PAGEPAGE7簡潔的三角恒等變換[A級基礎(chǔ)鞏固]1．已知α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，0))，cosα＝eq\f(4,5)，則taneq\f(α,2)＝()A．3 B．－3C.eq\f(1,3) D．－eq\f(1,3)解析：選D因?yàn)棣痢蔱q\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，0))，且cosα＝eq\f(4,5)，所以eq\f(α,2)∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,4)，0))，taneq\f(α,2)＝－eq\r(\f(1－cosα,1＋cosα))＝－eq\r(\f(1－\f(4,5),1＋\f(4,5)))＝－eq\f(1,3).2．若sin(π－α)＝－eq\f(\r(5),3)且α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π，\f(3π,2)))，則sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋\f(α,2)))等于()A．－eq\f(\r(6),3) B．－eq\f(\r(6),6)C.eq\f(\r(6),6) D.eq\f(\r(6),3)解析：選B由題意知sinα＝－eq\f(\r(5),3)，α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π，\f(3π,2)))，所以cosα＝－eq\f(2,3).因?yàn)閑q\f(α,2)∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，\f(3π,4)))，所以sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋\f(α,2)))＝coseq\f(α,2)＝－eq\r(\f(1＋cosα,2))＝－eq\f(\r(6),6).故選B.3．設(shè)a＝eq\f(1,2)cos6°－eq\f(\r(3),2)sin6°，b＝2sin13°cos13°，c＝eq\r(\f(1－cos50°,2))，則有()A．c<b<a B．a(chǎn)<b<cC．a(chǎn)<c<b D．b<c<a解析：選Ca＝eq\f(1,2)cos6°－eq\f(\r(3),2)sin6°＝sin(30°－6°)＝sin24°，b＝2sin13°cos13°＝sin26°，c＝eq\r(\f(1－cos50°,2))＝eq\f(\r(2),2)eq\r(1－sin40°)＝eq\f(\r(2),2)(cos20°－sin20°)＝sin25°，y＝sinx，x∈(0°，90°)函數(shù)是增函數(shù)，所以a<c<b，故選C.4．(多選)下列各式與tanα相等的是()A.eq\r(\f(1－cos2α,1＋cos2α))B.eq\f(sinα,1＋cosα)C.eq\r(\f(1＋cos（π＋2α）,2))·eq\f(1,cosα)(α∈(0，π))D.eq\f(1－cos2α,sin2α)解析：選CDA不符合，eq\r(\f(1－cos2α,1＋cos2α))＝eq\r(\f(2sin2α,2cos2α))＝eq\r(tan2α)＝|tanα|；B不符合，eq\f(sinα,1＋cosα)＝eq\f(2sin\f(α,2)cos\f(α,2),2cos2\f(α,2))＝taneq\f(α,2)；C符合，因?yàn)棣痢?0，π)，所以原式＝eq\r(\f(1－cos2α,2))·eq\f(1,cosα)＝eq\f(sinα,cosα)＝tanα；D符合，eq\f(1－cos2α,sin2α)＝eq\f(2sin2α,2sinαcosα)＝tanα.5．若eq\f(π,2)<θ<π，則eq\r(1－sinθ)－eq\r(\f(1,2)（1－cosθ）)＝()A．2sineq\f(θ,2)－coseq\f(θ,2) B．coseq\f(θ,2)－2sineq\f(θ,2)C．coseq\f(θ,2) D．－coseq\f(θ,2)解析：選D∵eq\f(π,2)<θ<π，∴eq\f(π,4)<eq\f(θ,2)<eq\f(π,2)，∴sineq\f(θ,2)>coseq\f(θ,2)>0.∵1－sinθ＝sin2eq\f(θ,2)＋cos2eq\f(θ,2)－2sineq\f(θ,2)coseq\f(θ,2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\f(θ,2)－cos\f(θ,2)))eq\s\up12(2)，eq\f(1,2)(1－cosθ)＝sin2eq\f(θ,2)，∴eq\r(1－sinθ)－eq\r(\f(1,2)（1－cosθ）)＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\f(θ,2)－cos\f(θ,2)))\s\up12(2))－eq\r(sin2\f(θ,2))＝sineq\f(θ,2)－coseq\f(θ,2)－sineq\f(θ,2)＝－coseq\f(θ,2).6．