素養(yǎng)拓展26立體幾何中的軌跡問(wèn)題（精講+精練）一、知識(shí)點(diǎn)梳理一、知識(shí)點(diǎn)梳理一、立體幾何中的軌跡問(wèn)題立體幾何軌跡問(wèn)題是以空間圖形為素材,去探究符合一定條件的點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡,處于解析幾何和立體幾何的交匯處,要求學(xué)生有較強(qiáng)的空間想象能力、數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化和化歸能力,以及對(duì)解析幾何和立體幾何知識(shí)的全面掌握.常見(jiàn)的軌跡類型有直線、圓雉曲線、球面、橢球面.二、常用的解決策略(1)定義法:借助圓雉曲線的定義判斷.(2)坐標(biāo)法:建立合適的坐標(biāo)系,用方程來(lái)表示所求點(diǎn)的軌跡,借助方程來(lái)判斷軌跡形狀.(3)交軌法:運(yùn)動(dòng)的點(diǎn)同時(shí)在兩個(gè)空間幾何體上,如平面與圓雉、圓柱、球相交,球與球相交,等等.(4)平面化:把空間幾何關(guān)系轉(zhuǎn)化到同一平面內(nèi),進(jìn)而探究平面內(nèi)的軌跡問(wèn)題,使問(wèn)題更易解決.空間問(wèn)題平面化也是解決立體幾何題目的一般性思路.三、軌跡是圓錐曲線的原理剖析令平面與軸線的夾角為θ0<θ<90°,圓雉的母線與軸的夾角為SKIPIF1<0,如圖②.當(dāng)SKIPIF1<0時(shí),截口曲線為橢圓;(2)當(dāng)SKIPIF1<0時(shí),截口曲線為拋物線;(3)當(dāng)SKIPIF1<0時(shí),截口曲線為雙曲線.圖②我們?cè)購(gòu)膸缀谓嵌葋?lái)證明.(1)如圖③,在圓錐內(nèi)放兩個(gè)大小不同的球,使它們分別與截面切于點(diǎn)SKIPIF1<0.在截口曲線上任取一點(diǎn)SKIPIF1<0,過(guò)點(diǎn)SKIPIF1<0作圓雉的母線,分別與兩球切于點(diǎn)SKIPIF1<0.由球的性質(zhì)可知SKIPIF1<0,于是SKIPIF1<0為定值,這樣截口曲線上的任一點(diǎn)SKIPIF1<0到兩個(gè)定點(diǎn)SKIPIF1<0的距離之和為常數(shù),由橢圓的定義知,截口曲線是橢圓.(2)如圖④,在互相倒置的兩個(gè)圓雉內(nèi)放兩個(gè)大小不同的球,使它們分別與圓雉的側(cè)面、截面相切,兩個(gè)球分別與截面切于點(diǎn)SKIPIF1<0.在截口曲線上任取一點(diǎn)SKIPIF1<0,過(guò)點(diǎn)SKIPIF1<0作圓雉的母線,分別與兩球切于點(diǎn)SKIPIF1<0.由球的性質(zhì)可知SKIPIF1<0,于是SKIPIF1<0為定值,這樣截口曲線上的任一點(diǎn)SKIPIF1<0到兩個(gè)定點(diǎn)SKIPIF1<0的距離之差的絕對(duì)值為常數(shù),由雙曲線的定義知,截口曲線是雙曲線.(3)如圖⑤,用平行于母線SKIPIF1<0且垂直于軸截面SKIPIF1<0的平面SKIPIF1<0去截圓雉.在圓雉內(nèi)放一個(gè)球,使它和圓雉的側(cè)面與截面SKIPIF1<0相切,球與截面切于點(diǎn)SKIPIF1<0.設(shè)SKIPIF1<0為球與圓雉相切時(shí)切點(diǎn)構(gòu)成的圓所在的平面,記SKIPIF1<0.在截口曲線上任取一點(diǎn)SKIPIF1<0,作直線與球相切于點(diǎn)SKIPIF1<0,連結(jié)SKIPIF1<0,有SKIPIF1<0.在母線SKIPIF1<0上取點(diǎn)SKIPIF1<0(SKIPIF1<0為SKIPIF1<0與球的切點(diǎn)),使得SKIPIF1<0.過(guò)點(diǎn)SKIPIF1<0作SKIPIF1<0,有點(diǎn)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上,且SKIPIF1<0.另一方面,因?yàn)槠矫鍿KIPIF1<0與SKIPIF1<0垂直,那么SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0,有SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0.于是截口曲線是以點(diǎn)SKIPIF1<0為焦點(diǎn),SKIPIF1<0為準(zhǔn)線的拋物線.二、題型精講精練二、題型精講精練1.平行、垂直有關(guān)的的軌跡問(wèn)題①平行有關(guān)的軌跡問(wèn)題的解題策略1.線面平行轉(zhuǎn)化為面面平行得軌跡;2.平行時(shí)可利用法向量垂直關(guān)系求軌跡.