2.2.2間接證明eq\a\vs4\al\co1(雙基達標限時20分鐘)1．否定“自然數(shù)a、b、c中恰有一個偶數(shù)”時正確的反設(shè)為____________________．解析恰有一個偶數(shù)的否定有兩種情況，其一是無偶數(shù)(全為奇數(shù))，其二是至少有兩個偶數(shù)．答案a、b、c中或都是奇數(shù)或至少有兩個偶數(shù)2．用反證法證明一個命題時，下列說法正確的是________．①將結(jié)論與條件同時否定，推出矛盾；②肯定條件，否定結(jié)論，推出矛盾；③將被否定的結(jié)論當(dāng)條件，經(jīng)過推理得出的結(jié)論只與原題條件矛盾，才是反證法的正確運用；④將被否定的結(jié)論當(dāng)條件，原題的條件不能當(dāng)條件．答案②3．求證：一個三角形中，至少有一個內(nèi)角不小于60°，用反證法證明時的假設(shè)為“三角形的________”．解析“不小于”的否定是“小于”．答案三個內(nèi)角都小于60°4．用反證法證明命題：若整系數(shù)一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有有理根，那么a，b，c中至少有一個是偶數(shù)時，下列假設(shè)中正確的是________．①假設(shè)a，b，c都是偶數(shù)；②假設(shè)a，b，c都不是偶數(shù)；③假設(shè)a，b，c至多有一個是偶數(shù)；④假設(shè)a，b，c至多有兩個是偶數(shù)．解析“至少有一個”的否定是“沒有一個”，即“都不是”．答案②5．將“函數(shù)f(x)＝4x2－2(p－2)x－2p2－p＋1在區(qū)間[－1，1]上至少存在一個實數(shù)c，使f(c)>0”反設(shè)，所得命題為“____________”答案函數(shù)f(x)＝4x2－2(p－2)x－2p2－p＋1在區(qū)間[－1,1]上恒小于等于06．已知a、b、c是一組勾股數(shù)，即a2＋b2＝c2，求證：a、b、c不可能都是奇數(shù)．證明假設(shè)a、b、c都是奇數(shù)，∵a、b、c是一勾股數(shù)，∴a2＋b2＝c2.(*)∵a、b、c都是奇數(shù)，∴a2、b2、c2也都是奇數(shù)，∴a2＋b2是偶數(shù)，這樣(*)式的左邊是偶數(shù)，右邊是奇數(shù)，產(chǎn)生矛盾．∴a、b、c不可能都是奇數(shù)．eq\a\vs4\al\co1(綜合提高限時25分鐘)7．用反證法證明命題“a，b∈N，ab可以被5整除，那么a，b中至少有一個能被5整除”；那么假設(shè)的內(nèi)容是__________．解析“至少有n個”的否定是“最多有n－1個”．答案a，b中沒有一個能被5整除8．和兩異面直線AB，CD都相交的直線AC，BD的位置關(guān)系是________．解析假設(shè)AC與BD共面于α，則點A，C，B，D都在α內(nèi)，∴AB與CD共面于α，這與AB，CD異面的條件矛盾．∴AC與BD異面．答案異面9．完成反證法證題的全過程．題目：設(shè)a1，a2，…，a7是1,2，…，7的一個排列，求證：乘積p＝(a1－1)(a2－2)…(a7－7)為偶數(shù)．證明假設(shè)p為奇數(shù)，則________均為奇數(shù) ①因奇數(shù)個奇數(shù)之和為奇數(shù)，故有奇數(shù)＝________ ②＝________ ③ ＝0.但奇數(shù)≠偶數(shù)，這一矛盾說明p為偶數(shù)．答案a1－1，a2－2，…，a7－7(a1－1)＋(a2－2)＋…＋(a7－7)(a1＋a2＋…＋a7)－(1＋2＋…＋7)10．若下列兩個方程x2＋(a－1)x＋a2＝0，x2＋2ax－2a＝0中至少有一個方程有實根，則實數(shù)a解析若方程x2＋(a－1)x＋a2＝0有實根，則(a－1)2－4a2≥0，∴－1≤a≤eq\f(1,3).若方程x2＋2ax－2a則4a2＋8a≥0，∴a≤－2或a∴當(dāng)兩個方程至少有一個實根時，－1≤a≤eq\f(1,3)或a≤－2或a≥0.即a≤－2或a≥－1.答案a≤－2或a≥－111．已知函數(shù)f(x)＝ax＋eq\f(x－2,x＋1)(a＞1)．(1)證明：函數(shù)f(x)在(－1，＋∞)上為增函數(shù)；(2)用反證法證明方程f(x)＝0沒有負數(shù)根．證明(1)任取x1、x2∈(－1，＋∞)，不妨設(shè)x1＜x2，則x2－x1＞0.ax2－x1＞1，且ax1＞0，所以ax2－ax1＝ax1(ax2－x1－1)＞0.又因為x1＋1＞0，x2＋1＞0.