數(shù)列的概念

【例1】請寫出下面數(shù)列的一個通項公式.

(1)2,0,2,0,2,…

小

——1,—1,----1-，1—，???

261220

⑶請寫出下面數(shù)列的一個通項公式：0.9,0.99,0.999,0.9999,

：，，

【例2】⑴請寫出下面數(shù)列的一個通項公式2,58,F…

222

⑵請寫出下面數(shù)列的一個通項公式：1,2,3,4,5,8,7,16,9-,

【例3】觀察下列等式：

11

^i=—n2?+一〃，

i=i22

=—n3+—n2+—n,

1326

z3=—n4+—n3+—n2,

i=i424

Z，=—n5+—n4+—H3―--n,

I52330

Z，=—n6+—n5+—n4——n2,

$621212

=—n7+—H6+—H5——M3+—n,

/=1722642

3t-L?kk-\k-2

=an+an+a_n+a_n+???+%〃+%,

i=\k'+xk"k"xkA2一

可以推測，當〃>2時，4討=，,〃1

％一1二----------------

k+\

ak-2=------------------

【例4】⑴根據(jù)下面的圖形及相應(yīng)的點數(shù)，在空格及括號中分別填上適當?shù)膱D形和數(shù),

寫出點數(shù)的通項公式.

⑵將全體正整數(shù)排成一個三角形數(shù)陣:

1

23

456

78910

按照以上排列的規(guī)律，第"行（〃、3）從左向右的第3個數(shù)為

【例5】如下圖，第⑴個多邊形是由正三角形“擴展”而來，第⑵個多邊形是由正方形

“擴展”而來，……，如此類推.設(shè)由正〃邊形“擴展”而來的多邊形的邊數(shù)

【例6】觀察下列各圖，并閱讀下面的文字，像這樣，10條直線相交，交點的個數(shù)最多

是（），其通項公式為.

2條直線相交，3條直線相4條直線相

最多有1個交交，最多有3交，最多有6

點個交點個交點

【例7】將正AABC分割成/(〃>2,weN*)個全等的小正三角形(圖2,圖3分別

給出了〃=2,3的情形)，在每個三角形的頂點各放置一個數(shù)，使位于AABC的

三邊及平行于某邊的任一直線上的數(shù)(當數(shù)的個數(shù)不少于3時)都分別依次成

等差數(shù)列.若頂點A,B,C處的三個數(shù)互不相同且和為1,記所有頂點上的

數(shù)之和為了(〃)，則有/(2)=2,〃3)=_/(?)=.

【例8】已知一個數(shù)列的通項公式是%=30+n-n2.

⑴問-60是否是這個數(shù)列中的項？

(2)當"分別為何值時，an=0,an>0,an<0?

⑶當"為何值時，應(yīng)有最大值？并求出最大值.

【例9】一個數(shù)列的通項公式是4=1-877+13,寫出此數(shù)列的前五項，并求此數(shù)列的

最小項的值？

2

【例10】數(shù)列｛4“｝中，4=1,對所有的"N2,都有qyG-an=n,求數(shù)歹”｛%｝的

通項公式％.

【例11】已知整數(shù)以按如下規(guī)律排成一列：（1,1）、（1,2）、（2,1）、（1,3）、（2,2）,（3,1）,

（1,4）,（2,3）,（3,2）,（4,1）,……,則第60個數(shù)對是（）

A.（10,1）B.（2,10）,C.（5,7）D.（7,5）

【例12】已知數(shù)列A:a1，/，,（OWq＜為＜＜an,具有性質(zhì)尸：對任意

i,j（iWiWjWn）,%+%與%-%兩數(shù)中至少有一個是該數(shù)列中的一項.現(xiàn)

給出以下四個命題：

①數(shù)列0,1,3具有性質(zhì)產(chǎn)：

②數(shù)列0,2,4,6具有性質(zhì)尸：

③若數(shù)列A具有性質(zhì)P,則q=0；

④若數(shù)列q,電，4（°W4＜出＜%）具有性質(zhì)產(chǎn)，則4+%=2a2.

