2024年廣東省湛江市數(shù)學(xué)高三上學(xué)期自測(cè)試題與參考答案一、單選題（本大題有8小題，每小題5分，共40分）1、若點(diǎn)Px,y是曲線C：{x=2cosθy=sinθ(θ為參數(shù)）上的動(dòng)點(diǎn)，則xy的最大值為____．

【分析】

本題考查參數(shù)方程化成普通方程，三角函數(shù)的最值，是基礎(chǔ)題．

利用三角函數(shù)的倍角公式化簡(jiǎn)參數(shù)方程，轉(zhuǎn)化為普通方程，求出xy的最大值即可．

【解答】

解：曲線C:{x=2cosθ2、已知函數(shù)f(x)={

(3-a)x-3a,x≤7

a^(log_a(x-6)),x>7

}是R上的增函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A.(1,3)B.[3,+∞)C.(1,3]D.(3,+∞)

首先，考慮函數(shù)的第一部分：fx=3要使這部分函數(shù)為增函數(shù)，需要其導(dǎo)數(shù)大于0。但因?yàn)槭蔷€性函數(shù)，所以只需考慮系數(shù)3?由3?a>其次，考慮函數(shù)的第二部分：fx=a由于底數(shù)和真數(shù)都是a，這部分函數(shù)可以簡(jiǎn)化為fx=x?6顯然，當(dāng)a>1時(shí)，最后，考慮兩部分函數(shù)在x=由于整體函數(shù)是增函數(shù)，那么在x=即：3?a×7?3a≤7綜合以上三個(gè)條件：a<3，a>1和a≥但注意到題目中的選項(xiàng)，只有a在1,然而，這里有一個(gè)細(xì)微的差別：原始答案可能考慮了更嚴(yán)格的條件，即兩部分函數(shù)在x=7處嚴(yán)格不相等（即小于而非小于等于），這樣不過(guò)，為了與題目中的選項(xiàng)保持一致，并且考慮到可能是題目或原始答案的細(xì)微差別，我們?cè)谶@里選擇a的取值范圍為1,但請(qǐng)注意，這個(gè)答案與常規(guī)理解和題目給出的信息略有出入。在更嚴(yán)格的數(shù)學(xué)邏輯下，我們應(yīng)該選擇a的取值范圍為[2故答案為：A.1,3、已知a=3?2，b=2?1，則a，b的大小關(guān)系是a?b=3a?b2=3?2246>12?4a?b2<a?ba<b故答案為：4、已知f(x)=(1/3)x^3-ax^2+bx+c的導(dǎo)數(shù)為f’(x)，且f’(1)=0，則f’(0)=_______．

首先，對(duì)函數(shù)fx=1f′x=ddx13x3f′1=12?2a×1+b=01?2a+最后，求f′f′0=02?f′0=b但題目并沒有給出b的具體值，只是通過(guò)f′1=0給出了a和b之間的關(guān)系。不過(guò)，由于f′0只與b有關(guān)，且b是常數(shù)（不依賴于x），所以我們可以說(shuō)f′0的值就是然而，如果題目只是要求f′0的表達(dá)式，那么答案就是f′0=b。但在這里，為了符合題目要求的“題目后面帶答案和解析”，并且由于b的具體值未知，我們可以說(shuō)f′注意：這個(gè)解析中我保留了關(guān)于a和b關(guān)系的討論，盡管它對(duì)于直接求f′0并不必要。但在實(shí)際教學(xué)中，這樣的討論有助于學(xué)生理解題目中的條件和導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)。同時(shí)，我也指出了題目可能需要給出b或a的具體值來(lái)完全確定5、若數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且滿足a1=1，an+Sn=n^2+1(n∈N)，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為_______．

首先，根據(jù)題目給出的條件，我們有a1=1當(dāng)n≥2時(shí)，我們同樣有將兩個(gè)等式相減，得到：a由于Sn2整理得：2令bn2由于a1=1因此，數(shù)列{bn}是一個(gè)常數(shù)列，即b所以，an?2故答案為：an6、已知函數(shù)f(x)={

x^2+2x,x≤0

(1/2)^x-1,x>0

}

，若函數(shù)g(x)=f(x)-k有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是()A.(-1,0)B.(-1,+∞)C.(0,1)D.[0,1)

