24.4__弧長和扇形面積__第1課時(shí)弧長和扇形面積1.若扇形的半徑為6，圓心角為120°，則此扇形的弧長是(B)A．3πB．4πC．5πD．6π2．按圖24－4－1(1)的方法把圓錐的側(cè)面展開，得到圖24－4－1(2)所示的扇形，其半徑OA＝3，圓心角∠AOB＝120°，則eq\o(AB,\s\up8(︵))的長為(B)(1)(2)圖24－4－1A．πB．2πC．3πD．4π3．如果一個(gè)扇形的半徑是1，弧長是eq\f(π,3)，那么此扇形的圓心角的大小為(C)A．30°B．45°C．60°D．90°4．如果一個(gè)扇形的弧長等于它的半徑，那么此扇形稱為“等邊扇形”，則半徑為2的“等邊扇形”的面積為(C)A．πB．1C．2D.eq\f(2,3)π【解析】設(shè)扇形的半徑為r，弧長為l，根據(jù)扇形的面積公式得S＝eq\f(1,2)lr＝eq\f(1,2)r2＝2.5．鐘面上的分針的長為1，從9點(diǎn)到9點(diǎn)30分，分針在鐘面上掃過的面積是(A)A.eq\f(1,2)πB.eq\f(1,4)πC.eq\f(1,8)πD．π【解析】從9點(diǎn)到9點(diǎn)30分分針掃過的扇形的圓心角是180°，則分針在鐘面上掃過的面積是：eq\f(180π×12,360)＝eq\f(1,2)π.6．如圖24－4－2，AB與⊙O相切于點(diǎn)B，AO的延長線交⊙O于點(diǎn)C，連接BC，若∠ABC＝120°，OC＝3，則eq\o(BC,\s\up8(︵))的長為(B)A．πB．2πC．3πD．5π圖24－4－2第6題答圖【解析】如圖，連接OB，∵AB與⊙O相切于點(diǎn)B，∴∠ABO＝90°.∵∠ABC＝120°，∴∠OBC＝30°.∵OB＝OC，∴∠OCB＝30°，∴∠BOC＝120°，∴eq\o(BC,\s\up8(︵))的長為eq\f(nπr,180)＝eq\f(120π×3,180)＝2π.7．如圖24－4－3，水平地面上有一面積為30πcm2的扇形OAB，半徑OA＝6cm，且OA與地面垂直．在沒有滑動的情況下，將扇形向右滾動至OB與地面垂直為止，則O點(diǎn)移動的距離為(C)圖24－4－3A．20cmB．24cmC．10πcmD．30πcm【解析】點(diǎn)O移動的距離就是扇形的弧長，設(shè)扇形弧長為l，根據(jù)題意可得eq\f(1,2)l×6＝30π，解得l＝10πcm.8．在半徑為6cm的圓中，60°的圓心角所對的弧長等于__2π__cm(結(jié)果保留π【解析】弧長為eq\f(60π×6,180)＝2π(cm)．9．一個(gè)扇形的圓心角為120°，半徑為3，則這個(gè)扇形的面積為__3π__(結(jié)果保留π)．【解析】由題意得n＝120°，R＝3，故S扇形＝eq\f(nπR2,360)＝eq\f(120π×32,360)＝3π.圖24－4－410．如圖24－4－4，AB切⊙O于點(diǎn)B，OA＝2，∠OAB＝30°，弦BC∥OA，劣弧eq\o(BC,\s\up8(︵))的弧長為__eq\f(π,3)__.(結(jié)果保留π)11．如圖24－4－5，在3×3的方格中(共有9個(gè)小格)，每個(gè)小方格都是邊長為1的正方形，O，B，C是格點(diǎn)，則扇形OBC的面積等于__eq\f(5,4)π__(結(jié)果保留π)．圖24－4－512.如圖24－4－6，在邊長為1的小正方形組成的方格紙上，將△ABC繞著點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°.(1)畫出旋轉(zhuǎn)后的△AB′C′；(2)求線段AC在旋轉(zhuǎn)過程中所掃過的扇形的面積．圖24－4－6解：(1)如圖；(2)線段AC在旋轉(zhuǎn)過程中所掃過的扇形的面積＝S扇形ACC′＝eq\f(90π·22,360)＝π.13．