其中真命題有（）

A.4個B.3個C.2個D.1個

【例13】在數(shù)列｛4｝中,若吊-七=人（"N2,〃eN*,p為常數(shù)），則稱｛%｝為“等

方差數(shù)列”.下列是對“等方差數(shù)列”的判斷：

①若｛%｝是等方差數(shù)列，則何｝是等差數(shù)列；

②｛（-1）"｝是等方差數(shù)列；

③若｛4｝是等方差數(shù)列，則｛須,｝（%eN*,左為常數(shù)）也是等方差數(shù)列；

④若｛%｝既是等方差數(shù)列，又是等差數(shù)列，則該數(shù)列為常數(shù)列.

其中正確命題序號為.（將所有正確的命題序號填在橫線上）

【例14】數(shù)列｛.“｝滿足q=1,%=3,%+]=（2〃-2）a“（”=1,2,?）,則必等于（

A.15B.10C.9D.5

【例15】在一個數(shù)列中，若每一項與它的后一項的乘積都同為一個常數(shù)（有限數(shù)列最

后一項除外），則稱該數(shù)列為等積數(shù)列，其中常數(shù)稱公積.若數(shù)列｛。,｝是等積

數(shù)列，且。6=2,公積為6,則..。2005?。2009的值是（

mm典例分析

【例16】判斷數(shù)52,2左+7伏eN*）是否是等差數(shù)列｛““｝：一5,-3,-1,1,?.中的項，若是,

是第幾項？

【例⑺若數(shù)列｛%｝是等差數(shù)列，且q=l,4=5,則須等于（）

A.19B.21C.37D.41

【例18】在等差數(shù)列｛."｝中，%=。-8,aI1=2.2,求它的首項、公差與知的值.

【例19]設(shè)｛風｝是公差為正數(shù)的等差數(shù)列，若6Z]+Cl?+=15,Cl?^3=80,則%+/+&

等于（）

A.120B.105C.90D.75

【例20】在等差數(shù)列｛4｝中，%=33,%=153,則201是該數(shù)列的第（）項

A.60B.61C.62D.63

【例21］在等差數(shù)列｛4｝中，的=7,勺=21,則它的首項"=,前"項和

S“---------■

【例22］若等差數(shù)列曾」的前5項和55=25,且%=3,則%=（）

A.12B.13C.14D.15

【例23】⑴在等差數(shù)列｛%｝的公差為d,第機項為M，求其第〃項明.

（2）等差數(shù)列｛an］的前n項和記為S",已知q。=30,420=5。,①求通項：②若

S"=242,求".

⑵設(shè)數(shù)列｛4｝是公差不為零的等差數(shù)列，S“是數(shù)列｛鳳｝的前“項和，且

S；=9星，S4=4S2,求數(shù)列一“｝的通項公式.

【例24】在數(shù)列｛%｝中，4=1,4+|=烏-,求證｛,｝是等差數(shù)列，并求通項％.

2+4,an

【例25】等差數(shù)列｛",｝中，a2=5,4=33,則/+%=

【例26】設(shè)數(shù)列％,出，…。….中的每一項都不為o.證明：｛%｝為等差數(shù)列的充分必

要條件是：對任何“eN,都有——

q%a2a3%%+i

【例27】已知數(shù)列｛%｝為等比數(shù)列，S.是它的前〃項和，若29=24,且應(yīng)與2%的等

差中項為9,則55=（

A.35B.33C.31D.29

【例28】證明以下命題：

2

⑴對任一正整數(shù)a,都存在正整數(shù)6,c（b<c）使得b,，成等差數(shù)列；

⑵存在無窮多個互不相等的三角形其邊長a“，bn,cn,為正整數(shù)，且只，叫,

c；成等差數(shù)列.

【例29】如果等差數(shù)列｛〃〃｝中，1+4+。5=12,那么4+%++%=

A.14B.21C.28D.35

等差數(shù)列的通項公式與求和

E1

典例分析

【例30】等差數(shù)列｛°」的前〃項和為S,，若%>0,%<0,則下列結(jié)論正確的是（）

S.<S.

A./o1jB.1S0ls<Slfi1C3.>01jD.Sls>0

【例31】數(shù)列｛”"｝的前八項和S,=〃2（"N1）,求它的通項公式.

