2.2.3直線的一般式方程

2.2.4直線的方向向量與法向量

基礎(chǔ)過關(guān)練

題組一直線的一般式方程

1.若方程mx+(m2-m)y+l=0表示的圖形是一條直線,則實數(shù)m的取值范圍

是.

2.(2020北京天壇中學(xué)模擬)已知直線Ax+By+C=0的斜率為5,且A-2B+3c=0,則該

直線的方程為.

3.(2021江蘇宿豫中學(xué)期中)過點A(-2,8)且與直線x-V3y+5=0成60。角的直線的

一般式方程是.

題組二直線三種方程之間的轉(zhuǎn)化

4.(2022湖南懷化一中期中)下列有關(guān)直線l:x+my-l=0(m￡R)的說法中正確的是

()

A.直線1的斜率為-m

B.直線1的斜率為二

m

C.直線1過定點(0,1)

D.直線1過定點(1,0)

5.(2022湖南師大附中月考)已知直線ax+y-2+a=0在兩坐標軸上的截距相等，則實

數(shù)a=()

A.lB.-1

C.2或1D.-2或1

6.(2022北京人大附中期中)直線xsina+gy+l=0(a￡R)的傾斜角的取值范圍是

()

.rirHIC55K

A1■—4；—dB16—,—6J

C.[喝唔")D.[o,2喂E)

7.(2021山東昌邑一中期中)已知直線4x+m2y-m=0(m>0),若此直線在x軸和y軸的

截距的和取得最小值，則直線的方程為()

A.4x+2y-V2=0B.4x+y-l=0

C.2x-2y+l=0D.2x+2y-l=0

8.設(shè)直線1的方程為(m2-2m-3)x+(2m2+m-l)y=-2m+6,根據(jù)下列條件分別確定m的

值.

⑴直線1在x軸上的截距為-3;

(2)直線1的傾斜角為45。.

題組三直線的方向向量與法向量

9.若直線1的傾斜角等于135。,則下列向量中不是直線1的方向向量的是()

A.(2,2)B.(-3,3)

C.(V2,-V2)D&J

10.(2020遼寧阜新一中月考)已知向量a=(l,3)是直線1的一個方向向量，點A(2,7)

和點B(-l,y)均在直線1上，則y的值為()

A.-9B.10C.4D.-2

11.(2020湖南岳陽一中期中)若直線1的一個法向量是則其傾斜角為

()

A.30°B.60°C.1200D.1500

12.(2022湖南雅禮中學(xué)期中)若直線1經(jīng)過點P(-2,l),且直線1的一個法向量為

v=(2,-l),則直線1的方程為.

能力提升練

題組直線三種方程的應(yīng)用

1.(2022湖南永州月考)關(guān)于x,y的方程a2x-ay-l=0(ar0)表示的直線(圖中實線)可

能是()

2.(2022湖南常德期末)已知點A(1,3),B(2,1),若直線l:y=k(x+2)-l與線段AB相交，

則k的取值范圍是()

A?原+8)

RS，才

C(-8,(|U生+8)

D[?i]

3.(多選)(2021安徽合肥期中)已知直線1過點P(-l,l),且與直線h：2x-y+3=0以及x

軸圍成一個底邊在x軸上的等腰三角形，則下列結(jié)論中正確的是()

A.直線1與直線1]的斜率互為相反數(shù)

B.直線1與直線h的傾斜角互補

C.直線1在y軸上的截距為-1

D.這樣的直線1有兩條

4.已知直線1的傾斜角是直線x-4y+3=0的傾斜角的2倍，且1經(jīng)過點P(3,2),則直線

1的方程為.

5.已知直線l:2x-2y+l=0,其法向量記為a,直線m的方向向量記為m,<a,m>=60。,且

點A(l,2),B(4,-2)到直線m的距離相等,則直線m的方程為.

6.(2022山東濟寧實驗中學(xué)月考)直線1過點(4,1)且與x軸、y軸的正半軸分別交于

A,B兩點Q為坐標原點，則AAOB面積的最小值為，當(dāng)AAOB面積取最

小值時，直線1的一般式方程是.

7.已知4ABC的三個頂點分別為A(-1,-1),B(3,1),C(1,2).求：

(1)BC邊所在直線的方程；

(2)經(jīng)過BC的中點，且垂直于BC方向向量的直線方程；

(3)經(jīng)過AB的中點，且方向向量平行于近的直線方程.

答案與分層梯度式解析

基礎(chǔ)過關(guān)練

1.答案mWO

解析由題意得m與m2-m不同時為0,故mNO.

2.答案15x-3y-7=0

U=5(71=_5B,

解析因為直線的斜率存在，所以BWO.由題意得B>所以〃_7R

(428+30=0,?=嚴

所以該直線的方程為-5x+y+：=0,即15x-3y-7=0.

