第一章綜合測試考試時間120分鐘，滿分150分．一、單項選擇題(本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的)1．已知A＝{1，2，3}，B＝{x|1<x<5}，則(C)A．A∈B B.A?BC．A∩B＝{2，3} D.A∩B＝{x|1<x≤3}[解析]依據(jù)集合與元素的概念可得A選項錯誤；∵1?B，所以A?B不成立，B選項錯誤；依據(jù)集合間的運算可得A∩B＝{2，3}，所以C選項正確，D選項錯誤；故選C.2．命題“?x>0，x2－2x＋1>0”的否定是(A)A．?x>0，x2－2x＋1≤0B．?x>0，x2－2x＋1≤0C．?x≤0，x2－2x＋1≤0D．?x≤0，x2－2x＋1≤0[解析]含有量詞的命題的否定，一改量詞將“?”改為“?”，二否結(jié)論將“>”改為“≤”，條件不變，故選A.3．設(shè)a∈R，則a>3是|a|>3的(D)A．既不充分也不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．充分不必要條件[解析]由“a>3”能推出“|a|>3”，充分性成立；反之由|a|>3無法推出a>3，必要性不成立．故選D.4．已知集合A＝{x∈R|x2＋x－6＝0}，B＝{x∈R|ax－1＝0}，若B?A，則實數(shù)a的值為(D)A．eq\f(1,3)或－eq\f(1,2) B．－eq\f(1,3)或eq\f(1,2)C．eq\f(1,3)或－eq\f(1,2)或0 D．－eq\f(1,3)或eq\f(1,2)或0[解析]A＝{－3,2}，∵B?A，∴－3∈B或2∈B或B＝?；∴－3a－1＝0，或2a－1＝0或a＝0.∴a＝－eq\f(1,3)或eq\f(1,2)或0.故選D.5．已知m，n∈R，則“eq\f(m,n)－1＝0”是“m－n＝0”成立的(A)A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件[解析]由eq\f(m,n)－1＝0得eq\f(m,n)＝1，得m＝n，m－n＝0，即充分性成立；當(dāng)m＝n＝0時，滿意m－n＝0，但eq\f(m,n)－1＝0無意義，即必要性不成立，即“eq\f(m,n)－1＝0”是“m－n＝0”成立的充分不必要條件，故選A.6．集合{y∈N|y＝－x2＋6，x∈N}的真子集的個數(shù)是(C)A．9 B．8C．7 D．6[解析]x＝0時，y＝6；x＝1時，y＝5；x＝2時，y＝2；x＝3時，y＝－3.所以{y∈N|y＝－x2＋6，x∈N}＝{2,5,6}共3個元素，其真子集的個數(shù)為23－1＝7個，故選C.7．命題“?n∈N，f(n)∈N且f(n)>n”的否定形式是(C)A．?n∈N，f(n)?N且f(n)≤nB．?n∈N，f(n)?N且f(n)>nC．?n∈N，f(n)?N或f(n)≤nD．?n∈N，f(n)?N或f(n)>n[解析]命題“?n∈N，f(n)∈N且f(n)>n”的否定形式是?n∈N，f(n)?N或f(n)≤n，故選C.8．已知全集U＝R，M＝{x|x<－1}，N＝{x|x(x＋2)<0}，則圖中陰影部分表示的集合是(A)A．{x|－1≤x<0}B．{x|－1<x<0}C．{x|－2<x<－1}D．{x|x<－1}[解析]題圖中陰影部分為N∩(?UM)，因為M＝{x|x<－1}，所以?UM＝{x|x≥－1}，又N＝{x|x(x＋2)<0}＝{x|－2<x<0}，所以N∩(?UM)＝{x|－1≤x<0}．故選A.二、多項選擇題(本大題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個選項中，有多個選項符合題目要求，全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得2分)9．下列命題中，是全稱量詞命題的有(BC)A．至少有一個x使x2＋2x＋1＝0成立B．對隨意的x都有x2＋2x＋1＝0成立C．對隨意的x都有x2＋2x＋1＝0不成立D．存在x使x2＋2x＋1＝0成立[解析]A和D中用的是存在量詞“至少有一個”“存在”，屬存在量詞命題，B和C用的是全稱量詞“隨意的”，屬全稱量詞命題，所以B、C是全稱量詞命題．故選BC.10．以下滿意{0，2，4}?A{0，1，2，3，4}的集合A有(AC)A．{0，2，4} B.{0，1，3，4}C.{0，1，2，4} D.{0，1，2，3，4}[解析]由題意可知，集合A包含集合{0，2，4}，同時又是集合{0，1，2，3，4}的真子集，則全部符合條件的集合A為{0，2，4}，{0，1，2，4}，{0，2，3，4}．選項BD均不符合要求，解除．故選AC.11．下列命題中真命題的是(AB)A．“a>b>0”是“a2>b2”的充分條件B．“a>b”是“3a>3b”的充要條件C．