【例32】數(shù)列｛%｝的前”項和S“=〃2-47Z,bn=\an\,則數(shù)列｛b“｝的前"項和7；=.

【例33】數(shù)列｛〃“｝的前〃項和S“="2-4〃，則|加+|%|+.+|4|=.

【例34】設(shè)等差數(shù)列的前〃項的和為%且%=84,%=460,求S.

【例35］設(shè)等差數(shù)列的前n項的和為Sn,且S4=16,S8=64,求&.

【例36】有兩個等差數(shù)列｛。」，他,｝,其前“項和分別為S”，若對凡eN,有&="±2

Tn2〃+3

成立，求善.

b5

【例37］在等差數(shù)列｛a“｝中，aw=23,a25=-22,S,為前”項和，

⑴求使S?<0的最小的正整數(shù)〃；

⑵求￡=同+聞+同++卜.|的表達式.

【例38】等差數(shù)列｛。“｝的前機項和S,“為30,前2m項和S2m為100,則它的前3優(yōu)項和S3m

為.

【例39】等差數(shù)列｛a“｝中，4=25,Sg=S?,問數(shù)列的多少項之和最大，并求此最大值.

【例40】已知二次函數(shù)〃尤）=尤2+2（10-3〃）％+9〃2-61〃+100,其中“eN*.

⑴設(shè)函數(shù)y=〃x）的圖象的頂點的橫坐標構(gòu)成數(shù)列｛%｝,求證：數(shù)列｛%｝為等差

數(shù)列；

⑵設(shè)函數(shù)y=〃x）的圖象的頂點到y(tǒng)軸的距離構(gòu)成數(shù)列｛4,｝,求數(shù)列｛d“｝的前〃

項和S?.

【例41】等差數(shù)列前10項的和為140,其中，項數(shù)為奇數(shù)的各項的和為125,求其第6項

及公差.

【例42】設(shè)等差數(shù)列｛4｝的公差為>0,且Sg>0,&<0,求當S“取得最大值時w的

值.

【例43】已知等差數(shù)列｛4“｝中，%=50,d=—2,=0，貝l]〃=（）

A.48B.49C.50D.51

【例44】已知｛%｝是等差數(shù)列，且％=3,%=9,2=」一，求數(shù)列｛6｝的通項公式及

電｝的前幾項和Sn.

【例45】在各項均不為0的等差數(shù)列｛%｝中，若a用-見2+%=0(“，0，貝IJ邑^-4〃等

于()

A.-2B.0C.1D.2

【例46】設(shè)數(shù)列｛%｝滿足％=6,%=4,4=3,且數(shù)列｛%+「為｝(weN*)是等差數(shù)歹IJ,

求數(shù)列｛%｝的通項公式.

【例47】已知/(x)=x2-2(n+l)x+n2+5n-7,

(1)設(shè)/(x)的圖象的頂點的縱坐標構(gòu)成數(shù)列｛%｝,求證｛%｝為等差數(shù)歹山

(2)設(shè)/(元)的圖象的頂點到x軸的距離構(gòu)成抄“｝,求抄/的前〃項和.

【例48】已知數(shù)列｛4｝是等差數(shù)列，其前項和為S“,4=7應(yīng)=24.

⑴求數(shù)列｛凡｝的通項公式；

(2)設(shè)p,q是正整數(shù)，且pwq,證明可+勺＜；(邑。+$2@).

【例49】在等差數(shù)列｛a“｝中，aw=23,a25=-22,S“為前”項和,

⑴求使S“<0的最小的正整數(shù)”；

⑵求.=同+同+同++同的表達式.

【例50】有固定項的數(shù)列｛叫的前“項和5“=2〃2+〃，現(xiàn)從中抽取某一項（不包括首相、

末項）后，余下的項的平均值是79.

⑴求數(shù)列｛g｝的通項％;

⑵求這個數(shù)列的項數(shù)，抽取的是第幾項.

【例51］已知/（無）—ClyX++。3兀3+,,,+4%",Q］，。2，。3，…，?！背傻炔顢?shù)列（“為正偶

數(shù)）.又/⑴=心=-n,⑴求數(shù)列的通項見；⑵試比較與3的大小，

并說明理由.

