PAGE27-安徽省淮北市樹人高級中學2024-2025學年高二數學下學期第一次階段考試試題文一、單項選擇題（本大題共12小題，共60.0分）已知集合，集合QUOTE，其中全集，則QUOTE

QUOTEA.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【答案】D【解析】【分析】

本題主要考查對數函數的性質以及集合的交、并、補混合運算，屬于基礎題．

依據集合的交、并、補集的定義運算即可．

【解答】

解：因為集合

QUOTE或QUOTE，

則QUOTE，

集合QUOTE，

所以QUOTE．

故選D．

已知定義域為R的函數QUOTE在QUOTE上單調遞增，且QUOTE為偶函數，若QUOTE，則不等式QUOTE的解集為QUOTEA.QUOTE B.QUOTE

C.QUOTE D.QUOTE【答案】A【解析】【分析】本題考查函數單調性和奇偶性，屬于基礎題．

依據QUOTE為偶函數可得直線QUOTE為函數QUOTE的對稱軸，由函數QUOTE在QUOTE上單調遞增，可得QUOTE在R上的單調性，最終解答不等式即可．

【解答】解：由題意QUOTE為偶函數，

則QUOTE的圖像關于直線QUOTE對稱，

則QUOTE．

又QUOTE在QUOTE上單調遞增，

所以QUOTE在QUOTE上單調遞減，

所以由QUOTE得QUOTE，

所以QUOTE，

故不等式QUOTE的解集為QUOTE，

故選A．

圓QUOTE在點QUOTE處的切線方程為QUOTEA.QUOTE B.QUOTE

C.QUOTE D.QUOTE【答案】D【解析】【分析】

本題考查求圓的切線方程，屬于基礎題．

因為點P在圓上，所以點P是切點，圓心與切點的連線與切線垂直，由此求出切線斜率，利用點斜式寫出切線方程．

【解答】

解：因為點QUOTE在圓上，

所以點P是切點，圓心與點P的連線與切線垂直，

又因為圓心QUOTE，故斜率為QUOTE，

所以切線斜率為QUOTE，

所以切線方程為QUOTE，

即QUOTE．

故選D．

在1930年，德國漢堡高校學生考拉茲提出猜想：對于每一個正整數，假如它是奇數，則對它乘3再加1：假如它是偶數，則對它除以QUOTE如此循環(huán)，最終都能得到QUOTE閱讀如圖所示的程序框圖，運行相應程序，輸出的結果QUOTEA.6 B.7 C.8 D.9【答案】C【解析】解：QUOTE，QUOTE，

a為奇數，QUOTE，QUOTE，

a為偶數，QUOTE，QUOTE，

a為奇數，QUOTE，QUOTE，

a為偶數，QUOTE，QUOTE，

a為偶數，QUOTE，QUOTE，

a為偶數，QUOTE，QUOTE，

a為偶數，QUOTE，QUOTE，跳出循環(huán)，

故選：C．

依據題意一步一步進行運算，直到跳出循環(huán)．

本題考查程序框圖，屬于基礎題．

已知等差數列QUOTE、QUOTE，其前n項和分別為QUOTE、QUOTE，QUOTE，則QUOTE

QUOTEA.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.15【答案】A【解析】【分析】

本題考查了等差數列的性質以及前n項和公式，考查分析與計算實力，屬于基礎題．

利用等差數列的性質以及前n項和公式，逆向構造得QUOTE，從而求出其比值．

【解答】

解：因為QUOTE，

故選A．

中國南宋大數學家秦九韶提出了“三斜求積術”，即已知三角形三邊長求三角形面積的公式：設三角形的三條邊長分別為QUOTEQUOTE，則三角形的面積可由公式求得，其中為三角形周長的一半，這個公式也被稱為海倫QUOTE秦九韶公式，現有一個三角形的邊長滿意，，則此三角形面積的最大值為QUOTE

