§8.4直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系考試要求1.能根據(jù)給定直線、圓的方程，判斷直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系.2.能用直線和圓的方程解決一些簡單的數(shù)學(xué)問題與實際問題．知識梳理1．直線與圓的位置關(guān)系(圓心到直線的距離為d，圓的半徑為r)相離相切相交圖形量化方程觀點Δ<0Δ＝0Δ>0幾何觀點d>rd＝rd<r2.圓與圓的位置關(guān)系(⊙O1，⊙O2的半徑分別為r1，r2，d＝|O1O2|)圖形量的關(guān)系外離d>r1＋r2外切d＝r1＋r2相交|r1－r2|<d<r1＋r2內(nèi)切d＝|r1－r2|內(nèi)含d<|r1－r2|3.直線被圓截得的弦長(1)幾何法：弦心距d、半徑r和弦長|AB|的一半構(gòu)成直角三角形，弦長|AB|＝2eq\r(r2－d2).(2)代數(shù)法：設(shè)直線y＝kx＋m與圓x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0相交于點M，N，代入，消去y，得關(guān)于x的一元二次方程，則|MN|＝eq\r(1＋k2)·eq\r(xM＋xN2－4xMxN).常用結(jié)論1．圓的切線方程常用結(jié)論(1)過圓x2＋y2＝r2上一點P(x0，y0)的圓的切線方程為x0x＋y0y＝r2.(2)過圓x2＋y2＝r2外一點M(x0，y0)作圓的兩條切線，則兩切點所在直線方程為x0x＋y0y＝r2.2．圓與圓的位置關(guān)系的常用結(jié)論(1)兩圓相交時，其公共弦所在的直線方程由兩圓方程相減得到．(2)兩個圓系方程①過直線Ax＋By＋C＝0與圓x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0交點的圓系方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＋λ(Ax＋By＋C)＝0(λ∈R)；②過圓C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0和圓C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0交點的圓系方程為x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1)(其中不含圓C2，所以注意檢驗C2是否滿足題意，以防丟解)．思考辨析判斷下列結(jié)論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)(1)若兩圓沒有公共點，則兩圓一定外離．()(2)若兩圓的圓心距小于兩圓的半徑之和，則兩圓相交．()(3)若直線的方程與圓的方程組成的方程組有且只有一組實數(shù)解，則直線與圓相切．()(4)在圓中最長的弦是直徑．()教材改編題1．直線3x＋4y＝5與圓x2＋y2＝16的位置關(guān)系是()A．相交 B．相切C．相離 D．相切或相交2．直線m：x＋y－1＝0被圓M：x2＋y2－2x－4y＝0截得的弦長為()A．4B．2eq\r(3)C.eq\f(1,2)D.eq\f(1,3)3．若圓C1：x2＋y2＝16與圓C2：(x－a)2＋y2＝1相切，則a的值為()A．±3 B．±5C．3或5 D．±3或±5題型一直線與圓的位置關(guān)系命題點1位置關(guān)系的判斷例1(1)(多選)已知直線l：ax＋by－r2＝0與圓C：x2＋y2＝r2，點A(a，b)，則下列說法正確的是()A．若點A在圓C上，則直線l與圓C相切B．若點A在圓C內(nèi)，則直線l與圓C相離C．若點A在圓C外，則直線l與圓C相離D．若點A在直線l上，則直線l與圓C相切(2)直線kx－y＋2－k＝0與圓x2＋y2－2x－8＝0的位置關(guān)系為()A．相交、相切或相離 B．相交或相切C．相交 D．相切思維升華判斷直線與圓的位置關(guān)系的常見方法(1)幾何法：利用d與r的關(guān)系判斷．(2)代數(shù)法：聯(lián)立方程之后利用Δ判斷．(3)點與圓的位置關(guān)系法：若直線恒過定點且定點在圓內(nèi)，可判斷直線與圓相交．命題點2弦長問題例2(1)已知圓x2＋y2＝4截直線y＝k(x－2)所得弦的長度為2，那么實數(shù)k的值為()A．±eq\f(\r(3),3)B.eq\f(\r(3),3)C.eq\r(3)D．±eq\r(3)(2)已知過點P(0,1)的直線l與圓x2＋y2＋2x－6y＋6＝0相交于A，B兩點，則當(dāng)|AB|＝2eq\r(3)時，直線l的方程為________．思維升華弦長的兩種求法(1)代數(shù)法：將直線和圓的方程聯(lián)立方程組，根據(jù)弦長公式求弦長．(2)幾何法：若弦心距為d，圓的半徑長為r，則弦長l＝2eq\r(r2－d2).命題點3切線問題例3已知點P(eq\r(2)＋1,2－eq\r(2))，點M(3,1)，圓C：(x－1)2＋(y－2)2＝4.