所以eq\f(x2－2,x2＋1)－eq\f(x1－2,x1＋1)＝eq\f(x2－2x1＋1－x1－2x2＋1,x1＋1x2＋1)＝eq\f(3x2－x1,x1＋1x2＋1)＞0，所以f(x2)－f(x1)＝ax2－ax1＋eq\f(x2－2,x2＋1)－eq\f(x1－2,x1＋1)＞0.故函數(shù)f(x)在(－1，＋∞)上為增函數(shù)．(或利用導(dǎo)數(shù)知識證明)(2)假設(shè)存在x0＜0(x0≠－1)，滿足f(x0)＝0，則ax0＝－eq\f(x0－2,x0＋1)，且0＜ax0＜1，所以0＜－eq\f(x0－2,x0＋1)＜1，即eq\f(1,2)＜x0＜2，與假設(shè)x0＜0矛盾，故方程f(x0)＝0沒有負根．12．已知函數(shù)f(x)＝eq\f(x2,2x－2)，如果數(shù)列{an}滿足a1＝4，an＋1＝f(an)，求證：當(dāng)n≥2時，恒有an<3成立．證明法一(直接證法)由an＋1＝f(an)得an＋1＝eq\f(a\o\al(2,n),2an－2)，∴eq\f(1,an＋1)＝－eq\f(2,a\o\al(2,n))＋eq\f(2,an)＝－2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)－\f(1,2)))2＋eq\f(1,2)≤eq\f(1,2)，∴an＋1<0或an＋1≥2；(1)若an＋1<0，則an＋1<0<3，∴結(jié)論“當(dāng)n≥2時，恒有an<3”(2)若an＋1≥2，則當(dāng)n≥2時，有an＋1－an＝eq\f(a\o\al(2,n),2an－2)－an＝eq\f(－a\o\al(2,n)＋2an,2an－1)＝eq\f(－anan－2,2an－1)≤0，∴an＋1≤an，即數(shù)列{an}在n≥2時單調(diào)遞減；由a2＝eq\f(a\o\al(2,1),2a1－2)＝eq\f(16,8－2)＝eq\f(8,3)<3，可知an≤a2<3，在n≥2時成立．綜上，由(1)、(2)知：當(dāng)n≥2時，恒有an<3成立．法二(用反證法)假設(shè)an≥3(n≥2)，則由已知得an＋1＝f(an)＝eq\f(a\o\al(2,n),2an－2)，∴當(dāng)n≥2時，eq\f(an＋1,an)＝eq\f(an,2an－2)＝eq\f(1,2)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,an－1)))≤eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,2)))＝eq\f(3,4)<1，(∵an－1≥3－1)，又易證an>0，∴當(dāng)n≥2時，an＋1<an，∴當(dāng)n>2時，an<an－1<…<a2；而當(dāng)n＝2時，a2＝eq\f(a\o\al(2,1),2a1－2)＝eq\f(16,8－2)＝eq\f(8,3)<3，∴當(dāng)n≥2時，an<3；這與假設(shè)矛盾，故假設(shè)不成立，∴當(dāng)n≥2時，恒有an<3成立．13．(創(chuàng)新拓展)如圖所示，已知兩個正方形ABCD和DCEF不在同一平面內(nèi)，M，N分別為AB、DF的中點．(1)若平面ABCD⊥平面DCEF，求直線MN與平面DCEF所成角的正弦值；(2)用反證法證明：直線ME與BN是兩條異面直線．(1)解法一如圖所示，取CD的中點G，連接MG，NG，設(shè)正方形ABCD，DCEF的邊長為2，則MG⊥CD，MG＝2，NG＝eq\r(2)，∵平面ABCD⊥平面DCEF，∴MG⊥平面DCEF，∴∠MNG是MN與平面DCEF所成的角．∵MN＝eq\r(6)，∴sin∠MNG＝eq\f(\r(6),3)，∴直線MN與平面DCEF所成角的正弦值為eq\f(\r(6),3).法二設(shè)正方形ABCD，DCEF的邊長為2，以D為坐標原點，分別以射線DC，DF，DA為x，y，z軸正半軸建立空間直角坐標系，如圖所示．則M(1,0,2)，N(0,1,0)，∴eq\o(MN,\s\up6(→))＝(－1,1，－2)．又eq\o(DA,\s\up6(→))＝(0,0,2)為平面DCEF的法向量，∴cos〈eq\o(MN,\s\up6(→))，eq\o(DA,\s\up6(→))〉＝eq\f(\o(MN,\s\up6(→))·\o(DA,\s\up6(→)),|\o(MN,\s\up6(→))||\o(DA,\s\up6(→))|)＝－eq\f(\r(6),3)，∴MN與平面DCEF所成角的正弦值為|cos〈eq\o(MN,\s\up6(→))，eq\o(DA,\s\up6(→))〉