QUOTE

A. B.3 C. D.【答案】B【解析】【分析】

本題考查了利用基本不等式求最值，屬于基礎題．

由題意，計算p的值，代入QUOTE中，利用基本不等式求出它的最小值．

【解答】

解：由QUOTE，QUOTE，得QUOTE；

所以QUOTE

QUOTE，

當且僅當QUOTE時取等號．

所以QUOTE，即此三角形面積的最大值為3．

故選B．

如圖，在QUOTE中，QUOTE，P是BN的中點，若QUOTE，則實數m的值是QUOTE

QUOTEA.QUOTE

B.1

C.QUOTE

D.QUOTE【答案】C【解析】【分析】本題主要考查平面對量的加法，減法及幾何意義，考查學生推理實力，屬于基礎題．

利用向量的加法，減法運算得QUOTE，利用平面對量基本定理得QUOTE．【解答】解：因為P是BN的中點，所以QUOTE．

所以QUOTE

QUOTE，

因為QUOTE，所以QUOTE．

故選C．

下列命題中，真命題的個數是QUOTE

QUOTE若“QUOTE”為真命題，則“QUOTE”為真命題；

QUOTE“QUOTE，函數QUOTE在定義域內單調遞增”的否定；

QUOTE為直線，QUOTE，QUOTE為兩個不同的平面，若QUOTE，QUOTE，則QUOTE；

QUOTE“QUOTE，QUOTE”的否定為“QUOTE，QUOTE”．A.1 B.2 C.3 D.【答案】A【解析】【分析】

本題考查命題的真假的推斷與應用，涉及復合命題的真假，指數函數的單調性，全稱命題的否定，直線與平面的位置關系的應用，屬于基礎題．

利用復合命題的真假推斷QUOTE的正誤；利用指數函數的單調性推斷QUOTE的正誤；由直線與平面的位置關系推斷QUOTE的正誤；由全稱命題的否定推斷QUOTE的正誤．

【解答】

解：QUOTE若“QUOTE”為真命題，可知兩個命題至少一個是真命題，不能推斷“QUOTE”為真命題，所以QUOTE不正確；

QUOTE“QUOTE，函數QUOTE在定義域內單調遞增”的否定：“QUOTE，函數QUOTE在定義域內單調遞減”；例如QUOTE，QUOTE在定義域內單調遞減，所以QUOTE正確；

QUOTE為直線，QUOTE，QUOTE為兩個不同的平面，若QUOTE，QUOTE，則QUOTE，也可能QUOTE，所以QUOTE不正確；

QUOTE“QUOTE，QUOTE”的否定為“QUOTE，QUOTE”，不滿意全稱命題的否定形式，正確的應為：“QUOTE，QUOTE”的否定為“QUOTE，QUOTE”，所以QUOTE不正確．

只有QUOTE是真命題，

故選：A．

設O為坐標原點，P是以F為焦點的拋物線QUOTE上的隨意一點，M是線段PF的中點，則直線OM的斜率的最大值為QUOTEA.QUOTE B.1 C.QUOTE D.2【答案】B【分析】本題主要考查了拋物線的性質及幾何意義，考查基本不等式運用，屬于中檔題．

由題意得點M坐標，表示出直線OM的斜率，依據基本不等式即可求解．

【解答】解：設QUOTE，QUOTE，M是線段PF的中點，所以QUOTE

直線OM的斜率QUOTE，明顯當QUOTE時，斜率k較大，

此時QUOTE，當且僅當QUOTE，即QUOTE時，斜率最大，最大值為1．

故選B．

已知函數QUOTE在QUOTE上有極值，則實數a的取值范圍為QUOTE

QUOTEA.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【答案】B【解析】【分析】

本題主要考查了導數的運算和利用導數探討函數的單調性和利用導數探討函數的極值，屬于基礎題．

先求出QUOTE的導數，然后因為函數QUOTE在QUOTE上有極值，故令QUOTE，即QUOTE，然后構造函數QUOTE，利用導數推斷其單調性和極值進而推斷出QUOTE的單調性，進而求出答案．

【解答】

解：因為QUOTE，故QUOTE，令QUOTE，即QUOTE在QUOTE上有解，令QUOTE則QUOTE；

構造函數QUOTE，QUOTE，QUOTE在QUOTE上單調遞增，在QUOTE上單調遞減，QUOTE，所以QUOTE，因為函數QUOTE在QUOTE上有極值當QUOTE時，QUOTE，在QUOTE上恒成立，QUOTE在QUOTE上單調遞減，沒有極值點故舍去，所以a的取值范圍是QUOTE；故選B．

已知雙曲線QUOTE的左、右焦點分別為QUOTE，QUOTE，實軸長為6，漸近線方程為QUOTE，動點M在雙曲線左支上，點N為圓QUOTE上一點，則QUOTE的最小值為QUOTE