“a>b”是“|a|>|b|”的充分條件D．“a>b”是“ac2≤bc2”的必要條件[解析]當(dāng)a>b>0時a2>b2，A正確；B正確；對于C，當(dāng)a＝1，b＝－2時，滿意a>b，但|a|<|b|，故C不正確；對于D，“a>b”與“ac2≤bc2”沒有關(guān)系，不能相互推出，因此不正確．故選AB.12．設(shè)全集為U，在下列選項中，是B?A的充要條件的有(BCD)A．A∪B＝B B．(?UA)∩B＝?C．(?UA)?(?UB) D．A∪(?UB)＝U[解析]由Venn圖可知，B，C，D都是充要條件，故選BCD.三、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分．)13．已知集合A＝{0，1，2，3，4，5}，集合B＝{1，3，5，7，9}，則Venn圖中陰影部分表示的集合中元素的個數(shù)為__3__.[解析]由Venn圖及集合的運算可知，陰影部分表示的集合為?A(A∩B)．又A＝{0，1，2，3，4，5}，B＝{1，3，5，7，9}，∴A∩B＝{1，3，5}，∴?A(A∩B)＝{0，2，4}，即Venn圖中陰影部分表示的集合中元素的個數(shù)為3，故答案為3.14．已知集合A＝{1,2,3}，B＝{x|－3x＋a＝0}，若A∩B≠?，則a的值為__3或6或9__.[解析]由題意可知B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x＝\f(a,3))).若A∩B≠?，則eq\f(a,3)＝1或eq\f(a,3)＝2或eq\f(a,3)＝3，得a＝3或6或9.15．已知集合A＝{x|ax2－3x＋1＝0}，若A中只含有一個元素，則a的值為__0或eq\f(9,4)__；若A的真子集個數(shù)是3，則a的范圍是__eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(a|a<0或0<a<\f(9,4)))__.[解析]集合A中只含一個元素．∴a＝0或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a≠0,Δ＝9－4a＝0))，解得a＝0或a＝eq\f(9,4)；∵A的真子集個數(shù)是3個，∴ax2－3x＋1＝0有兩個不等的實根，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a≠0，,Δ＝9－4a>0，))解得a<0或0<a<eq\f(9,4).∴a的取值范圍是eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(a|a<0或0<a<\f(9,4))).16．在下列所示電路圖中，下列說法正確的是__(1)(2)(3)__(填序號)．(1)如圖①所示，開關(guān)A閉合是燈泡B亮的充分不必要條件；(2)如圖②所示，開關(guān)A閉合是燈泡B亮的必要不充分條件；(3)如圖③所示，開關(guān)A閉合是燈泡B亮的充要條件；(4)如圖④所示，開關(guān)A閉合是燈泡B亮的必要不充分條件．[解析](1)A閉合，B亮；而B亮?xí)r，A不肯定閉合，故A是B的充分不必要條件，因此正確；(2)A閉合，B不肯定亮；而B亮，A必需閉合，故A是B的必要不充分條件，因此正確；(3)A閉合，B亮；而B亮，A必閉合，所以A是B的充要條件，因此正確；(4)A閉合，B不肯定亮；而B亮，A不肯定閉合，所以A是B的既不充分也不必要條件，因此錯誤．四、解答題(本大題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟)17．(本小題滿分10分)推斷下列命題是全稱量詞命題還是存在量詞命題，并推斷其真假．(1)至少有一個整數(shù)，它既能被11整除，又能被9整除；(2)末位是0的實數(shù)能被2整除；(3)?x>1，x2－2>0；(4)存在實數(shù)沒有算術(shù)平方根；(5)奇數(shù)的平方還是奇數(shù)．[解析](1)命題中含有存在量詞“至少有一個”，因此是存在量詞命題，真命題．(2)命題中省略了全稱量詞“全部”，是全稱量詞命題，真命題．(3)命題中含有存在量詞“?”，是存在量詞命題，真命題．(4)命題“存在實數(shù)沒有算術(shù)平方根”，是存在量詞命題，真命題．(5)命題中省略了全稱量詞“全部”，是全稱量詞命題，真命題．18．(本小題滿分12分)已知集合M＝{x|x2－12x＋20<0，x∈R}，N＝{x||x－1|<m，x∈R}．(1)當(dāng)m＝2時，求M∩N；(2)在①充分條件，②必要條件這兩個條件中任選一個，補充在下面問題中．若問題中的m存在，求出m的取值范圍；若問題中的m不存在，請說明理由．