【例52】設(shè)q,d為實數(shù)，首項為《，公差為［的等差數(shù)列｛風｝的前"項和為S”，

滿足S5S6+15=0則d的取值范圍是.

【例53】設(shè)等差數(shù)列｛叫的前〃項和為S.,若q=-11,a4+a6=-6,則當S“取最小值時,

”等于（）

A.6B.7C.8D.9

【例54】在等比數(shù)列｛.“｝中，若公比q=4,且前3項之和等于21,則該數(shù)列的通項公式

【例55］已知｛與｝是公差不為零的等差數(shù)列，%=1,且q,?2,%成等比數(shù)列?

⑴求數(shù)列｛4｝的通項；

⑵求數(shù)列｛2%｝的前n項和Sn.

【例56】已知數(shù)列｛4｝滿足q=0,%=2,且對任意a,zzeN*都有

a

2?,+i+g.-1=24+1+2(機-")2

⑴求〃3，%；

⑵設(shè)bn=a2n+x-5￡N*)證明：低｝是等差數(shù)列；

⑶設(shè)％=(%向一％1為"一1(4WO,〃cN*),求數(shù)列｛c〃｝的前〃項和S〃.

【例57】設(shè)等差數(shù)列｛〃〃｝的前〃項和為S〃，々2+4=6,貝岫等于()

A.10B.12C.15D.30

【例58】已知等差數(shù)列口｝的前w項和為％且滿足?-與=1,則數(shù)列口｝的公差是

()

A.-B.1C.2D.3

2

【例59］若｛a,｝為等差數(shù)列，S,是其前〃項和，且配=子，貝han%的值為（）

A.A/3B.-V3C.±y/3D.--

3

【例60】已知等差數(shù)列l(wèi),“，b,等比數(shù)列3,a+2"+5,則該等差數(shù)列的公差為（）

A.3或-3B.3或一1C.3D.-3

【例61】已知數(shù)列口｝的通項公式%=log3」L（〃eN*）,設(shè)其前〃項和為S“，則使

n+\

邑<-4成立的最小自然數(shù)〃等于（）

A.83B.82C.81D.80

【例62】等差數(shù)列｛%｝中，1=—5,牝=1，此數(shù)列的通項公式為,設(shè)S,是數(shù)列｛4｝

的前〃項和，則Sg等于

【例63】設(shè)集合W由滿足下列兩個條件的數(shù)列｛4｝構(gòu)成：

②存在實數(shù)使a.WM.（"為正整數(shù)）

⑴在只有5項的有限數(shù)列｛%｝,電｝中，其中q=1,出=2,%=3,4=4,%=5,

4=1,b2=4,&=5，仇=4.4=1；試判斷數(shù)列｛4｝，｛2｝是否為集合W的元

素；

⑵設(shè)｛g｝是等差數(shù)列，S"是其前〃項和，。3=4，S.=18證明數(shù)列｛S“｝eW；并寫

出M的取值范圍；

⑶設(shè)數(shù)列｛4｝eW,且對滿足條件的常數(shù)M,存在正整數(shù)"使4=M.

求證：dk+l>dk+2>4+3?

2an+1,〃為偶數(shù)

a=<

【例64】已知數(shù)列｛?！埃凉M足：q=0,?n+\，“=2,3,4,.

-------H2o,"為奇數(shù)

[2T

⑴求火,%，。5的值；

⑵設(shè)用=%一,+1,〃=1,2,3,,求證：數(shù)列抄“｝是等比數(shù)列，并求出其通項公

式；

⑶對任意的mN2,meN*,在數(shù)列｛與｝中是否存在連續(xù)的T項構(gòu)成等差數(shù)列？

若存在，寫出這2m項，并證明這2帆項構(gòu)成等差數(shù)列；若不存在，說明理由.

等差數(shù)列的性質(zhì)

典例分析

【例65】若三個數(shù)。-4,4+2,26-2°,適當排列后構(gòu)成遞增等差數(shù)列，求〃的值和相應(yīng)

的數(shù)列.

【例66]若關(guān)于x的方程f-x+a=O和f-尤+6=0("6)的四個根可組成首項為-的

4

等差數(shù)列，則。+6的值是.

【例67】已知一個數(shù)列的通項公式是q=30+?-n2.

