學(xué)校奧數(shù)學(xué)校奧數(shù)加法原理之分類(lèi)枚舉

4-1-1.幾何圖形認(rèn)知及簡(jiǎn)潔計(jì)算4-1-1.幾何圖形認(rèn)知及簡(jiǎn)潔計(jì)算7-1-1.加法原理之分類(lèi)枚舉（一）7-1-1.加法原理之分類(lèi)枚舉（一）教學(xué)目標(biāo)教學(xué)目標(biāo)1.使同學(xué)把握加法原理的基本內(nèi)容；2.把握加法原理的運(yùn)用以及與乘法原理的區(qū)分； 3.培育同學(xué)分類(lèi)爭(zhēng)辯問(wèn)題的力量，了解分類(lèi)的主要方法和遵循的主要原則．熬煉思維的周全細(xì)致．學(xué)問(wèn)要點(diǎn)學(xué)問(wèn)要點(diǎn)一、加法原理概念引入生活中常有這樣的狀況，就是在做一件事時(shí)，有幾類(lèi)不同的方法，而每一類(lèi)方法中，又有幾種可能的做法．那么，考慮完成這件事全部可能的做法，就要用加法原理來(lái)解決．例如:王老師從北京到天津，他可以乘火車(chē)也可以乘長(zhǎng)途汽車(chē)，現(xiàn)在知道每天有五次火車(chē)從北京到天津，有4趟長(zhǎng)途汽車(chē)從北京到天津．那么他在一天中去天津能有多少種不同的走法？分析這個(gè)問(wèn)題發(fā)覺(jué)，王老師去天津要么乘火車(chē)，要么乘長(zhǎng)途汽車(chē)，有這兩大類(lèi)走法，假如乘火車(chē)，有5種走法，假如乘長(zhǎng)途汽車(chē)，有4種走法．上面的每一種走法都可以從北京到天津，故共有5+4=9種不同的走法．在上面的問(wèn)題中，完成一件事有兩大類(lèi)不同的方法．在具體做的時(shí)候，只要接受一類(lèi)中的一種方法就可以完成．并且兩大類(lèi)方法是互無(wú)影響的，那么完成這件事的全部做法數(shù)就是用第一類(lèi)的方法數(shù)加上其次類(lèi)的方法數(shù)．二、加法原理的定義一般地，假如完成一件事有k類(lèi)方法，第一類(lèi)方法中有種不同做法，其次類(lèi)方法中有種不同做法，…，第k類(lèi)方法中有種不同做法，則完成這件事共有種不同方法，這就是加法原理．加法原理運(yùn)用的范圍：完成一件事的方法分成幾類(lèi)，每一類(lèi)中的任何一種方法都能完成任務(wù)，這樣的問(wèn)題可以使用加法原理解決．我們可以簡(jiǎn)記為：“加法分類(lèi)，類(lèi)類(lèi)獨(dú)立”．分類(lèi)時(shí)，首先要依據(jù)問(wèn)題的特點(diǎn)確定一個(gè)適合于它的分類(lèi)標(biāo)準(zhǔn)，然后在這個(gè)標(biāo)準(zhǔn)下進(jìn)行分類(lèi)；其次，分類(lèi)時(shí)要留意滿(mǎn)足兩條基本原則：完成這件事的任何一種方法必需屬于某一類(lèi)；分別屬于不同兩類(lèi)的兩種方法是不同的方法．只有滿(mǎn)足這兩條基本原則，才可以保證分類(lèi)計(jì)數(shù)原理計(jì)算正確．運(yùn)用加法原理解題時(shí)，關(guān)鍵是確定分類(lèi)的標(biāo)準(zhǔn)，然后再針對(duì)各類(lèi)逐一計(jì)數(shù)．通俗地說(shuō)，就是“整體等于局部之和”．三、加法原理解題三部曲1、完成一件事分N類(lèi)；2、每類(lèi)找種數(shù)（每類(lèi)的一種狀況必需是能完成該件事）；3、類(lèi)類(lèi)相加枚舉法：枚舉法又叫窮舉法，就是把全部符合條件的對(duì)象一一列舉出來(lái)進(jìn)行計(jì)數(shù)．分類(lèi)爭(zhēng)辯的時(shí)候經(jīng)常會(huì)需要把每一類(lèi)的狀況全部列舉出來(lái)，這時(shí)的方法就是枚舉法．枚舉的時(shí)候要留意挨次，這樣才能做到不重不漏．例題精講例題精講模塊一、分類(lèi)枚舉——數(shù)出來(lái)的種類(lèi)小寶去給小貝買(mǎi)生日禮物，商店里賣(mài)的東西中，有不同的玩具8種，不同的課外書(shū)20本，不同的紀(jì)念品10種，那么，小寶買(mǎi)一種禮物可以有多少種不同的選法？【考點(diǎn)】加法原理之分類(lèi)枚舉【難度】2星【題型】解答【關(guān)鍵詞】分類(lèi)爭(zhēng)辯思想小寶買(mǎi)一種禮物有三類(lèi)方法：第一類(lèi)，買(mǎi)玩具，有8種方法；其次類(lèi)，買(mǎi)課外書(shū)，有20種方法；第三種，買(mǎi)紀(jì)念品，有10種方法．依據(jù)加法原理，小寶買(mǎi)一種禮物有8+20+10=38種方法．【答案】有不同的語(yǔ)文書(shū)6本，數(shù)學(xué)書(shū)4本，英語(yǔ)書(shū)3本，科學(xué)書(shū)2本，從中任取一本，共有多少種取法？【考點(diǎn)】加法原理之分類(lèi)枚舉【難度】2星【題型】解答【關(guān)鍵詞】分類(lèi)爭(zhēng)辯思想依據(jù)加法原理，共有6+4+3+2=15種取法．【答案】陽(yáng)光學(xué)校四班級(jí)有3個(gè)班，各班分別有男生18人、20人、16人．從中任意選一人當(dāng)升旗手，有多少種選法？【考點(diǎn)】加法原理之分類(lèi)枚舉【難度】2星【題型】解答【關(guān)鍵詞】分類(lèi)爭(zhēng)辯思想解決這個(gè)問(wèn)題有3類(lèi)方法：從一班、二班、三班男生中任選1人，從一班18名男生中任選1人有18種選法：同理，從二班20名男生中任選1人有20種選法；從三班16名男生中任意選1人有16種選法；依據(jù)加法原理，從四班級(jí)3個(gè)班中任選一名男生當(dāng)升旗手的方法有：種．【答案】和為15的兩個(gè)非零自然數(shù)共有對(duì)?！究键c(diǎn)】加法原理之分類(lèi)枚舉【難度】1星【題型】填空【關(guān)鍵詞】期望杯，五班級(jí)，一試，第11題，舉例為：與，與，與，與，與，與，與，共計(jì)7對(duì)?！敬鸢浮繉?duì)用1至8這八個(gè)自然數(shù)中的四個(gè)組成四位數(shù)，從個(gè)位到千位的數(shù)字依次增大，且任意兩個(gè)數(shù)字的差都不是1，這樣的四位數(shù)共有

