惟余莽莽；大河上下，頓失滔滔。山舞銀蛇，原馳蠟象，欲與