問題：是否存在正實數(shù)m，使得“x∈M”是“x∈N”的__________.注：假如選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分．[解析]M＝{x|x2－12x＋20<0，x∈R}＝{x|2<x<10}，當(dāng)m≤0時，N＝?；當(dāng)m>0時，N＝{x|1－m<x<1＋m}．(1)當(dāng)m＝2時，N＝{x|－1<x<3}，故M∩N＝{x|2<x<3}．(2)選擇①充分條件，則有M?N，則m>0，且eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－m≤2，,1＋m≥10，))解得m≥9，在正實數(shù)m，使得“x∈M”是“x∈N”的充分條件，m的取值范圍為{m|m≥9}．選擇②必要條件，則有N?M，m>0時，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－m≥2，,1＋m≤10，))不成立，所以不存在正實數(shù)m，使得“x∈M”是“x∈N”的必要條件．19．(本小題滿分12分)設(shè)集合A＝{x|－1<x<4}，B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|－5<x<\f(3,2)))，C＝{x|1－2a<x<2a}．(1)若C＝?，求實數(shù)a的取值范圍；(2)若C≠?且C?(A∩B)，求實數(shù)a的取值范圍．[解析](1)因為C＝{x|1－2a<x<2a}＝?，所以1－2a≥2a，所以a≤eq\f(1,4)，即實數(shù)a的取值范圍是eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(a|a≤\f(1,4))).(2)因為C＝{x|1－2a<x<2a}≠?，所以1－2a<2a，即a>eq\f(1,4).因為A＝{x|－1<x<4}，B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|－5<x<\f(3,2)))，所以A∩B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|－1<x<\f(3,2)))，因為C?(A∩B)，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－2a≥－1，,2a≤\f(3,2)，,a>\f(1,4)，))解得eq\f(1,4)<a≤eq\f(3,4)，即實數(shù)a的取值范圍是eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(a|\f(1,4)<a≤\f(3,4))).20．(本小題滿分12分)已知全集U＝R，集合A＝{x|4x－1>x＋2}，B＝{x|－1<x<2m－3}．(1)當(dāng)m＝4時，求(?UA)∩B；(2)若A∩B恰好包含了兩個整數(shù)，寫出這兩個整數(shù)構(gòu)成的集合的全部子集．[解析](1)因為全集U＝R，集合A＝{x|4x－1>x＋2}＝{x|x>1}，當(dāng)m＝4時，?UA＝{x|x≤1}，集合B＝{x|－1<x<5}，所以(?UA)∩B＝{x|－1<x≤1}．(2)因為A＝{x|4x－1>x＋2}＝{x|x>1}，B＝{x|－1<x<2m－3}．A∩B恰好包含了兩個整數(shù)，則這兩個整數(shù)是2，3，則集合{2，3}的全部子集為：?，{2}，{3}，{2，3}．21．(本小題滿分12分)求證：方程x2－2x－3m＝0有兩個同號且不相等的實根的充要條件是－eq\f(1,3)<m<0.[解析](1)充分性：∵－eq\f(1,3)<m<0，∴方程x2－2x－3m＝0的判別式Δ＝4＋12m>0，且－3m>0，∴方程x2－2x－3m＝0有兩個同號且不相等的實根．(2)必要性：若方程x2－2x－3m＝0有兩個同號且不相等的實根，則有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Δ＝4＋12m>0，,x1x2＝－3m>0，))解得－eq\f(1,3)<m<0.綜合(1)(2)知，方程x2－2x－3m＝0有兩個同號且不相等的實根的充要條件是－eq\f(1,3)<m<0.22．(本小題滿分12分)(1)已知p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m>0)，若p是q的必要不充分條件，求實數(shù)m的取值范圍；(2)已知p：A＝{x|－1≤x≤5}，q：B＝{x|－m<x<2m－1}，若p是q的充分條件，求實數(shù)m的取值范圍．[解析](1)p：－2≤x≤10，q：1