人。【考點(diǎn)】加法原理之分類(lèi)枚舉【難度】2星【題型】填空【關(guān)鍵詞】期望杯，五班級(jí)，一試，第10題1357，1358，1368，1468，2468共5個(gè)【答案】個(gè)三張數(shù)字卡片0，2，4可以組成______個(gè)能被4整除的不同整數(shù)?！究键c(diǎn)】加法原理之分類(lèi)枚舉【難度】2星【題型】填空【關(guān)鍵詞】期望杯，四班級(jí)，二試，第6題240、204、420共3個(gè)【答案】個(gè)節(jié)目期間，小明將6個(gè)彩燈排成一列，其中有2個(gè)紅燈，4個(gè)綠燈，假如兩個(gè)紅燈不相鄰，則不同的排法有_________種（其中“紅綠紅綠綠綠”與“綠綠綠紅綠紅”類(lèi)型算作一種）?！究键c(diǎn)】加法原理之分類(lèi)枚舉【難度】2星【題型】填空【關(guān)鍵詞】期望杯，六班級(jí)，二試，第5題紅燈看作“1”，綠燈看作“0”則有：000101、001001、001010、010001、010010、100001這六種【答案】從1、2、3、4、5、6這些數(shù)中，任取兩個(gè)數(shù)，使其和不能被3整除，則有_______種取法。【考點(diǎn)】加法原理之分類(lèi)枚舉【難度】3星【題型】填空【關(guān)鍵詞】走美杯，四班級(jí)，初賽，第10題共有選1和3、1和4、1和6、2和3、2和5、2和6、3和4、3和5、4和6以及5和6共10種選法。【答案】種從l～9這9個(gè)數(shù)碼中取出3個(gè)，使它們的和是3的倍數(shù)，則不同取法有_______種。【考點(diǎn)】加法原理之分類(lèi)枚舉【難度】3星【題型】填空【關(guān)鍵詞】期望杯，五班級(jí)，一試，第13題（1）3個(gè)數(shù)都是3的倍數(shù)，有1種狀況（2）3個(gè)數(shù)除以3都余1，有1種狀況（3）3個(gè)數(shù)除以3都余2，有1種狀況（4）一個(gè)除以3余1，一個(gè)除以3余2，一個(gè)是3的倍數(shù)，有：3×3×3=27種狀況所以，一共有1+1+1+27=30種不同取法。【答案】種小明的兩個(gè)口袋中各有6張卡片，每張卡片上分別寫(xiě)著1，2，3，……，6。從這兩個(gè)口袋中各拿出一張卡片來(lái)計(jì)算上面所寫(xiě)兩數(shù)的乘積，那么，其中能被6整除的不同乘積有_____個(gè)。【考點(diǎn)】加法原理之分類(lèi)枚舉【難度】3星【題型】填空【關(guān)鍵詞】期望杯，五班級(jí)，一試，第22題乘積中最小1，最大為36，能被6整除的有6、12、18、24、30、36共6個(gè)【答案】個(gè)老師帶著佳佳、芳芳和明明做計(jì)算練習(xí).老師先分別給他們一個(gè)數(shù)，然后讓他們每人取3張寫(xiě)有數(shù)的卡片.佳佳取的是3、6、7，芳芳取的是4、5、6，明明取的是4、5、8.這時(shí)老師讓他們分別取自己卡片上的兩個(gè)數(shù)相乘，再加上開(kāi)頭老師給他們的數(shù).假如老師開(kāi)頭時(shí)給他們的數(shù)依次是234、235、236，而且他們計(jì)算都正確，那么可能算出_________個(gè)不同的數(shù).【考點(diǎn)】加法原理之分類(lèi)枚舉【難度】4星【題型】填空【關(guān)鍵詞】迎春杯，中班級(jí)，復(fù)試，7題佳佳可以得到的乘積是18，21，42，芳芳可以得到的乘積是20，24，30，明明可以得到的乘積是20，32，40，那么佳佳可以得到的數(shù)是252，255，276，芳芳可以得到的數(shù)是255，259，265，明明可以得到的數(shù)是256，268，276所以一共可以得到7個(gè)不同的數(shù)?！敬鸢浮總€(gè)假如三位數(shù)同時(shí)滿(mǎn)足如下條件：⑴的各位數(shù)字之和是7；⑵還是三位數(shù)，且各位數(shù)字之和為5．那么這樣的三位數(shù)共有個(gè)．【考點(diǎn)】加法原理之分類(lèi)枚舉【難度】4星【題型】填空【關(guān)鍵詞】迎春杯，高班級(jí)，復(fù)賽，2題三位數(shù)可以是500，410，320，230，140，302，212，122，104；得到可以是250，205，160，115，70，157，106，61，52，兩位數(shù)的均舍去，所以符合條件的共有6個(gè)．【答案】個(gè)把數(shù)1，2，3，4，5，6分為三組（不考慮組內(nèi)數(shù)的挨次也不考慮組間的挨次），每組兩個(gè)數(shù)，每組的數(shù)之和互不相等且都不等于6，共有____________________種分法．【考點(diǎn)】加法原理之分類(lèi)枚舉【難度】4星【題型】填空【關(guān)鍵詞】學(xué)而思杯，4班級(jí)，第7題枚舉法：，；共有種?！敬鸢浮糠N自然數(shù)12，456，1256這些數(shù)有一個(gè)共同的特點(diǎn)，相鄰兩個(gè)數(shù)字，左邊的數(shù)字小于右邊的數(shù)字．我們?nèi)∶麨椤吧仙龜?shù)”．用3，6，7，9這四個(gè)數(shù)，可以組成個(gè)“上升數(shù)”．【考點(diǎn)】加法原理之分類(lèi)枚舉【難度】4星【題型】填空【關(guān)鍵詞】學(xué)而思杯，1班級(jí)，第6題這樣的“上升數(shù)“是36，37，39，67，69，79，367，369，379，679，3679一共有11個(gè)．【答案】個(gè)自然數(shù)21，654，7521這些數(shù)有一個(gè)共同的特點(diǎn)，相鄰兩個(gè)數(shù)字，左邊的數(shù)字大于右邊的數(shù)字．我們?nèi)∶麨椤跋陆禂?shù)”．用4，6，7，9這四個(gè)數(shù)，可以組成個(gè)“下降數(shù)”．【考點(diǎn)】加法原理之分類(lèi)枚舉【難度】4星【題型】填空【關(guān)鍵詞】學(xué)而思杯，2班級(jí)，第5題這樣的“下降數(shù)“是9764，976，974，964，764，97，96，94，76，74，64，一共有11個(gè)．<考點(diǎn)>數(shù)學(xué)方法之枚舉【答案】個(gè)將左下圖中20張撲克牌分成10對(duì)，每對(duì)紅心和黑桃各一張。問(wèn)：你能分出幾對(duì)這樣的牌，兩張牌上的數(shù)的乘積除以的余數(shù)是?(將A看成)【考點(diǎn)】加乘原理之綜合運(yùn)用【難度】1星【題型】填空【關(guān)鍵詞】華杯賽，初賽，第6題本題實(shí)際上是求1到10這些數(shù)中，取出2個(gè)數(shù)（可以重復(fù)）相乘，能組成幾個(gè)個(gè)位是1的數(shù).明顯，雙數(shù)不成.所以只能是1×1，3×7，7×3和9×9，共4對(duì).【答案】對(duì)模塊二、分類(lèi)枚舉——分類(lèi)甲、乙、丙三個(gè)工廠(chǎng)共訂300份報(bào)紙，每個(gè)工廠(chǎng)至少訂了99份，至多101份，問(wèn)：一共有多少種不同的訂法？【考點(diǎn)】加法原理之分類(lèi)枚舉【難度】3星【題型】解答【關(guān)鍵詞】分類(lèi)爭(zhēng)辯思想甲廠(chǎng)可以訂99、100、101份報(bào)紙三種方法．假如甲廠(chǎng)訂99份，乙廠(chǎng)有訂100份和101份兩種方法，丙廠(chǎng)隨之而定．假如甲廠(chǎng)訂100份，乙廠(chǎng)有訂99份、100份和101份三種方法，丙廠(chǎng)隨之而定．假如甲廠(chǎng)訂101份，乙廠(chǎng)有訂99份和100份兩種方法，丙廠(chǎng)隨之而定．依據(jù)加法原理，一共有種訂報(bào)方法．【答案】大林和小林共有小人書(shū)不超過(guò)9本，他們各自有小人書(shū)的數(shù)目有多少種可能的狀況？【考點(diǎn)】加法原理之分類(lèi)枚舉【難度】3星【題型】解答【關(guān)鍵詞】分類(lèi)爭(zhēng)辯思想大林和小林共有9本的話(huà)，有10種可能；共有8本的話(huà)，有9種可能，……，共有0本的話(huà)，有1種可能，所以依據(jù)加法原理，一共有10+9+……+3+2+1=55種可能．【答案】從1～10中每次取兩個(gè)不同的數(shù)相加，和大于10的共有多少種取法？【考點(diǎn)】加法原理之分類(lèi)枚舉【難度】3星【題型】解答依據(jù)第一個(gè)數(shù)的大小，將和大于10的取法分為9類(lèi)：因此，依據(jù)加法原理，共有：1+2+3+4+5+4+3+2+1=25種取法使和大于10．【答案】從1～8中每次取兩個(gè)不同的數(shù)相加，和大于10的共有多少種取法？【考點(diǎn)】加法原理之分類(lèi)枚舉【難度】3星【題型】解答【關(guān)鍵詞】分類(lèi)爭(zhēng)辯思想兩個(gè)數(shù)和為11的一共有3種取法；

