第六章數列6.1.2等差數列（針對練習）針對練習針對練習一等差數列的基本量計算1．已知等差數列中，，，則的值是（

）A．30 B．15 C．31 D．642．已知數列為等差數列，，，則該數列的公差為（

）A． B．3 C． D．53．等差數列的前n項和為，若，則公差(

)A．1 B． C．2 D．4．記為等差數列的前n項和．若，，則（

）A．3 B．7 C．11 D．155．已知等差數列的各項均為正數，其前n項和為，且滿足，，則（

）A．28 B．30 C．32 D．35針對練習二等差中項的應用6．在等差數列中，，則的值是（

）A．24 B．32 C．48 D．967．在等差數列中，若，則（

）A．18 B．30 C．36 D．728．已知數列是公比為q的等比數列，若，且是與2的等差中項，則q的值是（

）A．1B．2C．或1 D．或29．已知正項等比數列中，，且成等差數列，則該數列公比為（）A． B． C． D．10．等比數列的前項和為，且，，成等差數列.若，則（

）A．15 B．7 C．8 D．16針對練習三等差數列中的最大（小）項11．在數列中，如果（），那么使這個數列的前項和取得最大值時，的值等于（

）A．19 B．20 C．21 D．2212．設等差數列的前項和為，若，，則的最小值等于（

）A．-34 B．-36 C．-6 D．613．若等差數列滿足，，則當的前項和最大時，的值為A．7 B．8 C．9 D．1014．已知數列為等差數列，它的前項和為，若，則使成立的正整數的最小值是（

）A． B． C． D．15．設等差數列的公差為d，其前n項和為，且，，則使得的正整數n的最小值為（

）A．16 B．17 C．18 D．19針對練習四等差數列片段和的性質及應用16．設等差數列的前項和為，若，則（

）A．27 B．36 C．45 D．5417．已知等差數列的前項和為，若，則（

）A．80 B．90 C．100 D．11018．若數列為等差數列，為數列的前項和，已知，，則的值為（

）A．40 B．50 C．60 D．7019．設等差數列的前項和為,若,則(

)A．12 B．8 C．20 D．1620．記為等差數列的前n項和，若，則（

）A． B． C． D．針對練習五兩個等差數列前n項和之比問題21．已知數列、均為等差數列，且前項和分別為和，若，則A． B． C． D．22．若等差數列和的前n項的和分別是和，且，則（

）A． B． C． D．23．已知兩個等差數列和的前n項和分別為和，且，則（

）A． B． C． D．24．設等差數列與等差數列的前n項和分別為，，若對任意自然數n都有，則的值為（

）A． B． C． D．25．若兩個等差數列，的前項和分別為和，且，則（

）A． B． C． D．針對練習六等差數列的簡單應用26．《孫子算經》是我國古代的數學名著，書中有如下問題：“今有五等諸侯，共分橘子六十顆，人別加三顆．問：五人各得幾何？”其意思為：“有5個人分60個橘子，他們分得的橘子個數成公差為3的等差數列，問：5人各得多少橘子．”根據這個問題，5人所得橘子個數的中位數是（

）A．6 B．8 C．10 D．1227．《九章算術》中有如下問題：“今有竹九節(jié)，下三節(jié)容量四升，上四節(jié)容量三升．問中間二節(jié)欲均容，各多少？”其大意：“今有竹節(jié)，下節(jié)容量升，上節(jié)容量升，問使中間兩節(jié)也均勻變化，每節(jié)容量是多少？”在這個問題中，中間這兩節(jié)的容量是A．升和升 B．升和升C．升和升 D．升和升28．《九章算術》有如下問題：“今有金箠，長五尺，斬本一尺，重四斤；斬末一尺，重二斤，問次一尺各重幾何?”意思是：“現在有一根金箠，長五尺在粗的一端截下一尺，重斤；在細的一端截下一尺，重斤，問各尺依次重多少?”按這一問題的顆設，假設金箠由粗到細各尺重量依次成等差數列，則從粗端開始的第二尺的重量是A．斤 B．斤 C．斤 D．斤29．在北京冬奧會開幕式上，二十四節(jié)氣倒計時驚艷了世界．從冬至之日起，小寒、大寒、立春、雨水、驚蟄、春分、清明、谷雨、立夏、小滿、芒種這十二個節(jié)氣的日影長依次成等差數列，若冬至的日影長為18.5尺，立春的日影長為15.5尺，則立夏的日影長為（