⑴問-60是否是這個數(shù)列中的項？

⑵當"分別為何值時，％=0,4>0,%<0?

⑶當"為何值時，。“有最大值？并求出最大值.

【例68】已知等差數(shù)列共有10項，其中奇數(shù)項之和為15,偶數(shù)項之和為30,則其公差

等于_____

【例69】等差數(shù)列01M2,4,M.的公差為d,則數(shù)列%,5%,5a3,…,5%是（）

A.公差為d的等差數(shù)列B.公差為5〃的等差數(shù)列

C.非等差數(shù)列D.以上都不對

【例70】在等差數(shù)列｛%｝中，已知4+。2+。3+。4+。5=20,那么久等于()

A.4B.5C.8D.10

【例71】在等差數(shù)列｛%｝中，a4+a5=12,那么它的前8項和S&等于（)

A.12B.24C.36D.48

【例72］已知｛〃〃｝為等差數(shù)列，ap=qaq=p（為正整數(shù)）,則4+q的值為

()

A.0B.p+qC.p-qD.2P

【例73】等差數(shù)列｛%｝中，已知公差d二，_0_q+g++為9=60,貝U〃1+&++"100=

A.170B.150C.145D.120

【例74】四個不相等的正數(shù)a,b,c,d成等差數(shù)列，則（)

a+dr--a+dCa+d

AA.---->yjbcB.-----<D.疝

222*2W

【例75］已知2x+㈤"-2x+〃)=°的四個根組成一個首項為:的等差數(shù)列，則

忸一司等于

【例76】在等差數(shù)列｛%｝中，曳＜-1,若它的前“項和S”有最大值，那么｛SJ中最小的

是第項.

【例77】已知數(shù)列｛為｝為等差數(shù)列，首項ay”，公差北0,且a,#O(〃eN+),

bn=—^—,求數(shù)列｛2｝的前〃項和S”.

%%+2

等比數(shù)列的定義

典例分析

【例1】在等比數(shù)列｛%｝中，q=-16,&=8,則%=（）

A.-4B.±4C.-2D.±2

【例2】在等比數(shù)列｛叫中，若的,為是方程3爐-15+9=0的兩根，則&的值

是.

3

【例3】在等比數(shù)列｛%｝中，公比好2,且。「電?的……?30=2°1則

。3，。6.。9....。30等于()

A.210B.2200.216D.215

【例4】已知等比數(shù)列｛%｝中，%=3,4=384,則該數(shù)列的通項%=.

【例5】一個數(shù)加上20,50,100后得到的三數(shù)成等比數(shù)列，其公比為.

【例6】有四個數(shù)，其中前三個數(shù)成等差數(shù)列，后三個數(shù)成等比數(shù)列，并且第一個數(shù)與

第四個數(shù)的和是16,第二個數(shù)與第三個數(shù)的和是12,求這四個數(shù).

【例7】已知數(shù)列｛見｝的前"項和為S“，S,=g(%-1)(〃eN*)

⑴求4,a2；

(2)求證：數(shù)列｛4｝是等比數(shù)列.

【例8】已知數(shù)列｛%｝滿足4=1,%=1+口,，求其通項公式.

【例9】在數(shù)列｛%｝中，4=1,當〃22時，有%=34_1+2,求0.

I

【例10】已知數(shù)列｛%｝滿足4=-1,a?=3a?.1+2-(n>2),求q

【例11]已知G=——,a"=(―5)q“_]+5(〃N2),求a“.

【例12】數(shù)列｛。“｝中，％=2,an+1^an+cn(c是常數(shù)，〃=1,2,3,),且q,a2,a3

成公比不為1的等比數(shù)列.

⑴求c的值；

⑵求｛4｝的通項公式.

【例13］在數(shù)列｛七｝中，q=2,an+l=4an-3n+l,MeN*.

⑴證明數(shù)列｛%-〃｝是等比數(shù)列;

⑵求數(shù)列｛qj的前"項和S,.

【例14］已知數(shù)列｛%｝的前〃項和為S?=2"+5〃+1(〃eN,)

數(shù)列也｝的前"項和B”滿足B,(neN*)

⑴求數(shù)列｛。“｝的通項公式；

⑵將數(shù)列｛%｝與｛b,,｝的公共項，按它們在原數(shù)列中的先后順序排成一個新數(shù)列

｛cn｝,求數(shù)列｛%｝的通項公式.