兩個(gè)數(shù)和為12的一共有2種取法；兩個(gè)數(shù)和為13的一共有2種取法；

兩個(gè)數(shù)和為14的一共有1種取法；兩個(gè)數(shù)和為15的一共有1種取法；

一共有3+2+2+1+1=9種取法．【答案】思思想將3個(gè)相同的小球放入、、三個(gè)盒中，那么一共有________種不同的放法．【考點(diǎn)】加法原理之分類(lèi)枚舉【難度】4星【題型】填空【關(guān)鍵詞】學(xué)而思杯，3班級(jí)，第3題3個(gè)球全放在一個(gè)盒子中，3種，2個(gè)球放在一個(gè)盒子中，還有1個(gè)球單放，種，一個(gè)盒子一個(gè)球，由于球是一樣的，所以就1種，共有種【答案】種四個(gè)同學(xué)每人做了一張賀年片，放在桌子上，然后每人去拿一張，但不能拿自己做的一張．問(wèn)：一共有多少種不同的方法？【考點(diǎn)】加法原理之分類(lèi)枚舉【難度】4星【題型】解答【關(guān)鍵詞】分類(lèi)爭(zhēng)辯思想設(shè)四個(gè)同學(xué)分別是A，B，C，D，他們做的賀年片分別是a，b，c，d．先考慮A拿B做的賀年片b的狀況（如下表），一共有3種方法．同樣，A拿C或D做的賀年片也有3種方法．一共有3＋3＋3=9（種）不同的方法．【答案】一次，齊王與大將田忌賽馬．每人有四匹馬，分為四等．田忌知道齊王這次競(jìng)賽馬的出場(chǎng)挨次依次為一等，二等，三等，四等，而且還知道這八匹馬跑的最快的是齊王的一等馬，接著依次為自己的一等，齊王的二等，自己的二等，齊王的三等，自己的三等，齊王的四等，自己的四等．田忌有________種方法支配自己的馬的出場(chǎng)挨次，保證自己至少能贏(yíng)兩場(chǎng)競(jìng)賽．【考點(diǎn)】加法原理之分類(lèi)枚舉【難度】4星【題型】解答【關(guān)鍵詞】分類(lèi)爭(zhēng)辯思想，第六屆，走美杯第一場(chǎng)不管怎么樣田忌都必輸，田忌只可能在接下來(lái)的三場(chǎng)里贏(yíng)得競(jìng)賽，若三場(chǎng)全勝，則只有一種出場(chǎng)方法；若勝兩場(chǎng)，則又分為三種狀況：二，三兩場(chǎng)勝，此時(shí)只能是田忌的一等馬贏(yíng)得齊王的二等馬，田忌的二等馬贏(yíng)齊王的三等馬，只有這一種狀況；二，四兩場(chǎng)勝，此時(shí)有三種狀況；三，四兩場(chǎng)勝，此時(shí)有七種狀況；所以一共有種方法．【答案】給定三種重量的砝碼（每種數(shù)量都有足夠多個(gè)），，，將它們組合湊成有種，不同的方法（每種砝碼至少用一塊。）【考點(diǎn)】加法原理之分類(lèi)枚舉【難度】4星【題型】填空【關(guān)鍵詞】走美杯，5班級(jí)，決賽，第1題，，，，，，一共有種。【答案】種把一元錢(qián)換成角幣，有多少種換法？人民幣角幣的面值有五角、二角、一角三種．【考點(diǎn)】加法原理之分類(lèi)枚舉【難度】4星【題型】解答【關(guān)鍵詞】分類(lèi)爭(zhēng)辯思想把一元錢(qián)換成角幣，有三類(lèi)分法：①第一類(lèi)：有五角幣2張，只有1種換法：②其次類(lèi)：有五角幣1張，則此時(shí)二角幣可以有0，1，2張，相應(yīng)的，一角幣有5，3，1張，有3種換法；③第三類(lèi)：有五角幣0張，則此時(shí)二角幣可以有0，1，2，3，4，5張，相應(yīng)的，一角幣有10，8，6，4，2，0張，有6種換法．所以，依據(jù)加法原理，總共的換法有種．【答案】一把硬幣全是2分和5分的，這把硬幣一共有1元，問(wèn)這里可能有多少種不同的狀況？【考點(diǎn)】加法原理之分類(lèi)枚舉【難度】4星【題型】解答【關(guān)鍵詞】分類(lèi)爭(zhēng)辯思想按5分硬幣的個(gè)數(shù)對(duì)硬幣狀況進(jìn)行分類(lèi)：假如5分硬幣有奇數(shù)個(gè)，那么無(wú)論2分硬幣有多少個(gè)都不能湊成100分．如表當(dāng)5分硬幣的個(gè)數(shù)為0～20的偶數(shù)時(shí)，都有對(duì)應(yīng)個(gè)數(shù)的2分硬幣．所以一共有11種不同的狀況．【答案】用若干個(gè)1分、2分、5分的硬幣組成一角錢(qián)(不要求每種硬幣都有)，共有（）種不同的方法．【考點(diǎn)】加法原理之分類(lèi)枚舉【難度】4星【題型】填空【關(guān)鍵詞】走美杯，3班級(jí)，初賽，第4題此題接受枚舉法，具體如下：共有10種狀況【答案】種用100元錢(qián)購(gòu)買(mǎi)2元、4元或8元飯票若干張，沒(méi)有剩錢(qián)，共有多少不同的買(mǎi)法?【考點(diǎn)】加法原理之分類(lèi)枚舉【難度】4星【題型】解答【關(guān)鍵詞】分類(lèi)爭(zhēng)辯思想假如買(mǎi)0張8元飯票，還剩100元，可以購(gòu)買(mǎi)4元飯票的張數(shù)為0～25張，其余的錢(qián)全部購(gòu)買(mǎi)2元飯票，共有26種買(mǎi)法；假如買(mǎi)l張8元飯票，還剩92元，可購(gòu)4元飯票0～23張，其余的錢(qián)全部購(gòu)買(mǎi)2元飯票，共有24種不同方法；假如買(mǎi)2張8元飯票，還剩84元，可購(gòu)4元飯票0～21張，其余的錢(qián)全部購(gòu)買(mǎi)2元飯票，共有22種不同方法；……假如買(mǎi)12張8元飯票，還剩4元飯票，可購(gòu)4元飯票0～1張，其余的錢(qián)全部購(gòu)買(mǎi)2元飯票，共有2種方法．總結(jié)規(guī)律，發(fā)覺(jué)各類(lèi)狀況的方法數(shù)組成了一個(gè)公差為2，項(xiàng)數(shù)是13的等差數(shù)列．利用分類(lèi)計(jì)數(shù)原理及等差數(shù)列求和公式求出全部方法：26+24+22+…+2=(26+2)×13÷2=182(種)．共有182種不同的買(mǎi)法．【答案】一個(gè)文具店橡皮每塊5角、圓珠筆每支1元、鋼筆每支2元5角．小明要在該店花5元5角購(gòu)買(mǎi)兩種文具，他有多少種不同的選擇．【考點(diǎn)】加法原理之分類(lèi)枚舉【難度】4星【題型】解答【關(guān)鍵詞】迎春杯，三班級(jí)，初賽，6題，分類(lèi)爭(zhēng)辯思想一共三種文具，要買(mǎi)兩種文具．那么就可以分三類(lèi)了．第一類(lèi)：橡皮和圓珠筆

