鑄造過(guò)程計(jì)算機(jī)模擬講義

復(fù)習(xí)-有限差分法

冒國(guó)兵

1第1頁(yè)主要內(nèi)容1、差分原理及迫近誤差2、差分方程，截?cái)嗾`差和相容性3、收斂性與穩(wěn)定性4、Lax等價(jià)定理2第2頁(yè)第一節(jié)差分原理及迫近誤差/差分原理向前差分

（1-2）向后差分（1-3）中心差分（1-4）1．差分原理3第3頁(yè)第一節(jié)差分原理及迫近誤差/差分原理對(duì)一階差分再作一階差分，所得到稱為二階差分，記為。以向前差分為例，有

（1-5）4第4頁(yè)第一節(jié)差分原理及迫近誤差/差分原理

依這類推，任何階差分都可由其低一階差分再作一階差分得到。比如n階前差分為

（1-6）5第5頁(yè)第一節(jié)差分原理及迫近誤差/差分原理函數(shù)差分與自變量差分之比，即為差商。

一階向前差商為

一階向后差商為

（1-7）（1-8）6第6頁(yè)第一節(jié)差分原理及迫近誤差/差分原理一階中心差商為或（1-9）（1-10）7第7頁(yè)第一節(jié)差分原理及迫近誤差/差分原理二階差商多取中心式，即

當(dāng)然，在一些情況下也可取向前或向后二階差商。

（1-11）8第8頁(yè)第一節(jié)差分原理及迫近誤差/差分原理多元函數(shù)f(x,y,…)差分與差商也能夠類推。如一階向前差商為（1-12）（1-13）9第9頁(yè)第一節(jié)差分原理及迫近誤差/迫近誤差差商與導(dǎo)數(shù)之間誤差表明差商迫近導(dǎo)數(shù)程度，稱為迫近誤差。由函數(shù)Taylor展開(kāi)，能夠得到迫近誤差相對(duì)于自變量差分（增量）量級(jí)，稱為用差商代替導(dǎo)數(shù)精度，簡(jiǎn)稱為差商精度。（1-15）2．迫近誤差10第10頁(yè)第一節(jié)差分原理及迫近誤差/迫近誤差一階向后差商也含有一階精度。（1-16）同理：11第11頁(yè)第一節(jié)差分原理及迫近誤差/迫近誤差將與Taylor展開(kāi)式相減可得

可見(jiàn)一階中心差商含有二階精度。（1-17）12第12頁(yè)第一節(jié)差分原理及迫近誤差/迫近誤差這說(shuō)明二階中心差商精度也為二階。

（1-18）將與Taylor展開(kāi)式相加可得13第13頁(yè)第二節(jié)差分方程、截?cái)嗾`差和相容性/差分方程假如將微分方程中導(dǎo)數(shù)用對(duì)應(yīng)差商近似代替，就可得到有限形式差分方程。現(xiàn)以對(duì)流方程為例，列出對(duì)應(yīng)差分方程。（2-1）14第14頁(yè)圖2-1差分網(wǎng)格第二節(jié)差分方程、截?cái)嗾`差和相容性/差分方程15第15頁(yè)若時(shí)間導(dǎo)數(shù)用一階向前差商近似代替，即

空間導(dǎo)數(shù)用一階中心差商近似代替，即則在點(diǎn)對(duì)流方程就可近似地寫作（2-2）（2-3）（2-4）第二節(jié)差分方程、截?cái)嗾`差和相容性/差分方程16第16頁(yè)第二節(jié)差分方程、截?cái)嗾`差和相容性/截?cái)嗾`差按照前面關(guān)于迫近誤差分析知道，用時(shí)間向前差商代替時(shí)間導(dǎo)數(shù)時(shí)誤差為,用空間中心差商代替空間導(dǎo)數(shù)時(shí)誤差為因而對(duì)流方程與對(duì)應(yīng)差分方程間也存在一個(gè)誤差：（2-5）17第17頁(yè)第二節(jié)差分方程、截?cái)嗾`差和相容性/截?cái)嗾`差一個(gè)與時(shí)間相關(guān)物理問(wèn)題，還須給定初始條件，從而形成完整初值問(wèn)題。對(duì)流方程初值問(wèn)題為：對(duì)應(yīng)差分格式：（2-7）（2-8）18第18頁(yè)第二節(jié)差分方程、截?cái)嗾`差和相容性/截?cái)嗾`差FTCS格式（2-9）FTFS格式（2-10）19第19頁(yè)第二節(jié)差分方程、截?cái)嗾`差和相容性/截?cái)嗾`差（2-11）FTBS格式20第20頁(yè)第二節(jié)差分方程、截?cái)嗾`差和相容性/截?cái)嗾`差(a)FTCS(b)FTFS(c)FTBS圖2-2差分格式21第21頁(yè)第二節(jié)差分方程、截?cái)嗾`差和相容性/截?cái)嗾`差FTCS格式截?cái)嗾`差為

