遼寧省重點高中沈陽市郊聯(lián)體2023-2024學年度下學期考試高二年級期中試題數(shù)學命題人：沈陽市第五十六中學王璇評審題人：康平縣高級中學何慶超注意事項：1.答題前填寫好自己的姓名、班級、考號.2.請將答案正確填寫在答題卡上.一、單項選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知數(shù)列均為等差數(shù)列，，，則（）A.9 B.18 C.16 D.27【答案】A【解析】【分析】兩式相加,依據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)即可求解.【詳解】因為，，所以，所以，故選：A.2.已知函數(shù)?，則?（）A.? B.1 C.? D.5【答案】B【解析】分析】利用導數(shù)運算求得.【詳解】，令得.故選：B3.已知是等差數(shù)列的前n項和，且，，則下列選項正確的是（）A.數(shù)列為遞減數(shù)列 B. C.的最大值為 D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)可得，則，即可判斷AB；根據(jù)數(shù)列的單調(diào)性即可判斷C；根據(jù)等差數(shù)列前n項求和公式計算即可判斷D.【詳解】A：，在數(shù)列中，，且，∴，∴公差，數(shù)列為遞增數(shù)列，故A錯誤；B：由A選項的分析知，，，得，故B錯誤；C：當1≤n≤7時，，當n≥8時，，所以的最小值為，故C錯誤；D：，故D正確，故選：D．4.若則（）A B.C. D.【答案】C【解析】【分析】結合的特征，構造函數(shù)，利用其單調(diào)性即可比較大小.【詳解】構造函數(shù)，，則，令f'x>0解得；令f'可得在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，，且，，即，就是.故選：C．5.函數(shù)y=fx的導函數(shù)yA.是函數(shù)y=fB.是函數(shù)y=fC.y=fx區(qū)間D.y=fx【答案】C【解析】【分析】利用函數(shù)的導函數(shù)的圖象對A，B，C，D四個選項逐個判斷即可．【詳解】解：由函數(shù)的導函數(shù)的圖象可知，A．左側的導數(shù)小于0，而右側的導數(shù)大于0，所以是函數(shù)的極小值點，故錯誤，不符合題意；B．左側的導數(shù)大于0，右側的導數(shù)大于0，不是函數(shù)的最小值點，故B錯誤，不符合題意；C．當時，，單調(diào)遞增，故C正確，符合題意；D．由圖象得，所以在處切線的斜率大于零，故D錯誤，不符合題意；故選：C．6.已知數(shù)列an滿足，．若數(shù)列是公比為2的等比數(shù)列，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用等比數(shù)列求出，進而求得，再利用累加法求通項得解.【詳解】依題意，，，當時，，則，所以.故選：A7.已知直線是曲線與曲線的公切線，則等于（）A. B.3 C. D.2【答案】D【解析】【分析】由求得切線方程，結合該切線也是的切線列方程，求得切點坐標以及斜率，進而求得直線，從而求得正確答案.【詳解】設是圖象上的一點，，所以在點處的切線方程為，①，令，解得，，所以，，所以或（此時①為，，不符合題意，舍去），所以，此時①可化為，所以.故選：D8.設是函數(shù)的導函數(shù)，且，（為自然對數(shù)的底數(shù)），則不等式的解集為A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】構造函數(shù)F（x）=，求出導數(shù)，判斷F（x）在R上遞增．原不等式等價為F（lnx）＜F（），運用單調(diào)性，可得lnx＜，運用對數(shù)不等式的解法，即可得到所求解集．【詳解】可構造函數(shù)F（x）=，F(xiàn)′（x）==，由f′（x）＞2f（x），可得F′（x）＞0，即有F（x）在R上遞增．不等式f（lnx）＜x2即為＜1，（x＞0），即＜1，x＞0．即有F（）==1，即為F（lnx）＜F（），由F（x）在R上遞增，可得lnx＜，解得0＜x＜．故不等式的解集為（0，），故選B．【點睛】利用導數(shù)解抽象函數(shù)不等式，實質(zhì)是利用導數(shù)研究對應函數(shù)單調(diào)性，而對應函數(shù)需要構造.構造輔助函數(shù)常根據(jù)導數(shù)法則進行：如構造，構造，構造，構造等二、多選題：本大題共3小題，每題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對得6分，部分選對得部分分，有錯選的得0分.9.下列選項正確的是（）A.fx=B.，則C.D.設函數(shù)且，則【答案】AC【解析】【分析】結合導數(shù)的求導法則依次求解．【詳解】對于A項，，則，故A項正確；對于B項，，故B項錯誤；對于C項，，故C項正確；對于D項，，由，得，故D項錯誤；故選：AC10.