【例15】設(shè)旬為常數(shù),且=3”--24TseN*).

(1)證明對任意〃,an=53"+(-1尸2］+(—1)"2%；

(2)假設(shè)對任意〃》1有4>一,求a0的取值范圍.

【例16】在數(shù)列｛七｝中，4=0,且對任意左eN*.a2k_t,a2k,a2m成等差數(shù)列，其公

差為4.

⑴若4=24，證明。2上，a2M,%1+2成等比數(shù)列（AeN*）

⑵若對任意％eN*,au,a2M,%K+2成等比數(shù)列，其公比為弘.

【例17】在等比數(shù)列｛%｝中，^2010=8?2007,則公比q的值為（）

A.2B.3C.4D.8

等比數(shù)列的通項公式與求和

mum典例分析

【例18】在等比數(shù)列｛%｝中，%=2,%=128,貝I］它的公比4=,前"項和

S“二--------

【例19】等差數(shù)列｛a“｝的前〃項和為S,,且6&-5鼻=5,貝IJ為=.

【例20】設(shè)等比數(shù)列｛對｝的前"項和為S,,若3=3,貝外含=（）

S31

A.2B-ic-1D-3

【例21］設(shè)｛叫是公比為q的等比數(shù)列，|同＞1,令6“=%+1（〃=1,2,）,若數(shù)列也｝有

連續(xù)四項在集合｛-53,-23,19,37,82｝中，貝Ij6q=.

【例22】等比數(shù)列｛4｝的首項4=-1,前，項和為S“，公比它1,若鼠=①，貝IJ紙等

,532%

于.

【例23】等比數(shù)列｛。"｝中，%=512,公比《=—|，用口”表示它前”項的積：11“=aia2...an,

則口，112,,,,,11“中最大的是.

【例24】已知數(shù)列｛%｝的前九項和為S,,Sn=g@-1)(〃eN*).

⑴求6，a2,4的值；

⑵求an的通項公式及S10.

【例25】在等比數(shù)列｛4｝中，q?4,%=27，a2+a4=30

試求：⑴%和公比q;⑵前6項的和順.

【例26］在等比數(shù)列｛an｝中，已知對任意正整數(shù)〃，有S〃=2〃-1,則

《+Q；++Q；—.

【例27】求和：(?！?)+(/—2)++(優(yōu)一〃),(aw0).

【例28】在等比數(shù)列｛端中，%='，/+%=,?若數(shù)列｛%｝的公比大于1,且

2=log3,求數(shù)列間的前〃項和S“.

【例29】在各項均為正數(shù)的等比數(shù)列抄,｝中，若白乜=3,則log3^+log3fe2+……

+log3b］4等于（）

A.5B.6C.7D.8

n

【例30］等比數(shù)列｛。〃｝中，已知對任意自然數(shù)%a,+a2+a3+...+an=2-l,

貝lj4；+Q；H--FQ；=（）

11

A.（2"—1）2B.-（2n-l）C.4n-lD.g（4〃T）

【例31］若IgX+lg尤2+…+值11。=110，求lg%+lg2%+…+lgl。入的值.

【例32】在等比數(shù)列｛氏｝中，?4=-,%+%=衛(wèi)?若數(shù)列｛%｝的公比大于1,且

39

bn=log3+,求數(shù)列他,｝的前n項和Sn.

【例33】在等比數(shù)列｛““｝的前”項中，4最小，且4+a“=66,%?！?=128,前"項和

S,=126,求〃和公比q.

【例34】設(shè)等比數(shù)列｛.”｝前〃項和為斗，若S3+$6=25,求數(shù)列的公比q.

【例35]｛4｝的相鄰兩項a“，*是方程*2-c.x+(g)"=O的兩根，且勾=2,求數(shù)列｛c“｝

的前〃項和S?.

【例36】已知數(shù)列｛%｝：1,2(-1),3(-1)2,〃(-；嚴，求它的前〃項和.

【例37】已知：數(shù)列&｝滿足a1+3%+3?%++3"%“=g,<7eN+.