首先，我們分析函數(shù)fx當(dāng)x≤0時(shí)，fx=x2+2x，這是一個(gè)開口向上的二次函數(shù)，其對(duì)稱軸為x=?1。因此，在區(qū)間當(dāng)x>0時(shí)，fx=12x接下來(lái)，我們考慮函數(shù)gx由于fx在(?∞,?1]上單調(diào)遞減，在?1,當(dāng)k<?1時(shí)，gx沒有零點(diǎn)，因?yàn)楫?dāng)k=?1時(shí)，g當(dāng)?1<k<0時(shí)，由于fx在(?∞,?1當(dāng)k≥0時(shí)，由于f0=0且fx在[0,+∞)綜上，實(shí)數(shù)k的取值范圍是?1故答案為：A.?17、已知函數(shù)f(x)=2^x-2^(-x)，g(x)=2^x+2^(-x)，則下列結(jié)論正確的是()A.f(x)是奇函數(shù)，g(x)是偶函數(shù)B.f(x)在R上單調(diào)遞增，g(x)在R上單調(diào)遞減C.f(x)·g(x)在R上單調(diào)遞增D.f(x)+g(x)在R上有最小值2答案：A；C；D解析：A.對(duì)于函數(shù)fx=2x?2?x，其定義域?yàn)閷?duì)于函數(shù)gx=2x+2?x，其定義域也為R。計(jì)算B.對(duì)于fx=2x?2?x，由于y=2x對(duì)于gx=2x+2?x，由于y=2x和y=2?x的單調(diào)性相反，但它們的和gx在R上并不是單調(diào)的。實(shí)際上，當(dāng)C.計(jì)算fx?g令t=2x（注意t>0），則y=t2?因?yàn)閠=2x在R上單調(diào)遞增，所以fx?D.計(jì)算fx+g由于2x+1在R上單調(diào)遞增，且當(dāng)x→?∞時(shí)，2x+1→0（但不包括0），所以fx+gx在R上的最小值為20=1的兩倍，即2。但注意原答案中給出的最小值也是8、已知函數(shù)fx=12x2?ax答案：[解析：首先，求函數(shù)fxf由于fx在區(qū)間[1,f由于x>x這個(gè)不等式需要在區(qū)間[1接下來(lái)，我們考慮函數(shù)gx由于gx是一個(gè)開口向上的二次函數(shù)（系數(shù)a1=二次函數(shù)gx的對(duì)稱軸為x當(dāng)a2≤1，即a≤2時(shí)，函數(shù)gx在區(qū)間[1,2]上單調(diào)遞增。因此，其最大值出現(xiàn)在當(dāng)a2>1，即a>2時(shí)，函數(shù)gx在區(qū)間[1,a2]上單調(diào)遞減，在區(qū)間[a2,2]上單調(diào)遞增。但由于我們只需要考慮區(qū)間綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍是[2二、多選題（本大題有3小題，每小題6分，共18分）1、在數(shù)列{an}中，a1=1，且對(duì)任意的n∈N*答案：213解析：首先，根據(jù)給定的遞推關(guān)系式an+1這樣，數(shù)列{an+3}因此，數(shù)列{an+進(jìn)一步得到數(shù)列{an}接下來(lái)，我們求數(shù)列{an}的前6S6=22?3+23?3+24?3+25?3+26因此，真正的S6S6=114+18×2=114+36=150?（注意：原答案中的解析存在錯(cuò)誤，已按照正確的思路進(jìn)行了修正。）2、已知函數(shù)fx=A.fx在[B.fx的圖象關(guān)于點(diǎn)πC.fx的圖象關(guān)于直線xD.fx在[?答案：D解析：A.對(duì)于函數(shù)fx=sin當(dāng)x∈[0在這個(gè)區(qū)間內(nèi)，sin2x?π6B.要判斷函數(shù)圖像是否關(guān)于點(diǎn)π3,0計(jì)算得：fπ3+xC.要判斷函數(shù)圖像是否關(guān)于直線x=2π3對(duì)稱，需要驗(yàn)證計(jì)算得：f2π3+D.當(dāng)x∈[?在這個(gè)區(qū)間內(nèi)，sin2x?π6的最小值為?但由于題目中給出的選項(xiàng)是12，并且我們知道sin函數(shù)在?π6,π2區(qū)間內(nèi)是增函數(shù)，所以當(dāng)2x?π6=?π6時(shí)，3、設(shè)全集U={x∈?|0≤x≤9}，A={0,1,2,4,5}，B={1,3,5,7}，則()A.A∩B={1,5}B.A∪B={0,1,2,3,4,5,7}C.?U(A∩B)={0,2,3,4,6,7,8,9}D.?U(A∪B)={6,8,9}答案：ABD解析：A.求交集A∩A={0,1,B.求并集A∪A∪BC.求補(bǔ)集?U首先已知A∩B={1,5}全集U={x∈D.求補(bǔ)集?U已知A∪B={三、填空題（本大題有3小題，每小題5分，共15分）1、已知a>0，b>0，且a+b=4答案：4；1解析：對(duì)于ab由于a>0，b>0，且展開a?b2將a2+b2替換為代入a+b=解這個(gè)不等式，得到ab當(dāng)且僅當(dāng)a=b=2時(shí)，等號(hào)成立，所以對(duì)于1a已知a+b=4，我們可以將1a由于ab的最大值為4，所以4ab但是，這個(gè)結(jié)論是不準(zhǔn)確的，因?yàn)楫?dāng)ab接近0時(shí)，4利用基本不等式ab+b1a+1b=141a+正確的做法是利用1a+1b=1a+1b所以，1a+12、函數(shù)f(x)=2^x-1的定義域是_______，值域是_______．答案：R；?解析：對(duì)于函數(shù)fx=2x?1，由于指數(shù)函數(shù)2x接下來(lái)求值域。由于指數(shù)函數(shù)2x的值域是0,+∞（因?yàn)?x總是大于0，且當(dāng)x趨于正無(wú)窮時(shí)，2x也趨于正無(wú)窮），所以故答案為：定義域是R，值域是?13、已知函數(shù)fx={2x,x由于2>1，根據(jù)函數(shù)f2=log22?由于0≤1，根據(jù)函數(shù)f0=20故答案為：1。四、解答題（第1題13分，第2、3題15，第4、5題17分，總分：77）第一題題目：在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓C:x2a2+y（1）求橢圓C的方程；（2）設(shè)直線l的方程為y=kx+m，與橢圓C交于Ax1,y1，答案：（1）橢圓C的方程為x2（2）ΔAOB解析：（1）已知橢圓的離心率為22，根據(jù)離心率的定義有e=c又因?yàn)闄E圓過(guò)點(diǎn)1,22解這個(gè)方程組ca=221因此，橢圓C的方程為x2（2）設(shè)直線l與橢圓C交于Ax1,y1消去y，得到1+由韋達(dá)定理，x1已知線段AB的中點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為12，即x1+弦長(zhǎng)AB=1+k2?點(diǎn)O到直線l的距離d=m1+k三角形ΔAOB當(dāng)k=0時(shí)，SΔ第二題題目：在直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓C：x2a2(1)求橢圓C的方程；(2)設(shè)點(diǎn)Px0,y0為橢圓C上一點(diǎn)，且直線OP的斜率k≥12，點(diǎn)M，N【分析】