）A．9.5尺 B．10.5尺 C．11.5尺 D．12.5尺30．《張邱建算經》曾有類似記載：“今有女子善織布，逐日織布同數遞增（即每天增加的數量相同）".若該女子第一天織布兩尺，前二十日共織布六十尺，則該女子第二十日織布（

）A．三尺 B．四尺 C．五尺 D．六尺針對練習七由遞推關系證明等差數列31．已知數列滿足且（1）求證：數列為等差數列（2）求數列的通項公式32．已知數列滿足，，數列（1）求證：等差數列；（2）求數列的通項公式.33．數列滿足：．（1）令，求證：數列為等差數列；（2）求數列的通項公式．34．已知數列中，，，數列滿足.（1）求證：數列為等差數列.（2）求數列的通項公式.35．已知列滿足，且，．（1）設，證明：數列為等差數列；（2）求數列的通項公式；針對練習八含絕對值的等差數列前n項和36．在等差數列中，．(1)求數列的通項公式；(2)設，求．37．已知單調遞減數列的前項和為，且，（1）求（2）求38．已知等差數列的前項和為，且滿足.（1）求的通項公式；（2）記，求的前項和.39．已知等差數列的前項和為，且（1）求通項公式；（2）求數列的前項和40．已知數列是等差數列，，公差，且是等比數列；（Ⅰ）求；（Ⅱ）求數列的前項和．第六章數列6.1.2等差數列（針對練習）針對練習針對練習一等差數列的基本量計算1．已知等差數列中，，，則的值是（

）A．30 B．15 C．31 D．64【答案】B【分析】根據等差數列下標和的性質即可求解.【詳解】由等差數列性質可知，，所以，解得.故選：B.2．已知數列為等差數列，，，則該數列的公差為（

）A． B．3 C． D．5【答案】B【分析】根據等差數列的通項公式可求出結果.【詳解】設公差為，則由得，解得.故選：B3．等差數列的前n項和為，若，則公差(

)A．1 B． C．2 D．【答案】B【分析】根據等差數列通項公式和前n項和公式列出關于和d的方程組求解即可．【詳解】由題可知．故選：B．4．記為等差數列的前n項和．若，，則（

）A．3 B．7 C．11 D．15【答案】D【分析】由題干條件得到方程組，求出首項和公差，求出.【詳解】由得：，由得：聯立兩式可得：，所以，所以故選：D5．已知等差數列的各項均為正數，其前n項和為，且滿足，，則（

）A．28 B．30 C．32 D．35【答案】D【分析】利用等差數列的性質，通項公式及其前項和公式求解即可.【詳解】因為，所以，又因為，所以公差，所以，故選：.針對練習二等差中項的應用6．在等差數列中，，則的值是（

）A．24 B．32 C．48 D．96【答案】C【分析】利用等差中項的性質求得，再由即可得結果.【詳解】由題設，，則，所以.故選：C7．在等差數列中，若，則（

）A．18 B．30 C．36 D．72【答案】C【分析】由已知求出，再利用等差中項即可.【詳解】由已知得，，所以.故選:C8．已知數列是公比為q的等比數列，若，且是與2的等差中項，則q的值是（

）A．1 B．2C．或1 D．或2【答案】A【分析】利用等比數列的性質和基本量代換，解方程即可求出q.【詳解】由解得.因為是與2的等差中項，所以.把代入得：，消去得：，解得.故選：A．9．已知正項等比數列中，，且成等差數列，則該數列公比為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】運用等比數列的性質和通項公式，等差數列的中項性質，解方程可得所求公比．【詳解】是正項等比數列，且，，成等差數列，故選：C．10．等比數列的前項和為，且，，成等差數列.若，則（