⑴求數(shù)列｛%｝的通項；

⑵設(shè)bn=—,求數(shù)列｛2｝的前n項和Sn

【例38】已知數(shù)列｛%｝的通項公式為求其前"項和公式.

【例39】求數(shù)列a,2a2,3",…，也",…,(。為常數(shù))的前〃項的和.

【例40】已知等差數(shù)列公差為d,求S〃+且xwo)

【例41]設(shè)｛%｝為等比數(shù)列，(=叫+(〃-1)4+--2%+%，已知(=1,(=4.

⑴求數(shù)列｛?！埃氖醉椇凸?

⑵求數(shù)列｛1｝的通項公式.

【例42】已知"1,數(shù)列｛??)是首項為a,公比為a的等比數(shù)列，令

bn=%lga"(a>O,weN*),

⑴當。=2時，求數(shù)列｛2｝的前"項和S“；

⑵若數(shù)列｛￡｝中的每一項總小于它后面的項時，求。的取值范圍.

【例43】已知函數(shù)/(x)是一次函數(shù),且/⑻=15,/(2),/(5),“14)成等比數(shù)列,

設(shè)為=/(〃)，(?eN*).

(1)求:；

(2)設(shè)2=2",求數(shù)列｛“/,｝的前〃項和S,.

【例44】設(shè)等比數(shù)列｛%｝的公比為q,前〃項和S,>O(〃eN.).

⑴求q的取值范圍；

⑵設(shè)包=--5%，記也｝的前幾項和為T,,試比較S.與T”的大小.

【例45】設(shè)｛??｝是由正數(shù)組成的等比數(shù)列，S?是前"項和，證明

l°g。5s“+logo,5s“+2

>logo.5sM

2

【例46]設(shè)｛風｝是由正數(shù)組成的等比數(shù)列，S,,是前〃項和.

⑴證明：lgS，；gS.+2<]gS.M;

⑵是否存在常數(shù)c>o使得一0）；g（%一c）=]g（s“u_二）成立？并證明

你的結(jié)論.

【例47】用分期付款方式購買家用電器一件，價格為1150元，購買當天先付150元，以

后每月這一天都交付50元，并加付欠款的利息，月利率為1%,若交付150元

后的第一個月開始算分期付款的第一個月，問分期付款的第十個月該交付多

少錢？全部貨款付清后，買這件家電實際花了多少錢？

【例48】從盛滿。升（。>1）純酒精的溶液里倒出1升，然后填滿水，再倒出1升混合溶液

后又用水填滿.如此繼續(xù)下去，那么第〃次操作后溶液的濃度是多少？

【例49】某企業(yè)年初有資金1000萬元，如果該企業(yè)經(jīng)過生產(chǎn)經(jīng)營能使每年資金平均增長

率為50%,但每年年底都要扣除消費基金x萬元，余下基金投入再生產(chǎn)，為

實現(xiàn)經(jīng)過5年資金達到2000萬元（扣除消費基金后），那么每年應(yīng)扣除消費基

金多少萬元（精確到萬元）？

【例50】小芳同學若將每月省下的零花錢5元在月末存入銀行，月利按復利計算，月利

率為0.2%,

每夠一年就將一年的本利和改存，年利按復利計算，年利率為6%,問三年后取出

本利共多少元（保留到個位）？

【例51】用〃個不同的實數(shù)4,%,M“可得到加個不同的排列，每個排列為一行寫成一

個〃!行的數(shù)陣。對第i行%,附，…M加，記4=_%+202_3Qj3+…?+（_1）〃Ham,

z=1,2,3,,n!?

例如：用1,2,3、可得數(shù)陣如圖，由于此數(shù)陣中每一列各數(shù)之和都是12,所以，

.+.++—=T2+2X12—3x12=—24,那么，

在用1,2,3,4,5形成的數(shù)陣中，b[+b2++生。=□

123

132

213

231

312

321

【例52］我們在下面的表格內(nèi)填寫數(shù)值：先將第1行的所有空格填上1;再把一個首項為

1,公比為“的數(shù)列｛aj依次填入第一列的空格內(nèi)；然后按照“任意一格的數(shù)

是它上面一格的數(shù)與它左邊一格的數(shù)之和”的規(guī)則填寫其他空格.