QUOTEA.8 B.9 C.10 D.【答案】B【分析】本題考查雙曲線的定義以及圓的性質．

【關鍵點撥】當點QUOTE，M，N三點共線時，QUOTE取得最小值，且QUOTE．

【方法總結】圓錐曲線中多動點問題

關鍵是利用圓錐曲線QUOTE橢圓、雙曲線、拋物線QUOTE的定義通過焦點轉化為三點共線的問題，然后利用數形結合求解最大QUOTE最小QUOTE值即可．

【解答】解：由題意可得QUOTE，即QUOTE，

漸近線方程為QUOTE，即有QUOTE，即QUOTE，

可得雙曲線方程為QUOTE，焦點為QUOTE，QUOTE．

由雙曲線的定義可得QUOTE．

由圓QUOTE可得圓心QUOTE，半徑QUOTE，QUOTE．

如圖，連接QUOTE，交雙曲線于M，交圓于N，

可得QUOTE取得最小值，且QUOTE，

則QUOTE的最小值為QUOTE．

故選B．

已知函數QUOTE在QUOTE處的切線的斜率為QUOTE，若該函數存在兩個不同的零點QUOTE，則QUOTE取值范圍是QUOTE

QUOTEA.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【答案】C【解析】解：QUOTE的導數為QUOTE，

可得在QUOTE處的切線的斜率為QUOTE，

由QUOTE，可得QUOTE，

則QUOTE，

由題意可得QUOTE，

即有QUOTE，

由QUOTE，QUOTE，可得QUOTE，

設QUOTE，要證QUOTE，

即證QUOTE，

即為QUOTE，QUOTE

設QUOTE，QUOTE，即證QUOTE，

即為QUOTE，

設QUOTE，QUOTE，

導數為QUOTE，

可得QUOTE在QUOTE遞減，則QUOTE，

可得QUOTE，QUOTE，

則QUOTE成立．

則QUOTE，

則QUOTE．

則QUOTE取值范圍是QUOTE故選：C．求得QUOTE的導數，可得切線的斜率，解得a，再由零點的定義和不等式的性質，可得QUOTE的取值范圍．

本題考查導數的幾何意義和不等式的性質，考查方程思想和運算實力，屬于難題．

二、填空題（本大題共4小題，共20.0分）已知橢圓E：QUOTE的右焦點為QUOTE，若點F到直線QUOTE的距離為QUOTE，則E的離心率為________．【答案】QUOTE【解析】【分析】

本題考查了橢圓的性質，點到直線距離公式的運用，考查了運算求解實力，屬于基礎題．

依據點F到直線QUOTE的距離為QUOTE，運用點到直線距離公式建立等式，結合QUOTE得到a與c的關系，即可求解．

【解答】

解：由題意，因為點F到直線QUOTE的距離為QUOTE

所以QUOTE，

整理得QUOTE，

又QUOTE，

所以QUOTE，

即QUOTE，

所以QUOTE，

所以橢圓E的離心率QUOTE．

故答案為QUOTE．

已知函數QUOTE，若QUOTE在QUOTE上恒成立，則實數a的取值范圍是________．【答案】

QUOTE【解析】【分析】

本題主要考查不等式恒成立問題，利用參數分別法以及構造法是解決本題的關鍵．

利用參數分類法，轉化求函數的最值問題，構造函數，求函數的導數，利用導數法進行求解即可．

【解答】

解：QUOTE函數QUOTE，且QUOTE在QUOTE上恒成立，

QUOTE在QUOTE上恒成立，

QUOTE．

令QUOTE，有QUOTE．

QUOTE，QUOTE，

QUOTE在QUOTE上為減函數，

QUOTE當QUOTE時，QUOTE，

QUOTE．

故答案為

QUOTE．

已知p：關于x的不等式QUOTE對隨意的QUOTE恒成立；q：函數在R上是增函數QUOTE成立．若QUOTE為真，QUOTE為假，則實數m的取值范圍為________．【答案】QUOTE【解析】【分析】

求解本題應留意依據p與q一真一假進行分類探討．本題考查與邏輯聯結詞有關的參數問題．

【解答】解：若P為真，則QUOTE在QUOTE時恒成立．

又函數QUOTE在QUOTE上是增函數，可得其在QUOTE上的最小值為QUOTE，因此只需QUOTE即可，所以QUOTE．

若q為真，則由QUOTE在R上是增函數，

又QUOTE，可得QUOTE，解得QUOTE或QUOTE．若QUOTE為真，QUOTE為假，則p與q一真一假．若p真q假，則QUOTE所以QUOTE；若p假q真，則QUOTE所以QUOTE．綜上，實數m的取值范圍是QUOTE．