如圖24－4－7，一根5m長的繩子，一端拴在圍墻墻角的柱子上，另一端拴著一只小羊A(羊只能在草地上活動)，那么小羊A在草地上的最大活動區(qū)域面積是(D圖24－4－7A.eq\f(17,12)πm2B.eq\f(17,6)πm2C.eq\f(25,4)πm2D.eq\f(77,12)πm214．如圖24－4－8，△ABC是正三角形，曲線CDEF叫做正三角形的漸開線，其中弧CD，弧DE，弧EF的圓心依次是A，B，C，如果AB＝1，那么曲線CDEF的長是__4π__．圖24－4－815．如圖24－4－9，在矩形ABCD中，AB＝2DA，以點(diǎn)A為圓心，AB為半徑的圓弧交DC于點(diǎn)E，交AD的延長線于點(diǎn)F，設(shè)DA＝2.(1)求線段EC的長；(2)求圖中陰影部分的面積．圖24－4－9解：(1)∵在矩形ABCD中，AB＝2DA，∴AE＝2AD，且∠ADE＝90°.又DA＝2，∴AE＝AB＝4，∴DE＝eq\r(AE2－AD2)＝eq\r(16－4)＝2eq\r(3)，∴EC＝DC－DE＝4－2eq\r(3).(2)S陰影＝S扇形AEF－S△ADE＝eq\f(60°×π×42,360°)－eq\f(1,2)×2×2eq\r(3)＝eq\f(8,3)π－2eq\r(3).16．如圖24－4－10，已知AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB，垂足為E，∠AOC＝60°，OC＝2.(1)求OE和CD的長；(2)求圖中陰影部分的面積．圖24－4－10【解析】∵∠CAD，∠DBE，∠ECF是等邊三角形的外角，∴∠CAD＝∠DBE＝∠ECF＝120°，又∵AC＝1，∴BD＝2，CE＝3，∴弧CD的長＝eq\f(1,3)×2π×1，弧DE的長＝eq\f(1,3)×2π×2，弧EF的長＝eq\f(1,3)×2π×3，∴曲線CDEF的長＝eq\f(1,3)×2π×1＋eq\f(1,3)×2π×2＋eq\f(1,3)×2π×3＝4π.解：(1)在△OCE中，∵∠CEO＝90°，∠EOC＝60°，∴∠OCE＝30°.∵OC＝2，∴OE＝eq\f(1,2)OC＝1，∴CE＝eq\r(OC2－OE2)＝eq\r(3).∵OA⊥CD，∴CE＝DE，∴CD＝2CE＝2eq\r(3).(2)∵S△ABC＝eq\f(1,2)AB·CE＝eq\f(1,2)×4×eq\r(3)＝2eq\r(3)，∴S陰影＝S半圓－S△ABC＝eq\f(1,2)π×22－2eq\r(3)＝2π－2eq\r(3).17．如圖24－4－11，AB是⊙O的直徑，C是半圓O上的一點(diǎn)，AC平分∠DAB，AD⊥CD，垂足為D，AD交⊙O于E，連接CE.(1)判斷CD與⊙O的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論；(2)若E是eq\o(AC,\s\up8(︵))的中點(diǎn)，⊙O的半徑為1，求圖中陰影部分的面積．圖24－4－11解：(1)CD與圓O相切，理由為：∵AC為∠DAB的平分線，∴∠DAC＝∠BAC，∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA，∴∠DAC＝∠OCA，∴OC∥AD，∵AD⊥CD，∴OC⊥CD，∴CD與圓O相切；(2)連接EB，由AB為直徑，得到∠AEB＝90°，∴EB∥CD，F(xiàn)為EB的中點(diǎn)，∴OF為△ABE的中位線，∴OF＝eq\f(1,2)AE＝eq\f(1,2)，即CF＝DE＝eq\f(1,2)，在Rt△OBF中，根據(jù)勾股定理得：EF＝FB＝DC＝eq\f(\r(3),2)，則S陰影＝S△DEC＝eq\f(1,2)×eq\f(1,2)×eq\f(\r(3),2)＝eq\