②垂直有關(guān)的軌跡問(wèn)題的解題策略1.可利用線線線面垂直，轉(zhuǎn)化為面面垂直，得交線求軌跡;2.利用空間坐標(biāo)運(yùn)算求軌跡;3.利用垂直關(guān)系轉(zhuǎn)化為平行關(guān)系求軌跡.【典例1】如圖，在邊長(zhǎng)為a的正方體ABCD-A1B1C1D1中，E、F、G、H、N分別是CC1、C1D1、DD1、CD、BC的中點(diǎn)，M在四邊形EFGH邊上及其內(nèi)部運(yùn)動(dòng)，若MN∥面A1BD，則點(diǎn)M軌跡的長(zhǎng)度是（）A．SKIPIF1<0a B．SKIPIF1<0a C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【典例2】在正方體SKIPIF1<0中，Q是正方形SKIPIF1<0內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，SKIPIF1<0，則Q點(diǎn)的軌跡是（）A．點(diǎn)SKIPIF1<0 B．線段SKIPIF1<0 C．線段SKIPIF1<0 D．平面SKIPIF1<02.距離、角度有關(guān)的的軌跡問(wèn)題①距離有關(guān)的軌跡問(wèn)題的解題策略1.距離，可轉(zhuǎn)化為在一個(gè)平面內(nèi)的距離關(guān)系，借助于圓錐曲線定義或者球和圓的定義等知識(shí)求解軌跡；2.利用空間坐標(biāo)計(jì)算求軌跡.②角度有關(guān)的軌跡問(wèn)題的解題策略1.直線與面成定角，可能是圓錐側(cè)面;2.直線與定直線成等角，可能是圓錐側(cè)面;3.利用空間坐標(biāo)系計(jì)算求軌跡.【典例3】已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1，P為底面ABCD內(nèi)一點(diǎn)，若P到棱CD，A1D1距離相等的點(diǎn)，則點(diǎn)P的軌跡是（）A．直線 B．橢圓 C．拋物線 D．雙曲線【典例4】正方體SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中點(diǎn)，SKIPIF1<0是邊SKIPIF1<0上的一個(gè)點(diǎn)（包括端點(diǎn)），SKIPIF1<0是平面SKIPIF1<0上一動(dòng)點(diǎn)，滿足直線SKIPIF1<0與直線SKIPIF1<0夾角與直線SKIPIF1<0與直線SKIPIF1<0的夾角相等，則點(diǎn)SKIPIF1<0所在軌跡為（）A．橢圓 B．雙曲線 C．拋物線 D．拋物線或雙曲線3.翻折有關(guān)的的軌跡問(wèn)題①翻折有關(guān)的軌跡問(wèn)題的解題策略1.翻折過(guò)程中尋找不變的垂直的關(guān)系求軌跡2.翻折過(guò)程中尋找不變的長(zhǎng)度關(guān)系求軌跡3.可以利用空間坐標(biāo)運(yùn)算求軌跡【典例5】1822年，比利時(shí)數(shù)學(xué)家Dandelin利用圓錐曲線的兩個(gè)內(nèi)切球，證明了用一個(gè)平面去截圓錐，可以得到橢圓（其中兩球與截面的切點(diǎn)即為橢圓的焦點(diǎn)），實(shí)現(xiàn)了橢圓截線定義與軌跡定義的統(tǒng)一性．在生活中，有一個(gè)常見(jiàn)的現(xiàn)象：用手電筒斜照地面上的籃球，留下的影子會(huì)形成橢圓．這是由于光線形成的圓錐被地面所截產(chǎn)生了橢圓的截面．如圖，在地面的某個(gè)占SKIPIF1<0正上方有一個(gè)點(diǎn)光源，將小球放置在地面，使得SKIPIF1<0與小球相切．若SKIPIF1<0，小球半徑為2，則小球在地面的影子形成的橢圓的離心率為（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【題型訓(xùn)練2-刷模擬】1.平行、垂直有關(guān)的的軌跡問(wèn)題一、單選題1．）正四棱錐SKIPIF1<0的底面邊長(zhǎng)為2，高為2，E是邊SKIPIF1<0的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P在表面上運(yùn)動(dòng)，并且總保持SKIPIF1<0，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡的周長(zhǎng)為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．4 D．SKIPIF1<02．