求值sineq\f(π,8)＝________．解析：sineq\f(π,8)＝eq\r(\f(1－cos\f(π,4),2))＝eq\r(\f(1－\f(\r(2),2),2))＝eq\f(\r(2－\r(2)),2).答案：eq\f(\r(2－\r(2)),2)7．化簡：eq\f(sin2α－2cos2α,sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,4))))＝________．解析：原式＝eq\f(2sinαcosα－2cos2α,\f(\r(2),2)（sinα－cosα）)＝2eq\r(2)cosα.答案：2eq\r(2)cosα8．《周髀算經(jīng)》中給出了弦圖，所謂弦圖是由四個(gè)全等的直角三角形和中間一個(gè)正方形拼成的一個(gè)大的正方形，如圖．若圖中直角三角形的兩個(gè)銳角分別為α，β，且小正方形與大正方形的面積之比為9∶16，則cos(α－β)＝________．解析：設(shè)大正方形的邊長為4，依題意得小正方形的邊長為3.因此4cosα－4sinα＝3?cosα－sinα＝eq\f(3,4)，①4sinβ－4cosβ＝3?sinβ－cosβ＝eq\f(3,4).②①×②，得sinβcosα－sinβsinα－cosαcosβ＋sinαcosβ＝eq\f(9,16).又sinα＝cosβ，cosα＝sinβ，∴sin2β－(cosαcosβ＋sinαsinβ)＋cos2β＝eq\f(9,16)，∴cos(α－β)＝1－eq\f(9,16)＝eq\f(7,16).答案：eq\f(7,16)9．求證：eq\f(1＋sinx,cosx)＝taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋\f(x,2))).證明：左邊＝eq\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\f(x,2)＋sin\f(x,2)))\s\up12(2),\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\f(x,2)＋sin\f(x,2)))\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\f(x,2)－sin\f(x,2))))＝eq\f(cos\f(x,2)＋sin\f(x,2),cos\f(x,2)－sin\f(x,2))＝eq\f(1＋tan\f(x,2),1－tan\f(x,2))＝eq\f(tan\f(π,4)＋tan\f(x,2),1－tan\f(π,4)tan\f(x,2))＝taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋\f(x,2)))＝右邊．所以原等式成立．10．已知α為鈍角，β為銳角，且sinα＝eq\f(4,5)，sinβ＝eq\f(12,13)，求coseq\f(α－β,2)與taneq\f(α－β,2)的值．解：因?yàn)棣翞殁g角，β為銳角，sinα＝eq\f(4,5)，sinβ＝eq\f(12,13)，所以cosα＝－eq\f(3,5)，cosβ＝eq\f(5,13).所以cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ＝－eq\f(3,5)×eq\f(5,13)＋eq\f(4,5)×eq\f(12,13)＝eq\f(33,65).因?yàn)閑q\f(π,2)<α<π，且0<β<eq\f(π,2)，所以0<α－β<π.法一：由0<α－β<π可得，0<eq\f(α－β,2)<eq\f(π,2)，所以coseq\f(α－β,2)＝eq\r(\f(1＋cos（α－β）,2))＝eq\r(\f(1＋\f(33,65),2))＝eq\f(7\r(65),65)，sineq\f(α－β,2)＝eq\r(1－cos2\f(α－β,2))＝eq\f(4\r(65),65).所以taneq\f(α－β,2)＝eq\f(sin\f(α－β,2),cos\f(α－β,2))＝eq\f(4,7).法二：同法一，求得coseq\f(α－β,2)＝eq\f(7\r(65),65).由0<α－β<π，cos(α－β)＝eq\f(33,65)，得sin(α－β)＝eq\r(1－cos2（α－β）)＝eq\f(56,65).所以taneq\f(α－β,2)＝eq\f(sin（α－β）,1＋cos（α－β）)＝eq\f(\f(56,65),1＋\f(33,65))＝eq\f(4,7).[B級綜合運(yùn)用]11．(多選)已知函數(shù)f(x)＝cos2x－2eq\r(3)sinxcosx，則下列結(jié)論中正確的是()A．存在x1，x2，當(dāng)x1－x2＝π時(shí)，f(x1)＝f(x2)成立B．f(x)在區(qū)間eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)，\f(π,3)))上單調(diào)遞增C．