PAGEPAGE16北京市延慶區(qū)2025屆高三數(shù)學(xué)第一次模擬考試試題理本試卷共5頁(yè)，滿(mǎn)分150分，考試時(shí)間120分鐘第Ⅰ卷（選擇題）一、選擇題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng).1.已知集合，集合，則（A）（B）（C）（D）2.“”是“方程表示雙曲線(xiàn)”的（A）充分而不必要條件（B）必要而不充分條件（C）充分必要條件（D）既不充分也不必要條件3.已知，令，，，那么之間的大小關(guān)系為（A）（B）（C）（D）4．函數(shù)在區(qū)間上的零點(diǎn)之和是（A）（B）（C）（D）5．已知數(shù)列中，，若利用下面程序框圖計(jì)算該數(shù)列的第2024項(xiàng)，則推斷框內(nèi)的條件是（A）（B）（C）（D）6.已知曲線(xiàn)（為參數(shù)），若曲線(xiàn)上存在點(diǎn)為曲線(xiàn)上一點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（A）（B）（C）（D）7.已知一個(gè)正四面體的底面積為，那么它的正視圖（如右圖）的面積為（A）（B）（C）（D）8.名運(yùn)動(dòng)員參與一次乒乓球競(jìng)賽，每名運(yùn)動(dòng)員都賽場(chǎng)并決出勝負(fù)．設(shè)第位運(yùn)動(dòng)員共勝場(chǎng)，負(fù)場(chǎng)（），則錯(cuò)誤的結(jié)論是（A）（B）（C）為定值，與各場(chǎng)競(jìng)賽的結(jié)果無(wú)關(guān)（D）為定值，與各場(chǎng)競(jìng)賽結(jié)果無(wú)關(guān)第Ⅱ卷（非選擇題）二、填空題共6小題，每小題5分，共30分.9.已知等比數(shù)列的公比為，若，則_____.10.設(shè)為虛數(shù)單位，假如復(fù)數(shù)滿(mǎn)意，那么的虛部為_(kāi)___.11.如右圖，正方形中，為的中點(diǎn)，若，則的值為_(kāi)____.12.設(shè)是定義在上的單調(diào)遞減函數(shù)，能說(shuō)明“肯定存在使得”為假命題的一個(gè)函數(shù)是_____．13.已知,設(shè)，則_____.14.已知集合，集合滿(mǎn)意①每個(gè)集合都恰有7個(gè)元素;②．集合中元素的最大值與最小值之和稱(chēng)為集合的特征數(shù)，記為（），則的最大值與最小值的和為.三、解答題共6小題，共80分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、演算步驟或證明過(guò)程.15.（本小題滿(mǎn)分13分）如圖，在中，點(diǎn)在邊上，，，．ADADBC（Ⅱ）若，求的長(zhǎng)及的面積．16.（本小題滿(mǎn)分13分）2024年我國(guó)全面建成小康社會(huì)，其中小康生活的住房標(biāo)準(zhǔn)是城鎮(zhèn)人均住房建筑面積30平方米.下表為2007年—2025年中，我區(qū)城鎮(zhèn)和農(nóng)村人均住房建筑面積統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù).單位：平方米.2007年2008年2009年2010年2011年2012年2013年2024年2024年2024年城鎮(zhèn)18.6620.2522.792527.128.331.632.934.636.6農(nóng)村23.324.826.527.930.732.434.137.141.245.8（Ⅰ）現(xiàn)從上述表格中隨機(jī)抽取連續(xù)兩年數(shù)據(jù)，求這兩年中城鎮(zhèn)人均住房建筑面積增長(zhǎng)不少于2平方米的概率；（Ⅱ）在給出的10年數(shù)據(jù)中，隨機(jī)抽取三年，記為同年中農(nóng)村人均住房建筑面積超過(guò)城鎮(zhèn)人均住房建筑面積4平方米的年數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；（Ⅲ）將城鎮(zhèn)和農(nóng)村的人均住房建筑面積經(jīng)四舍五入取整后作為樣本數(shù)據(jù)．記2012—2025年中城鎮(zhèn)人均住房面積的方差為，農(nóng)村人均住房面積的方差為，推斷與的大?。ㄖ恍鑼?xiě)出結(jié)論）.17．（本小題滿(mǎn)分14分）如圖，在四棱錐中，底面是平行四邊形，，側(cè)面底面，,,分別為的中點(diǎn)，點(diǎn)在線(xiàn)段上.