3.答案x=-2或x+V^y-l=O

解析由直線方程x-By+5=0,可得此直線的斜率為小傾斜角為30。,則與該直線

成60。角的直線的傾斜角為90。或150°,

又因為所求直線過點A(-2,V3),

所以所求直線方程為x=-2或y-V3=-^(x+2),

即x=-2或x+V3y-l=0.

4.D直線l:x+my-l=O可化為my=-(x-l).當(dāng)mWO時，直線1的方程可化為y=-：(x-l),

其斜率為二,過定點(1,0)；當(dāng)=0時，直線1的方程為x=l,其斜率不存在，也過點(1,0).

mm

故選D.

5.C依題意可知aWO,當(dāng)-2+a=0,即a=2時，直線ax+y-2+a=0化為2x+y=0,此時直

線在兩坐標軸上的截距都為0,滿足題意;當(dāng)-2+a#0,即aW2時，直線ax+y-2+a=0化

為一+上=1,由直線在兩坐標軸上的截距相等,可得巴=2-a,解得a=l或a=2(舍去).

--2—aa

綜上所述,a=2或a=l.

故選C.

6.D將直線方程xsina+gy+l=O(a￡R)化為斜截式為y=-ysina?x-日,故直線的

斜率k=[sina,sina￡[-1,1],.…葉弓斗.?.直線的傾斜角的取值范圍為

。，斗^匡口).故選D.

6J6/

7.D直線方程4x+m2y-m=0(m>0)可化為卷+乎1,則此直線在x軸和y軸上的截距

4m

分另U為上上且上>0上>0,所以巴^22>=1,

4m4m4m4m

當(dāng)且僅當(dāng)m=2時一+二取得最小值1,此時直線方程為4x+4y-2=0,即2x+2y-l=0.故選

4m'

D.

(m2-2m-37^0,,

8.解析⑴由題意得上絲=解得m=」.

(nj2-2m-3,

故當(dāng)m=」時，直線1在x軸上的截距為-3.

3

2m2+m-lTtO,,

(2)由題意得/2m一3_1解得m=3

--------I3

、2m2+m-l

故當(dāng)m=g時，直線I的傾斜角為45。.

9.A由題意得直線I的斜率k=tan135。=-1,因此直線I的方向向量是

m(l,-l)(m￡R,mW0),故選A.

10.D由題意可知，荏=(-3,y-7),設(shè)荏=QiQ￡R且件0),：a=(l,3),，『3；之解得

(y-/=5A,

｛；U：故選D

ii.c由題意得直線1的一個方向向量為因此其斜率1<=子=-返,則其傾斜

3

角等于120°.

12.答案2x-y+5=0

解析由題意得ki=2,則直線1的方程為y-l=2(x+2),即2x-y+5=0.

能力提升練

1.D由題意得直線的斜率為a,在y軸上的截距為」，直線的斜率和它在y軸上的

a

截距的乘積為-1.對于A、C,直線的斜率和它在y軸上的截距同號，所以排除A、

C;對于B,直線的斜率小于1,在y軸上的截距大于-1且小于0,所以排除B;對于D,

直線的斜率小于-1,在y軸上的截距大于0且小于1,所以D可能成立.故選D.

2.D直線l:y=k(x+2)-l恒過點P(-2,-l)Ji]kPA=9=：kPB上3三結(jié)合圖形可得k

1—(—2)32—(—2)2

的取值范圍是故選D.

123」

3.ABC由于直線1與h及x軸圍成一個底邊在x軸上的等腰三角形，所以1與h

的傾斜角互補，斜率互為相反數(shù)，故A,B均正確;易知直線1的方程為y-l=-2(x+l),

因此其在y軸上的截距為-1,故C正確;易知這樣的直線1只有一條，故D錯誤.

4.答案8x-15y+6=0

解析設(shè)所求直線的傾斜角為。，直線x-4y+3=0的傾斜角為a,貝！J0=2a,故tana],

故tan0=tan2a-'2tan^=—,

l-tan2a15

從而可得直線1的方程為8x-15y+6=0.

5.答案(4+2V3)x-2y-10-5V3=0或(4-2代)x-2y-10+58=0

解析由已知得a可以是(2,-2),

當(dāng)直線m的斜率不存在時,不滿足<a,m>=60。，

故直線m的斜率存在，設(shè)為k,所以m=(l,k),

則cos<a,m>=。，:勺產(chǎn)工,解得k=2+B或2-8.易求得kAB='=-',顯然直線m

不與直線AB平行.

故直線m過線段AB的中點g,0),

所以直線m的方程為y=(2+后(%-。或y=(2-V3)(%-0,

即(4+2V3)x-2y-10-5^3=0或(4-2g)x-2y-10+573=0.

6.答案8;x+4y-8=0

解析設(shè)直線1的方程為「也l(a〉0,b>0).

ab

由點(4,1)在直線上得

ab