在正四棱柱SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0中點(diǎn)，SKIPIF1<0為正四棱柱表面上一點(diǎn)，且SKIPIF1<0，則點(diǎn)SKIPIF1<0的軌跡的長(zhǎng)為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<03．在棱長(zhǎng)為4的正方體SKIPIF1<0中，點(diǎn)SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分別為棱SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中點(diǎn)，點(diǎn)SKIPIF1<0在正方體SKIPIF1<0的表面上運(yùn)動(dòng)，滿足SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，則點(diǎn)SKIPIF1<0的軌跡所構(gòu)成的周長(zhǎng)為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<04．如圖所示，正方體SKIPIF1<0的棱長(zhǎng)為2，E，F(xiàn)分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中點(diǎn)，點(diǎn)P是正方體表面上的動(dòng)點(diǎn)，若SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0點(diǎn)在正方體表面上運(yùn)動(dòng)所形成的軌跡長(zhǎng)度為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<05．在棱長(zhǎng)為1的正方體SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中點(diǎn)，點(diǎn)SKIPIF1<0在正方體的表面上運(yùn)動(dòng)，且滿足SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．點(diǎn)SKIPIF1<0可以是棱SKIPIF1<0的中點(diǎn) B．線段SKIPIF1<0的最大值為SKIPIF1<0C．點(diǎn)SKIPIF1<0的軌跡是正方形 D．點(diǎn)SKIPIF1<0軌跡的長(zhǎng)度為SKIPIF1<06．已知棱長(zhǎng)為1的正方體SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)SKIPIF1<0在正方體內(nèi)部或表面上，且SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，則動(dòng)點(diǎn)SKIPIF1<0的軌跡所形成區(qū)域的面積是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0二、填空題7．如圖，SKIPIF1<0為圓柱下底面圓SKIPIF1<0的直徑，SKIPIF1<0是下底面圓周上一點(diǎn)，已知SKIPIF1<0，圓柱的高為5．若點(diǎn)SKIPIF1<0在圓柱表面上運(yùn)動(dòng)，且滿足SKIPIF1<0，則點(diǎn)SKIPIF1<0的軌跡所圍成圖形的面積為．8．已知正方體SKIPIF1<0的棱長(zhǎng)為SKIPIF1<0，動(dòng)點(diǎn)P在SKIPIF1<0內(nèi)，滿足SKIPIF1<0，則點(diǎn)P的軌跡長(zhǎng)度為．9．若點(diǎn)SKIPIF1<0是棱長(zhǎng)為SKIPIF1<0的正方體SKIPIF1<0的內(nèi)切球SKIPIF1<0的球面上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)SKIPIF1<0為棱SKIPIF1<0上的一點(diǎn)，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則動(dòng)SKIPIF1<0點(diǎn)的軌跡的長(zhǎng)度為．2.距離、角度有關(guān)的的軌跡問(wèn)題一、單選題1．已知長(zhǎng)方體SKIPIF1<0的外接球的表面積為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，點(diǎn)P在四邊形SKIPIF1<0內(nèi)，且直線BP與平面SKIPIF1<0所成角為SKIPIF1<0，則長(zhǎng)方體的體積最大時(shí)，動(dòng)點(diǎn)P的軌跡長(zhǎng)為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<02．