5元5角=55角=11塊橡皮（要買(mǎi)兩種，所以這個(gè)不考慮）=9塊橡皮+1只圓珠筆

=7塊橡皮+2只圓珠筆

=5塊橡皮+3只圓珠筆

=3塊橡皮+4只圓珠筆

=1塊橡皮+5只圓珠筆

第一類(lèi)共5種其次類(lèi)：橡皮和鋼筆

55角=11塊橡皮（不做考慮）=6塊橡皮+1只鋼筆

=1塊橡皮+2只鋼筆

其次類(lèi)共2種第三類(lèi)：圓珠筆和鋼筆

55角=11塊橡皮（不做考慮）=1只鋼筆+3只圓珠筆

第三類(lèi)共1種【答案】有面值為1分，2分，5分的硬幣各4枚，用它們?nèi)ブЦ?角3分．問(wèn)：有多少種不同的支付方法?【考點(diǎn)】加法原理之分類(lèi)枚舉【難度】4星【題型】填空【關(guān)鍵詞】華杯賽，初賽，第7題要付2角3分錢(qián)，即23分．最多只能使用4枚5分幣。由于全部1分和2分幣都用上時(shí)，共值12分，所以最少要用3枚5分幣．使用3枚5分幣時(shí)，5×3＝15，23－15＝8，所以使用2分幣最多4枚，最少2枚，可有23＝15＋(2＋2＋2＋2)，23＝15十(2＋2＋2十1＋1)．23＝15＋(2＋2＋1＋1＋1＋1)，3種支付方法當(dāng)使用4枚5分幣時(shí)，5×4＝20，23－20＝3。所以2分幣最多使用1枚，從而可有23＝20＋(2＋1)23＝20＋(1＋1＋1）2種支付方法，于是，共有5種不同的支付方法【答案】種用1元、5元、10元、50元、100元人民幣各一張，2元、20元人民幣各兩張，在不找錢(qián)的狀況下，最多可以支付種不同的款額。【考點(diǎn)】加法原理之分類(lèi)枚舉【難度】4星【題型】填空【關(guān)鍵詞】期望杯，五班級(jí)，二試，第5題1、2、2、5可以組成1到10的全部數(shù)，10、20、20、50可以組成10到100的全部數(shù)，再加上100，故可以組成1到210的全部數(shù)。【答案】種

