3.3幕函

教材分析：

I

幕函數(shù)的定義，y=x,y=x2,y=x3,y=x2,y=》一五個幕函數(shù)的圖象和性質(zhì).

本課時內(nèi)容是幕函數(shù)，塞函數(shù)是一類重要的基本初等函數(shù)，很多函數(shù)都是由事函數(shù)與

其他基本的初等函數(shù)經(jīng)過運算、復(fù)合得到的.塞函數(shù)是學(xué)生進(jìn)入高中后學(xué)習(xí)的第一類具體的

基本初等函數(shù).在此之前學(xué)生已學(xué)習(xí)正比例函數(shù)、反比例函數(shù)、一次函數(shù)、二次函數(shù)，＞=廣1

y=y=Y等都是學(xué)生很熟悉的.因此幕函數(shù)的學(xué)習(xí)是建立在學(xué)生已有的函數(shù)學(xué)習(xí)經(jīng)驗上

的，學(xué)習(xí)中主要體現(xiàn)的數(shù)學(xué)抽象是在歸納五個具體函數(shù)共性基礎(chǔ)上進(jìn)行的.

“幕函數(shù)”的內(nèi)容安排在“函數(shù)的概念與性質(zhì)”一章的第3節(jié)，是在學(xué)習(xí)完一般函數(shù)

的概念以及函數(shù)的基本性質(zhì)后，選取一類簡單的基本初等函數(shù)進(jìn)行研究，使學(xué)生明確一類具

體函數(shù)的研究內(nèi)容（定義、表示一一圖象與性質(zhì)一一應(yīng)用），并體會如何在一般函數(shù)的概念

及基本性質(zhì)的指導(dǎo)下展開研究，因此幕函數(shù)的學(xué)習(xí)既是對前面所學(xué)內(nèi)容的鞏固，也為后面指

數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ).

學(xué)情分析：

學(xué)生在初中已經(jīng)學(xué)習(xí)過一些具體的暴函數(shù)，但缺乏對研究一類函數(shù)的內(nèi)容和方法的認(rèn)

識，教學(xué)時應(yīng)聯(lián)系初中學(xué)習(xí)函數(shù)的經(jīng)驗，以及前面學(xué)習(xí)過的一般函數(shù)的概念和性質(zhì)，讓學(xué)生

嘗試建構(gòu)本節(jié)課的學(xué)習(xí)思路，從而體會研究一類函數(shù)的內(nèi)容、思路和方法.

畫出了=尤3,＞=戶的圖象會有一定難度.教學(xué)時應(yīng)該先引導(dǎo)學(xué)生觀察函數(shù)解析式的特

1

點，得出y=d是奇函數(shù)，＞=戶的定義域為非負(fù)數(shù)的集合等；然后讓他們思考如何取點，

并利用描點法作圖，分析五個函數(shù)圖象的共性和差異性而得出性質(zhì).同時，還要加強(qiáng)信息技

術(shù)的應(yīng)用.

在歸納性質(zhì)時，學(xué)生對從哪些方面進(jìn)行歸納會存在困惑，教師要引導(dǎo)學(xué)生思考研究函

數(shù)的一般方法及所要研究的內(nèi)容，結(jié)合前面函數(shù)性質(zhì)的研究，為這里性質(zhì)的歸納做好鋪墊.

基于以上分析，確定本節(jié)課的教學(xué)難點：觀察五個具體察函數(shù)的解析式的共性，抽象

幕函數(shù)概念；觀察函數(shù)圖象的內(nèi)容和方法.

教學(xué)目標(biāo)：

I

1.通過具體實例，了解塞函數(shù)的定義，會畫y=y=x2,y=x3,y=x2,丁=/五

1

個塞函數(shù)的圖象，理解它們的性質(zhì)；

2.通過對幕函數(shù)的研究，體會研究一類函數(shù)的基本內(nèi)容與方法.

教學(xué)過程：

(一)塞函數(shù)定義的抽象

問題1：我們知道函數(shù)可以用來刻畫現(xiàn)實世界中的實際問題，請看下面幾個例子：

(1)如果張紅以1元/kg的價格購買了某種蔬菜wkg,那么她需要支付。=卬元，這

里〃是4的函數(shù)；

(2)如果正方形的邊長為m那么正方形的面積S=/,這里S是a的函數(shù)；

(3)如果立方體的棱長為6,那么立方體的體積丫=/,這里V是匕的函數(shù)；

(4)如果一個正方形場地的面積為S,那么這個正方形的邊長。=西，這里c是S的

函數(shù)；

(5)如果某人ts內(nèi)騎車行進(jìn)了1km,那么他騎車的平均速度v=lkm/s,即v=尸，

t

這里v是7的函數(shù).

觀察這五個函數(shù)的解析式，從自變量、函數(shù)值和解析式的結(jié)構(gòu)特征看，它們有什么共同

特征？

師生活動：教師提出問題，學(xué)生觀察思考后回答問題.根據(jù)學(xué)生的回答，教師進(jìn)行必

要的補(bǔ)充.最后明確指出：這幾個函數(shù)的解析式都具有幕的形式，而且都是以幕的底數(shù)為自

變量，塞的指數(shù)都是常數(shù).