設等比數(shù)列的公比為，前項積為，下列說法正確的是（）A.若，則B.若，則C.若，且為數(shù)列的唯一最大項，則D.若，且，則使得成立的的最大值為20【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)前項積的定義和性質(zhì)即可結合等比數(shù)列的性質(zhì)即可逐一求解.【詳解】若，則，可得，即選項A錯誤；而，即選項B正確.若，且是數(shù)列的唯一最大項.當時，，不合題意；當時，由，可得，即，解得，即選項C正確.若，當時，，又，不滿足，不合題意；當時，由可得，，，所以，，則為單調(diào)遞減數(shù)列，因此當時，故，當時，故，因此當時，數(shù)列單調(diào)遞增，當時，數(shù)列單調(diào)遞減，又，，，所以使得成立的的最大值為20，即選項D正確.故選：BCD【點睛】結論點睛：由首項和公比確定等比數(shù)列的單調(diào)性的幾種情況：（1），時，等比數(shù)列為單調(diào)遞減數(shù)列，（2），時，等比數(shù)列為單調(diào)遞增數(shù)列，（3），時，等比數(shù)列為單調(diào)遞增數(shù)列，（4），時，等比數(shù)列為單調(diào)遞減數(shù)列，（5）時，等比數(shù)列為擺動數(shù)列，（6）時，等比數(shù)列為常數(shù)列，11.函數(shù)、，下列命題中正確的是（）.A.不等式的解集為B.函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減C.若函數(shù)有兩個極值點，則D.若時，總有恒成立，則【答案】AD【解析】【分析】對A，根據(jù)，得到，然后用導數(shù)畫出其圖象判斷；對B，，當時，，當時，判斷；對C，將函數(shù)有兩個極值點，有兩根判斷；對D，將問題轉化為恒成立，再構造函數(shù)，用導數(shù)研究單調(diào)性.【詳解】對A，因為，，令，得，故在該區(qū)間上單調(diào)遞增；令，得，故在該區(qū)間上單調(diào)遞減.又當時，，，故的圖象如下所示：數(shù)形結合可知，的解集為，故正確；對B，，當時，，當時，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，錯誤；對C，若函數(shù)有兩個極值點，即有兩個極值點，又，要滿足題意，則需有兩根，也即有兩根，也即直線的圖象有兩個交點.數(shù)形結合則，解得.故要滿足題意，則，故錯誤；對D，若時，總有恒成立，即恒成立，構造函數(shù)，，對任意的恒成立，故單調(diào)遞增，則恒成立，也即，在區(qū)間0,+∞恒成立，則，故正確.故選：AD.【點睛】本題主要考查導數(shù)在函數(shù)圖象和性質(zhì)中的綜合應用，還考查了數(shù)形結合的思想、轉化化歸思想和運算求解的能力，屬于較難題.三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分.12.在一個數(shù)列中，如果?n∈N*，都有anan＋1an＋2＝k(k為常數(shù))，那么這個數(shù)列叫做等積數(shù)列，k叫做這個數(shù)列的公積．已知數(shù)列{an}是等積數(shù)列，且a1＝1，a2＝2，公積為8，則a1＋a2＋a3＋…＋a12＝________．【答案】28【解析】【分析】依題意得數(shù)列{an}是周期為3的數(shù)列，再由a1＝1，a2＝2，公積為8，求出a3＝4，然后根據(jù)周期可求得結果【詳解】因為數(shù)列{an}是等積數(shù)列，且a1＝1，a2＝2，公積為8，所以a1a2a3＝8，所以a3＝4，同理可得a4＝1，a5＝2，a6＝4，……所以數(shù)列{an}是周期為3的數(shù)列，因此a1＋a2＋a3＋…＋a12＝4(a1＋a2＋a3)＝4×(1＋2＋4)＝28．故答案為：2813.某個體戶計劃同時銷售A，B兩種商品，當投資額為x千元時，在銷售A，B商品中所獲收益分別為千元與千元，其中，，如果該個體戶準備共投入5千元銷售A，B兩種商品，為使總收益最大，則B商品需投________千元．【答案】##1.5【解析】【分析】列出利潤關于投資B商品x千元的函數(shù)，利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，再求函數(shù)的最大值及對應的x的值.【詳解】設投入經(jīng)銷B商品x千元，則投入經(jīng)銷A商品資金為千元，所獲得的收益千元，則，可得，當時，可得，函數(shù)單調(diào)遞增；當時，可得，函數(shù)單調(diào)遞減；所以當時，函數(shù)取得最大值，最大值為.故答案為：14.已知實數(shù)滿足，，則_______．【答案】【解析】【分析】對兩個等式進行“同構”變形，通過發(fā)現(xiàn)兩個等式得共通之處進行構造函數(shù)求解.