7-1-2.加法原理之分類(lèi)枚舉（二）7-1-2.加法原理之分類(lèi)枚舉（二）教學(xué)目標(biāo)教學(xué)目標(biāo)1.使同學(xué)把握加法原理的基本內(nèi)容；2.把握加法原理的運(yùn)用以及與乘法原理的區(qū)分；3.培育同學(xué)分類(lèi)爭(zhēng)辯問(wèn)題的力量，了解分類(lèi)的主要方法和遵循的主要原則．熬煉思維的周全細(xì)致．學(xué)問(wèn)要點(diǎn)學(xué)問(wèn)要點(diǎn)一、加法原理概念引入生活中常有這樣的狀況，就是在做一件事時(shí)，有幾類(lèi)不同的方法，而每一類(lèi)方法中，又有幾種可能的做法．那么，考慮完成這件事全部可能的做法，就要用加法原理來(lái)解決．例如:王老師從北京到天津，他可以乘火車(chē)也可以乘長(zhǎng)途汽車(chē)，現(xiàn)在知道每天有五次火車(chē)從北京到天津，有4趟長(zhǎng)途汽車(chē)從北京到天津．那么他在一天中去天津能有多少種不同的走法？分析這個(gè)問(wèn)題發(fā)覺(jué)，王老師去天津要么乘火車(chē)，要么乘長(zhǎng)途汽車(chē)，有這兩大類(lèi)走法，假如乘火車(chē)，有5種走法，假如乘長(zhǎng)途汽車(chē)，有4種走法．上面的每一種走法都可以從北京到天津，故共有5+4=9種不同的走法．在上面的問(wèn)題中，完成一件事有兩大類(lèi)不同的方法．在具體做的時(shí)候，只要接受一類(lèi)中的一種方法就可以完成．并且兩大類(lèi)方法是互無(wú)影響的，那么完成這件事的全部做法數(shù)就是用第一類(lèi)的方法數(shù)加上其次類(lèi)的方法數(shù)．二、加法原理的定義一般地，假如完成一件事有k類(lèi)方法，第一類(lèi)方法中有種不同做法，其次類(lèi)方法中有種不同做法，…，第k類(lèi)方法中有種不同做法，則完成這件事共有種不同方法，這就是加法原理．加法原理運(yùn)用的范圍：完成一件事的方法分成幾類(lèi)，每一類(lèi)中的任何一種方法都能完成任務(wù)，這樣的問(wèn)題可以使用加法原理解決．我們可以簡(jiǎn)記為：“加法分類(lèi)，類(lèi)類(lèi)獨(dú)立”．分類(lèi)時(shí)，首先要依據(jù)問(wèn)題的特點(diǎn)確定一個(gè)適合于它的分類(lèi)標(biāo)準(zhǔn)，然后在這個(gè)標(biāo)準(zhǔn)下進(jìn)行分類(lèi)；其次，分類(lèi)時(shí)要留意滿(mǎn)足兩條基本原則：完成這件事的任何一種方法必需屬于某一類(lèi)；分別屬于不同兩類(lèi)的兩種方法是不同的方法．只有滿(mǎn)足這兩條基本原則，才可以保證分類(lèi)計(jì)數(shù)原理計(jì)算正確．運(yùn)用加法原理解題時(shí)，關(guān)鍵是確定分類(lèi)的標(biāo)準(zhǔn)，然后再針對(duì)各類(lèi)逐一計(jì)數(shù)．通俗地說(shuō)，就是“整體等于局部之和”．三、加法原理解題三部曲1、完成一件事分N類(lèi)；2、每類(lèi)找種數(shù)（每類(lèi)的一種狀況必需是能完成該件事）；3、類(lèi)類(lèi)相加枚舉法：枚舉法又叫窮舉法，就是把全部符合條件的對(duì)象一一列舉出來(lái)進(jìn)行計(jì)數(shù)．分類(lèi)爭(zhēng)辯的時(shí)候經(jīng)常會(huì)需要把每一類(lèi)的狀況全部列舉出來(lái)，這時(shí)的方法就是枚舉法．枚舉的時(shí)候要留意挨次，這樣才能做到不重不漏．例題精講例題精講分類(lèi)枚舉——找規(guī)律有一個(gè)電子表的表面用2個(gè)數(shù)碼顯示“小時(shí)”，另用2個(gè)數(shù)碼顯示“分”。例如“21：32”表示21時(shí)32分，那么這個(gè)手表從“10：00”至“11：30”之間共有 分鐘表面上顯示有數(shù)碼“2”.【考點(diǎn)】加法原理之分類(lèi)枚舉【難度】3星【題型】填空【關(guān)鍵詞】學(xué)而思杯，6班級(jí)，1試，第9題顯示小時(shí)的數(shù)碼不會(huì)消滅2，只有分鐘會(huì)消滅。10點(diǎn)到11點(diǎn)分別有2，12，20，21，22，……，29，32，42，52，共15次，11點(diǎn)到11點(diǎn)半有2，12，20，21，22，……，29共12次，所以有27分鐘。【答案】分鐘袋中有3個(gè)紅球，4個(gè)黃球和5個(gè)白球，小明從中任意拿出6個(gè)球，他拿出球的狀況共有________種可能．【考點(diǎn)】加法原理之分類(lèi)枚舉【難度】4星【題型】解答【關(guān)鍵詞】分類(lèi)爭(zhēng)辯思想，迎春杯，四班級(jí)，初賽，6題假如沒(méi)拿紅球，那么拿（黃、白）球的可能有（1、5）、（2、4）、（3、3）、（4、2）4種.假如拿1個(gè)紅球，那么拿（黃、白）球的可能有（0、5）（1、4）、（2、3）、（3、2）、（4、1）5種.假如拿2個(gè)紅球，那么拿（黃、白）球的可能有（0、4）、（1、3）、（2、2）（3、1）、（4、0）5種假如拿3個(gè)紅球，那么拿（黃、白）球的可能有（0、3）、（1、2）、（2、1）、（3、0）4種.可見(jiàn)他拿出球的狀況共有：4+5+5+4=18（種）．有18種.