）A．15 B．7 C．8 D．16【答案】B【解析】根據已知條件求得公比，由此求得.【詳解】設等比數列的公比為，由于，，成等差數列，所以，即，，，所以.故選：B針對練習三等差數列中的最大（?。╉?1．在數列中，如果（），那么使這個數列的前項和取得最大值時，的值等于（

）A．19 B．20 C．21 D．22【答案】B【分析】考慮何時變號，則可得前項和取得最大值時的值.【詳解】因為，故，故數列為等差數列，又當時，；當時，，故當時，取得最大值，故選：B.【點睛】本題考查等差數列前和的最值問題，依據項的符號的變化來判斷是通法，本題屬于基礎題.12．設等差數列的前項和為，若，，則的最小值等于（

）A．-34 B．-36 C．-6 D．6【答案】B【解析】由題意先求出數列的公差，再根據前項和公式求出，再計算最小值即可．【詳解】解：設數列的公差為，∵，∴，又，∴，∴，∴當時，有最小值，故選：B．【點睛】本題主要考查等差數列的前項和的最值的求法，屬于基礎題．13．若等差數列滿足，，則當的前項和最大時，的值為A．7 B．8 C．9 D．10【答案】B【詳解】∵等差數列滿足∴等差數列的前8項為正數，從第9項開始為負數，∴當的前項和最大時的值為8，故選B．14．已知數列為等差數列，它的前項和為，若，則使成立的正整數的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據等差數列前項和的特點得到，，之后解不等式，即可得到整數的最小值.【詳解】因為是等差數列的前項和，所以，所以.由，解得（舍去），所以正整數的最小值是.故選：B.15．設等差數列的公差為d，其前n項和為，且，，則使得的正整數n的最小值為（

）A．16 B．17 C．18 D．19【答案】D【分析】根據等差數列的性質及已知分別判斷、、的符號即可.【詳解】由，得，因為是等差數列，所以，，，，，，所以，使得的正整數n的最小值為.故選:D.針對練習四等差數列片段和的性質及應用16．設等差數列的前項和為，若，則（

）A．27 B．36 C．45 D．54【答案】B【分析】根據等差數列和性質知成等差數列，計算得到答案.【詳解】根據等差數列和性質知：成等差數列，故，解得.故選：B.【點睛】本題考查了求等差數列前項和，意在考查學生的計算能力，利用成等差數列是解題的關鍵.17．已知等差數列的前項和為，若，則（

）A．80 B．90 C．100 D．110【答案】B【解析】利用等差，即可求解.【詳解】根據等差數列前項和的片段和性質：也是等差數列，又，故可得：10,30,50成等差數列，故：，解得.故選：B.【點睛】本題考查等差數列前項和的片段和性質.18．若數列為等差數列，為數列的前項和，已知，，則的值為（

）A．40 B．50 C．60 D．70【答案】B【分析】根據題意，可知，是等差數列，即成等差數列，利用等差中項的性質，即可列式求出.【詳解】解：已知數列為等差數列，，，則也是等差數列，所以，是等差數列，即：成等差數列，由等差中項得：，解得：.故選：B.【點睛】本題考查等差數列前項和的有關性質，以及等差中項的應用，考查計算能力.19．設等差數列的前項和為,若,則(