教師給出幕函數(shù)的定義，并進(jìn)行板書.

追問(1)：這幾個函數(shù)中有沒有你熟悉的函數(shù)？

師生活動：教師提出問題，學(xué)生思考并回答.P=w,S=a2,v=尸分別是初中學(xué)習(xí)過

的一次函數(shù)(正比例函數(shù))、二次函數(shù)和反比例函數(shù)的特殊情況，這種形式的函數(shù)稱為幕函

數(shù).

追問(2)：能否根據(jù)嘉函數(shù)的定義將上述五個問題中對應(yīng)的募函數(shù)寫出來？

師生活動：學(xué)生思考后回答，教師根據(jù)學(xué)生回答的募函數(shù)的解析式寫出來，并進(jìn)行糾

錯.

追問(3)：你能說出塞函數(shù)解析式的特征嗎？判斷下面幾個函數(shù)是否為基函數(shù)，并說

出理由.

2

(1)y=x4；(2)y=x~2；(3)y=T-,(4)y=2x2；(5)y=x3+1；(6)y=x3

師生活動：學(xué)生思考后回答，并闡述原因，教師根據(jù)學(xué)生的回答進(jìn)行評價和強(qiáng)調(diào)：底

數(shù)是自變量，自變量的系數(shù)為1,指數(shù)為常數(shù)，塞嚴(yán)的系數(shù)為1,解析式等號右邊只有一項.根

據(jù)幕函數(shù)的定義(1)(2)(6)是幕函數(shù)，(3)(4)(5)不是幕函數(shù).

設(shè)計意圖：通過學(xué)生熟悉的實際問題引出累函數(shù)；通過追問(1)使學(xué)生建立事函數(shù)與

之前已學(xué)函數(shù)的聯(lián)系；追問(2)引導(dǎo)學(xué)生抓住塞函數(shù)的解析式的形式特點；追問(3)使學(xué)

生對事函數(shù)的定義加以辨析應(yīng)用，強(qiáng)化理解.

(二)暴函數(shù)的圖象與性質(zhì)

問題2：我們知道了什么是幕函數(shù)，結(jié)合以往的學(xué)習(xí)經(jīng)驗，我們應(yīng)該研究些什么呢？

師生活動：學(xué)生回答，教師在學(xué)生回答的基礎(chǔ)上進(jìn)行補(bǔ)充，最后得出：根據(jù)我們學(xué)過

的函數(shù)知識，應(yīng)該研究函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性等內(nèi)容.

追問：如何研究塞函數(shù)的這些性質(zhì)呢？

根據(jù)學(xué)生交流討論情況，教師可以適時地引導(dǎo)歸納，得到：根據(jù)初中學(xué)習(xí)函數(shù)的經(jīng)驗，

可以先用描點法畫出函數(shù)圖象，再觀察圖象得到函數(shù)的性質(zhì).在畫圖過程中也可以利用解析

式來幫助我們簡化畫圖過程.

設(shè)計意圖：引導(dǎo)學(xué)生回顧已有經(jīng)驗，得出研究函數(shù)的一般內(nèi)容和方法.

問題3：這五個哥函數(shù)中、=彳，y=x2,y=/的圖象是我們熟悉的，如何畫出y=/

和y=X?的圖象呢？

追問：觀察這兩個函數(shù)的解析式，你能先說出它們的一些性質(zhì)嗎？

師生活動：讓學(xué)生思考回答，最后使學(xué)生認(rèn)識到：通過解析式可以得到函數(shù)的定義域

和奇偶性，y=x3定義域是R,是奇函數(shù)；y=必定義域是非負(fù)實數(shù)組成的集合，既不是奇

函數(shù)也不是偶函數(shù)，可以通過這些性質(zhì)簡化作圖的過程.

學(xué)生利用描點法進(jìn)行作圖，在一個平面直角坐標(biāo)系中畫出五個幕函數(shù)的圖象，教師利

用信息技術(shù)進(jìn)行畫圖并演示.

3

高取點的目的性，使圖象更好地反映出函數(shù)的性質(zhì)特征，而且可以使學(xué)生體會高中階段研究

函數(shù)性質(zhì)的新特點.

問題4：觀察這五個函數(shù)圖象，它們有哪些共同的性質(zhì)？有哪些不同的性質(zhì)？

函數(shù)y=xy=x2y二dy=x2y=/

定義域RRR[0,+8){xxw0}

值域R[0,+8)R[0,+8)卜1嚴(yán)0}

奇偶性奇偶奇非奇非偶奇

(一8,0)減(一8,0)減

單調(diào)性增增增

[0,+°°)增(0,+°°)減

師生活動：學(xué)生觀察思考后回答，教師引導(dǎo)補(bǔ)充并將這些性質(zhì)填入表格中.