第1列第2歹ij第3列■■■第“歹IJ

第1行111???1

第2行q

第3行夕2

??????

第八行q"~'

⑴設(shè)第2行的數(shù)依次為耳，與，，3“，試用“，q表示用+與++4,的值；

⑵設(shè)第3行的數(shù)依次為q,03，，I，求證：對于任意非零實數(shù)

q,cx+c3>2c2;

⑶請在以下兩個問題中選擇一個進行研究（只能選擇一個問題，如果都選，被認為

選擇了第一問）.

①能否找到q的值，使得⑵中的數(shù)列q,生，，，g的前機項

c-％,,%（機，3）成為等比數(shù)列？若能找到，加值有多少個？若不能找

至九說明理由.

②能否找到q的值，使得填表格后，除第1列外，還有不同的兩列數(shù)的前三項

各自依次成等比數(shù)列？并說明理由.

【例53】已知數(shù)列4,4,4，，冊，滿足關(guān)系式（3+J（6+Q〃）=18,且％=3，則

〃1

y-的值是.

【例54】在〃行〃列矩陣

23…n-2n-\n、

234???n-\n1

345…n12

12…n-3n-2n-l?

中，記位于第，行第J列的數(shù)為%（，,）=1，2,…，〃）.

當7=9時,41+〃22+〃33-----1-。99=_,

【例55］已知數(shù)列｛4｝的前"項和為S.,且5?=n—5an—S5,neN*

（1）證明：｛%-1｝是等比數(shù)列；

⑵求數(shù)列｛S“｝的通項公式，并求出，為何值時，S"取得最小值，并說明理由.

【例56】已知數(shù)列｛%｝的首項?0,其前"項的和為S“，且“=2S“+q,則處總=

A.0B.-C.1D.2

2

【例57］已知｛%｝是首項為1的等比數(shù)列，%是｛%｝的前〃項和，且%3=1，則數(shù)列

的前5項和為

15

A."■或5Bc.—31TL5C「.—31C.

816168

【例58］設(shè)S,為等比數(shù)列｛4｝的前〃項和，8%+火=0,則*=

Si

A.11B.5C.-8D.-11

【例59】在數(shù)列｛?！埃?，％=1,a“M=s,+c"M(2"+lX〃eN*),其中實數(shù)cR0.

⑴求｛風｝的通項公式；

⑵若對一切左eN*有a2k>k,求c的取值范圍.

【例60］設(shè)｛%｝是由正數(shù)組成的等比數(shù)列，S”為其前〃項和.已知%%=1，星=7,則$5=

15313317

A.2B.4C.4D.2

【例61】設(shè)等比數(shù)列｛%｝的公比為4=工，前”項和為S"，貝1］又=___________

2%

【例62］設(shè)｛為｝是等比數(shù)列，若q=1,%=8,貝必=數(shù)列｛見｝的前6項的和

【例63】在數(shù)列｛〃“｝中，4=3,4=2%+〃—2(〃22且〃eN*).

⑴求〃2，%的值；

⑵證明：數(shù)列｛4+〃｝是等比數(shù)列，并求｛4｝的通項公式；

⑶求數(shù)列｛氏｝的前〃項和S〃.

【例64】在數(shù)列｛%｝中，％=3,4=-%-2〃+1(〃22且〃EN*).

⑴求〃2，〃3的值；

⑵證明：數(shù)列｛%+〃｝是等比數(shù)列，并求｛4｝的通項公式；

⑶求數(shù)列｛4｝的前〃項和Sn.

【例65】設(shè)數(shù)列｛4｝為等比數(shù)列，數(shù)列I電｝滿足勿二叫+(〃-1)%++2%T+an,neN*,

已知4=〃?，b2=—,其中〃2Ho.

⑴求數(shù)列｛4｝的首項和公比；

⑵當根=1時，求么；

⑶設(shè)S”為數(shù)列｛.“｝的前幾項和，若對于任意的正整數(shù)“，都有邑e[l,3],求實數(shù)機

的取值范圍.

【例66］若a,4,3a為等差數(shù)列的連續(xù)三項，則a°+/+...+/的值為()