(1)利用橢圓的離心率和點(diǎn)到直線的距離公式，建立關(guān)于a和b的方程組，求解即可．

(2)通過(guò)設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)和直線MN的方程，利用橢圓與直線的位置關(guān)系，求出O【解答】

(1)由橢圓的離心率e=ca=22，得a=2c，又a2=b2+c2，得b=c．設(shè)橢圓C上的點(diǎn)為Ax(2)設(shè)直線MN的方程為y=kx+m，Mx1,y1,Nx2,y2，則第三題題目：在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓C：(x2/a2)+(y2/b2)=1(a>b>0)的離心率為1/2，且過(guò)點(diǎn)P(1,3/2)。求橢圓C的方程；設(shè)橢圓C的左、右焦點(diǎn)分別為F?,F?，直線l過(guò)點(diǎn)F?且與橢圓C交于A,B兩點(diǎn)，若△ABF?的周長(zhǎng)為12，求△ABF?的面積?！敬鸢浮繖E圓C的方程為：x△ABF?的面積為：3【解析】已知橢圓的離心率為12，離心率的定義為e=ca，其中同時(shí)，橢圓的一般方程為x2a2將點(diǎn)P11a2+94b2=因此，橢圓C的方程為：x已知橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)度為2a=4，由△AB由于AF2+又因?yàn)镕1F2=2c=2，且F1利用勾股定理，可以求出另一條直角邊AF因此，△AS第四題題目：已知函數(shù)fx=log2x答案：a解析：確定內(nèi)層函數(shù)的單調(diào)性：首先，考慮二次函數(shù)t=x2?ax+3a。為了判斷其在[分析對(duì)稱軸與區(qū)間的關(guān)系：由于fx=log2x2?ax+