【詳解】根據(jù)題意，顯然是正數(shù).由，兩邊取對數(shù)得，，即，又，即，利用，于是，記，，故在上遞減，由，于是，.故答案為：四、解答題：本大題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.已知函數(shù)的圖象經(jīng)過點，且在處取得極值.（1）求，的值；（2）求經(jīng)過點且與曲線相切的切線方程.【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）利用點在函數(shù)的圖象上和函數(shù)極值點的定義即可求解；（2）設切點為，利用直線的點斜式寫出切線方程，再利用導數(shù)的幾何意義、切點在曲線上和切線上建立方程組，解出切點坐標及切線的斜率即可求解.【小問1詳解】因為，所以.因為函數(shù)圖象經(jīng)過點，所以因為函數(shù)在處取得極值，所以，所以，解得,所以。【小問2詳解】由（1）知,所以，所以設切點坐標為，設切線方程為，由題意可得，解得或，所以切線方程為或.16.已知正項等差數(shù)列，為數(shù)列的前項和，且滿足，，設數(shù)列滿足.（1）分別求數(shù)列和的通項公式；（2）將數(shù)列中與數(shù)列相同的項剔除后，按從小到大的順序構成數(shù)列，記數(shù)列的前項和為，求.【答案】（1），（2）11302【解析】【分析】（1）利用等差數(shù)列基本量運算求得，再由bn的和式采用作差法求得并驗證即得通項；（2）由，列出數(shù)列bn的前8項，求出他們對應的數(shù)列an中的相同項，確定為an的前107項的和減去bn的前7【小問1詳解】設正項等差數(shù)列an的公差為，因為，，所以，解得：所以.數(shù)列bn滿足設，當時，有，即，當時，有，得符合，所以【小問2詳解】根據(jù)（1）的結論，所以數(shù)列bn的前8項依次為：2、4、8、16、32、64、128、256對應數(shù)列an第1、2、4、8、16、32、64、128故數(shù)列的前100項為數(shù)列an的前107項，剔除數(shù)列bn的前7設數(shù)列bn的前項和為，所以.17.已知函數(shù).（1）若，求在上的最大值和最小值；（2）若，當時，證明：恒成立；（3）若函數(shù)在處的切線與直線垂直，且對，恒成立，求實數(shù)的取值范圍.【答案】（1）最大值是，最小值是（2）證明見解析（3）【解析】【分析】（1）利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，進而求最值即可；（2）構造函數(shù)，然后利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，進而求最值即可證明；（3）根據(jù)題意，先求參數(shù)，進而用分離參數(shù)的方法解決恒成立問題即可.【小問1詳解】當時，，，令可得，故當時，在單調(diào)遞減；當時，在單調(diào)遞增；故遞減區(qū)間為，遞增區(qū)間為函數(shù)的極小值是唯一的極小值，無極大值.又，在上的最大值是，最小值是【小問2詳解】因為，所以令，.當時，，則在上單調(diào)遞增，所以當時，，所以恒成立.【小問3詳解】因為函數(shù)的圖象在處的切線與直線垂直，所以，即，解得所以.因為對，恒成立，所以對，恒成立.令，則令，解得；令，解得，所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，則，解得：所以實數(shù)的取值范圍為18.已知數(shù)列an滿足，且.（1）證明：是等比數(shù)列，并求an的通項公式；（2）在數(shù)列bn中，，，求bn的通項公式；（3）記數(shù)列滿足，求數(shù)列的前項和.【答案】（1）證明見解析，（2）（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)遞推公式結合等比數(shù)列定義證明，再應用通項公式求解；（2）累加法求數(shù)列通項公式；（3）先分奇偶項求和再應用錯位相減法計算.【小問1詳解】，變形得：，又，故，所以是首項為3，公比為3的等比數(shù)列.從而，即.【小問2詳解】由題意可得，所以當時，，，，，上式累加可得，，又，所以，當時，滿足上式，所以【小問3詳解】由（1）、（2）知，則在前項中，,,作差得..從而.19.已知函數(shù)（為自然對數(shù)的底數(shù)）．（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若，的導數(shù)在上是增函數(shù)，求實數(shù)b的最大值；（3）在（2）的條件下，求證：對一切正整數(shù)均成立．【答案】（1）答案見解析（2）（3）證明見解析【解析】【分析】（1）求出函數(shù)的導數(shù)，根據(jù)導數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關系，即可求得答案；（2）由