第八節(jié)函數(shù)連續(xù)性與間斷點(diǎn)第一章（ContinuityandDiscontinuityofFunction）三、函數(shù)間斷點(diǎn)二、函數(shù)連續(xù)性一、問(wèn)題提出四、小結(jié)與思索題8/18/202411/20一、問(wèn)題提出（Introduction）0T(時(shí)間)溫度C41424一天氣溫是連續(xù)地改變著，表達(dá)函數(shù)連續(xù)性8/18/202422/20二、函數(shù)連續(xù)性（ContinuityofFunction）1.函數(shù)增量8/18/202433/202.連續(xù)定義（DefinitionofContinuity）8/18/202444/20在某鄰域內(nèi)有定義,則稱函數(shù)設(shè)函數(shù)且定義28/18/202455/203.單側(cè)連續(xù)(One-sidedContinuity)左連續(xù)(LeftContinuity)

:當(dāng)時(shí),有右連續(xù)(RightContinuity):當(dāng)時(shí),有定理與單側(cè)極限相類似！8/18/202466/204.連續(xù)函數(shù)(ContinuousFunction)若在某區(qū)間上每一點(diǎn)都連續(xù),則稱它在該區(qū)間上連續(xù),或稱它為該區(qū)間上連續(xù)函數(shù).假如此區(qū)間包含端點(diǎn)，那么（1）函數(shù)在左端點(diǎn)連續(xù)是指在左端點(diǎn)右連續(xù)，（2）函數(shù)在右端點(diǎn)連續(xù)是指在右端點(diǎn)左連續(xù).連續(xù)函數(shù)圖形是一條連續(xù)而不間斷曲線．在閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)集合記作8/18/202477/20在上連續(xù).(有理整函數(shù))又如,

有理分式函數(shù)在其定義域內(nèi)連續(xù).只要都有比如,8/18/202488/20在內(nèi)連續(xù).證:即這說(shuō)明在內(nèi)連續(xù).一樣可證:函數(shù)在內(nèi)連續(xù).例1證實(shí)函數(shù)8/18/202499/20例2討論函數(shù)在處連續(xù)性．解因?yàn)榧醋笥覙O限不相等，所以該函數(shù)在不過(guò)，因?yàn)辄c(diǎn)不連續(xù)．，所以函數(shù)在處右連續(xù)．8/18/20241010/20三、函數(shù)間斷點(diǎn)（DiscontinuityofFunction）定義3在在(1)函數(shù)(2)函數(shù)不存在;(3)函數(shù)存在,但不連續(xù):設(shè)在點(diǎn)某去心鄰域內(nèi)有定義,則這么點(diǎn)以下情形之一函數(shù)f(x)在點(diǎn)雖有定義,但雖有定義,且稱為間斷點(diǎn).在無(wú)定義;8/18/20241111/20第一類間斷點(diǎn):及均存在,若稱若稱第二類間斷點(diǎn):及中最少一個(gè)不存在,稱若其中有一個(gè)為振蕩,稱若其中有一個(gè)為為可去間斷點(diǎn).為跳躍間斷點(diǎn).為無(wú)窮間斷點(diǎn).為振蕩間斷點(diǎn).間斷點(diǎn)分類:8/18/20241212/20為其無(wú)窮間斷點(diǎn).為其振蕩間斷點(diǎn).為可去間斷點(diǎn).比如:8/18/20241313/20顯然為其可去間斷點(diǎn).(4)(5)為其跳躍間斷點(diǎn).8/18/20241414/20例3當(dāng)取何值時(shí)，函數(shù)解因?yàn)橐?，則需要．故當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，函數(shù)在點(diǎn)連續(xù)．在處連續(xù)．8/18/20241515/20內(nèi)容小結(jié)左連續(xù)右連續(xù)第一類間斷點(diǎn)可去間斷點(diǎn)跳躍間斷點(diǎn)左右極限都存在第二類間斷點(diǎn)無(wú)窮間斷點(diǎn)振蕩間斷點(diǎn)左右極限最少有一個(gè)不存在在點(diǎn)間斷類型在點(diǎn)連續(xù)等價(jià)形式8/18/20241616/20課后練習(xí)習(xí)題1-8

2（偶數(shù)題）56思索與練習(xí)1.討論函數(shù)x=2是第二類無(wú)窮間斷點(diǎn).間斷點(diǎn)類型.答案:x=1是第一類可去間斷點(diǎn),8/18/20241717/202.討論函數(shù)在處連續(xù)性。解：右連續(xù)但不左連續(xù),故函數(shù)在點(diǎn)不連續(xù)。8/18/20241818/203.討論以下函數(shù)連續(xù)性，若有間斷點(diǎn)，判斷其類別．習(xí)題1－93（2）為