【答案】種1、2、3、4四個(gè)數(shù)字，從小到大排成一行，在這四個(gè)數(shù)中間，任意插入乘號(hào)(最少插一個(gè)乘號(hào))，可以得到多少個(gè)不同的乘積?【考點(diǎn)】加法原理之分類(lèi)枚舉【難度】4星【題型】解答【關(guān)鍵詞】分類(lèi)爭(zhēng)辯思想方法一：按插入乘號(hào)的個(gè)數(shù)進(jìn)行分類(lèi)：⑴若插入一個(gè)乘號(hào)，4個(gè)數(shù)字之間有3個(gè)空當(dāng)，選3個(gè)空當(dāng)中的任一空當(dāng)放乘號(hào)，所以有3種不同的插法，可以得到3個(gè)不同的乘積，枚舉如下：，，．⑵若插入兩個(gè)乘號(hào)，由于必有一個(gè)空當(dāng)不放乘號(hào)，所以從3個(gè)空檔中選2個(gè)空當(dāng)插入乘號(hào)有3種不同的插法，可以得到3個(gè)不同的乘積，枚舉如下：，，．⑶若插入三個(gè)乘號(hào)，則只有1個(gè)插法，可以得到l個(gè)不同的乘積，枚舉如下：．所以，依據(jù)加法原理共有種不同的乘積．方法二：每個(gè)空可以放入乘號(hào)可以可以不放乘號(hào)共有兩種選擇，在1、2、3、4這四個(gè)數(shù)中共有3個(gè)空所以共有：去掉都不放的一種狀況，所以共有：（種）選擇【答案】1995的數(shù)字和是1＋9＋9＋5=24，問(wèn)：小于2000的四位數(shù)中數(shù)字和等于26的數(shù)共有多少個(gè)?【考點(diǎn)】加法原理之分類(lèi)枚舉【難度】4星【題型】解答【關(guān)鍵詞】分類(lèi)爭(zhēng)辯思想小于2000的四位數(shù)千位數(shù)字是1，要它數(shù)字和為26，只需其余三位數(shù)字和是25．由于十位、個(gè)位數(shù)字和最多為9＋9=18，因此，百位數(shù)字至少是7．于是百位為7時(shí)，只有1799，一個(gè)；百位為8時(shí)，只有1889，1898，二個(gè)；百位為9時(shí)，只有1979，1997，1988，三個(gè)；總計(jì)共1＋2＋3=6個(gè)．【答案】1995的數(shù)字和是1＋9＋9＋5=24，問(wèn)：小于2000的四位數(shù)中數(shù)字和等于24的數(shù)共有多少個(gè)?【考點(diǎn)】加法原理之分類(lèi)枚舉【難度】4星【題型】解答【關(guān)鍵詞】分類(lèi)爭(zhēng)辯思想小于2000的四位數(shù)千位數(shù)字是1，要它數(shù)字和為24，只需其余三位數(shù)字和是23．由于十位、個(gè)位數(shù)字和最多為，因此，百位數(shù)字至少是5．于是百位為5時(shí)，只有1599一個(gè)；百位為6時(shí)，只有1689，1698兩個(gè)；百位為7時(shí)，只有1779，1788，1797三個(gè)；百位為8時(shí)，只有1869，1878，1887，1896四個(gè)；百位為9時(shí)，只有1959，1968，1977，1986，1995五個(gè)；依據(jù)加法原理，總計(jì)共個(gè)．【答案】2007的數(shù)字和是2+0+0+7=9，問(wèn)：大于2000小于3000的四位數(shù)中數(shù)字和等于9的數(shù)共有多少個(gè)?【考點(diǎn)】加法原理之分類(lèi)枚舉【難度】4星【題型】解答【關(guān)鍵詞】分類(lèi)爭(zhēng)辯思想大于2000小于3000的四位數(shù)千位數(shù)字是2，要它數(shù)字和為9，只需其余三位數(shù)字和是7．因此，百位數(shù)字至多是7．于是依據(jù)百位數(shù)進(jìn)行分類(lèi)：第一類(lèi)，百位為7時(shí)，只有2700一個(gè)；其次類(lèi)，百位為6時(shí)，只有2610，2601兩個(gè)；第三類(lèi)，百位為5時(shí)，只有2520，2511，2502三個(gè)；第四類(lèi)，百位為4時(shí)，只有2430，2421，2412，2403四個(gè)；第五類(lèi)，百位為3時(shí)，只有2340，2331，2322，2313，2304五個(gè)；第六類(lèi)，百位為2時(shí)，只有2250，2241，2232，2223，2214、2205六個(gè)；第七類(lèi)，百位為1時(shí)，只有2160，2151，2142，2133，2124、2115、2106七個(gè)；第八類(lèi)，百位為0時(shí)，只有2070，2061，2052，2043，2034、2025、2016、2007八個(gè)；依據(jù)加法原理，總計(jì)共個(gè)．【答案】從101到900這800個(gè)自然數(shù)中，數(shù)字和被8整除的數(shù)共有______個(gè)?！究键c(diǎn)】加法原理之分類(lèi)枚舉【難度】5星【題型】填空【關(guān)鍵詞】走美杯，四班級(jí)，初賽，第13題數(shù)字和被8整除，則數(shù)字和可能為8、16、24=1\*GB3①數(shù)字和8=8+0+0=7+1+0=6+2+0=5+3+0=4+4+0=6+1+1=5+2+1=4+3+1=4+2+2=3+3+2這樣的數(shù)共有個(gè)=2\*GB3②數(shù)字和16=9+7+0=8+8+0=9+6+1=9+5+2=9+4+3=8+7+1=8+6+2=8+5+3=8+4+4=……這樣的數(shù)共有58個(gè)=3\*GB3③數(shù)字和=24=9+9+6=9+8+7=8+8+8這樣的數(shù)共有6個(gè)所以滿(mǎn)足題意的數(shù)字共有100個(gè)【答案】個(gè)在四位數(shù)中，各位數(shù)字之和是4的四位數(shù)有多少？