FTFS和FTBS格式截?cái)嗾`差為（2-12）（2-13）3種格式對(duì)都有一階精度。22第22頁(yè)第二節(jié)差分方程、截?cái)嗾`差和相容性/相容性假如當(dāng)時(shí)，差分方程截?cái)嗾`差某種范數(shù)也趨近于零，即則表明從截?cái)嗾`差角度來(lái)看，此差分方程是能用來(lái)迫近微分方程，通常稱這么差分方程和對(duì)應(yīng)微分方程相容。（2-17）23第23頁(yè)

第二節(jié)差分方程、截?cái)嗾`差和相容性/相容性只有方程相容，定解條件也相容，即和整個(gè)問(wèn)題才相容。

（2-21）24第24頁(yè)第三節(jié)收斂性與穩(wěn)定性/收斂性當(dāng)自變量步長(zhǎng)趨于零時(shí)，要求差分格式（準(zhǔn)確）解趨于微分方程定解問(wèn)題（準(zhǔn)確）解。我們稱這種是否趨于微分方程定解問(wèn)題解情況為差分格式收斂性。，也是微分問(wèn)題定解區(qū)域上一固定點(diǎn)，設(shè)差分格式在此點(diǎn)解為,對(duì)應(yīng)微分問(wèn)題解為，二者之差為（3-1）更明確地說(shuō)，對(duì)差分網(wǎng)格上任意結(jié)點(diǎn)稱為離散化誤差。25第25頁(yè)第三節(jié)收斂性與穩(wěn)定性/收斂性假如當(dāng)、時(shí)，離散化誤差某種范數(shù)趨近于零，即則說(shuō)明此差分格式是收斂，即此差分格式解收斂于對(duì)應(yīng)微分問(wèn)題解。（3-2）26第26頁(yè)第三節(jié)收斂性與穩(wěn)定性/穩(wěn)定性首先介紹一下差分格式依賴區(qū)間、決定區(qū)域和影響區(qū)域。還是以初值問(wèn)題

為例。先看FTCS格式，如圖3-1（a）,p點(diǎn)解依賴于初值線AB段上全部結(jié)點(diǎn)初值，故稱AB段上全部結(jié)點(diǎn)為p點(diǎn)依賴區(qū)間。

（3-17）(a)FTCS(b)FTFS(c)FTBS

圖3-1差分格式依賴區(qū)間27第27頁(yè)第三節(jié)收斂性與穩(wěn)定性/穩(wěn)定性(a)FTCS(b)FTFS(c)FTBS

圖3-1差分格式依賴區(qū)間又，三角形pAB區(qū)域內(nèi)任一結(jié)點(diǎn)依賴區(qū)間都包含在AB之內(nèi)，即該區(qū)域內(nèi)任一結(jié)點(diǎn)上解都由AB段上一些結(jié)點(diǎn)初值所決定，而與AB以外結(jié)點(diǎn)初值無(wú)關(guān)

，故稱此三角形區(qū)域?yàn)锳B區(qū)間所決定區(qū)域。28第28頁(yè)第三節(jié)收斂性與穩(wěn)定性/穩(wěn)定性全部受p點(diǎn)函數(shù)值影響結(jié)點(diǎn)總和為p點(diǎn)影響區(qū)域，如圖3-2中陰影所表示區(qū)域。FTCS格式

(b)FTFS格式

(c)FTBS格式圖3-2 差分格式影響區(qū)域29第29頁(yè)第三節(jié)收斂性與穩(wěn)定性/穩(wěn)定性比如微分問(wèn)題

其解為零，即若用FTBS格式計(jì)算，且計(jì)算中不產(chǎn)生任何誤差，則結(jié)果也是零，即（3-18）（3-19）30第30頁(yè)第三節(jié)收斂性與穩(wěn)定性/穩(wěn)定性假設(shè)在第k層上第j點(diǎn)，因?yàn)橛?jì)算誤差得到不妨設(shè)k=0,j=0,

即相當(dāng)于FTBS格式寫成（3-20）31第31頁(yè)第三節(jié)收斂性與穩(wěn)定性/穩(wěn)定性現(xiàn)分別取和2，列表計(jì)算以下：（1）400001161438141163000018383818020000141214001000012120000000010000i-4-3-2-101234n32第32頁(yè)第三節(jié)收斂性與穩(wěn)定性/穩(wěn)定性（2）n40000000013000000010200000010010000010000000010000i-4-3-2-10123433第33頁(yè)第三節(jié)收斂性與穩(wěn)定性/穩(wěn)定性（3）n400001-824-321630000-16-1280200001-440010000-120000000010000I-4-3-2-10123434第34頁(yè)第三節(jié)收斂性與穩(wěn)定性/穩(wěn)定性這個(gè)例子首先顯示了該格式影響區(qū)域，另首先還顯示了當(dāng)值不一樣時(shí)，計(jì)算誤差所產(chǎn)生影響在數(shù)值上有很大不一樣。當(dāng)