已知正四棱錐（底面為正方形，且頂點(diǎn)在底面的射影為正方形的中心的棱錐為正四棱錐）P－ABCD的底面正方形邊長(zhǎng)為2，其內(nèi)切球O的表面積為SKIPIF1<0，動(dòng)點(diǎn)Q在正方形ABCD內(nèi)運(yùn)動(dòng)，且滿足SKIPIF1<0，則動(dòng)點(diǎn)Q形成軌跡的周長(zhǎng)為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<03．設(shè)A，B是半徑為3的球體O表面上兩定點(diǎn)，且SKIPIF1<0，球體O表面上動(dòng)點(diǎn)P滿足SKIPIF1<0，則點(diǎn)P的軌跡長(zhǎng)度為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<04．在正方體SKIPIF1<0中，E為SKIPIF1<0的中點(diǎn)，F(xiàn)為底面ABCD上一動(dòng)點(diǎn)，且EF與底面ABCD所成的角為SKIPIF1<0．若該正方體外接球的表面積為SKIPIF1<0，則動(dòng)點(diǎn)F的軌跡長(zhǎng)度為（

）．A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<05．已知三棱錐SKIPIF1<0的底面△ABC為等腰直角三角形，其頂點(diǎn)P到底面ABC的距離為4，體積為SKIPIF1<0，若該三棱錐的外接球O的半徑為SKIPIF1<0，則滿足上述條件的頂點(diǎn)P的軌跡長(zhǎng)度為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<06．在正四面體SKIPIF1<0中，點(diǎn)SKIPIF1<0為SKIPIF1<0所在平面上的動(dòng)點(diǎn)，若SKIPIF1<0與SKIPIF1<0所成角為定值SKIPIF1<0，則動(dòng)點(diǎn)SKIPIF1<0的軌跡是（

）A．圓 B．橢圓 C．雙曲線 D．拋物線7．棱長(zhǎng)為1的正方體SKIPIF1<0中，點(diǎn)SKIPIF1<0是側(cè)面SKIPIF1<0上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（包含邊界），則下面結(jié)論正確的有（

）①若點(diǎn)SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，則動(dòng)點(diǎn)SKIPIF1<0的軌跡是線段；②若點(diǎn)SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，則動(dòng)點(diǎn)SKIPIF1<0的軌跡是橢圓的一部分；③在線段SKIPIF1<0上存在點(diǎn)SKIPIF1<0，使直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0．所成的角為SKIPIF1<0；④當(dāng)SKIPIF1<0在棱SKIPIF1<0上移動(dòng)時(shí)，SKIPIF1<0的最小值是SKIPIF1<0．A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)二、填空題8．）在棱長(zhǎng)為3的正方體SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0為棱SKIPIF1<0上一點(diǎn)，且SKIPIF1<0，則正方體表面到SKIPIF1<0點(diǎn)距離為SKIPIF1<0的點(diǎn)的軌跡總長(zhǎng)度為.9．已知三棱錐SKIPIF1<0的外接球SKIPIF1<0的半徑為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為等腰直角三角形，若頂點(diǎn)SKIPIF1<0到底面SKIPIF1<0的距離為4，且三棱錐SKIPIF1<0的體積為SKIPIF1<0，則滿足上述條件的頂點(diǎn)SKIPIF1<0的軌跡長(zhǎng)度是．10．已知SKIPIF1<0為正方體SKIPIF1<0的內(nèi)切球球面上的動(dòng)點(diǎn)，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的中點(diǎn)，SKIPIF1<0，若動(dòng)點(diǎn)SKIPIF1<0的軌跡長(zhǎng)度為SKIPIF1<0，則正方體的體積是.3.翻折有關(guān)的的軌跡問(wèn)題一、單選題1．已知菱形SKIPIF1<0的各邊長(zhǎng)為SKIPIF1<0.如圖所示，將SKIPIF1<0沿SKIPIF1<0