(1)求過點P的圓C的切線方程；(2)求過點M的圓C的切線方程，并求出切線長．思維升華當(dāng)切線方程斜率存在時，圓的切線方程的求法(1)幾何法：設(shè)切線方程為y－y0＝k(x－x0)，利用點到直線的距離公式表示出圓心到切線的距離d，然后令d＝r，進(jìn)而求出k.(2)代數(shù)法：設(shè)切線方程為y－y0＝k(x－x0)，與圓的方程組成方程組，消元后得到一個一元二次方程，然后令判別式Δ＝0進(jìn)而求得k.注意驗證斜率不存在的情況．命題點4直線與圓位置關(guān)系中的最值(范圍)問題例4已知點P(x0，y0)是直線l：x＋y＝4上的一點，過點P作圓O：x2＋y2＝2的兩條切線，切點分別為A，B，則四邊形PAOB的面積的最小值為________．思維升華涉及與圓的切線有關(guān)的線段長度范圍(最值)問題，解題關(guān)鍵是能夠把所求線段長度表示為關(guān)于圓心與直線上的點的距離的函數(shù)的形式，利用求函數(shù)值域的方法求得結(jié)果．跟蹤訓(xùn)練1(1)在平面直角坐標(biāo)系中，直線eq\r(3)xcosα＋eq\r(2)ysinα＝1(α∈R)與圓O：x2＋y2＝eq\f(1,2)的位置關(guān)系為()A．相切 B．相交C．相離 D．相交或相切(2)直線2x·sinθ＋y＝0被圓x2＋y2－2eq\r(5)y＋2＝0截得的弦長的最大值為()A．2eq\r(5)B．2eq\r(3)C．3D．2eq\r(2)題型二圓與圓的位置關(guān)系例5(1)已知圓C：(x－1)2＋(y＋2eq\r(2))2＝16和兩點A(0，－m)，B(0，m)，若圓C上存在點P，使得AP⊥BP，則m的最大值為()A．5B．6C．7D．8(2)圓C1：x2＋y2－2x＋10y－24＝0與圓C2：x2＋y2＋2x＋2y－8＝0的公共弦所在直線的方程為______________，公共弦長為________．思維升華(1)判斷兩圓的位置關(guān)系時常用幾何法，即利用兩圓圓心之間的距離與兩圓半徑之間的關(guān)系，一般不采用代數(shù)法．(2)若兩圓相交，則兩圓公共弦所在直線的方程可由兩圓的方程作差消去x2，y2項得到．跟蹤訓(xùn)練2(1)已知圓M：x2＋y2－4y＝0與圓N：x2＋y2－2x－3＝0，則圓M與圓N的位置關(guān)系為()A．內(nèi)含B．相交C．外切D．外離(2)寫出與圓x2＋y2＝1和(x－3)2＋(y－4)2＝16都相切的一條直線的方程________．課時精練1．圓(x＋1)2＋(y－2)2＝4與直線3x＋4y＋5＝0的位置關(guān)系為()A．相離B．相切C．相交D．不確定2．在平面直角坐標(biāo)系中，圓O1：(x－1)2＋y2＝1和圓O2：x2＋(y－2)2＝4的位置關(guān)系是()A．外離B．相交C．外切D．內(nèi)切3．已知圓C的圓心在直線l1：x＋2y－7＝0上，且與直線l2：x＋2y－2＝0相切于點M(－2,2)，則圓C被直線l3：2x＋y－6＝0截得的弦長為()A．2eq\r(5)B.eq\f(4\r(21),5)C.eq\f(2\r(105),5)D.eq\f(6\r(5),5)4．(多選)已知圓C1：(x－a)2＋(y＋2)2＝25，圓C2：(x＋1)2＋(y＋a)2＝4，若圓C1與圓C2內(nèi)切，則實數(shù)a的值是()A．－2B．2C．－1D．15．若圓C：x2＋y2－6x－6y－m＝0上有到(－1,0)的距離為1的點，則實數(shù)m的取值范圍為()A．(－18,6]B．[－2,6]C．[－2,18]D．[4,18]6．(多選)在平面直角坐標(biāo)系中，圓C的方程為x2＋y2－4x＝0.若直線y＝k(x＋1)上存在一點P，使過點P所作的圓的兩條切線相互垂直，則實數(shù)k的可能取值是()A．1B．2C．3D．47．若直線(m＋1)x＋my－2m－1＝0與圓x2＋y2＝3交于M，N兩點，則弦長|MN|的最小值為________．8．過點P(4,2)作圓x2＋y2＝4的兩條切線，切點分別為A，B，則△PAB外接圓的方程是________．9．已知兩圓x2＋y2－2x－6y－1＝0和x2＋y2－10x－12y＋m＝0.求：(1)m取何值時兩圓外切？(2)當(dāng)m＝45時兩圓的公共弦所在直線的方程和公共弦的長．10．已知圓C：(x－3)2＋(y－4)2＝4.(1)若直線l：(m－2)x＋(1－m)y＋m＋1＝0(m∈R)，證明：無論m為何值，直線l都與圓C相交；(2)若過點P(1,0)的直線m與圓C相交于A，B兩點，求△ABC面積的最大值，并求此時直線m的方程．11．若一條光線從點A(－2，－3)射出，經(jīng)y軸反射后與圓(x＋3)2＋(y－2)2＝1相切，則反射光線所在直線的斜率為()A．－eq\f(5,3)或－eq\f(3,5) B．－eq\f(3,2)或－eq\f(2,3)C．－eq\f(5,4)或－eq\f(4,5) D．－eq\f(4,3)或－eq\f(3,4)12．已知圓O：x2＋y2＝4與圓C：x2＋y2－x＋eq\r(3)y－3＝0相交于A，B兩點，則sin∠AOB＝________.13．(多選已知點P在圓(x－5)2＋(y－5)2＝16