已知函數QUOTE，QUOTE，QUOTE在區(qū)間QUOTE上單調遞減，則QUOTE________．【答案】2【解析】【分析】

本題考查函數QUOTE的性質，涉及協助角公式，屬于中檔題．

由題意可得QUOTE，因為QUOTE

QUOTE，可得QUOTEZQUOTE，又由QUOTE，即可得出答案．

【解答】

解：QUOTE在QUOTE上單調遞減，且QUOTE，

QUOTE，

QUOTE

QUOTE，

QUOTE

QUOTE，QUOTEZQUOTE，QUOTEZQUOTE，

又由QUOTE，QUOTE，得QUOTE，QUOTE．

三、解答題（本大題共7小題，共80.0分）數列QUOTE的前n項和QUOTE，QUOTE．QUOTE求數列QUOTE的通項公式；QUOTE設QUOTE，求QUOTE的前n項和QUOTE．【答案】解：QUOTE當QUOTE時，QUOTE；當QUOTE時，QUOTE

QUOTE，當QUOTE時，也滿意上式，

故數列QUOTE的通項公式為QUOTE，QUOTE．QUOTE由QUOTE知，QUOTE．

則QUOTE，QUOTE，

兩式相減得

QUOTE，

QUOTE．【解析】本題考查數列的通項公式及數列的求和，考查了學生的計算實力，培育了學生分析問題與解決問題的實力，為中檔題．

QUOTE依據題意利用QUOTE與QUOTE的關系即可得到結果；

QUOTE由QUOTE，知QUOTE，即QUOTE，進而利用錯位相減法即可求得結果．

已知QUOTE的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且QUOTE，QUOTE，QUOTE．

QUOTEⅠQUOTE求角A的大??；

QUOTEⅡQUOTE若QUOTE，求QUOTE的周長L的取值范圍．【答案】解：QUOTEⅠQUOTE由已知得：QUOTE，

再由正弦定理得：QUOTE，

QUOTE，

QUOTE，

又QUOTE，則QUOTE，

由QUOTE化簡得，QUOTE，

又QUOTE，

QUOTE．

QUOTEⅡQUOTE法一：由余弦定理：QUOTE，

得QUOTE，

即：QUOTE，而QUOTE，

QUOTE當且僅當QUOTE時等號成立QUOTE

從而QUOTE，得QUOTE，

又QUOTE，

QUOTE，從而周長QUOTE；

法二：由正弦定理得：QUOTE，

QUOTE，又QUOTE，

從而QUOTE的周長：

QUOTE，

QUOTE，

QUOTE，

QUOTE，

從而：QUOTE．【解析】本題考查平面對量數量積的運算，設計到正、余弦定理，屬于中檔題．

QUOTEⅠQUOTE由條件QUOTE可得QUOTE，再結合正弦定理及三個角之間的關系可得QUOTE，進而求出A；

QUOTEⅡQUOTE法一：利用余弦定理再結合基本不等式可得QUOTE，則可求出周長L的范圍．

法二：依據正弦定理用關于B的三角函數表示出周長，依據B的范圍及正弦型函數的值域求得L范圍．

某購物網站為優(yōu)化營銷策略，從某天在該網站進行網購消費且消費金額不超過1000元的網購者中隨機抽取100人進行調查，依據調查數據，按消費金額分成QUOTE，QUOTE，QUOTE，QUOTE，QUOTE五組，得到的頻率分布直方圖如圖所示．已知樣本中網購者的平均消費金額是568元QUOTE同一組中的每個數據用該組區(qū)間的中點值代替QUOTE．

QUOTE求頻率分布直方圖中的x，y的值；QUOTE若從消費金額少于400元的網購者中采納分層抽樣法隨機抽取6人，再從這6人中隨機抽取2人，求這2人的消費金額都在QUOTE內的概率．【答案】解：QUOTE由頻率分布直方圖得QUOTE，