追問：再觀察這五個累函數(shù)的圖象上是否有某些特殊點可以體現(xiàn)出它們的共同特點？

在第一象限內(nèi)函數(shù)圖象還有什么變化趨勢？

師生活動：學(xué)生觀察思考后回答，教師引導(dǎo)得到結(jié)論：五個函數(shù)的圖象都過點（1,1）,

在第一象限內(nèi)函數(shù)y=/的圖象"當(dāng)尤越來越大時，圖象無限靠近無軸，當(dāng)尤趨于0時，函

數(shù)圖象無限靠近y軸”.

設(shè)計意圖：引導(dǎo)學(xué)生通過觀察圖象得出五個募函數(shù)各自的性質(zhì)，并在此基礎(chǔ)上歸納出

共性和差異性，得出幕函數(shù)的一些基本性質(zhì).

4

問題5：利用函數(shù)的圖象我們得到了五個哥函數(shù)的基本性質(zhì).事實上，觀察得到的結(jié)論

是不可靠的，我們還應(yīng)對其加以嚴(yán)格的證明.

例：證明暴函數(shù)y=?在［0,+8)上是增函數(shù).

師生活動：教師提出問題，學(xué)生嘗試完成，教師對證明過程進(jìn)行分析評價.

解析：函數(shù)的定義域是［0,+8),

,巧?1°，+°°)，且再<々，有

/(%)-〃/)=衣-后

_(毒一嘉)("+直)

在+后

一再―-.

+

因為％-x2c0,百+北'>0,

所以—</(x2),即一函數(shù)〃尤)=4在［0,+8)上是增函數(shù).

設(shè)計意圖：引導(dǎo)學(xué)生能夠?qū)τ^察到的性質(zhì)進(jìn)行理性的思考，利用解析式對結(jié)論進(jìn)行嚴(yán)

格的證明，提高學(xué)生思維的嚴(yán)謹(jǐn)性.同時引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識到用抽象語言表述的單調(diào)性定義在證

明中的重要作用.

問題6：練習(xí)，教科書第91頁練習(xí)1,2,3

1.已知募函數(shù)y=〃x)的圖象過點(2,吟,求這個函數(shù)的解析式.

解析：設(shè)幕函數(shù)解析式為y=

將點(2,⑹帶入解析式，則0=2“，

得cr=L

2

y=x^(光20).

設(shè)計意圖：檢測學(xué)生對幕函數(shù)定義的理解，并規(guī)范數(shù)學(xué)語言表述.

2.利用幕函數(shù)的性質(zhì)，比較下列各題中兩個值的大?。?/p>

(1)(-1.5)3,(-1.4)3；(2)——,——；(3)1.22,0.9-5,7n.

-1.5-1.4

5

解析：(1)由于累函數(shù)y=x3在R上單調(diào)遞增，且-L5<T.4,

(-1.5)3<(-1.4)3.

(2)由于塞函數(shù)y=!在(-8,0)上單調(diào)遞減，且—1.5<—1.4<0,

x

由于>在［0,+8)上單調(diào)遞增，1.1.2>—>1.1>0,

9

即1.23>0.9-2>血.

師生活動：教師引導(dǎo)學(xué)生得出使用幕函數(shù)的性質(zhì)比較大小的基本思路和方法：比較大

小的兩個實數(shù)必須在同一函數(shù)的同一個單調(diào)區(qū)間內(nèi)，否則無法比較大小.因此如果底數(shù)不同

需轉(zhuǎn)化為同底數(shù)暴才能選擇一個適當(dāng)?shù)幕瘮?shù)進(jìn)行比較說明，同時要注意函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.

設(shè)計意圖：檢測學(xué)生對幕函數(shù)y=V和y=_L單調(diào)性的應(yīng)用，使用時提示：塞函數(shù)y=1

XX

的圖象不連續(xù)，因此要注意單調(diào)區(qū)間的描述.

3.畫出函數(shù)y=|x|t的圖象，并判斷函數(shù)的奇偶性，討論函數(shù)的單調(diào)性.

師生活動：學(xué)生分析思考后回答，教師引導(dǎo)歸納得出：這是一個分段函數(shù)，也是一個偶函數(shù)，

它的定義域是{X|XN0}.當(dāng)x>0時，y=/是我們熟悉的五個暴函數(shù)之一，當(dāng)x<0時的

6

單調(diào)性是：xe(0,+8)單調(diào)遞減，無?(_8,0)單調(diào)遞增

設(shè)計意圖：檢測學(xué)生對一般函數(shù)研究思路和方法的理解掌握.

(三)歸納小結(jié)

教師引導(dǎo)學(xué)生回顧本節(jié)課的學(xué)習(xí)內(nèi)容，并回答以下幾個問題：

(1)什么是暴函數(shù)？結(jié)合具體的暴函數(shù)，你能說出累函數(shù)具有哪些性質(zhì)嗎？

(2)結(jié)合對五