)A．12 B．8 C．20 D．16【答案】C【分析】由等差數列的性質得：成等比數列，由此能求出的值．【詳解】解：∵等差數列的前項和為，，由等差數列的性質得：成等比數列又∴．故選C．【點睛】本題考查等差數列的四項和的求法，是基礎題，解題時要認真審題，注意等差數列的性質的合理運用．20．記為等差數列的前n項和，若，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據等差數列的性質，，，也成等差數列，結合，根據等差數列的性質得到，，代入即可得到答案．【詳解】根據等差數列的性質，若數列為等差數列，則，，，也成等差數列；又，即①則數列，，，是以為首項的等差數列根據等差中項公式可得：②由①②解得：③又④由①③④解得：故選：B．【點睛】本題考查的知識點是等差數列的性質，其中根據數列為等差數列，則，，，也成等差數列，然后根據等差數列的性質，判斷數列，與的關系，是解答本題的關鍵，考查了分析能力和計算能力.針對練習五兩個等差數列前n項和之比問題21．已知數列、均為等差數列，且前項和分別為和，若，則A． B． C． D．【答案】B【分析】利用等差數列的性質以及等差數列的前項和公式，將所求的，轉化為的形式，由此求得所求的結果.【詳解】根據等差數列的性質和前項和公式，有.故選B.【點睛】本小題主要考查等差數列的性質，考查等差數列前項和公式，考查化歸與轉化的數學思想方法，屬于基礎題.這個等差數列的性質是：若，則，若，則.如果數列是等比數列，則數列的性質為：若，則，若，則.22．若等差數列和的前n項的和分別是和，且，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據等差數列的性質和求和公式結合已知條件分析求解【詳解】因為等差數列和的前n項的和分別是和，且，所以.故選：B.23．已知兩個等差數列和的前n項和分別為和，且，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據等差數列性質與前n項公式化簡即可求解．【詳解】由．故選：D24．設等差數列與等差數列的前n項和分別為，，若對任意自然數n都有，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據等差數列的下標性質將式子化為，再化為，進而得到，最后根據條件求得答案.【詳解】由題意，.故選：C.25．若兩個等差數列，的前項和分別為和，且，則（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】可設，，進而求得與的關系式，即可求得結果．【詳解】因為，是等差數列，且，所以可設，，又當時，有，，，故選：．針對練習六等差數列的簡單應用26．《孫子算經》是我國古代的數學名著，書中有如下問題：“今有五等諸侯，共分橘子六十顆，人別加三顆．問：五人各得幾何？”其意思為：“有5個人分60個橘子，他們分得的橘子個數成公差為3的等差數列，問：5人各得多少橘子．”根據這個問題，5人所得橘子個數的中位數是（

）A．6 B．8 C．10 D．12【答案】D【分析】由等差數列定義可設人所得橘子數分別為，，，，，由橘子總數可構造方程求得中位數.【詳解】設個人所得橘子數為：，，，，，，解得：，人所得橘子數的中位數為.故選：.【點睛】本題考查等差數列的應用問題，關鍵是能夠根據等差數列的特點，采用待定系數法來求解，屬于基礎題.27．《九章算術》中有如下問題：“今有竹九節(jié)，下三節(jié)容量四升，上四節(jié)容量三升．問中間二節(jié)欲均容，各多少？”其大意：“今有竹節(jié)，下節(jié)容量升，上節(jié)容量升，問使中間兩節(jié)也均勻變化，每節(jié)容量是多少？”在這個問題中，中間這兩節(jié)的容量是A．升和升 B．升和升C．升和升 D．升和升【答案】B【解析】由題可得：竹九節(jié)的容量依次成等差數列，由下3節(jié)容量4升及上4節(jié)容量3升列方程即可求得及，問題得解．【詳解】由題可得：竹九節(jié)的容量依次成等差數列，從上往下，不妨設每節(jié)的容量依次為：又下3節(jié)容量4升，上4節(jié)容量3升，可得，解得：，所以中間這兩節(jié)的容量，故選B【點睛】本題主要考查了等差數列的應用，考查了等差數列的通項公式及計算能力，屬于中檔題．28．《九章算術》有如下問題：“今有金箠，長五尺，斬本一尺，重四斤；斬末一尺，重二斤，問次一尺各重幾何?”意思是：“現在有一根金箠，長五尺在粗的一端截下一尺，重斤；在細的一端截下一尺，重斤，問各尺依次重多少?”按這一問題的顆設，假設金箠由粗到細各尺重量依次成等差數列，則從粗端開始的第二尺的重量是A．斤 B．斤 C．斤 D．斤【答案】B【分析】依題意，金箠由粗到細各尺重量構成一個等差數列，則，由此利用等差數列性質求出結果．【詳解】設金箠由粗到細各尺重量依次所成得等差數列為，設首項，則，公差，.故選B【點睛】本題考查了等差數列的通項公式，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎題．29．在北京冬奧會開幕式上，二十四節(jié)氣倒計時驚艷了世界．從冬至之日起，小寒、大寒、立春、雨水、驚蟄、春分、清明、谷雨、立夏、小滿、芒種這十二個節(jié)氣的日影長依次成等差數列，若冬至的日影長為18.5尺，立春的日影長為15.5尺，則立夏的日影長為（