函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,12)，0))對稱D．函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x＝eq\f(5π,12)對稱解析：選AC易知f(x)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－2x))＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(5π,6)))，∴f(x)的最小正周期T＝π，A正確；令－eq\f(π,2)＋2kπ≤2x＋eq\f(5π,6)≤eq\f(π,2)＋2kπ(k∈Z)，得－eq\f(2π,3)＋kπ≤x≤－eq\f(π,6)＋kπ(k∈Z)，∴f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(2π,3)＋kπ，－\f(π,6)＋kπ))(k∈Z)，B錯(cuò)誤；∵對稱中心的橫坐標(biāo)滿意2x＋eq\f(5π,6)＝kπ(k∈Z)，∴x＝eq\f(kπ,2)－eq\f(5π,12)(k∈Z)，當(dāng)k＝1時(shí)，x＝eq\f(π,12)，C正確；feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,12)))＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2×\f(5π,12)＋\f(5π,6)))＝－eq\r(3)≠±2，D錯(cuò)誤．故選A、C.12.如圖，以長為10的線段AB為直徑作半圓O，則它的內(nèi)接矩形MPQN面積的最大值為()A．10 B．15C．25 D．50解析：選C連接ON(圖略)，設(shè)∠BON＝θ，則矩形面積S＝5sinθ×2×5cosθ＝50sinθcosθ＝25sin2θ，∴當(dāng)sin2θ＝1時(shí)，S取得最大值25，故Smax＝25.13．設(shè)α為第四象限角，且eq\f(sin3α,sinα)＝eq\f(13,5)，則tan2α＝________．解析：eq\f(sin3α,sinα)＝eq\f(sin（2α＋α）,sinα)＝eq\f(cos2αsinα＋2cos2αsinα,sinα)＝2cos2α＋1＝eq\f(13,5)，所以cos2α＝eq\f(4,5)，又α是第四象限角，所以sin2α＝－eq\f(3,5)，tan2α＝－eq\f(3,4).答案：－eq\f(3,4)14．已知函數(shù)f(x)＝sin2x＋asinxcosx－cos2x，且feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)))＝1.(1)求常數(shù)a的值及f(x)的最小值；(2)當(dāng)x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))時(shí)，求f(x)的單調(diào)增區(qū)間．解：(1)∵feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)))＝1，∴sin2eq\f(π,4)＋asineq\f(π,4)coseq\f(π,4)－cos2eq\f(π,4)＝1，解得a＝2.∴f(x)＝sin2x＋2sinxcosx－cos2x＝sin2x－cos2x＝eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,4))).當(dāng)2x－eq\f(π,4)＝2kπ－eq\f(π,2)(k∈Z)，即x＝kπ－eq\f(π,8)(k∈Z)時(shí)，sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,4)))有最小值－1，則f(x)的最小值為－eq\r(2).(2)令2kπ－eq\f(π,2)≤2x－eq\f(π,4)≤2kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)，整理得kπ－eq\f(π,8)≤x≤kπ＋eq\f(3π,8)(k∈Z)．又x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，∴0≤x≤eq\f(3π,8).∴當(dāng)x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))時(shí)，f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(3π,8))).[C級拓展探究]15．如圖所示，某市政府確定在以政府大樓O為中心，正北方向和正東方向的公路為邊界的扇形地域內(nèi)建立一個(gè)圖書館．為了充分利用這塊土地，并考慮與周邊環(huán)境協(xié)調(diào)，設(shè)計(jì)要求該圖書館底面矩形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)都要