因此QUOTE

QUOTE．

又因為樣本中網購者的平均消費金額是568元，

所以QUOTE，

因此QUOTE

QUOTE．

由QUOTE解得QUOTE，QUOTE．

QUOTE由QUOTE可知消費金額在QUOTE內的網購者有QUOTE人，

消費金額在QUOTE內的網購者有QUOTE人，

則從消費金額少于400元的網購者抽取的6人中，

消費金額在QUOTE內的有2人，記為A，B，

消費金額在QUOTE內的有4人，記為a，b，c，d．

從這6人中隨機抽取2人的狀況有：

AB，Aa，Ab，Ac，Ad，

Ba，Bb，Bc，Bd，

ab，ac，ad，

bc，bd，

cd，共15種，

其中這2人的消費金額都在QUOTE內的狀況有：

ab，ac，ad，bc，bd，cd，共6種．

因此所求概率QUOTE．【解析】【試題解析】

本題考查了頻率分布直方圖，眾數、中位數、平均數，分層隨機抽樣和古典概型的計算與應用，考查了學生的計算實力，屬于中檔題．

QUOTE利用頻率分布直方圖得QUOTE

，再利用頻率分布直方圖求平均數得QUOTE，最終解方程組得結論；

QUOTE利用分層隨機抽樣得消費金額在QUOTE內的有2人，記為A，B，消費金額在QUOTE內的有4人，記為a，b，c，d，再古典概型的計算，計算得結論．

如圖所示，在三棱錐QUOTE中，平面QUOTE平面ABC，QUOTE為等邊三角形，QUOTE且QUOTE，O，M分別為AB，VA的中點．

QUOTE求證：平面QUOTE平面VAB；

QUOTE求三棱錐QUOTE的體積．

【答案】證明：QUOTE，O為AB的中點，

QUOTE，

又QUOTE平面QUOTE平面ABC，平面QUOTE平面QUOTE，且QUOTE平面ABC，

QUOTE平面VAB，

QUOTE平面MOC，

QUOTE平面QUOTE平面VAB；

解：QUOTE等腰直角三角形ACB中，QUOTE，QUOTE，QUOTE，

QUOTE等邊三角形VAB的邊長為2，QUOTE，

又QUOTE平面VAB，

QUOTE三棱錐QUOTE的體積QUOTE．【解析】QUOTE證明QUOTE平面VAB，即可證明平面QUOTE平面VAB；

QUOTE三棱錐QUOTE的體積QUOTE由此能求出結果．

本題考查平面與平面垂直的判定，考查體積的計算，正確運用線面平行、平面與平面垂直的判定定理是關鍵，是中檔題

已知橢圓QUOTE的右焦點QUOTE，離心率為QUOTE，過F作兩條相互垂直的弦AB，CD，設AB，CD的中點分別為M，N．QUOTE求橢圓的方程；QUOTE證明：直線MN必過定點，并求出此定點坐標；QUOTE若弦AB，CD的斜率均存在，求QUOTE面積的最大值．【答案】解：QUOTE由題意得QUOTE，QUOTE，QUOTE，QUOTE．QUOTE橢圓的方程為QUOTE．QUOTE證明：QUOTE當直線AB，CD有一條斜率不存在時，直線MN即為直線OF，此時直線MN過點QUOTE．QUOTE當直線AB，CD的斜率均存在時，設直線AB的方程為QUOTE，設QUOTE，QUOTE，則有QUOTE，聯立QUOTE消去y得QUOTE，QUOTE，則QUOTE，即QUOTE，將上式中的k換成QUOTE，同理可得QUOTE，若QUOTE，解得QUOTE，直線MN斜率不存在，此時直線MN過點QUOTE．若直線MN的斜率存在，則QUOTE，則QUOTE，直線MN為QUOTE，令QUOTE，得QUOTE．綜上，直線MN過定點QUOTE．QUOTE由QUOTE可知直線MN過定點QUOTE，又直線AB的斜率QUOTE，故QUOTE，令QUOTEQUOTE在QUOTE上單調遞減，當QUOTE時，QUOTE取得最大值，即QUOTE取得最大值QUOTE，此時QUOTE．【解析】【分析】本題考查橢圓的標準方程，直線與橢圓的位置關系，重點是直線過定點問題以及三角形的最值，屬較難題．

QUOTE依據已知條件求橢圓的標準方程；

QUOTE分類探討直線的斜率不存在和斜率存在，聯立QUOTE利用韋達定理求點的坐標探討直線過定點問題；

QUOTE由QUOTE條件，故QUOTE，令QUOTE，利用基本不等式求最值．

在平面直角坐標系xOy中，曲線C的參數方程為QUOTE為參數QUOTE，在以原點O為極點，x軸正半軸為極軸的極坐標系中，直線l的極坐標方程為QUOTE．QUOTE求C的一般方程和l的傾斜角；