）A．9.5尺 B．10.5尺 C．11.5尺 D．12.5尺【答案】A【分析】由等差數列相關運算得到公差，進而求出立夏的日影長.【詳解】由題意得：為等差數列，公差為d，則，，則，解得：，則，故立夏的日影長為9.5尺.故選：A30．《張邱建算經》曾有類似記載：“今有女子善織布，逐日織布同數遞增（即每天增加的數量相同）".若該女子第一天織布兩尺，前二十日共織布六十尺，則該女子第二十日織布（

）A．三尺 B．四尺 C．五尺 D．六尺【答案】B【分析】用表示該女子第天織布尺寸，問題轉化為已知，，求，利用等差數列的前項和公式求解．【詳解】用表示該女子第天織布尺寸，則，，由，得，．故選：B．針對練習七由遞推關系證明等差數列31．已知數列滿足且（1）求證：數列為等差數列（2）求數列的通項公式【答案】（1）見解析；（2）.【分析】（1）將條件取倒數可得，從而得證；（2）利用等差數列先求得，從而得解.【詳解】（1）由，得，所以，所以數列為等差數列，首項為1，公差為2.（2）由（1）可得，所以【點睛】本題主要考查了利用遞推關系求證等差數列，采用了取倒數的方法，屬于基礎題.32．已知數列滿足，，數列（1）求證：等差數列；（2）求數列的通項公式.【答案】（1）證明見解析；（2）【分析】（1）根據題意，計算，由等差數列的定義，即可證明結論成立；（2）先由（1）求出，即可得出.【詳解】（1）由題可，且，又因為所以數列是以為首項，為公差的等差數列（2）由（1）可知，故.【點睛】本題主要考查證明數列是等差數列，以及求數列的通項公式，屬于基礎題型.33．數列滿足：．（1）令，求證：數列為等差數列；（2）求數列的通項公式．【答案】（1）見解析；（2）【分析】（1）把已知數列遞推式兩邊同時除以n（n+1），可得數列{}是以1為首項，以1為公差的等差數列；（2）由（1）結合等差數列通項公式即可得到結果.【詳解】（1）由已知可得，即，所以是以為首項，1為公差的等差數列.（2）由（1）知，所以.【點睛】本題考查數列遞推式，考查了等差數列的定義及通項公式，屬于基礎題.34．已知數列中，，，數列滿足.（1）求證：數列為等差數列.（2）求數列的通項公式.【答案】（1）證明見解析；（2）.【分析】（1）根據等差數列定義，可化簡整理得到，由此證得結論；（2）由等差數列通項公式可求得，化簡整理可得.【詳解】（1），，，又，數列是首項為，公差為的等差數列.（2）由（1）知：，，.35．已知列滿足，且，．（1）設，證明：數列為等差數列；（2）求數列的通項公式；【答案】（1）證明見解析；（2）.【分析】（1）根據題設遞推式得，根據等差數列的定義，結論得證.（2）由（1）直接寫出通項公式即可.【詳解】（1）由題設知：，且，∴是首項、公差均為1的等差數列，又，則數列為等差數列，得證.（2）由（1）知：.針對練習八含絕對值的等差數列前n項和36．在等差數列中，．(1)求數列的通項公式；(2)設，求．【答案】(1)(2)【分析】（1）直接利用等差數列的通項公式即可求解；（2）先判斷出數列單調性，由時，，時，；然后去掉絕對值，利用等差數列的前項和公式求解即可.(1)是等差數列，公差；即；(2)，則由（1）可知前五項為正，第六項開始為負.37．已知單調遞減數列的前項和為，且，（1）求（2）求【答案】（1