（Ⅰ）求證：直線(xiàn)平面；（Ⅱ）若為的中點(diǎn)，求平面與平面所成二面角的余弦值；（Ⅲ）設(shè)，當(dāng)為何值時(shí)，直線(xiàn)與平面所成角的正弦值為，求的值.18.（本小題滿(mǎn)分13分）已知函數(shù)在點(diǎn)處的切線(xiàn)與直線(xiàn)平行.（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）令，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.19.（本小題滿(mǎn)分14分）已知橢圓G:，左、右焦點(diǎn)分別為、，若點(diǎn)在橢圓上.（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（Ⅱ）若直線(xiàn)與橢圓交于兩個(gè)不同的點(diǎn)，，直線(xiàn)，與軸分別交于，兩點(diǎn)，求證：．20.（本小題滿(mǎn)分13分）已知集合．對(duì)于，定義與之間的距離為．（Ⅰ），寫(xiě)出全部的；（Ⅱ）任取固定的元素，計(jì)算集合中元素個(gè)數(shù)；（Ⅲ）設(shè)，中有個(gè)元素，記中全部不同元素間的距離的最小值為．證明：．延慶區(qū)2024—2025學(xué)年度一模統(tǒng)一考試答案數(shù)學(xué)（理科）2024.3一、選擇題（本大題共8小題,每小題5分,共40分）題號(hào)12345678答案CAABCBDD二、填空題（本大題共6小題,每小題5分）9．10．11.12.13．14．132三、解答題(本大題共6小題,共80分)15.（本小題滿(mǎn)分13分）解：（Ⅰ）因?yàn)椋?，……?分…2分又因?yàn)椋?，?分…………5分．……………7分（Ⅱ）在中，由，…………9分得．…………11分…………12分所以．…………13分16.（本小題滿(mǎn)分13分）（Ⅰ）隨機(jī)抽取連續(xù)兩年數(shù)據(jù)：共9次?！?分兩年中城鎮(zhèn)人均住房建筑面積增長(zhǎng)不少于2平方米：共5次?！?分設(shè)“兩年中城鎮(zhèn)人均住房建筑面積增長(zhǎng)不少于2平方米”為事務(wù)，因此…3分（Ⅱ）全部可能的取值為：0，1，2，3…4分…8分隨機(jī)變量的分布列為0123…10分…11分（Ⅲ）…13分.17．（本小題滿(mǎn)分14分）（Ⅰ）證明：在平行四邊形中，因?yàn)?，，所?由分別為的中點(diǎn)，得， 所以.………………1分因?yàn)閭?cè)面底面，且，面面且面所以底面.………………3分又因?yàn)榈酌?，所?………………4分又因?yàn)椋矫?，平面，所以平?………………5分（Ⅱ）解：因?yàn)榈酌?，，所以?xún)蓛纱怪?，故以分別為軸、軸和軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，………………6分設(shè)平面的法向量為，由，，得令,得.………………7分為的中點(diǎn)，由（1）知，平面且，………8分所以，………………9分平面與平面所成二面角的余弦值；………………10分（Ⅲ）設(shè)，則，所以，………………11分，………………12分由（1）知.直線(xiàn)與平面所成的角正弦值為所以，即，………………13分解得.或（舍）………………14分18.（本小題滿(mǎn)分13分）解：（Ⅰ）………1分………2分在點(diǎn)處的切線(xiàn)與直線(xiàn)平行解得………4分（Ⅱ）由（Ⅰ）可知………5分函數(shù)的定義域是，………6分所以，…………7分令，…………8分又，…………9分有恒成立故在上為增函數(shù)，由，所以函數(shù)是上單調(diào)遞減．……………11分有恒成立故在上為減函數(shù)，由，所以函數(shù)是上單調(diào)遞減．……………13分綜上，在和單調(diào)遞減19.（本小題滿(mǎn)分14分）解：（Ⅰ）在橢圓上由解得………………3分所以，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為………………4分(Ⅱ)由得．………………5分因?yàn)橹本€(xiàn)與橢圓有兩個(gè)交點(diǎn)，并留意到直線(xiàn)不過(guò)點(diǎn)，所以解得或．……………6分設(shè)，，則，,……………8分，．……………10分明顯直線(xiàn)與的斜率存在，設(shè)直線(xiàn)與的斜率分別為，，由（Ⅰ）可知?jiǎng)t……………11分．因?yàn)?，所以．…………?3分所以．………………14分20.（本小題滿(mǎn)分13分）解（Ⅰ）…4分（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，…5分