【考點(diǎn)】加法原理之分類(lèi)枚舉【難度】4星【題型】解答【關(guān)鍵詞】分類(lèi)爭(zhēng)辯思想以個(gè)位數(shù)的值為分類(lèi)標(biāo)準(zhǔn)，可以分成以下幾類(lèi)狀況來(lái)考慮：第1類(lèi)——個(gè)位數(shù)字是0，滿(mǎn)足條件的數(shù)共有10個(gè)．其中：⑴十位數(shù)字為0，有4000、3100、2200、1300，共4個(gè)；⑵十位數(shù)字為1，有3010、2110、1210，共3個(gè)；⑶十位數(shù)字為2，有2020、1120，共2個(gè)；⑷十位數(shù)字為3，有1030，共1個(gè)．第2類(lèi)——個(gè)位數(shù)字是1，滿(mǎn)足條件的數(shù)共有6個(gè)．其中：⑴十位數(shù)字為0，有3001、2101、1201，共3個(gè)；⑵十位數(shù)字為1，有2011、1111，共2個(gè)；⑶十位數(shù)字為2，有1021，滿(mǎn)足條件的數(shù)共有1個(gè)．第3類(lèi)——個(gè)位數(shù)字是2，滿(mǎn)足條件的數(shù)共有3個(gè)．其中：⑴十位數(shù)字為0，有2002、1102，共2個(gè)；⑵十位數(shù)字為1，有1012，共1個(gè)．第4類(lèi)——個(gè)位數(shù)字是3，滿(mǎn)足條件的數(shù)共有1個(gè)．其中：十位數(shù)字是0，有l(wèi)003，共1個(gè)．依據(jù)上面分析，由加法原理可求出滿(mǎn)足條件的數(shù)共有個(gè)．【答案】將1~999這999個(gè)自然數(shù)排成一行（不肯定按從大到小或從小到大的挨次排列），得到一個(gè)2889位數(shù)，那么數(shù)字串“123”最多能消滅次．【考點(diǎn)】加法原理之分類(lèi)枚舉【難度】5星【題型】填空【關(guān)鍵詞】迎春杯，高班級(jí)，復(fù)試，4題構(gòu)成數(shù)字串“123”的方式有很多，它可能是由一個(gè)數(shù)單獨(dú)構(gòu)成，也可能是由兩個(gè)數(shù)或三個(gè)數(shù)構(gòu)成．統(tǒng)計(jì)數(shù)字串“123”消滅的次數(shù)，最好的方法就是對(duì)其進(jìn)行分類(lèi)統(tǒng)計(jì)．我們將消滅的“123”分為如下幾類(lèi)：就是123三位數(shù)本身，一個(gè)；1和23分別屬于兩個(gè)不同的多位數(shù)，那么后面這個(gè)數(shù)可能是23或以23開(kāi)頭的三位數(shù)．23或以23開(kāi)頭的三位數(shù)有23，230，231，232，…，238，239共11個(gè)，而以1結(jié)尾的數(shù)遠(yuǎn)遠(yuǎn)多于11個(gè)，所以這類(lèi)最多有11個(gè)；12和3分別屬于兩個(gè)不同的多位數(shù)，那么前面這個(gè)數(shù)可能是12或以12結(jié)尾的三位數(shù)．12或以12結(jié)尾的三位數(shù)有12，112，212，312，…，812，912共10個(gè)，而以3結(jié)尾的數(shù)遠(yuǎn)遠(yuǎn)多于10個(gè)，最多有10個(gè)；1、2和3分別屬于三個(gè)不同的多位數(shù)，那么中間這個(gè)數(shù)只能是2，最多消滅1次．綜上，最多消滅次，而且易看出可以達(dá)到．【答案】次將、以及另外個(gè)不同的自然數(shù)填入下面六個(gè)□，使這個(gè)自然數(shù)從左到右構(gòu)成等差數(shù)列，一共有種不同的填法。□□□□□□【考點(diǎn)】加法原理之分類(lèi)枚舉【難度】5星【題型】填空【關(guān)鍵詞】學(xué)而思杯，4班級(jí)，第6題由于和都在該等差數(shù)列當(dāng)中，所以該等差數(shù)列的公差是與之差的約數(shù)，即只能是，，，，對(duì)這些公差分別爭(zhēng)辯：（）當(dāng)公差為時(shí)，兩個(gè)數(shù)所在的位置相隔格，但一共只有個(gè)方格，所以該狀況不存在。（）當(dāng)公差為時(shí)，兩個(gè)數(shù)所在的位置相隔格，在保證數(shù)列中各個(gè)數(shù)都是自然數(shù)的狀況下，可以枚舉種填法。（）當(dāng)公差為時(shí)，兩個(gè)數(shù)所在的位置相隔格，在保證數(shù)列中各個(gè)數(shù)都是自然數(shù)的狀況下，可以枚舉出種填法。（）當(dāng)公差為時(shí)，兩個(gè)數(shù)所在的位置相鄰，在保證數(shù)列中各個(gè)數(shù)都是自然數(shù)的狀況下，只能枚舉出種填法。所以一共只有種填法。【答案】有一類(lèi)自然數(shù)，從第三個(gè)數(shù)字開(kāi)頭，每個(gè)數(shù)字都恰好是它前面兩個(gè)數(shù)字之和，直至不能再寫(xiě)為止，如，等等，這類(lèi)數(shù)共有個(gè).【考點(diǎn)】加法原理之分類(lèi)枚舉【難度】5星【題型】解答【關(guān)鍵詞】分類(lèi)爭(zhēng)辯思想按自然數(shù)的最高位數(shù)分類(lèi)：

⑴最高位為的有

，，，，，，，，共個(gè)=2\*GB2⑵最高位為的有，，，，，，，共個(gè)=3\*GB2⑶最高位為的有，，，，，358，共個(gè)=9\*GB2⑼最高位為的有共個(gè)所以這類(lèi)數(shù)共有個(gè)【答案】在全部的兩位數(shù)中，十位數(shù)字比個(gè)位數(shù)字大的兩位數(shù)有多少個(gè)？【考點(diǎn)】加法原理之分類(lèi)枚舉【難度】4星【題型】填空【關(guān)鍵詞】華杯賽，初賽，試題，第12題適合要求的兩位數(shù)中，個(gè)位數(shù)字小于十位數(shù)字可將它們列出來(lái)：

十位數(shù)字個(gè)位數(shù)字

10

20，1

30，1，2

………

90，1，2，…，8

因此，適合要求的兩位數(shù)共有：1＋2十3＋…＋9＝＝45(個(gè))【答案】個(gè)假如一個(gè)大于9的整數(shù)，其每個(gè)數(shù)位上的數(shù)字都比他右邊數(shù)位上的數(shù)字小，那么我們稱(chēng)它為迎春數(shù)．那么，小于2008的迎春數(shù)一共有多少個(gè)？【考點(diǎn)】加法原理之分類(lèi)枚舉【難度】5星【題型】解答【考點(diǎn)】【難度】星【題型】填空【關(guān)鍵詞】2007年，迎春杯，中班級(jí)，初賽，5題,分類(lèi)爭(zhēng)辯思想(法1)兩位數(shù)中迎春數(shù)的個(gè)數(shù)．⑴十位數(shù)字為1的：12，13，……，19．8個(gè)⑵十位數(shù)字為2的：23，24，……29．7個(gè)⑶十位數(shù)字為3的：34，35，……39．6個(gè)⑷十位數(shù)字為4的：45，46，……49．5個(gè)⑸十位數(shù)字為5的：56，57，……59．4個(gè)⑹十位數(shù)字為6的：67，68，69．3個(gè)⑺十位數(shù)字為7的：78，79．2個(gè)⑻十位數(shù)字為8的：89．1個(gè)兩位數(shù)共個(gè)三位數(shù)中迎春數(shù)的個(gè)數(shù)⑴百位數(shù)字是1的：123～129，134～139……189．共28個(gè)．⑵百位數(shù)字是2的：234～239，……289．共21個(gè)．⑶百位數(shù)字是3的：345～349，……389．共15個(gè)．⑷百位數(shù)字是4的：456～458，……489．共10個(gè)．⑸百位數(shù)字是5的：567～569，……589．共6個(gè)．⑹百位數(shù)字是6的：678，679，689．共3個(gè)．⑺百位數(shù)字是7的：789．1個(gè)1000～1999中迎春數(shù)的個(gè)數(shù)⑴前兩位是12的：1234～1239，……，1289．共21個(gè)．⑵前兩位是13的：1345～1349，……，1389．共15個(gè)．⑶前兩位是14的：1456～1459，……，1489．共10個(gè)．⑷前兩位是15的：1567～1569，……，1589．共6個(gè)．⑸前兩位是16的：1678，1679，1689．3個(gè)．⑹前兩位是17的：1789．1個(gè)共56個(gè)．所以小于2008的迎春數(shù)共個(gè)．(法2)小于2008的迎春數(shù)只可能是兩位數(shù)，三位數(shù)和1000多的數(shù)．兩位數(shù)的取法有個(gè)．三位數(shù)的取法有個(gè)．1000多的迎春數(shù)的取法有個(gè)．所以共個(gè)．【答案】有些五位數(shù)的各位數(shù)字均取自1，2，3，4，5，并且任意相鄰兩位數(shù)字(大減小)的差都是1．問(wèn)這樣的五位數(shù)共有多少個(gè)？【考點(diǎn)】加法原理之分類(lèi)枚舉【難度】5星【題型】解答【關(guān)鍵詞】分類(lèi)爭(zhēng)辯思想⑴首位取1時(shí)，千位只能是2，百位可以是1和3．百位是1，十位只能是2，個(gè)位可以是1和3．2種．百位是3，十位可以是2和4；十位是2，個(gè)位可以是1和3，十位是4，個(gè)位可以是3和5．4種．所以，首位取1時(shí)，共有種．⑵首位取2時(shí)，千位可以是1和3．千位是1，百位只能是2，十位可以是1和3．有3種．千位是3，百位可以是2和4．百位是2，十位可是是1和3，有3種．百位是4，十位可以是3和5，有3種．千位是3時(shí)有種．所以首位取2時(shí)，共有種．⑶首位取3時(shí)，千位可以取2和4．千位是2，百位可以取1和3．百位是1，十位只能是2，個(gè)位可以是1和3；2種．百位是3時(shí)，十位可以是2和4．十位是2個(gè)位可以是1和3；十位是4，個(gè)位可以是3和5；4種．千位是4，百位可以取3和5．百位是5，十位只能是4，個(gè)位可以是3和5；2種．百位是3，十位可能是2和4．十位是2個(gè)位可以是1和3；十位是4個(gè)位可以是3和5；4種．所以，首位取3時(shí)，共有種．⑷首位取4時(shí)，千位可以取3和5．千位是5，百位只能是4，十位可以是3和5．十位是3個(gè)位可以是2和4；十位是5個(gè)位只能是4．有3種．千位是3，百位可以是2和4．百位是2，十位可以是1和3．十位是1個(gè)位只能是2；十位是3個(gè)位可以是2和4．有3種．百位是4，十位可以是3和5．十位是5個(gè)位只能是4；十位是3，個(gè)位可以是2和4．有3種．千位是3共有種．所以，首位取4時(shí)，共有種．⑸首位取5時(shí)，千位只能是4，百位可以是3和5．百位是5，十位只能是4，有2種；百位是3，十位可以是2和4，有4種．所以，首位取5時(shí)共有種．總共有：個(gè)也可以依據(jù)首位數(shù)字分別是1、2、3、4、5，畫(huà)5個(gè)樹(shù)狀圖，然后相加總共有：個(gè)【答案】從